江西九江市第一中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西九江市第一中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 272.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
九江一中 2025-2026 学年度下学期第一次月考试题 高一数学
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 与 角终边相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
2. 的值是 ( )
A. B.
C. D.
3. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮 (如图所示), 大轮有 20 个齿, 小轮有 12 个齿, 大轮每分钟转 6 圈, 若小轮的半径为 ,则小轮每秒转过的弧长是( )
A. B. C. D.
4. 函数 在 上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D. -2
6. 已知 ,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上既有最大值 1 又有最小值 -1,则关于实数 的取值，以下不可能的是( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
8. 已知函数 . 若函数 有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，共 18 分.
9. 设函数 ，则()
A. 的最小正周期为
B.
C. 图像的对称中心为
D. 不等式 的解集为
10. 以下四种变换方式,能将函数 的图象变换为 的图象的是 ( )
A. 先向左平移 个单位长度,再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍
B. 先向左平移 个单位长度,再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍
C. 先将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度
D. 先将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 当 在区间 上的最小值为 -1 时, 的取值范围是
B. 当 在区间 上没有最小值时, 的取值范围是
C. 若 ,使得 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是
D. 若 ,使得 ,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分.
12. 函数 的单调递增区间是_____.
13. 已知函数 是偶函数,则 _____.
14. 设 ,若对任意 ,存在 ,使得 . 则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 已知
(1)若角 的终边过点 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
16. 已知 .
(1)求函数 的对称轴和对称中心；
( 2 )当 时，求函数 的单调递增区间；
(3)若函数 在区间 的值域为 ，求实数 的取值范围.
17. 对于函数 ,若在定义域内方程 有解,则称 为“倒戈函数”.
( 1 )若函数 ，试判断 是否为倒戈函数，并说明理由.
(2)已知 .
(i) 若 ,试证明: ;
(ii) 若 ,且 是定义在 上的倒戈函数,求实数 的取值范围.
18. 如图, 一个半径为 5 米的筒车按逆时针每分钟转 2 圈, 筒车的轴心 距离水面的高度为
2.5 米. 设筒车上的某个盛水筒 到水面的高度为 (单位: ) (在水面下 为负数),若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间,则 与时间 (单位: ) 之间的关系为
(1)在筒车转动的一周内，求点 距离水面高度 关于时间 的函数解析式；
(2)5 分钟内,盛水筒 在水面下的时间累计为多少秒
(3)若盛水筒 在 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
19. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变,得到函数 的图象,求 的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，求实数 的值.
1. A
与 角终边相同的角的集合是 . 故 A 正确; 表示终边在直线 上的角的集合,故 错误; 表示终边与 的终边重合的角的集合,故 错误; 表示终边在直线 上的角的集合,故 D 错误.
2. A
,
.
故选: A
3. B
由大轮有 20 个齿,小轮有 12 个齿,大轮每分钟转 6 圈,
得小轮每分钟转的圈数为 ,因此小轮每秒钟转的弧度数为 ,
所以小轮每秒转过的弧长是 .
故选: B.
4. C
,所以 是偶函数, 的图象关于 轴对称,排除 . ,排除 ,所以只有 正确.
故选: C.
5. A
由 ,可得 ,
则 .
6. B
令 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以 .
7. D
由题意可得函数的最小正周期为 ,
最大值点满足 ,解得 ,
最小值点满足 ,解得 ,
因为函数 在区间 上既有最大值 1 又有最小值 -1,
且区间的长度为 8 ,
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,当 时,最大值点为 2038,
显然, [2027,2035] 内只包含最小值点, 不包含最大值点, 不满足要求.
故选: D
8. C
函数 ,由 ,得 ,
令函数 ,由函数 有 3 个不同的零点,
得方程 有 3 个不同的解,即直线 与函数 的图象有 3 个交点,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减,
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象,如图:
观察图象,当且仅当 时,直线 与函数 的图象有 3 个交点, 所以 的取值范围是 .
9. BCD
选项 A: 最小正周期为 错误.
选项 B: 正确.
选项 C: 正切函数 的对称中心为 .
令 ,解得 .
所以 的对称中心为 ,
又 图像可由 向上平移 1 个单位长度得到,
所以 图像的对称中心为 , C 正确.
选项 D: ,所以 .
结合正切函数 的性质可得, .
解得 ,
所以不等式 的解集为 , D 正确.
10. AD
先相位变换时: 因为 的解析式中对应于 的 值为 值为 ,
所以将函数 的图象先向左平移 个单位长度得到 的图象,
再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍得到 的图象;
先周期变换时: 因为 ,
所以先将函数 的图象上每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度.
11. ABD
对于 A,由 ,得 ,因为 在区间 上的最小值为 -1 ,
所以 或 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,因为 在区间 上没有最小值,
所以 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 的最小正周期为 ,因为 在区间 上的值域为
所以 ,解得 的取值范围是 ,故 不正确;
对于 ,由 ,得 ,若 ,则 , 解得 ,
所以若 ,使得 ,则 的取值范围是 ,故 正确故选: ABD.
12.
令 , 所以函数 的单调递增区间是 .
13. 2
因为 为偶函数,所以 ,
,
即 ,
化简可得 对于任意 恒成立,
所以 ,所以 .
14.
命题“对任意 ,存在 ,使得 ”,
的否定为: 存在 ,对任意 ,
解不等式 ,得 ,
于是存在 ,
则两区间长度需要满足 ,解得 ,
因此对任意 ,存在 ,使得 成立时, ,
又 ,则 ,所以 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1)
(2)
( 1 ) .
因为角 的终边过点 ,则 ,
所以 .
( 2 )由 ，所以 ， 所以 ,
又 且 ,所以 ,
故 .
由 ，解得 ，
所以 .
16. (1) 函数 的对称轴为直线 ,对称中心为 .
(2)
(3)
(1)令 ,得 .
所以函数 的对称轴为直线 ;
令 ,得 .
所以函数 的对称中心为 .
(2)令 ，解得 .
又 ,所以函数 的单调递增区间为 .
(3)因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上的值域为 ,
所以 在区间 上的值域为 ,
在区间 上的值域为 ,
所以结合正弦函数的图象可得 ,解得 .
所以实数 的取值范围为 .
17.(1) 是“倒戈函数”.
理由如下:
函数 的定义域为 ,
由方程 ,
解得 ,即在定义域内方程 有解
所以 为 “倒戈函数”.
(2)(i)因
则 ,
即 .
(ii) 因为 是定义在 上的“倒戈函数”,
所以 在 上有解,
即 在 上有解,
方程可化为 ,即 ,
对 ,故要使方程有解,需使 ,
即 ,又 ,当且仅当 时等号成立,
故实数 的取值范围为 .
18. (1) .
(2)100 秒
(3)20
(1) 由图可知, 的最大值为 的最小值为 ,
则 ,
因为筒车按逆时针每分钟转 2 圈,故 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 .
(2)由(1)得 ，
令 ,则 ,得 ,
则 ,
解得 ,
5 分钟 秒,则令 , ,得 , 故 5 分钟内,盛水筒 在水面下的时间累计为 秒.
(3)不妨设 ，由题意得 ， 故 ,
① ，解得 ，
故 ,当且仅当 时,等号成立,
② ，解得
显然当 时, 取得最小值,最小值为 ,
综上, 的最小值为 20 .
19.(1)解: 根据表中的数据可得 ,解得 , 令表格空格从左到右依次为 ,故 ,所以 , 又 ，所以完表如下: 所以 .
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(2)解:将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象的解析式为:
再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,得到函数 的图象,故
此时 ,
令 ,则 ,故 .
当 时, 为增函数,故 为减函数;
当 时, 为减函数,故 为增函数.
所以 的增区间为 .
(3)解: ， 的周期为 ，
当 时,令 ,考虑方程 的根情况,
因为 ,故 在 必有两个不同的实数根 ,
因为 在 有奇数个零点,故 .
若 ,则方程 在 共有 4 个不同的实数根,在 有 0 个实数根或 2 个实数根,
故 在 有 个根或 个根,与 有奇数个零点矛盾, 舍去.
若 ,则 在 共有 2 个不同的实数根,在 有 0 个实数根或 2 个实数根,
故 在 有 个根或 ,与 有奇数个零点矛盾, 舍去.
同理 也不成立,所以 或 , 若 ,则 ,此时 的根为 ,
方程 在 共有 3 个不同的实数根,而在 上, 有两个不同的根, 无解,
所以 在 有 个根,与 有奇数个零点矛盾,舍去; 若 ,则 ,方程 的根 ,
方程 在 共有 3 个不同的实数根,而在 上, 无解, 有一个根,
所以 在 有 个根,符合题意.
综上, 在 共有 3031 个不同的零点.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 与 角终边相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
2. 的值是 ( )
A. B.
C. D.
3. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮 (如图所示), 大轮有 20 个齿, 小轮有 12 个齿, 大轮每分钟转 6 圈, 若小轮的半径为 ,则小轮每秒转过的弧长是( )
A. B. C. D.
4. 函数 在 上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D. -2
6. 已知 ,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上既有最大值 1 又有最小值 -1,则关于实数 的取值，以下不可能的是( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
8. 已知函数 . 若函数 有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，共 18 分.
9. 设函数 ，则()
A. 的最小正周期为
B.
C. 图像的对称中心为
D. 不等式 的解集为
10. 以下四种变换方式,能将函数 的图象变换为 的图象的是 ( )
A. 先向左平移 个单位长度,再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍
B. 先向左平移 个单位长度,再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍
C. 先将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度
D. 先将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 当 在区间 上的最小值为 -1 时, 的取值范围是
B. 当 在区间 上没有最小值时, 的取值范围是
C. 若 ,使得 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是
D. 若 ,使得 ,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分.
12. 函数 的单调递增区间是_____.
13. 已知函数 是偶函数,则 _____.
14. 设 ,若对任意 ,存在 ,使得 . 则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 已知
(1)若角 的终边过点 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
16. 已知 .
(1)求函数 的对称轴和对称中心；
( 2 )当 时，求函数 的单调递增区间；
(3)若函数 在区间 的值域为 ，求实数 的取值范围.
17. 对于函数 ,若在定义域内方程 有解,则称 为“倒戈函数”.
( 1 )若函数 ，试判断 是否为倒戈函数，并说明理由.
(2)已知 .
(i) 若 ,试证明: ;
(ii) 若 ,且 是定义在 上的倒戈函数,求实数 的取值范围.
18. 如图, 一个半径为 5 米的筒车按逆时针每分钟转 2 圈, 筒车的轴心 距离水面的高度为
2.5 米. 设筒车上的某个盛水筒 到水面的高度为 (单位: ) (在水面下 为负数),若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间,则 与时间 (单位: ) 之间的关系为
(1)在筒车转动的一周内，求点 距离水面高度 关于时间 的函数解析式；
(2)5 分钟内,盛水筒 在水面下的时间累计为多少秒
(3)若盛水筒 在 时刻距离水面的高度相等，求 的最小值.
19. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变,得到函数 的图象,求 的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，求实数 的值.
1. A
与 角终边相同的角的集合是 . 故 A 正确; 表示终边在直线 上的角的集合,故 错误; 表示终边与 的终边重合的角的集合,故 错误; 表示终边在直线 上的角的集合,故 D 错误.
2. A
,
.
故选: A
3. B
由大轮有 20 个齿,小轮有 12 个齿,大轮每分钟转 6 圈,
得小轮每分钟转的圈数为 ,因此小轮每秒钟转的弧度数为 ,
所以小轮每秒转过的弧长是 .
故选: B.
4. C
,所以 是偶函数, 的图象关于 轴对称,排除 . ,排除 ,所以只有 正确.
故选: C.
5. A
由 ,可得 ,
则 .
6. B
令 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以 .
7. D
由题意可得函数的最小正周期为 ,
最大值点满足 ,解得 ,
最小值点满足 ,解得 ,
因为函数 在区间 上既有最大值 1 又有最小值 -1,
且区间的长度为 8 ,
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,
由于 ,满足要求;
对于 ,若 ,当 时,最大值点为 ,
最小值点为 ,当 时,最大值点为 2038,
显然, [2027,2035] 内只包含最小值点, 不包含最大值点, 不满足要求.
故选: D
8. C
函数 ,由 ,得 ,
令函数 ,由函数 有 3 个不同的零点,
得方程 有 3 个不同的解,即直线 与函数 的图象有 3 个交点,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减,
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象,如图:
观察图象,当且仅当 时,直线 与函数 的图象有 3 个交点, 所以 的取值范围是 .
9. BCD
选项 A: 最小正周期为 错误.
选项 B: 正确.
选项 C: 正切函数 的对称中心为 .
令 ,解得 .
所以 的对称中心为 ,
又 图像可由 向上平移 1 个单位长度得到,
所以 图像的对称中心为 , C 正确.
选项 D: ,所以 .
结合正切函数 的性质可得, .
解得 ,
所以不等式 的解集为 , D 正确.
10. AD
先相位变换时: 因为 的解析式中对应于 的 值为 值为 ,
所以将函数 的图象先向左平移 个单位长度得到 的图象,
再将每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍得到 的图象;
先周期变换时: 因为 ,
所以先将函数 的图象上每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度.
11. ABD
对于 A,由 ,得 ,因为 在区间 上的最小值为 -1 ,
所以 或 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,因为 在区间 上没有最小值,
所以 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故 正确;
对于 的最小正周期为 ,因为 在区间 上的值域为
所以 ,解得 的取值范围是 ,故 不正确;
对于 ,由 ,得 ,若 ,则 , 解得 ,
所以若 ,使得 ,则 的取值范围是 ,故 正确故选: ABD.
12.
令 , 所以函数 的单调递增区间是 .
13. 2
因为 为偶函数,所以 ,
,
即 ,
化简可得 对于任意 恒成立,
所以 ,所以 .
14.
命题“对任意 ,存在 ,使得 ”,
的否定为: 存在 ,对任意 ,
解不等式 ,得 ,
于是存在 ,
则两区间长度需要满足 ,解得 ,
因此对任意 ,存在 ,使得 成立时, ,
又 ,则 ,所以 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1)
(2)
( 1 ) .
因为角 的终边过点 ,则 ,
所以 .
( 2 )由 ，所以 ， 所以 ,
又 且 ,所以 ,
故 .
由 ，解得 ，
所以 .
16. (1) 函数 的对称轴为直线 ,对称中心为 .
(2)
(3)
(1)令 ,得 .
所以函数 的对称轴为直线 ;
令 ,得 .
所以函数 的对称中心为 .
(2)令 ，解得 .
又 ,所以函数 的单调递增区间为 .
(3)因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上的值域为 ,
所以 在区间 上的值域为 ,
在区间 上的值域为 ,
所以结合正弦函数的图象可得 ,解得 .
所以实数 的取值范围为 .
17.(1) 是“倒戈函数”.
理由如下:
函数 的定义域为 ,
由方程 ,
解得 ,即在定义域内方程 有解
所以 为 “倒戈函数”.
(2)(i)因
则 ,
即 .
(ii) 因为 是定义在 上的“倒戈函数”,
所以 在 上有解,
即 在 上有解,
方程可化为 ,即 ,
对 ,故要使方程有解,需使 ,
即 ,又 ,当且仅当 时等号成立,
故实数 的取值范围为 .
18. (1) .
(2)100 秒
(3)20
(1) 由图可知, 的最大值为 的最小值为 ,
则 ,
因为筒车按逆时针每分钟转 2 圈,故 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 .
(2)由(1)得 ，
令 ,则 ,得 ,
则 ,
解得 ,
5 分钟 秒,则令 , ,得 , 故 5 分钟内,盛水筒 在水面下的时间累计为 秒.
(3)不妨设 ，由题意得 ， 故 ,
① ，解得 ，
故 ,当且仅当 时,等号成立,
② ，解得
显然当 时, 取得最小值,最小值为 ,
综上, 的最小值为 20 .
19.(1)解: 根据表中的数据可得 ,解得 , 令表格空格从左到右依次为 ,故 ,所以 , 又 ，所以完表如下: 所以 .
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(2)解:将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象的解析式为:
再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,得到函数 的图象,故
此时 ,
令 ,则 ,故 .
当 时, 为增函数,故 为减函数;
当 时, 为减函数,故 为增函数.
所以 的增区间为 .
(3)解: ， 的周期为 ，
当 时,令 ,考虑方程 的根情况,
因为 ,故 在 必有两个不同的实数根 ,
因为 在 有奇数个零点,故 .
若 ,则方程 在 共有 4 个不同的实数根,在 有 0 个实数根或 2 个实数根,
故 在 有 个根或 个根,与 有奇数个零点矛盾, 舍去.
若 ,则 在 共有 2 个不同的实数根,在 有 0 个实数根或 2 个实数根,
故 在 有 个根或 ,与 有奇数个零点矛盾, 舍去.
同理 也不成立,所以 或 , 若 ,则 ,此时 的根为 ,
方程 在 共有 3 个不同的实数根,而在 上, 有两个不同的根, 无解,
所以 在 有 个根,与 有奇数个零点矛盾,舍去; 若 ,则 ,方程 的根 ,
方程 在 共有 3 个不同的实数根,而在 上, 无解, 有一个根,
所以 在 有 个根,符合题意.
综上, 在 共有 3031 个不同的零点.
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