技巧 9 抓不变量
重点梳理
在小学数学题中，常常会出现某些量的增减变化，在这些量变化的同时，与它们相关的另外一
些量却没有变化，在分析数量关系时，这些“不变量”往往能起到重要的作用。
例：如图所示，一只老鼠从 A 点出发在长方形的边上沿着 A→B→C 方向逃跑，同时一只猫也
从 A 点出发，沿着 A→D→C→B 的方向捕捉老鼠，结果猫在边 BC 上的 E 点捉住了老鼠，
11
已知老鼠的速度是猫的 ， 长 9 m，求长方形的周长。
14
解析：本题的不变量是长方形的周长，猫和老鼠同时从 A 点出发，当猫捉住老鼠时，
11
它们所用的时间相同，因为老鼠的速度是猫的 ，所以猫捉住老鼠时，
14
11
老鼠所行的路程是猫所行路程的 。
14
规范解答：猫捉住老鼠时，猫比老鼠多行的路程为 9×2=18(m)
猫行的路程为 18÷(14 11)×14=84(m)
老鼠行的路程为 18÷(14 11)×11=66(m)
长方形的周长为 84+66=150(m)
答：长方形的周长是 150 m。
对点训练
1. 王老师对小李说：“当我像你这么大的时候，你才 1岁，当你像我现在这么大的时候，我已
经 40岁了。”你能帮小李算出王老师现在的年龄吗？
答案：(40－1)÷3＝13(岁) 1＋13×2＝27(岁)
答：王老师现在的年龄是 27岁。
解析：40 岁与 1 岁的差相当于王老师与小李的年龄差的 3 倍。
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技巧 9 抓不变量
2. 在含糖率为 10%，质量为 90 g 的糖水中，加入多少克水能够得到含糖率为 8% 的糖水？
答案：90×10%÷8% 90=22.5(g)
答：加入 22.5 g 水能够得到含糖率为 8% 的糖水。
3. 一辆卡车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，两车在途中距甲地 60 km 处第一次相
遇，然后两车继续前进，卡车到达乙地、摩托车到达甲地后都立即返回，两车又在途中距乙地
30 km 处第二次相遇，甲、乙两地之间的路程是多少千米？
答案：60×3 30=150(km)
答：甲、乙两地之间的路程是 150 km。
解析：从开始出发到第二次相遇，两车共行了 3 个全程，在 1 个全程里卡车行了 60 km，在 3
个全程里卡车行了 60×3=180(km)，这 180 km 正好是 1 个全程多 30 km，由此即可求出全程。
1
4.甲、乙两个车间，甲车间人数是乙车间人数的 ，如果从乙车间调 1人到甲车间，
6
1
那么甲车间人数是乙车间人数的 ，甲、乙两车间原来各有多少人？
5
1 ÷ ( 1 1答案： － )＝42(人)
1＋5 1＋6
1
乙车间：42 ÷ (1＋ )＝36(人)，甲车间：36 ×1＝6(人)
6 6
答：甲车间原来有 6人，乙车间原来有 36人。
解析：根据题意可知甲、乙两车间总人数不变，所以可以把总人数看作单位“1”，原来甲车间
1 1 1 1
人数占总人数的 ＝ ，从乙车间调 1人到甲车间后，甲车间人数相当于总人数的 ＝ ，
1＋6 7 1＋5 6
1 1
而 与 的差正好与 1人相对应，这样可以求出总人数，进而求出各车间原来的人数。
6 7
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技巧 9 抓不变量
5. 六年级同学分成两组做游戏，开始时两组人数的比是 5：3 ，游戏结束时甲组有 14 人被抢
到乙组，这时甲组与乙组人数的比是 1：2，甲组原有多少人？
5 1 5
答案：14 ÷ ( ) × = 30(人)
5+3 1+2 5+3
答：甲组原有 30 人。
5
6.六(1)班有 54人，其中男生人数是全班人数的 ，本学期又转入几名男生，
9
4
这时男生人数是全班人数的 ，本学期转入多少名男生？
7
5 4
答案：54 × (1 ) ÷ (1 ) 54 = 2(名)
9 7
答：本学期转入 2 名男生。
5
解析：抓住女生人数不变，先求出女生有 54 × (1 ) = 24(人)，
9
4
转入男生后女生人数占全班人数的(1 )，
7
4
可以求出转入几名男生后的学生总人数是 24 ÷ (1 ) = 56(人)，
7
从而求出转入的男生人数是 56 54=2(人)。
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重点梳理
在小学数学题中，常常会出现某些量的增减变化，在这些量变化的同时，与它们相关的另外一
些量却没有变化，在分析数量关系时，这些“不变量”往往能起到重要的作用。
例：如图所示，一只老鼠从 A 点出发在长方形的边上沿着 A→B→C 方向逃跑，同时一只猫也
从 A 点出发，沿着 A→D→C→B 的方向捕捉老鼠，结果猫在边 BC 上的 E 点捉住了老鼠，
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已知老鼠的速度是猫的 ， 长 9 m，求长方形的周长。
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对点训练
1. 王老师对小李说：“当我像你这么大的时候，你才 1岁，当你像我现在这么大的时候，我已
经 40岁了。”你能帮小李算出王老师现在的年龄吗？
2. 在含糖率为 10%，质量为 90 g 的糖水中，加入多少克水能够得到含糖率为 8% 的糖水？
3. 一辆卡车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，两车在途中距甲地 60 km 处第一次相
遇，然后两车继续前进，卡车到达乙地、摩托车到达甲地后都立即返回，两车又在途中距乙地
30 km 处第二次相遇，甲、乙两地之间的路程是多少千米？
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技巧 9 抓不变量
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4.甲、乙两个车间，甲车间人数是乙车间人数的 ，如果从乙车间调 1人到甲车间，
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那么甲车间人数是乙车间人数的 ，甲、乙两车间原来各有多少人？
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5. 六年级同学分成两组做游戏，开始时两组人数的比是 5：3 ，游戏结束时甲组有 14 人被抢
到乙组，这时甲组与乙组人数的比是 1：2，甲组原有多少人？
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6.六(1)班有 54人，其中男生人数是全班人数的 ，本学期又转入几名男生，
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这时男生人数是全班人数的 ，本学期转入多少名男生？
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