福建龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

连城一中 2025—2026 学年下期高一年级月考 1 数学试卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟
一、选择题: 共 8 小题, 共 40 分.每小题只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ，则 的坐标为( ).
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 4
3. 已知 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为( )
A. B.
C. D.
5. 设 的面积为 ,角 所对的边分别为 ,且 ,若 , 则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6. 已知 为 所在平面内的一点， ，则 ()
A. B. C. D.
7. 如图,某区域地面有四个 基站,分别为 . 已知 两个基站建在河的南岸,距离为 ,基站 在河的北岸,测得 , ,则 两个基站的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 ,且 . 已知向量 与 所成的角为 ,且 对任意实数 恒成立,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 4
三、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对的得 6 分，部 分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 设 是平面内的一组基底向量,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10. 已知复数 ,下列说法正确的是 ( )
A. B. 若 ,则
C. D. 若 ，则 为纯虚数
11. 在斜三角形 中, ,则( )
A. 角 为钝角 B.
C. 若 ,则 D. 的最大值为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 是虚数单位，则 _____.
13. 中， 为边 的中线， ， ， ，则中线 的长为_____.
14. 如图，在边长为 1 的正方形 中， 是以 为圆心， 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则 的取值范围是_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分)
15. 已知向量 ，且 .
(1) 求向量 ;
(2)若 ,求向量 的夹角的正弦值.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的面积；
(2)求边长 及 的值.
17. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)点 为线段 的中点，且 ，求 的值.
18. 我们把由平面内夹角成 的两条数轴 构成的坐标系称为“广义坐标系”. 如图 1, 分别为 正方向上的单位向量. 若向量 ,则把实数对 叫作向量 的“广义坐标”，记 . 已知向量 的“广义坐标”分别为 .
图1
图2
(1)求 的“广义坐标”；
(2)求向量 与 的夹角的余弦值；
(3)以 为原点，建立如图 2 所示的平面直角坐标系 ，若向量 在平面直角坐标系中的坐标为 ,求向量 的“广义坐标”.
19. 在 中,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围；
(3)若 ，且 为锐角三角形，角 与角 的内角平分线交于点 ，求 面积
的取值范围.
1. C
因为 ,
所以 .
故选: C.
2. A
由 ,可得 ,
所以 .
故选: A
3.
因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 为单位向量,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
故选: B.
4. B
因为 ,则 ,
所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
故选: B.
5. D
因为 ,所以 ,
则 ,因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
由 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形.
故选: D.
6. C
如图所示,
由题意得 .
故选: C.
7. A
在 中， ，
由正弦定理 ，即 ，得 .
在 中, ,故 ,
由正弦定理 ,即 ,得 .
在 中,由余弦定理 ,
代入得 ,故 .
故选: A
8. B
平方去绝对值号,由 ,则 , 根据向量 与 的条件可得 ,
化简可得 ,
令 ,由于函数开口向上,所以需要满足
,所以 .
观察所求式子内部,两者相减可将 约掉,所以可用向量的三角不等式求解,
即 ,
又 ,
则 的最小值为 .
9.
对于 ,假设 ,则 使得 , 因为 不共线得 且 ，则 无解，
故 不共线可作为一组基底;
对于 ,因为 ,所以 ,不能作为基底;
对于 ,因为 ,所以 ,不能作为基底;
对于 ,假设 ,则 使得 ,则因为 不共线得 且 ，则 无解，故 和 不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10. ACD
设 ,
对于 ,由 ,则 ,
而 ,则 ,故 正确;
对于 ,举例 ,满足 ,但 无法比较大小,故 错误;
对于 ,由复数模的运算性质可知, ,故 正确;
对于 ,由 ,则 ,而 ,
可得 ,则 ,则 为纯虚数,故 正确.
故选: ACD
11. ACD
对于 ,由 可得 ,
因 ,则 ,则 ,或 ,
即 或 ,
因 为斜三角形，故 ，即角 为钝角，故 A 正确；
对于 ,由 项已得角 为钝角,则 ,因 ,故 ,即 错误; 对于 ,由正弦定理, ,又 ,
代入解得 ，故 正确；
对于 ,由上分析可得: ,
故
,设 ,
又 ,则 ,则 ,
则 ,且 ,
则 ,
故当 时, 的最大值为 ,故 正确.
故选: ACD.
12. 0
根据虚数单位 的幂次的运算性质得:
故
故答案为: 0 .
13.
如图,以 边 为邻边做平行四边形 ，
因 为边 的中线,则由平行四边形性质知 共线,且 ,
在平行四边形 中, ,
在 中，由余弦定理得:
,
所以 ， 故答案为:
14.
如图,取 的中点 , 而 ,所以 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1) 因为 ,且 ,
所以 .
解得 ,
所以 ;
(2)设向量 的夹角的大小为 .
由题意可得, ,
所以 ,得 .
16.
(2)
(1)由 ，且 ，
则 ，
所以 .
(2)由 ，
则 ,
又 ,则 .
17.
(2)1
(1)由 得 ，
所以 ,
因为 是锐角,所以 ;
(2) 点 是 的中点,且 ,
,平方得 ,
即 ①,
由余弦定理: ,
即 ②,
联立①②解得:
的值为 1 .
18.
(2)
(3)
(1)由题意得 ,
故 ,
故 的“广义坐标”为 ；
(2)由题意得 ，
故
,
,故 ,
,故 ,
所以向量 与 的夹角的余弦值为 ;
(3)在平面直角坐标系中， ，
设 ,向量 在平面直角坐标系中的坐标为 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
故向量 的“广义坐标”为 .
19. ;
(2) ;
(3) .
(1)由已知及正弦边角关系得 ,
因为 ,所以 ,而 ,
所以 ,
所以 ,故 ,即 ;
(2)方法一:由余弦定理 ,得 ,即
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,即 ,
由三角形三边关系知 ,所以 ,即 ,
所以 周长的取值范围为 ；
方法二: 由正弦定理 ,得 ,
所以
,
因为 ,所以 ,即 ,即 ,
所以 周长的取值范围为 ；
(3)因为角 与角 的角平分线交于点 ，所以 ，
设 ，
在 中,由正弦定理 ,
所以 ,即 ,
所以
,
因为 为锐角三角形,所以 ,即 ,
所以 ，即 ，
则 ,
所以 面积的取值范围为 .