技巧 7 鸽巢问题
重点梳理
抽屉原理(一)：如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里(n 是非 0 自然数)，那么必有一个抽屉里至
少有 2 个物体；抽屉原理(二)：如果把(kn+m)个物体放在 n 个抽屉里(k，m，n 是非 0 自然数，
m ≤ n)，那么必有一个抽屉里至少有(k+1)个物体。
例：有红、黄、黑、白四种颜色的小球各 10 个，混合放在一个布袋里，一次摸出 5 个小球，
其中，至少有几个小球的颜色是相同的？
解析：从最不利的情况想，摸出的 5 个小球中有 4 个小球的颜色各不相同，那么余下的一个
小球无论是什么颜色，这 5 个小球中都有 2 个小球的颜色是相同的。
规范解答：5÷4=1(组)……1(个)，1+1=2(个)
答：至少有 2 个小球的颜色是相同的。
对点训练
1. 填空。
(1) 六(1)班有学生 47 人，现在有航模、AI 绘图、舞蹈、足球、书法等 5 个社团可以自由报
名，每人必须且只能参加一个社团，至少有( )人会在同一个社团。
(2) 一个口袋中装有 400 粒珠子，共 5 种颜色，每种颜色各 80 粒。如果你闭上眼睛，至少取
出( )粒珠子才能保证其中 5 粒颜色相同。
答案：（1）10，（2）21（3）4
解析：选 1 个项目有 4 种情况，选 2 个项目有 6 种情况， 选 3 个项目有 4 种情况，选 4 个
项目有 1 种情况。4+6+4+1=15(种)，52÷15=3(组)……7(名)，3+1=4(名)。
2. 选择。
(1)有 7 个山地自行车代表队参加比赛，每个代表队有 5 人，至少抽出( )人，才能保证这
场比赛中一定有 2 人来自同一个代表队。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
答案：D
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(2)箱子里有黑、黄、红三色的筷子各 8 根，想从箱子里摸出 2 双筷子(同一双筷子颜色相同)，
至少要摸出( )根。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
答案：B
解析：考虑最不利的情况，先摸 3 根，每根颜色不一样，此时再摸第 4 根必然会有一双筷子，
摸第 5 根时，也要考虑最不利的情况，第 5 根颜色和第 4 根颜色一样，还是只有一双筷子，
此时再摸第 6 根的时候，不论摸出什么颜色的，都会是两双。
3. 从 1、2、3、4、…、20 这 20 个数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有 2 个数的
差是 11 ？
答：至少取出 12 个数，才能保证其中一定有 2个数的差是 11。
解析：先进行如下分组：(1 ，12 )，(2 ，13 )，(3 ，14 )，(4 ，15)，(5，16)，(6，17)，(7，
18)(8，19)，(9，20)，(10)，(11)，共 11 组。至少取 11+1=12(个)数，能保证其中一定有 2 个
数的差是 11。
4. 体育用品保管室里有许多足球、排球和篮球，六(2)班 50 名同学来保管室拿球，规定每人
至少拿 1 个球，至多拿 2 个球，至少有几名同学所拿的球的情况是一样的？
答案：拿球情况有：1 个足球、1 个篮球、1 个排球、2 个足球、2 个篮球、2 个排球、1 个
足球和 1 个篮球、1 个足球和 1 个排球、1 个篮球和 1 个排球，共 9 种。
50÷9=5(组)……5(名) 5+1=6(名)
答：至少有 6 名同学所拿的球的情况是一样的。
5. 填空。
(1) 学校体育保管室有 37 个篮球，最多放进( )个篓子里，才能保证至少有 1 个篓子里有 8
个球。
(2) 有 15 名学生到图书角借历史故事书，要保证至少有 1 名学生借到 3 本书，这个图书角至
少有( )本书。
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技巧 7 鸽巢问题
(3) 荣老师买了 200块糖分给同学们，不管怎么分，拿糖最多的学生都至少拿了 7块糖，最多
分给( )名同学。
答案：（1）5，（2）31， （3）33
6. 一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正
确，得 3 分；回答完全错误或不回答，得 0 分。至少有多少人参加这次测验，才能保证有 3 人
的得分相同？
答案：根据评分标准可知，最高得 50 分，最低得 0 分，在 0 到 50 分之间，1 分，2 分，4 分，
7 分，47 分，49 分不可能出现，共有 51-6=45(种)不同得分。45×2+1=91(人)
答：至少有 91 人参加这次测验，才能保证有 3 人的得分相同。
7. 任意 7 个不同的自然数，其中至少有 2 个数的差是 6 的倍数，这是为什么？请解释说明。
答案：如果有两个自然数除以 6的余数相同，那么这两个自然数的差就是 6的倍数，一个自然
数除以 6的余数可能是 0、1、2、3、4、5。把这 6 种情况看作 6个鸽巢,把任意 7 个不同的自
然数看作 7只鸽子,根据鸽巢原理,必有一个鸽巢中至少有两只鸽子,即至少有两个数除以 6的余
数是相同的,因此这两个数的差一定是 6 的倍数。
8. 六一联欢会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸 2 个球，这些球给人的
手感相同，有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有 3 个人取的球颜色相同。由此可知，
参加取球的至少有多少人？
答案：五种颜色球摸出两个球，会出现红红、红黄、红白、红蓝、红绿、黄黄、黄白、黄蓝、
黄绿、白白、白蓝、白绿、蓝蓝、蓝绿、绿绿共 15 种可能。
15 ×(3-1)+ 1 =31(人)
答：参加取球的至少有 31 人。
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抽屉原理(一)：如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里(n 是非 0 自然数)，那么必有一个抽屉里至
少有 2 个物体；抽屉原理(二)：如果把(kn+m)个物体放在 n 个抽屉里(k，m，n 是非 0 自然数，
m ≤ n)，那么必有一个抽屉里至少有(k+1)个物体。
例：有红、黄、黑、白四种颜色的小球各 10 个，混合放在一个布袋里，一次摸出 5 个小球，
其中，至少有几个小球的颜色是相同的？
对点训练
1. 填空。
(1) 六(1)班有学生 47 人，现在有航模、AI 绘图、舞蹈、足球、书法等 5 个社团可以自由报
名，每人必须且只能参加一个社团，至少有( )人会在同一个社团。
(2) 一个口袋中装有 400 粒珠子，共 5 种颜色，每种颜色各 80 粒。如果你闭上眼睛，至少取
出( )粒珠子才能保证其中 5 粒颜色相同。
2. 选择。
(1)有 7 个山地自行车代表队参加比赛，每个代表队有 5 人，至少抽出( )人，才能保证这
场比赛中一定有 2 人来自同一个代表队。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
(2)箱子里有黑、黄、红三色的筷子各 8 根，想从箱子里摸出 2 双筷子(同一双筷子颜色相同)，
至少要摸出( )根。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 从 1、2、3、4、…、20 这 20 个数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有 2 个数的
差是 11 ？
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4. 体育用品保管室里有许多足球、排球和篮球，六(2)班 50 名同学来保管室拿球，规定每人
至少拿 1 个球，至多拿 2 个球，至少有几名同学所拿的球的情况是一样的？
5. 填空。
(1) 学校体育保管室有 37 个篮球，最多放进( )个篓子里，才能保证至少有 1 个篓子里有 8
个球。
(2) 有 15 名学生到图书角借历史故事书，要保证至少有 1 名学生借到 3 本书，这个图书角至
少有( )本书。
(3) 荣老师买了 200块糖分给同学们，不管怎么分，拿糖最多的学生都至少拿了 7块糖，最多
分给( )名同学。
6. 一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正
确，得 3 分；回答完全错误或不回答，得 0 分。至少有多少人参加这次测验，才能保证有 3 人
的得分相同？
7. 任意 7 个不同的自然数，其中至少有 2 个数的差是 6 的倍数，这是为什么？请解释说明。
8. 六一联欢会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸 2 个球，这些球给人的
手感相同，有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有 3 个人取的球颜色相同。由此可知，
参加取球的至少有多少人？
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