四川省遂宁中学校（高新校区）2025-2026学年高一下学期3月学情调研数学试题（含答案）

四川省遂宁中学校(高新校区)遂宁中学高 2028 届高一下 期 3 月学情调研数学
一、单选题
1. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. -3 D. 3
3. 下列函数是奇函数且在区间 上是增函数的是( )
A. B. C. D.
4. 在 中，点 满足 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知平面向量 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知平面向量 . 若 ,求向量 在向量 上的投影向量为( ).
A. B. C. D.
7. 关于函数 的四个结论:
①最大值为 2 ；
② 将 的图象向左平移 个单位长度，向上平移 1 个单位长度，得到 ；
③ 在 单调递增；
④图象的对称中心为 ，其中正确的结论有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
8. 已知函数 ,若对任意的正实数 满足 ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知 ,下列选项中关于 的坐标运算正确的是 ( )
A. B.
C. 若 且 ，则 D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 函数 的图象恒过定点
B. 函数 与 表示同一个函数
C. 函数 的最小值为 3
D. 若关于 的不等式 的解集为 或 ，则
11. 如图，在矩形 内(不包含边界)有一动点 ，满足 ， ， ，若 ,其中 ,则下列命题中正确的选项为( )
A. 为定值
B. 且
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题
12. 已知向量 ，则 _____.
13. 在直角坐标系内,已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单
位圆交于点 ,则:
14. 根据调查统计,某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型 ,其中 为饱和度, 为初始值,此后第 年底新能源汽车的保有量为 (单位: 万辆), 为年增长率. 若该地区 2024 年底的新能源汽车保有量约为 20 万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为10%，饱和度为 1020 万辆，那么 2030 年底该地区新能源汽车的保有量约_____ 万辆. (结果四舍五入保留到整数; 参考数据: )
四、解答题
15. 已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
16. 已知 是平面内两个不共线的非零向量, , ,且 三点共线.
(1)求实数 的值；
(2)若 ,求 ;
(3)已知点 ，在(2)的条件下，若 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 的坐标.
17. 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的单调性；
18. 如图,在 中,点 满足 是线段 的中点,过点 的直线与边 分别交于点 .
(1)若 ，求 和 的值；
(2)若 ,求 的最小值.
19. 已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性并证明;
(2)判断函数 在区间 上的单调性并用定义法证明；
(3)若 都有 成立，求正实数 的取值范围.
1. C
因为 ,所以 .
故选:
2.
因为 ,
所以 ,
故选:
3. A
对于 ,正弦函数为奇函数,且在 内为增函数,又 ,故 正确;
对于 ,不是奇函数,故 错误;
对于 为偶函数,故 错误;
对于 在区间 上是减函数; 故 错误;
故选: A.
4. A
依题意, ,又 ,且 不共线,
所以 .
故选: A
5. C
已知 ,则 ,
,解得 ,
.
,
,
.
故选: C.
6. A
由 ,且 ,所以
,可得 .
所以 , 所以向量 在向量 上的投影向量 .
7. A
对于①, ,
所以 ,①错；
对于 ②，将 的图象向左平移 个单位长度，向上平移 1 个单位长度，
可得到函数 的图象，②错；
对于③，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增,③对；
对于④,由 可得 ,
因此函数 的图象的对称中心为 ,④错.
故选: A.
8. C
构造新函数 ,
因为 ,
所以函数 的图象关于点 对称,
设 是任意两个实数,且 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以函数 是实数集上的增函数,
,
因为函数 是实数集上的增函数,且函数 的图象关于点 对称,
所以 ,
,
因为 是两个正实数
所以 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,即 ,
即当 时, 有最小值 ,
故选:
9.
向量 ,则 , A 错误;
正确;
令 为坐标原点,则 ,点 错误;
正确.
故选: BD
10. AB
对于 ,因 恒过定点 ,故函数 的图象恒过定点 ,故 A 正确;
对于 ,函数 与 的定义域为 ,
且 ,故它们为同一个函数,故 正确;
对于 ,
当且仅当 时取等号,但 方程无解,等号不成立,故 错误;
对于 ,依题意关于 的方程 有两根为 -1 和 2,故必有 解得 所以 ,故 D 错误.
故选: AB
11. BD
如图: 以 为原点, 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系,
设 ,因为 ,所以 ,
由 可得: ,
所以 ,即 ,
对于选项 A: ,
的值随 的变化而变化,所以 不是定值,故选项 不正确;
对于选项 B: 可得 ,所以 ,
故选项 B 正确;
对于选项 ，因为 ，可得 当 时， 的最大值为 ，而不是最小值，故选项 C 不正确；
对于选项 D:
当 时, 最大值为 ,故选项 正确,
故选: BD.
12.
,
.
故答案为: .
13.
因为角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点
由三角函数的定义可得 ,
所以 .
14. 36
根据题意,所给模型中 , 则 2030 年底该省新能源汽车的保有量为 , 因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 2030 年底该地区新能源汽车的保有量约 36 万辆.
故答案为: 36 .
15.
(2)
(1)由 得 ，所以 ，故 ，
所以 .
(2)由已知
又 ,所以 ,
解得 .
16.
(2)
(3)
( 1 ) ，
当 三点共线时,存在实数 ,使得 ,
即 , 即 ,解得 .
(2)由(1)可知 ，
,
.
(3) ，
,
设 ,
,
在平行四边形 中, ,即 ,解得 ,
.
17. (1)
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(1) 由图象可知 ，解得: ，
又由于 ,所以 ,
由图象及五点法作图可知: ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以
(2)由(1)知， ，
因为 ,所以 ,
结合正弦函数的单调性可知:
当 时，即 时， 单调递增，
当 时，即 时， 单调递减，
所以 的单调递增区间为 的单调递减区间为
18.
(2)
(1)因为 ,所以 ,
所以 ,
又 是线段 的中点,所以 ,
又 ,且 不共线,
所以 .
(2)因为 ，
由( 1 )可知， ，所以 ，
因为 三点共线,所以 ,即
又 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为 .
19. (1)偶函数, 证明见解析
(2)单调递减，证明见解析
(3)
(1) 函数 为偶函数,证明如下:
要使函数 有意义,则 解得 ,
故函数 的定义域为 ,关于原点对称.
对任意 ，则 ，
所以 ,
所以函数 为偶函数.
(2)函数 在区间 上单调递减，证明如下:
设 ,设 ,
根据复合函数单调性可知, ,
故 在区间 单调递减.
(3)若 都有 成立，
即 对于 恒成立,即 ,解得 ①,
又 ,则 对于 恒成立,
即 ,也就是 对于 恒成立,
设 ,开口向上,且 ,
则 ,解得 ②,
由①和②得 .