江苏省太湖高级中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题（含答案）

省太湖高中高一下学期第一次阶段性测试 数学
2026.03
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 复数 3-4i 的虚部是( )
A. 4 B. 3 C. -3 D. -4
2. 设 是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能作为基底的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3. 已知向量 ，向量 满足 ， ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知单位向量 满足 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 在 中, ,则 ( )
A. B. C. D. 或
6. 已知 ，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为( )
A. B. C. D. 或
7. 在 ，若 ， ，其面积为 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在 中， ， ， 与 交于 ，设 ，且 ， 则 为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是( )
A. 若 ,则 和 的夹角为
B. 若 ,则 和 的夹角为
C. 若 ,则 和 方向相同
D. 若 ，则 和 的夹角为锐角
10. 点 是 所在平面内的一点，下列说法正确的有( )
A. 若 ,则点 为 的重心
B. 若 ,则点 为 的垂心
C. 若 ,则点 为 的外心
D. 在 中,向量 且 ,则 为等边三角形
11. 的内角: 所对边分别为 ，下列说法中正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ,则 是等腰三角形
C. 若 ,则 是锐角三角形
D. 若 ,则 是等腰直角三角形
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 已知 ，则与 同向的单位向量的坐标为_____.
13. 在 中,已知 ,点 在线段 上,且满足 ，则 的长度为_____.
14. 已知正六边形 的边长为 2, 在梯形 的边上及其内部运动,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知复数 .
(1)若复数 是实数，求实数 的值；
(2)若在复平面内，复数 表示的点在第四象限，求实数 的取值范围.
16. 已知向量 .
(1)若 ，求 ；
(2)若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.
17. 在 中,角 的对边分别为 ,若 .
(1)求边 ；
(2)求 的面积 .
18. 在 中，已知 ，点 是 上一点，满足 ， 点 是边 上一点,满足 .
(1)当 时，
① 求 ；
② 求 ；
(2)是否存在非零实数 ，使得 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19. 在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最小值；
(3)若 是锐角三角形，且 ，求 面积S的取值范围.
1. D
解: 复数 的虚部是 -4 .
故选: D.
2. C
是平面内所有向量的一组基底,所以 与 不共线.
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使 ,
所以 ,无解,所以 与 不共线,所以能作为基底.
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使 ,所以 ,无解,
所以 与 不共线,所以能作为基底.
对于 ,因为 ,所以 和 共线,
所以不能作为平面的一组基底.
对于 ,假设 与 共线,则存在实数 ,使 ,
所以 ,无解, 与 不共线,所以能作为基底.
3. C
设 ,则 ,
由 ,得 ,
又 ,得 ,即 ,
联立 ,解得 .
.
故选: C.
4. A
由题意, ,
则 在 上的投影向量为 .
5. D
由正弦定理 ,可得 , 又 ,故 或 .
6. D
由题意得: 或 ,设点 ,
所以 ,
当 时,所以 ,解得 ,所以 ,
当 时,所以 ,解得 ,所以 .
7. D
由题意知, ,所以 . 由余弦定理知, ,所以 . 由正弦定理得， ，则 ， ， . 所以 .
8.
因为 ,可得点 在 上,且 ,所以 ,
则 ,
又因为点 在 上,设 ,可得 ,
因为 ,可得点 在 上,且 ,所以 ,
则 ,
又因为点 在 上,设 ,
可得 ,
所以 ,可得 ,解得 ,
将 代入 ,可得 ,
因为 ,所以 ,即 为 .
9.
构成等边三角形, 正确;
,以向量 为邻边的平行四边形中,
由 和对角线 构成的三角形是等边三角形,
由向量加法的平行四边形法则可知, 和 的夹角为 正确;
因为 ,
所以 ,又 ,
故 ,
所以 ,则 与 同向, 正确;
若 ,则 和 的夹角为锐角或者 0, D 错误.
10. AD
选项 A: 设 的中点为 .
根据向量的平行四边形法则可知, .
又 ,则 ,所以 三点共线,
所以点 在 边的中线上.
同理可得,点 也在 边、 边的中线上,所以点 为 的重心,故 正确.
选项 B: ,
所以 ,即点 在 边的垂直平分线上.
同理可得,点 在 边的垂直平分线上.
所以点 为 的外心，故 B 错误.
选项 C: 因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
同理由 可得 ,由 可得 .
所以点 为 的垂心，故 C 错误.
选项 D: 设 分别是向量 方向上的单位向量,
结合向量的平行四边形法则可知, 在 的角平分线上.
又 ,即 ,所以 的角平分线垂直于 ,
所以 ，所以 为等腰三角形.
又 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 为等边三角形，故 D 正确.
11. AD
对于 ,因为在 中，由正弦定理可得 等价于 ，又因三角形中大边对大角,故 等价于 ,选项 正确;
对于 ,因为 ,所以 或 ,即 或 是等腰三角形或直角三角形, 选项 B 错误;
对于 ,由 可以确定 是锐角,但不能确定 和 的大小,所以不能判断 是锐角三角形，选项 C 错误；
对于 ,由正弦定理 ,结合条件 ,
得 ,
,又 ,
所以 ,所以 是等腰直角三角形,选项 D 正确.
12.
由向量 ,可得 , 则与 同向的单位向量为 .
13. 7
如图所示:
由余弦定理可得
,
所以 ,又因为 ,
所以 ,在 中, ,
在 中，由余弦定理可得: ，
所以 .
14.
取 中点 中点 ,
由 在梯形 的边上及其内部运动,
易得 ,
即 ,故 .
15. (1) 7 或 -2 ;
(2) .
(1)因为复数 是实数，
所以 ,
解得 或 ;
所以实数 的值为 7 或 -2 ;
(2)因为复数 表示的点在第四象限，
所以 ,
即 ,
解得 或 ,
所以实数 的取值范围为 .
16.
(2)
(1)已知 ,则
又 ,所以 ,即 ,解得 .
所以 ,则 ,
所以 .
(2)因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，则 .
则 ,
设 与 夹角为 ,则 .
所以 与 夹角的余弦值为 .
17. 或
(2) 或
(1)由余弦定理得 ,
整理得 ,解得 .
所以边 的值为 或 .
(2)当 时， ；
当 时, .
所以 的面积为 或 .
18.(1) ，
① 当 时，点 是 的中点，
所以 ，
所以
② 当 时，点 是边 的中点，
所以 ，
(2)假设存在非零实数 ，使得 ，
由 ,得 ,
所以 .
又 ,所以 ,
所以
,
因为 ,
所以 ,无解,故不存在非零实数 ,使得 .
19.
(2)12
(3)
【分析】(1) 由余弦定理计算即可求解;
(2)由题意可得 ，根据基本不等式计算即可求解；
(3)由正弦定理将 化为关于角 的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.
(1)因为 ,所以 ,
由余弦定理可得 ,
因为 ,所以 ;
(2)因为 ，
所以 ，
由基本不等式可知 ,当且仅当 时等号成立,
所以 即 ,
所以当 时， 周长有最小值为 12 ；
(3)由正弦定理可得 ，所以 ， ，
因为 ,所以 ,
则
,
因为 是锐角三角形,有 ,即 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,即 面积 的取值范围是 .