湖北襄阳市致远中学2025-2026学年高一下学期质量检测数学试题（4）（含答案）

襄阳致远中学 2025 级高一下学期质量检测 (4)
一、单选题
1. 设 是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
2. 已知平面向量 ，若 ，则实数 ()
A. B. -1
C. D. 11
3. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则角 等于 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
4. 已知 是两个单位向量,且向量 在向量 上的投影向量为 ,则向量 的夹角 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 中,角 所对的边分别是 ,若 , 且 ,那么 是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6. 如图,某建筑物的高度 ,一架无人机 上的仪器观测到建筑物顶部 的仰角为 ,地面某处 的俯角为 ,且 ,则此无人机距离地面的高度 为( )
A. B. C. D.
7. 已知点 是 内的一点， ，则 的面积与 的面积之比为( )
A. 2 B. 3
C. D. 6
8. 如图所示，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列命题不正确的是 ( )
A. 单位向量都相等
B. 若 与 共线, 与 共线,则 与 共线
C. 若 ,则
D. 若 与 都是单位向量,则
10. 在 中，有如下四个命题正确的有( )
A. 若 ,则 为锐角三角形
B. 若 ,则 的形状为直角三角形
C. 内一点 满足 ，则 是 的重心
D. 若 ,则点 必为 的外心
11. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则 的外接圆的面积为
B. 若 ，且 有两解，则 的取值范围为
C. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围为
D. 若 ,且 为 的内心,则 的面积为
三、填空题
12. 已知向量 ，且 三点共线，则 _____.
13. 如图,已知平面内有三个向量 ,其中 与 的夹角为 与 的夹角为 ，且 ， . 若 (λ， R)，则 _____.
14. 如图,在 中,已知 边上的两条中线 相交于点 ，则 的余弦值为_____.
四、解答题
15. 已知两个单位向量 与 的夹角为 ,设 .
(1)求 最小值；
(2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围.
16. 如图,在 中,已知点 在边 上,且 , .
(1)求 的长；
(2)求 .
17. 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的中线长为2，点 在 上，且 为 的平分线，求 的长.
18. 如图，在扇形 中， 的中点为 ，动点 ， 分别在 ， 上，且 .
(1)若 是线段 靠近点 的四分之一分点,用 表示向量 ；
(2)求 的取值范围.
19. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 (1)求角 的大小；
(2)若 为 的角平分线，且 ，求角平分线 的长度；
(3)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
1. B
由于 是平面内的一个基底,故 不共线,
和 不共线,故 A 能构成基底,
和 共线,故 B 不能构成基底,
和 不共线,故 能构成基底,
根据向量的加减法法则可知 和 不共线,故 D 能构成基底,
故选: B
2. C
因为 ,
所以 .
因为 ,所以
所以 .
解得 .
故选: C.
3. A
由正弦定理 ,代入已知条件 , 可得 ,
由三角形"大边对大角"的性质， ，
因此 .
4. A
向量 在向量 上的投影向量为
,
解得 ,所以 ,解得 .
故选: A.
5. B
由 ,得 ,
整理得 ,则 ,
因为 ,所以 ,
又由 及正弦定理,得 ,化简得 ,
所以 为等边三角形，
故选: B
6. B
由题意,在 中, ,所以
在 中, ,
所以 ,
由正弦定理, .
又 为等腰直角三角形，所以 .
故选项 B 正确.
7. B
取 中点为 ,则 ,
因为 ,所以 ,则 ,因此 ,
过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,
则易知 ,
因此 ,
所以 的面积与 的面积之比为 .
故选: B.
8. A
解: 根据正六边形的几何性质,可知 ,
,
. 比较可知 A 正确.
故选: A
9. ABD
对 : 单位向量的模都为 1,但方向不确定,所以单位向量都相等是错误的. 故 错误;
对 B: 若 ,则 与 共线, 与 共线,但 与 不一定共线,故 B 错误;
对 C: 因为 , 故 C 正确;
对 D: 若 与 都是单位向量,则 ,只有当 时,才有 ,故 D 错误.
10.
解: 对于 ,由 ,得 ,所以 ,所以角 为锐角, 但不能判断三角形为锐角三角形, 所以 A 错误,
对于 ,因为 ,所以 ,即
,所以 ,得 , 因为 ,所以 ,所以三角形为直角三角形,所以 正确,
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ( 为 的中点),所以 三点共线,所以点 在 边的中线 上,同理,可得点 在其它两边的中线上,所以 是 的重心,所以 正确,
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以点 在边 的高上,同理可得点 也在其它两边的高上,所以点 为 的垂心,所以 错误,
故选: BC
11. ACD
因为 ,所以由正弦定理,得
即 ,
因为 ,所以 ,且 ,所以 .
选项 A: 若 ,则 ,所以 的外接圆的直径 ,
所以 ,
所以 的外接圆的面积为 ，选项 A 正确；
选项 B:由余弦定理 得 ，
将此式看作关于 的二次方程 ,由题意得此方程有两个正解,
故 ,解得 ,所以选项 B 错误;
选项 C: 由正弦定理,得 ,即 ,
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，所以 ， 所以 ,故选项 C 正确;
选项 D: 因为 ,由正弦定理得 ,
因为 ,所以 ,
所以由正弦定理 ,得 ,即 ,
所以 ,
即 ,所以 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,故 ,解得 ,
因为 ,所以 ,
即 是直角三角形,所以内切圆的半径为 ,
所以 的面积为 ，选项 D 正确.
故选: ACD.
12.
由题得 ,
,
因为 三点共线,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:
13. 6
如图以 为原点, 所在直线为 轴建立平面直角坐标系:
由 ,得 ,
由 与 夹角为 ,得 ,
与 夹角为 ,得 ,
再由 ,代入坐标得: ,
由对应横纵坐标相等,得方程组: ,
解得 ,因此 .
14.
由题可得, ,
所以
,
所以 ,
故答案为: .
15. (2)
(1)由题意 ,
因为 ,所以
所以 ,
所以 ,等号成立当且仅当 ,
所以 最小值是 ;
(2)因为 ，
所以 ，
设 共线,即设 ,
因为向量 与 不共线,
所以 ,解得 ,
若 与 的夹角为钝角,
则 ,且 ,
解得 的取值范围是 .
16.
(2)
( 1 ) ,
，
在 中,由余弦定理得: ,
即 ,
解得: 或 ;
.
(2)由(1)知: ， ， 在 中,由正弦定理得: , .
17.
(2)
(1) 因为 ,
由正弦定理可得 ,
则 ,又
所以 ,
因为在 中， ，所以 .
(2)由余弦定理得: ，即有 ①; 设 为 的中点,即 ,又因为 ,
所以 ,即 ②,
由①，②得: ，
所以 ,所以 .
因为 为 的平分线,所以 ,
则 ，
即 .
18.(1) ；(2) .
解: (1) 连结 ,
扇形 的弧的中点为 ,动点 分别在 上,
且 ,
四边形 是平行四边形,
点 是线段 靠近点 的四分之一分点,
.
(2)设 ，则 ，
,
,
的取值范围是 .
19.
(2)
(3)
(1) ,
由余弦定理得 ,
又 ;
(2)由 的角平分线将 的面积分为两部分，
则 ，
于是 ,
即 ,解得 ,
所以 的长为 ;
(3)由三角形面积公式得 ,
由正弦定理得
三角形为锐角三角形, ,得 , .