浙江省义乌中学2025-2026学年下学期高一年级第一次阶段性考试数学试题（含答案）

2025 学年下学期高一年级第一次阶段性考试数学试题
一. 单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数 ，则 等于( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则())
A. B. C. D.
3. 如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为( )
A. 12 B. 24 C. D.
4. 已知 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ”是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 记 的内角 的对边分别是 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的高为 2,底面半径为 ,过圆锥任意两条母线所作的截面中,截面面积的最大值为( )
A. 4 B. 6
C. D.
7. 已知函数 是定义在区间 上的偶函数 ,且 ,则 ( )
A. 1 B. 5 C. 9 D. 10
8. 已知正四棱台 中 ，棱台体积为 ，则该四棱台的外接球表面积为( )
A. B.
C. D.
二. 多选题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列说法正确的是( )
A. 复数 的模为 B. 复数 的虚部为 -1
C. 若 ,则 D. 若复数 满足 ,则
10. 下列等式不成立的有( )
A. B.
C. D.
11. 在长方体 中,底面 是边长为 4 的正方形, 在棱 上,且 ,则 ( )
A.
B. 过点 的平面截该长方体,所得截面周长为
C. 以点 为球心， 为半径作一个球，则球面与底面 的交线长为
D. 三棱锥 外接球的体积是
三.填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知一个圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,则这个圆锥的侧面积为_____.
13. 若复数 满足 ，则 的最小值是_____.
14. 在 中, 在 上, 与 的夹角为 , 则 的最大值为_____.
四.解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.)
15. 已知函数 的最小正周期为
(1)求 及 ；
(2)求 在区间 上的值域.
16. 如图,已知圆台 的轴截面为等腰梯形 ,满足 ,点 为 (不包括端点) 上一点, 为线段 的中点,
(1)证明: 平面 ；
(2)若圆台 的体积为 ，求圆台 的表面积.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的值域；
(2)若方程 有实根，求实数 的取值范围；
(3)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ， 求实数 的取值范围.
18. 在 中，角 的对边分别是 ， 的面积为S，且
(1)求角 的大小；
(2)在 中， ，求 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，如图所示， 为 外一点， ， ， 求 外接圆半径 的长.
19. 欧拉 (1707-1783), 他是数学史上最多产的数学家之一, 他发现并证明了欧拉公式 ,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数 ,圆周率 ,两个单位——虚数单位 和自然数单位 1,以及被称为人类伟大发现之一的0 ，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式: ,解决以下问题:
(1)将复数 表示成 ( ， 为虚数单位)的形式；
(2)求 的最大值；
(3)若 ,则 ,这里 ,称 为 1 的一个 次单位根,简称单位根. 类比立方差公式,我们可以获得 ,复数 ,求 的值.
1. B
因为 ,所以 .
故选: B
2. D
向量 ,
对于 错误;
对于 错误;
对于 ,由于 ,即 与 不共线, 错误;
对于 ,因此 正确.
故选: D
3. A
由斜二测画法的规则,可知原图 是直角三角形,
且 ,
故原图 的面积为: ,
故选: A.
4. A
因为 ,若 ,则由线面平行的性质可知 ,故 “ ” 是 “ ” 的充分条件,
设 ,显然 ,从而有 成立,但此时 不平行.
故选: A.
5. B
因为 ,所以 .
故选: B.
6. B
如图, 为母线, 为底面圆心,其中 为轴截面三角形,
则 ,则 ,
则在 中利用余弦定理可得， ，
则 为钝角，
设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形 的顶角 ，则 ，
则截面三角形的面积为 ，
则当 ,即 时,截面三角形的面积最大,最大值为 6 .
故选: B
7. B
因为 是偶函数,所以 即 ,解得: 或 .
又 ,所以 ,所以函数 .
所以 .
8. B
如图:
因为正四棱台上下底面均为正方形,上底面边长 ,对角线 ,外接圆半径 .
下底面边长 ，对角线 ，外接圆半径 .
设正四棱台的高为 ,则体积为 ,解得 .
过正四棱台的对角面作截面,设外接球的球心为 ,截面图如下:
设 ,则 ,所以 ,
,所以 ,
即 ,解得 ,所以外接球的半径为 , 所以正四棱台的外接球的表面积 .
9. AB
对于 选项， ，故 正确，
对于 选项， 的虚部为 -1 ，故 正确，
对于 选项,因为 ,均为虚数,虚数不能比较大小,故 错误,
对于 选项,令 ,则 ,故 错误,
故选: AB.
10. ABD
对于 ,故 不成立; 对于 ,故 不成立; 对于 ,故 成立; 对于 ,故 不成立.
11. ABCD
设 ,在直角 中,根据勾股定理得 , 在直角 中,根据勾股定理得 ,解得 ,故 ,故 A 正确,
延长 相交于点 ,连接 交 于点 ,则截面周长为 , 在 中，利用三角形相似可得 ，在 中，利用三角形相似可得 ， ，又底面 是边长为 4 的正方形，则 ， 故截面周长为 ，故 B 正确，
点 到底面 的距离为 1,球的半径为 ,设球面与底面 的交线圆为圆 , 根据勾股定理可得圆 的半径 ,可得交线长为 ,故 正确, 在 中, ,则 的外接圆半径 ,显然 平面 ,
因此三棱锥 的外接球的球心 在线段 的中垂线上，球心 到平面 的距离为
则球半径 ,故三棱锥 的外接球体积为 , 故 D 正确.
12.
依题意知母线长 ,底面半径 ,由圆锥的侧面积公式得
故答案为:
13. 1
设复数 对应的点为 ,
由 可知点 的轨迹是以 为圆心,1 为半径的圆,如图.
表示点 到原点的距离,
则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径.
由于圆心 到原点的距离为 2,则 的最小值为 .
故答案为: 1
14.
因为 ,
且 ,
则 ,
又因为 ,且 与 所成的夹角为 ,
则 ，
可得 ,
当且仅当 时, 的最大值为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) ,
因为函数 的最小正周期为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
(2)由 可得 ，
由正弦函数的单调性可得 ,
所以 在区间 上的值域为 .
16.(1)
连接 ,
因为四边形 为等腰梯形,
所以 ，
因为 为 中点，
所以 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 为 的中点，
所以 为三角形 的中位线，
所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 .
(2)设上底面圆半径为 ,则 ,
上底面圆半径为 ,则 ,
设圆台高为 ,体积为 ,
则 ,
解得 ,
在截面等腰梯形 中,过 作 的垂线,垂足为 ,如图,
则 ,
所以圆台母线长 ,
所以圆台 的表面积 .
17.
(2)
(3)
(1) 当 时, ,
令 ,因为 ,所以 ,
所以可得一个二次函数 ,所以当 ,函数 单调递增, 当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值 ，所以 .
所以 时, 在区间 上的值域为 .
(2)由(1)知当令 ，
则 ,即 有实数根,此时实数根大于零,
所以可得 ,解得: .
所以方程 有实根,实数 的取值范围为 .
(3)由题意得 ,
若对任意的 ,总存在 ,使得 ,可得 ,
由函数 可得当 时单调递减,当 时单调递增,函数 为增函数,
所以由复合函数定义可得函数 在 时单调递减, 时单调递增, 所以当 时, 有最小值 ,
由(2)知当令 ,
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
因为函数 在 时均单调递增,
所以函数 在 时单调递增,所以 ,
所以 ,即 ,
则实数 的取值范围为 .
18.
(2)
(3)
(1) 因为 的面积为 ,所以 ,代入 ,
得 ，即 ，
所以 ,即 ,所以 .
(2)由(1)知 ，且 ，由正弦定理得 ，
所以 ,且 ,
所以
,
因为 ,所以 . 所以 的取值范围为 .
(3)设 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为在 中，设 为 的中点，则 ，且
在直角三角形 中, ,
在 中，由正弦定理得
，所以 .
故 外接圆半径 .
19.
(2)2
(3)11
(1)由欧拉公式有
(2)由于 ,故
而当 时,有 .
故 的最大值是 2 .
(3)由于 ，故 ，而 ，所以
故
(利用 )
(利用 )
(利用 ) (利用 ) (利用 ). 所以 .