云南曲靖市宣威市民族中学、七中2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

2025-2026 学年第二学期 3 月阶段测试卷高一数学
满分: 150 分考试时间: 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
3. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 ,则 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在 中，角 所对的边分别为 . 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知向量: 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
5. 已知复数 ( 为虚数单位),则 的共轭复数为( )
A. B.
C. D.
6. 在 中,角 所对的边分别为 . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知向量 ，若 与 垂直，则实数 ( )
A. B. C. D.
8. 在 中， ， ，若点 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
二、多项选择题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 全部选对的得 5 分，部分 选对的得 2 分, 有选错的得 0 分)
9. 已知复数 ，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 在 中，角 所对的边分别为 ，则下列命题正确的是( )
A. 若 ，则 是锐角三角形
B. 若 ,则 是等腰三角形
C. 若 ,则三角形有两解
D. 若 ,则 是钝角三角形
11. 已知向量 ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在 方向上的投影向量为
D. 与 垂直的单位向量为 或
12. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 的最大值为 4
C. 面积的最大值为 3
D. 若 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 已知向量 ，若 ，则实数 _____.
14. 设复数 ，则 _____.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 _____.
16. 已知等边三角形 的边长为 2,点 满足 ,则 _____.
四、解答题 (共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知复数 ，其中 .
(1)若 是纯虚数，求实数 的值；
(2)若 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数 的取值范围.
18. 已知向量 .
(1)求 与 的夹角 的余弦值；
(2)若向量 ，求 .
19. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ， 的值.
20. 已知复数 是关于 的方程 的一个根,其中 .
(1)求 的值；
(2)若复数 满足 ，求 的最小值.
21. 某渔轮在海上航行，在点 处测得灯塔 在北偏东 方向，渔轮以每小时 20 海里的速度向正东方向航行，1 小时后到达点 ，此时测得灯塔 在北偏东 方向. 求灯塔 到航线 的距离 (结果保留根号).
22. 已知 的角 所对的边分别为 ，且 .
(1)判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
1. A
因 ,
则 .
2. D
解: 由复数的几何意义得复数 ,在复平面内对应的点 ,是第四象限.
故选: D
3. B
由正弦定理 可得 ,所以 或
因 ,则 ,故 为锐角,即 .
4. C
设 与 的夹角为 ,
又 ,故 .
5. A
,
所以 的共轭复数为 .
6. A
由余弦定理得 .
7. D
,
由 与 垂直得 ,即 ,解得 .
8. B
由 ,得 .
所以 .
9. AB
A: ,正确
B: ,正确
C: ,错误
D: ,错误
10. BCD
对于 ,由 ,可知角 为最大内角,
由余弦定理, ,可知角 为钝角,故 是钝角三角形, 即 A 错误;
对于 ,由 和正弦定理,可得 ,
即 ,因 ,则 ,即 ,故 是等腰三角形,即 正确;
对于 ,因 ,故三角形有两解,即 正确;
对于 ,由 与和差化积公式,可得
即 ,因 ,
则得 ,再由和差化积公式,可得
即 ,因 ,则 必有一个是钝角,即 是钝角三角形,故 正确.
11. ABCD
A 正确: .
B 正确: .
正确: ,投影向量 .
D 正确: 设单位向量 ,满足 且 ,解得 或 .
12. AB
A 选项,由余弦定理: ,即 ,故 A 正确.
选项,由正弦定理 ,所以 .
所以 ,故 B 正确.
选项,面积 ,由 ,得 ,当且仅当 时等号成立,所以 ,故 错误.
D 选项,锐角三角形: ,得 , 故 D 错误.
13.
由 可得 ,解得 .
14.
由题意得 , 由模长公式得 .
15. 4 或
由 ,得 ,由余弦定理 .
当 时, ,此时三角形为直角三角形;
当 时, ,此时三角形为钝角三角形.
16. 3
由 可知 为 中点,所以
17. .
(2)
(1) 若 是纯虚数,则实部为 0 且虚部不为 0,即 ,
由 得 或 ,
由 得 且 ,
故 .
(2)若 对应点在第四象限，则实部 且虚部 ，即 ，
由 得 或 ,
由 得 ,
综上所述，实数 取值范围是 .
18.
(2)
(1)由 ,可得 ,
且 ,
则 ;
(2)因 ，
则 .
19.
(2)
(1)由正弦定理得 ，
又 ,
代入得 .
由 ,得 ,
即 .
由 ,所以易得 ,故 .
(2) ，即 ，得 .
由余弦定理 ,得 ,即 .
联立 ,得 ,故 .
20. (1) .
(2) .
(1)由实系数方程的虚根成对的特点,可知方程的另一根为 ，
由韦达定理 .
(2)因复数 满足 ，则复数 对应的点 表示以 为圆心、 为半径的圆， 而 ,在复平面内表示点 ,而 表示点 与点 的距离,
因点 与圆心 的距离为 ,
故 .
21. 海里
如图,由题意 海里, , 故 ,由正弦定理,知 .
过 作 于 ,则 , 即灯塔 到航线 的距离为 海里.
22. (1) 直角三角形,且 .
(2) .
(1) 由 ,得 ,即 .
由余弦定理 ,故 ,
化简得 ,即 ,
所以 为直角三角形，且 .
(2)由 ，设 ，则 ，
周长 .
令 ,
因 ,故 ,所以易得 . 分子分母同除以 ,并利用正切和角公式:
,由 时,得 ,
因此 ,故 .