黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测考试数学试题（含答案）

哈尔滨市第六中学校 2025 级高一下学期 3 月阶段性检测考试 数学试题
一、单选题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量 ，若 ，则 ( )
A. 1 B. -1
C. D.
2. 已知向量 ，则与向量 同向的单位向量的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形 中， ， 为边 上的任意一点(包含端点)， 为 的中点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知向量 ，若 在 上的投影向量是 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 如图,在平行四边形 中, 和 相交于点 ,且 为 上一点 (不包括端点)，若 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 如图,已知 分别是 边 上的点,且满足 与 交于 ,连接 并延长交 于 点. 若 ,则实数 的值为 ( )
A. B. C. D. 2
8. 设向量 与 的夹角为 ,定义 ,已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.)
9. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典, 其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图 1 所示的是八卦模型图,其平面图形 (图 2) 中的正八边形 ,其中 为正八边形的中心, 则下列说法正确的是 ( )
图1
图2
A. B.
C. D. 和 能构成一组基底
10. 设 为 所在平面内的一点,则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则点 为 的重心
B. 若 ,则点 为 的垂心
C. 若 ,则 的形状为等腰直角三角形
D. 若 ,则 和 的面积之比为
11. 如图，在梯形 中， ， ， 为线段 的中点， 与 交于点 为线段 上的一个动点,则( )
A. B. 向量 与 共线
C. D. 若 ,则 最大值
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. )
12. 已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知向量 ，且 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围_____.
14. 如图所示,在边长为 3 的等边三角形 中, ,且点 在以 的中点 为圆心, 为半径的半圆上,则 最大值为_____,若 ,则 的最大值为_____；
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答时要求写出必要的文字说明证明过 程演算步骤.)
15. 已知向量 ，且 ，
(1)求 与 ；
(2)若 ， ，求向量 ， 的夹角的大小.
16. 已知 ，且 与 的夹角为 ，求:
(1) ；
(2) 与 的夹角；
(3)若向量 与 垂直，求实数 的值.
17. 如图,在平行四边形 中, 分别为 上的点, 且 .
(1)若 ,求 的值;
(2)求 的值；
(3)求 .
18. 已知向量 ,函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象. 当 时，求函数 的值域.
19. 已知 为坐标原点,对于函数 ,称向量 为函数 的伴随向量,同时称函数 为向量 的伴随函数.
(1)设函数 ，试求 的伴随向量 ；
(2)记向量 的伴随函数为 ，求当 . 且 时 的值；
(3)设 ，已知 ，问在 的图象上是否存在一点 ，使得
. 若存在,求出 点坐标; 若不存在,说明理由.
1. C
因为 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,解得
故选: C.
2. B
因为 ,所以 ,
所以与向量 同向的单位向量的坐标为: ,
故选: B
3. C
因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,而 ,所以 ,
即向量 与 的夹角为 .
故选: C.
4. A
法一: 设 ,
因为 为 的中点,所以 ,
所以 . 又 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ;
法二: 以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
则 ,设 ,
所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,
即 .
故选: A.
5. D
: 向量 ,
在 上的投影向量是 ,
,
当 时, 取最小值 .
故选: D.
6. B
由题意,设 ,
则 ,
因为 三点共线,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以 ,
又 三点共线,
所以 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
故的最小值为 .
故选: B.
7. A
由 共线,则 ,
所以 ①,
由 共线,则 , 所以 ,
由①②知: ，则 ，故 ，
由 ,则 ,
由 共线,则 ,可得 .
故选: A
8. A
,
即 ,则 ,
故 ,得 ,
,
.
故选: A.
9. BCD
对于 选项, 选项错误.
对于 选项, 选项正确.
对于 选项，由于八边形 为正八边形,故 ，且 ，
故 ,所以选项 正确.
对于 选项，由于 和 不共线，故 和 能构成一组基底，所以 正确. 故选: BCD.
10. ABD
对于 ,如图,取边 中点 ,连接 边上的中线 ,则 , 又 ,即 ,
所以点 为 的重心,故 正确;
对于 ,由 ,可得 ,即 ,
同理,可得 ,即点 为 的 3 条高的交点,所以点 为 的垂心, 故 B 正确;
对于 ,由 ,则 ,
,即 ,化简得 ,
即 ，所以 为直角三角形，故 C 错误；
对于 ,因为 ,所以 与 边 上的高之比为 5 : 2,
所以 与 的面积之比为 5:2,故 D 正确.
故选: ABD.
11. ACD
因为在梯形 中, ,
所以 ,
则 .
对于选项 A: 因为 为线段 的中点,
所以 ,即 ,
所以 ,故选项 正确;
对于选项 : 因为 三点共线,
所以存在唯一的 ,使得 .
又因为 三点共线,
所以存在唯一的 ,使得 ,
又因为 ,
所以 ,解得 ,故 ,
所以 ,
则向量 与 不共线,故选项 B 错误;
对于选项 C: 因为 为线段 的中点,
所以 .
由选项 B 可得: ，
所以 ,
所以 ,故选项 正确;
对于选项 D: 因为 为线段 上的一个动点,
所以设 .
又因为 ,
所以 ,则 最大值 ,故选项 正确.
故选: ACD.
12.
已知 ,则 .
因为 ,根据向量垂直的性质可知 ,即 .
将 代入上式可得 ,即 ,解得 .
根据投影向量的计算公式,向量 在向量 上的投影向量为 .
将 代入可得:
故答案为: .
13.
向量 ,且 与 的夹角为钝角,则 (且排除反向共线情况).
当 时,则 ,解得 .
当当 反向共线时, ,解得 .
综上所得,求实数 的取值范围为 .
故答案为: .
14.
因为
,
所以
,
因为 ,故当 时, 取得最大值 1,
此时 取得最大值为 9 .
以 为原点, 为 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
则 ,
由题意得 的轨迹为以 为圆心,1 为半径的半圆,其轨迹方程为 , 设 ,
则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以当 时, ,此时 的最大值为 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1)因为 ,
所以 ,所以 . 从而 .
因为 ,
所以 ,所以 ,从而 .
(2)因为 ，
所以 ,
所以 .
所以 .
所以向量 的夹角为 .
16. ;
(2) ；
(3) 或 .
( 1 ) ；
(2)因为 ，
所以 ,又 ,
所以 ,
又 ,
所以 与 的夹角为 ;
(3)因为向量 与 垂直，
则 ,
整理可得 ,解得 或 .
17.
(2)
(3)
(1) ， 所以 .
(2) ，
所以
.
(3) ，
,
则 .
18.
(2)
(3)
(1)
令 ,解得: ,
的单调递增区间为 .
(2)由(1)得: ，
,又 ,
,
.
(3)由题意知: ，
当 时, ,
即 的值域为 .
19. (1)
(2)
(3)
(1)
,
所以 的伴随向量 ;
(2)因为向量 的伴随函数为 ，所以 ，
由题意 ,又 ,
解得 或 (舍去);
(3)假设存在点 ，使得 ，
又 ,所以 ,
因为 ,所以
,
即 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
又因为 ,所以当且仅当 时, ,
此时 和 和同时等于 ,
此时 ,故在函数 的图象上存在点 ,使得 .