福建宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

福鼎四中 2025-2026 学年第二学期第一次月考高一数学试卷
第一部分(选择题共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. B. 0 C. D.
2. 如图，在平行四边形 中， ， ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知平面内的非零向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在 中，若 ，则 ()
A. B. C. 135° D.
5. 在 中，已知 ，则 的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6. 小河的对岸有一棵树,设树底为 ,树顶为 . 如图,为了测量这棵树的高度,在河的另一侧选取 两点,使得 在同一水平面上,且 三点共线, 米. 若在 处测得树顶 的仰角为 ,在 处测得树顶 的仰角为 ,则这棵树的高度 ( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是( )
A. -2 B. C. D. -1
8. 已知 为锐角 的外心， ， 若 ，且 . 记 ，则()
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 关于向量 ,下列命题中,正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 下列结论正确的是( )
A. 为平面内一定点，如 ，则 、 、 三点共线
B. 非零向量 满足 ,则 与 的夹角为锐角
C. 已知 是与 同方向的单位向量,则
D. 平面内 与动点 满足 ,则点 的轨迹必过 的内心
11. 如图， 为边长为 2 的等边三角形，以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆， 点 为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若 ,则 的最大值为
第二部分(非选择题共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知两个非零向量 不共线,若 ,且 ,
三点共线,则 _____.
13. 已知向量 与 的夹角是 ,且 ,则向量 在向量 上的投影向量是_____
14. 已知对任意平面向量 ,把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ,叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 , 已知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 ，则点 坐标为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知向量 .
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角.
16. 已知向量 .
(1)若 ，求实数 的值；
( 2 )若 ，求实数 的值.
17. 如图，在 中， ， ， ， 为 内一点，且 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 .
18. 在 中,角 的对边分别是 ,满足 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，且 ，求 ；
(3)在(2)的条件下， 为 的中点，求中线 的长.
19. 设 是平面内夹角成 的两条数轴, 两分别为 轴, 轴正方向同向的单位向量. 若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在此坐标系中的坐标,记 . 已知 .
(1)若 .
(i) 求 .
(ii) 是否存在 上一点 ,使得 是以 为斜边的直角三角形 若存在,求出 点坐标; 若不存在, 请说明理由.
(2)若 对 恒成立，求 的最大值.
1. D
.
故选: D
2. B
,
故选: B
3. A
因为 ,且 ,
若 ,则 ,可得 ,
所以 ,即充分性成立;
若 ,例如 ,则 ,即必要性不成立;
综上所述: “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A.
4. C
由余弦定理可得 ,故 .
5. D
在 中， ，
由正弦定理,得 .
又 .
,即 ,即 ,
因为 ,
或 ,即 或 ,
为等腰三角形或直角三角形.
故选: D
6. D
在 中, 米, 在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ,解得 米,
在 中， ， ， 米，
所以 米,
故选: D.
7. B
建立如图所示的坐标系,以 中点为坐标原点,
则 ,
设 ,则 ,
则
当 时,取得最小值 ,
故选: .
8. D
分别取 的中点为 ,连接 ,则 .
.
,
①,
②,
③,
由①②③得 ，
根据余弦定理可得 ,
，
在 中，由大边对大角得: .
,且余弦函数在 上为减函数,
,
.
故选: D.
9. BCD
向量的长度相等, 方向不同时也不是相等向量, A 错误;
向量相等，长度一定相等，B 正确；
长度为 0 的向量是零向量, C 正确;
相反向量一定是平行向量, D 正确.
10. ACD
对于 ,因 ,则 ,即 , 也即 ; 因为 与 有公共点 ,故 三点共线,故 正确;
对于 ,因 ,则当 时,即 ,
因为 ,所以 . 又因 ,所以 ,
而当 时, ,此时夹角不是锐角,故 错误;
对于 ,因 ,则 ,则与 同方向的单位向量为
,故 正确;
对于 ,因为 是与 同方向的单位向量, 是与 同向的单位向量, 则以 和 对应线段为邻边的平行四边形是菱形,故 所在直线平
分 ,
又因 ,则点 的轨迹为 的角平分线所在直线,必过 的内心,故 正确.
11. AD
对于 , 正确; 对于 错误;
对于 ,以 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
,设
则 ,当 时, 取得最大值为 错误;
对于 ,
,则
由 ,得 ,
因此当 时, 取得最大值 , D 正确.
故选: AD
12.
由已知可得 ,
,
因为 三点共线,所以存在实数 ,使 ,
则 ,即 且 ,解得 .
故答案为:
13.
由题意, ,
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为: .
14.
由题,可得 ,把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 , 即等同于点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ，
,
又 ,解得 .
故答案为: .
15. ;
(2) .
(1)向量 ，则 ，
所以 .
(2)由 ，得 ，解得 ，
由 ,得 ,于是 ,
而 ,则有 ,
所以向量 与向量 的夹角 .
16.
(2)
(1)由题意得， ,
,
解得 .
(2)由题意得， ，
,
解得 .
17.
(2)
(1) 在 中, ,
则 ,
所以 ,
在 中，由余弦定理得
所以 .
(2)设 ，则 ， ，
在 中，因为 ，
所以 ，
在 中, ,
所以 ,即 ,
所以 即 .
18.
(2) .
(3)
(1)因为角 的对边分别是 ,满足 ,
根据正弦定理得 ,因为 ,
所以 ,所以 ,
化简得 ,又 ,所以 .
又 ,所以 .
(2)由 ，得 .
由余弦定理,得 . 则 ,所以 . 又 则 .
(3)由于 ，所以根据余弦定理得 .
在 中， ，所以根据余弦定理得
所以 .
19(1)(i)
,
(ii) 轴上不存在一点 ,理由如下:
假设 轴上存在一点 ,使得 是以 为斜边的直角三角形.
依题意得: ，
,
,
,
即 ,
即 ,
化简得: ,
, 方程无解,
即 轴上不存在一点 ,使得 是以 为斜边的直角三角形;
(2)
恒成立,
,
即 ,
解得 ,
,
,
在 上单调递增,理由如下:
任取 ,且 ,
则 ,
因为 ,且 ,
所以 ,
故 ,即 ,
故 在 上单调递增,
当 时, 取得最大值,最大值为 .