湖北黄冈市浠水县第一中学2025-2026学年高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北黄冈市浠水县第一中学2025-2026学年高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 279.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
浠水一中 2026 年春季高一年级 3 月质量检测 数学试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系中，2026° 属于()
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知角 的终边经过点 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 为单位向量,它们的夹角为 ,则向量 在向量 上的投影向量为 ( ).
A. B. C. D.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图象，则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
5. 化简 的结果是( )
A. B. C. D.
6. 函数 的图象如图所示,则必有 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示,点 , 在图象上,若 ,且 ,则 ( )
A. 3
B.
C. 0
D.
8. 当 时,若存在实数 ,使得 成立,则实数 的最小值为( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. 在区间 上单调递增
C. 的值域为 D. 方程 有 3 个实数解
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数. 例如 . 已知函数 ,函数 ,则下列说法中正确的
有( )
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 的值域是
D. 方程 只有一个实数根
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 _____.
13. 已知 为锐角,且 ,则 _____.
14. 已知函数 ,若关于 的方程 恰有四个不同的解,记为 ,设 ,则 _____; 若关于 的方程 至少有 7 个不同的解,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知 是互相垂直的单位向量, ,
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 与 的夹角为 ，求实数 的值.
16. 已知函数 在区间 上的最大值为 6 .
(1)求常数 的值；
(2)当 时，求函数 的最小值，以及相应 的集合.
17. 函数 的部分图像如图所示.
(1)求 的解析式;
( 2 )求 的单调递增区间和对称中心；
(3)若 ， 恒成立，求 的取值范围.
18. 摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施, 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转, 可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为 90 米, 转盘直径为 80 米, 设置有 24 个座舱, 开启后按逆时针方向匀速旋转, 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱, 转一周需要 48 分钟.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 分钟后距离地面的高度为 米，在转动一周的过程中, ,求 关于 的函数解析式;
(2)在(1)条件下，求游客甲在开始转动 8 分钟后距离地面距离；
(3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间 ，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差 最大时运行时间 的值.
(参考公式: ).
19. 现定义一种新运算“ ”: 对于任意实数 ,都有 . (1)当 时，计算 ；
(2)证明: 都有 ；
(3) 设 ,若 在区间 上的值域为 ,求实数 的取值范围.
1. C
由 ,所以 与 终边相同,属于第三象限角.
2. B
利用诱导公式化简:
已知角 的终边经过点 ,可得 ,且 .
分子分母同时除以 :
故选: B
3. B
由题意可得向量 在向量 上的投影向量为
4. A
函数 的图象向左平移 个单位长度,则
横坐标缩短到原来的 ,则 ,
纵坐标伸长到原来的 2 倍,则 .
故选: A
5. D
由题
故选: D
6. A
由图象可知, 在定义域上单调递增,而 是增函数,
根据复合函数单调性同增异减可知, ,
,所以 ,
由图可知当 时, ,
所以 A 选项正确.
故选: A
7. D
解: 由条件知函数的周期满足 ,即 ,
得
由五点法得 ,即 ,得 ,
则 ,
则 ,得 ,
即 ,
在 内的对称轴为 ,
若 ,且 ,
则 关于 对称,
则 ,
则 .
故选: D.
8. C
因为 ,则 ,
因为 ,
可得
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值是 8 .
故选: C.
9.
对于 ,由对数恒等式知 ,故 正确;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,
故 D 错误.
故选: ABC
10. BC
对于 ,由 ,则 ,故 错误;
由函数 ,作图如下:
对于 ,由图可知 在 上单调递增,故 正确;
对于 ,由图可知 ,则函数 的值域为 ,故 正确;
对于 ,由 ,则 ,由图可知直线 与函数 的图象有两个交点, 而直线 与函数 的图象无交点,
所以方程 存在两个根,故 错误.
故选: BC.
11. BCD
,
所以函数在区间 上不是单调递增, A 错误;
当 为奇数时, ,
此时 ,
当 为偶数时, ,
此时 ,
所以 ,
所以函数 图象关于直线 对称, B 正确;
由题可得 , 所以 ,
所以当 时 ,
当 ,
当 时 ,
所以函数 的值域是 正确;
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,所以此时无解;
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
满足题意,
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,不满足题意,
所以方程 只有一个实数根为 , D 正确,
故选:BCD.
12. -1
因为 ,平面向量 的夹角为 ,且 ,
所以
13.
因为 ,且 ,
所以 .
故 ,
由于 ,
所以 .
故答案为: .
作出函数 的图象,如图所示,
当 时,由 可得 ,
即 ,故 .
由图知, 和 关于 轴对称得 ,
所以 .
令 ,则 ,
若关于 的方程 至少有 7 个不同的解,
当 时， 有 1 个解， ，而 ，有 1 个解，故原方程有 1 个解；
当 时, 有 3 个解 ,假设 ,则 ,
故 有 1 个解, 有 3 个解, 有 3 个解,
所以原方程共有 7 个解;
当 时, 有 4 个解 ,假设 ,
则 ,
故 有 1 个解, 有 1 个解, 有 4 个解, 有 2 个解,原方程共有 8 个解;
当 时, 有 3 个解 ,假设 ,
则 ,故 有 1 个解, 有 4 个解, 有 2 个解, 原方程共有 7 个解;
当 时, 有 2 个解,假设 ,则 ,
故 有 4 个解, 有 2 个解,共有 6 个解,
综上所述,关于 的方程 至少有 7 个不同的解时 ,
故答案为: .
15.
(2)
( 1 )由 ，得 ，则 ，即 ,所以 ,解得 ;
(2)因为 与 的夹角为 ，
所以 ,
所以 ,
平方化简得 ,解得 .
由夹角为 可知 ,即 ,
所以 .
16. ;
(2)
(1) , .
所以函数 的最大值为 .
(2)由(1)得 ，
当 时，函数 的最小值为 2 ，
此时 ,解得 ,
即 时取最小值.
17. (1) ;
( 2 )单调增区间 ，对称中心 ； (3) .
(1)由图可得 ,即 ,又 ,解得 .
函数 过点 ,
所以 ,则 ,
解得 ,又 ,则 ,
所以 ;
(2)令 ，
得 ,
从而函数 的单调递增区间为 ,
令 ,得 ,
从而函数 的对称中心为 .
(3)因为 ，可得 ，
从而 ,令 则 ,
则 恒成立
等价于 恒成立,
由于 是关于 的二次函数,函数图象开口向上,恒过定点 ,
由二次函数的图象性质可知,要使 恒成立,
只需 ,解得 ,
故 的取值范围为 .
18.
(2)30 米
(3) 或
(1)因为摩天轮最高点距离地面的高度为 90 米, 转盘直径为 80 米,
所以 ,且当 时, ,
又转一周需要 48 分钟,所以周期 ,
所以 ,其中 ,
所以 ,
所以 .
(2)由(1)知， ，
当 时, ,
所以游客甲在开始转动 8 分钟后距离地面距离为 30 米.
(3)设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点 ， ，则 ，
结合(1),当乙运行 分钟后,乙离地面距离 ,
甲离地面距离 ,
所以甲、乙两人距离地面高度差
当 时, ,
所以当 或 ,
即 或 时, 取得最大值 1,
所以甲、乙两人距离地面高度差 最大时运行时间 的值为 10 或 34 .
19.(1)当 时， ；
( 2 )因为
而 ,
所以 ;
(3)由新运算可知，
所以 ,
令 ,开口向上,对称轴为 ,
令 ,得 或 ,
又因为 且 ,则 在 上单调递减,
又因为 在 上的值域为 ,所以 ,
所以 在 上为单调递减函数,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 ,
整理得, ,所以 ,
将 代入 ,得 ,
同理得, ,
所以 是函数 在 上的两个不同的零点,
则 ,即 ,即 ,
解得 ,
故实数 的取值范围为 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系中，2026° 属于()
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知角 的终边经过点 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 为单位向量,它们的夹角为 ,则向量 在向量 上的投影向量为 ( ).
A. B. C. D.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图象，则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
5. 化简 的结果是( )
A. B. C. D.
6. 函数 的图象如图所示,则必有 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示,点 , 在图象上,若 ,且 ,则 ( )
A. 3
B.
C. 0
D.
8. 当 时,若存在实数 ,使得 成立,则实数 的最小值为( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. 在区间 上单调递增
C. 的值域为 D. 方程 有 3 个实数解
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数. 例如 . 已知函数 ,函数 ,则下列说法中正确的
有( )
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 的值域是
D. 方程 只有一个实数根
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 _____.
13. 已知 为锐角,且 ,则 _____.
14. 已知函数 ,若关于 的方程 恰有四个不同的解,记为 ,设 ,则 _____; 若关于 的方程 至少有 7 个不同的解,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知 是互相垂直的单位向量, ,
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 与 的夹角为 ，求实数 的值.
16. 已知函数 在区间 上的最大值为 6 .
(1)求常数 的值；
(2)当 时，求函数 的最小值，以及相应 的集合.
17. 函数 的部分图像如图所示.
(1)求 的解析式;
( 2 )求 的单调递增区间和对称中心；
(3)若 ， 恒成立，求 的取值范围.
18. 摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施, 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转, 可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为 90 米, 转盘直径为 80 米, 设置有 24 个座舱, 开启后按逆时针方向匀速旋转, 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱, 转一周需要 48 分钟.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 分钟后距离地面的高度为 米，在转动一周的过程中, ,求 关于 的函数解析式;
(2)在(1)条件下，求游客甲在开始转动 8 分钟后距离地面距离；
(3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间 ，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差 最大时运行时间 的值.
(参考公式: ).
19. 现定义一种新运算“ ”: 对于任意实数 ,都有 . (1)当 时，计算 ；
(2)证明: 都有 ；
(3) 设 ,若 在区间 上的值域为 ,求实数 的取值范围.
1. C
由 ,所以 与 终边相同,属于第三象限角.
2. B
利用诱导公式化简:
已知角 的终边经过点 ,可得 ,且 .
分子分母同时除以 :
故选: B
3. B
由题意可得向量 在向量 上的投影向量为
4. A
函数 的图象向左平移 个单位长度,则
横坐标缩短到原来的 ,则 ,
纵坐标伸长到原来的 2 倍,则 .
故选: A
5. D
由题
故选: D
6. A
由图象可知, 在定义域上单调递增,而 是增函数,
根据复合函数单调性同增异减可知, ,
,所以 ,
由图可知当 时, ,
所以 A 选项正确.
故选: A
7. D
解: 由条件知函数的周期满足 ,即 ,
得
由五点法得 ,即 ,得 ,
则 ,
则 ,得 ,
即 ,
在 内的对称轴为 ,
若 ,且 ,
则 关于 对称,
则 ,
则 .
故选: D.
8. C
因为 ,则 ,
因为 ,
可得
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值是 8 .
故选: C.
9.
对于 ,由对数恒等式知 ,故 正确;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,因为 ,故 正确;
对于 ,
故 D 错误.
故选: ABC
10. BC
对于 ,由 ,则 ,故 错误;
由函数 ,作图如下:
对于 ,由图可知 在 上单调递增,故 正确;
对于 ,由图可知 ,则函数 的值域为 ,故 正确;
对于 ,由 ,则 ,由图可知直线 与函数 的图象有两个交点, 而直线 与函数 的图象无交点,
所以方程 存在两个根,故 错误.
故选: BC.
11. BCD
,
所以函数在区间 上不是单调递增, A 错误;
当 为奇数时, ,
此时 ,
当 为偶数时, ,
此时 ,
所以 ,
所以函数 图象关于直线 对称, B 正确;
由题可得 , 所以 ,
所以当 时 ,
当 ,
当 时 ,
所以函数 的值域是 正确;
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,所以此时无解;
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
满足题意,
若 ,则方程 ,即 ,
但 ,不满足题意,
所以方程 只有一个实数根为 , D 正确,
故选:BCD.
12. -1
因为 ,平面向量 的夹角为 ,且 ,
所以
13.
因为 ,且 ,
所以 .
故 ,
由于 ,
所以 .
故答案为: .
作出函数 的图象,如图所示,
当 时,由 可得 ,
即 ,故 .
由图知, 和 关于 轴对称得 ,
所以 .
令 ,则 ,
若关于 的方程 至少有 7 个不同的解,
当 时， 有 1 个解， ，而 ，有 1 个解，故原方程有 1 个解；
当 时, 有 3 个解 ,假设 ,则 ,
故 有 1 个解, 有 3 个解, 有 3 个解,
所以原方程共有 7 个解;
当 时, 有 4 个解 ,假设 ,
则 ,
故 有 1 个解, 有 1 个解, 有 4 个解, 有 2 个解,原方程共有 8 个解;
当 时, 有 3 个解 ,假设 ,
则 ,故 有 1 个解, 有 4 个解, 有 2 个解, 原方程共有 7 个解;
当 时, 有 2 个解,假设 ,则 ,
故 有 4 个解, 有 2 个解,共有 6 个解,
综上所述,关于 的方程 至少有 7 个不同的解时 ,
故答案为: .
15.
(2)
( 1 )由 ，得 ，则 ，即 ,所以 ,解得 ;
(2)因为 与 的夹角为 ，
所以 ,
所以 ,
平方化简得 ,解得 .
由夹角为 可知 ,即 ,
所以 .
16. ;
(2)
(1) , .
所以函数 的最大值为 .
(2)由(1)得 ，
当 时，函数 的最小值为 2 ，
此时 ,解得 ,
即 时取最小值.
17. (1) ;
( 2 )单调增区间 ，对称中心 ； (3) .
(1)由图可得 ,即 ,又 ,解得 .
函数 过点 ,
所以 ,则 ,
解得 ,又 ,则 ,
所以 ;
(2)令 ，
得 ,
从而函数 的单调递增区间为 ,
令 ,得 ,
从而函数 的对称中心为 .
(3)因为 ，可得 ，
从而 ,令 则 ,
则 恒成立
等价于 恒成立,
由于 是关于 的二次函数,函数图象开口向上,恒过定点 ,
由二次函数的图象性质可知,要使 恒成立,
只需 ,解得 ,
故 的取值范围为 .
18.
(2)30 米
(3) 或
(1)因为摩天轮最高点距离地面的高度为 90 米, 转盘直径为 80 米,
所以 ,且当 时, ,
又转一周需要 48 分钟,所以周期 ,
所以 ,其中 ,
所以 ,
所以 .
(2)由(1)知， ，
当 时, ,
所以游客甲在开始转动 8 分钟后距离地面距离为 30 米.
(3)设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点 ， ，则 ，
结合(1),当乙运行 分钟后,乙离地面距离 ,
甲离地面距离 ,
所以甲、乙两人距离地面高度差
当 时, ,
所以当 或 ,
即 或 时, 取得最大值 1,
所以甲、乙两人距离地面高度差 最大时运行时间 的值为 10 或 34 .
19.(1)当 时， ；
( 2 )因为
而 ,
所以 ;
(3)由新运算可知，
所以 ,
令 ,开口向上,对称轴为 ,
令 ,得 或 ,
又因为 且 ,则 在 上单调递减,
又因为 在 上的值域为 ,所以 ,
所以 在 上为单调递减函数,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 ,
整理得, ,所以 ,
将 代入 ,得 ,
同理得, ,
所以 是函数 在 上的两个不同的零点,
则 ,即 ,即 ,
解得 ,
故实数 的取值范围为 .
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