山西忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期数学拉练3.28（含答案）

高一数学拉练
一、单选题
1. 下列函数中,最小正周期为 ,且在区间 上单调递增的是 ( )
A. B. C.
D.
2. 在 中,点 在线段 上,且 是线段 的中点,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知等边三角形 的边长是 分别是 的中点,则 ()
A. B. C. D.
5. 函数 的部分图象是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知点 为 的外心，且向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 在区间 上是增函数,若函数 在 上的图象与直线 有且仅有一个交点,则 的范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列命题正确的有( )
A. 若 ,则
B. 命题“ ”的否定为“ ”
C. 将函数 的图象向左平移 个单位后,所得图像的解析式为
D. 若 ,则
10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一. 如果以时间为横轴, 音高为纵轴建立平面直角坐标系, 那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点, 若这些点在函数 的图象上,且图象过最高点 , 相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 当 时, 的值域为
C. 在区间 上单调递增
D. 将 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点 对称
11. 如图,在梯形 中, 为线段 的中点, 与 交于点 为线段 上的一个动点,则()
A. B. 向量 与 共线
C. D. 若 ,则 最大值
三、填空题
12. 已知向量 的模相等且夹角为 ,若向量 与向量 垂直,则实数 _____.
13. 已知 是奇函数，则实数 的值是_____.
14. 函数 在区间 上的一个对称中心是 ,则 的值为_____.
四、解答题
15. 设 是不共线的两个非零向量.
(1)若 ，求证: 三点共线；
( 2 )若 与 共线，求实数 的值，并指出 与 反向共线时 的取值.
16. 在 中,角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，
(i) 求 的周长;
(ii) 若 ,求 .
17. 已知向量 ,函数 相邻对称轴之间的距离为 .
(1)求 的解析式;
(2)求函数 单调递增区间和对称轴方程；
(3)将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得 的图象,若关于 的方程 在 上只有一个解,求实数 的取值范围.
18. 如图,有一块扇形草地 ,已知半径为 ,现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用,其中点 在弧 上,且线段 平行于线段
(1)若点 为弧 的一个三等分点，求矩形 的面积 ；
(2)当弧 长为多少时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？
19. 若函数 和 均存在零点,且零点完全相同,则称 和 是一对 “共零函数”,
(1)判断 与 是否为 “共零函数”，并说明理由；
(2)已知 与 是一对“共零函数”，求 的值；
(3)已知 是实数，若函数 与 是一对“共零函数”，函数 与 也是一对 “共零函数”,求 的值.
1. C
对于 ,易知 的最小正周期为 ,但在区间 上单调递减,即 错误;
对于 ,易知 的最小正周期为 ,所以 错误;
对于 的最小正周期为 ,且在区间 上单调递增,即 正确;
对于 ,显然 的最小正周期为 ,即 错误.
故选:
2. A
因为 ,所以 ,
则 .
故选: A.
3. D
A: 为钝角且 ,有一解,故 A 错误;
B: 为锐角, ,则无解,故 B 错误;
C: 为钝角且 ,则无解,故 错误;
D: 为锐角, ,因 ,故有两解, 故 D 正确.
故选: D
4. B
如下图所示:
因为等边三角形 的边长是 分别是 的中点, 则 ,
由 得 ,可得 ,
由平面向量数量积的定义可得 ,
因此,
.
故选: B.
5. D
的定义域为 ,
则 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除 AC，
又 ,排除 ,只有 符合,
故选: D.
6.
由 两边取平方,可得 ,解得
则 .
故选: B.
7. D
已知 ,将其变形可得 ,即 . 根据向量共线定理,可知 与 共线,所以 三点共线.
因为点 为 的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且 三点共线， 所以 为 外接圆的直径,那么 ,即 是直角三角形.
根据投影向量的定义求 的值, ,
可得 ,即 ,
又因为 ,所以 ,因为 ,所以 .
的值为 .
故选: D.
8. D
因为函数 的图象关于原点对称,并且在区间 上是增函数,所以 ,所以 ,
又 ,得 ,
令 ,得 ,
所以 在 上的图象与直线 的第一个交点的横坐标为 ,第二个交点的横坐标为 ,
所以 ,解得 ,
综上所述, .
故选: D.
9. CD
对于选项 : 当 时,有 ,但 与 不一定平行,故选项 错误; 对于选项 : 因为命题“ ”的否定为“ ”,所以选项 错误; 对于选项 : 因为将函数 的图象向左平移 个单位后,所得图像的解析式为 ,所以选项 C 正确;
对于选项 D: 因为 ,所以 ,则
,故选项 D 正确.
故选: CD.
10. AC
由题设,函数 的周期满足: ,解得 , 且 , 即 ,因 ,则 ,
所以 .
对于 ,故 正确;
对于 ,由 可得 ,故 ,故 错误;
对于 ,由 可得 ,结合正弦函数的性质知 在 上单调递增,故 正确;
对于 ,将 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,即得
因 ,即得到的函数图象不关于点 对称,故 错误.
故选: AC
11. ACD
因为在梯形 中, ,
所以 ,
则 .
对于选项 A: 因为 为线段 的中点,
所以 ,即 ,
所以 ,故选项 正确;
对于选项 B:因为 、 、 三点共线，
所以存在唯一的 ,使得 .
又因为 三点共线,
所以存在唯一的 ,使得 ,
又因为 ,
所以 ,解得 ,故 ,
所以 ,
则向量 与 不共线,故选项 B 错误;
对于选项 C:因为 为线段 的中点，
所以 .
由选项 B 可得: ,
所以 ,
所以 ,故选项 正确;
对于选项 D: 因为 为线段 上的一个动点,
所以设 .
又因为 ,
所以 ,则 最大值 ,故选项 D 正确.
故选: ACD.
12. 2
由向量 的模相等且夹角为 ,得 , 由向量 与向量 垂直,得 , 而 ,所以 .
故答案为: 2
13. 2
因为 为奇函数,所以 ,即 , 化简得 ,解得 或 . 检验知 满足题意,故 . 故答案为: 2 .
14.
由题意得, ,
令 ,得 ,
当 时, ,故 的值为 .
故答案为: .
15.(1)由 ，
得 ,
,
则 ,且有公共点 ,所以 三点共线.
(2)由 与 共线，则存在实数 ，使得 ，
即 ,又 是不共线的两个非零向量,
因此 ,解得 或 , 所以实数 的值是 ,当 时, 与 反向共线.
16.
(2) (i) ; (ii)
(1) 解法 1: 因为 ,由正弦定理得
即 ,
因为 ,则 ,故 ;
解法 2: 因为 ,由余弦定理得 , 整理得 ,可得 , 由余弦定理可得 .
(2)(i)因为 ，且 ，则 ，
,所以 ,
因为由余弦定理得 ,
于是 ,
因为 ,则 ,所以 ,
因此 ,于是 的周长 .
(ii) 若 ,则 ,则 ,
由上述分析得 ,
所以
.
17.(1) ,
因为 相邻的对称轴之间的距离为 ,所以 的最小正周期为 ,
所以 ,得 ,所以 .
(2)令 ，
则 ,
所以 的单调递增区间为 ;
令 ,解得 ,
即 的对称轴方程为 .
(3)由(1)知 ，将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 ,
再向左平移 个单位得 ,
令 ,则 ,
所以 ,
因为 在 上只有一个解,
由 的图象可得, 或 ,
所以 的取值范围是
18.
(2)
(1)如图,作 于点 ,交线段 于点 ,连接 ,
,
,
(2)设 则
,即 时, ,
此时 ,弧 长为 .
当弧 长为 时,矩形 的面积 最大,
19. (1)不是；
(2) ；
(3)e.
(1) 由指数函数的单调性知, 在 上单调递增,且存在唯一零点 ,
由余弦函数的性质知, 的零点为 ,
所以 与 不是 “共零函数”.
(2)由 ，则 ，即 ，
由 ,则 ,即 ,
又 与 是一对“共零函数”,则 ,
所以 ,即 ;
(3) 由 ,则 ,
又 与 是一对“共零函数”,则 ,
所以 ,
由 ,则 ,
由 与 也是一对 “共零函数”,则 ,
所以 ,即 ,
由 在 上单调递增,故 ,则 .