甘肃兰州第一中学2025-2026学年第二学期高一3月月考数学试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 甘肃兰州第一中学2025-2026学年第二学期高一3月月考数学试题(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 346.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-01 00:00:00 | ||
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文档简介
兰州一中 2025-2026-2 学期 3 月月考试题 高一数学
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分， 考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.
第 I 卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四 个选项中, 只有一项符合题目要求.)
1. 下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况
B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C. 了解兰州市中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况
D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
2. 已知 三点共线,则 ()
A. 1 B. 3 C. -1 D. -2
3. 已知向量 ，若 ，则 ()
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
4. 某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温 (单位: ) 的数据, 绘制了下面的折线图. 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是 ( )
A. 最高气温的极差范围
B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温
C. 最低气温低于 的月份有 4 个
D. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月
5. 已知 的平均数为 3,标准差为 2,则 的 ( )
A. 平均数为 15 , 标准差为 10 B. 平均数为 15 , 标准差为 50
C. 平均数为 17 , 标准差为 10 D. 平均数为 17 , 标准差为 50
6. 如图,已知在 中, 为 的中点, 与 相交于点 . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 图 1 给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示(线段长度代表速度大小，单位: )，则该时刻的真风为( )
级数 名称 风速大小 (单位:m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
8. 已知 ,若点 满足 ,则 的最大值为 ( )
A. 4 B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错 的得 0 分.)
9. 对于平面向量 ，下列命题不正确的是( )
A. 若向量 与 不相等，则
B. 若 ,则向量
C. 若向量 与 不共线,则 与 都是非零向量
D. 若向量 与 共线,向量 与 共线,则向量 与 也共线
10. 为了了解苗圃中树苗的生长情况, 林业部门从一个苗圃中的 10000 棵树苗中随机抽取了 棵,按照树苗的高度 进行了分组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,已知高度在 内的树苗有 10 棵,将样本频率当做概率,则以下结论正确的是( )
A.
B. 这 棵树苗高度的中位数的估计值为 114
C. 在这 10000 棵树苗中,高度在 以下的约有 2000 棵
D. 若采用按比例分层抽样的方法从这 棵树苗中抽取 40 棵,则高度在 内的有 5 棵
11. 定义平面向量的 “Rickie 变换”,记作 “ ”. 对任意平面向量 ,规定变换后的向量 ,对向量 连续进行 次变换所得的向量记作 . 设 为平面内的非零向量, ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则一定存在 ,使得
B. 若 ,则
C. 若 ,则 的最大值为 5
D. 若存在两素数 ,使得 ,则
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 样本数据1,3,7,10,14,19,21,25,35,67的第 70 百分位数为_____.
13. 已知 为正六边形 的中心，且 ，则 _____.
14. 若向量 ，已知 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
15. 已知 ,设 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 ， 的值；
(3)若 为线段 靠近点 的三等分点，求点 的坐标.
16. 某校有 3 名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近 10 次百米短跑的时间(单位:s) 的数据如下表:
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次 第 10 次
时间 /s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12
(1)计算甲这 10 次百米短跑的时间的平均数与方差;
(2)经过计算，乙最近 10 次百米短跑的时间的平均数和方差分别为 12,0.08，丙最近 10 次百米短跑的时间的平均数和方差分别为 12.4, 0.08 , 若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由.
17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识, 举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本, 将样本的成绩(满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数和平均数
(3)已知落在 的平均成绩是 56，方差是 7，落在 的平均成绩为 65，方差是 4， 求两组成绩的总平均数 和总方差
18. 如图,在梯形 中, ,且 ,设 .
(1)试用 和 表示 ；
(2)若点 满足 ，且 ， ， 三点共线，求实数 的值.
(3)若 ， ， ，且点 是线段 上的动点，求 的最小值.
19. 如图,设 是平面内相交成 角的两条数轴, 分别是与 轴、 轴同方向的单位向量. 若向量 ,则把有序数对 叫做 在仿射坐标
系 Oxy 中的斜坐标.
(1)若 ,求 ;
(2)若 ， ， ，求 在 上的投影向量的斜坐标；
(3)若 ，求 的最大值.
1. D
切开白兰瓜具有破坏性, 故 A 不符合题意;
测试续航能力通常需要将电池完全放电, 具有破坏性, 故 B 不符合题意;
兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要, 因此需要对其进行全面检查, 故 D 符合题意.
2. A
依题意, ,且 ,则 ,
所以 .
故选: A
3. D
因为向量 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,解得 ,
所以 .
4. C
A 选项, 最高气温最低的月为1月, 最高气温最高的月为9 月,
观察图象可知,最高气温的极差范围 , A 选项正确.
B 选项, 通过观察折线图可知, 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温, B 选项正确.
C 选项,最低气温低于 的月份有 3 个, C 选项错误.
D 选项,通过观察折线图可知,月温差 (最高气温减最低气温) 的最大值出现在 1 月, D 选项正确.
故选: C
5. C
设 的平均数为 ,标准差为 ,则 ,
即 .
所以 的平均数为
;
的方差为
,故其标准差为 10 .
故选: C.
6. D
,
则 ,
又 三点共线, ,
又 为 的中点, ,又 ,所以 ,
又 三点共线, ,
由平面向量基本定理知, ,解得 ,所以 ,
即 ,所以 ,
故选: D.
7. A
由题意及图得,
视风风速对应的向量为: ,
视风风速对应的向量, 是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,
船速方向和船行风速的向量方向相反,
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
,船行风速: ,
,
,
由表得,真风风速为轻风,
故选: A.
8. D
设 ,则 ,而 ,
可得 ,而 ,
则 ,得到 ,
即 表示 到点 的距离,
而由两点间距离公式得点 到圆心 的距离为 ,
得到 的最大值为 ,故 正确.
9. ABD
对于 ,当向量 与 互为相反向量时,两向量的模长相等,故该命题不正确;
对于 ,向量的模长有大小关系,但向量之间无大小关系,该命题不正确;
对于 ,由于零向量与任意向量共线,向量 与 不共线,则 与 都是非零向量,该命题正确;
对于 与 共线, 与 共线时, 与 也共线,当 时命题不一定成立,该命题不正确,
故选: ABD.
10. BC
对于 A, ,解得 , 高度在 内树苗的频率为 ,则 (棵),故 A 错误; 对于 ,设中位数为 ,中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等,都为 0.5, 前三个矩形的面积和为 ,
对应的矩形面积为 ,
因为 ,所以中位数在 内,
则 ,解得 ,
所以这 棵树苗高度的中位数的估计值为 114 ，故 B 正确；
对于 ,高度在 以下的树苗的频率为 ,
在这 10000 棵树苗中,高度在 以下的约有 (棵),故 正确;
对于 ,高度在 内的树苗的频率为 ,
故若采用按比例分层抽样的方法从这 棵树苗中抽取 40 棵,则高度在 内的有 (棵),故 错误.
故选: BC.
11. ACD
对 A: 设 ,
由 ,则存在 ,使得 ,
则 ,又 ,
故 ,故 正确;
对 取 ,
则 ,
故 ,
此时 ,故 B 错误;
对 : 设 ,
则 ,
故 ,
则
,
当且仅当 时,等号成立,
故 的最大值为 5,故 正确;
对 D: 设 ,当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ;
若 ，则有以下四种可能:
1. ,且 ,
则 ;
2. ,且 ,
则 ;
3. ,且 ,
则 ;
4. ,且 ,
则 ;
故 时,不合题意;
若 ,则 ,有以下两种可能:
1. ,则 ;
2. ,则 ;
即 时,符合题意;
综上: 若存在两素数 ,使得 ,则 ,故 正确.
12. 23
因为 ,
所以 10 个数的第 70 百分位数为 ,
故答案为: 23
13. -32
由正六边形性质可知, 为正三角形,且 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: -32
14.
由 ,则 ,
又 与 的夹角为钝角,
则 ,即 ,解得 ,
当 与 反向共线时, ,解得 ,此时夹角不是钝角,
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为: .
15.
(2)
(3)(1,-2)
(1)因为 ， ，所以 ， 由模长公式得 .
(2)因为 ，且 ，
所以 ,所以 ,
因为 ,所以可得 ,解得 .
(3)因为线段 的三等分点为 (点 靠近点 )，
所以 ,设 ,即 ,
得到 ,解得 ,即 点的坐标为 .
16.
(1)甲这 10 次百米短跑的时间的平均数为
方差为
(2)因为百米短跑的时间越短，成绩越好，
所以从数据的平均水平看, 甲与乙的成绩更好.
因为方差越大, 数据的波动越大, 方差越小, 数据的波动越小, 所以从数据的波动情况看, 甲的成绩波动最大, 乙和丙的波动水平相当, 所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛.
17.
(2)第 75 百分位数为 84 , 平均数为 74
(3)
(1)由每组小矩形的面积之和为 1 得, , 所以 .
(2)成绩落在 内的频率为 ,
落在 内的频率为 ,
显然第 75 百分位数 ,由 ,
解得 ，所以第 75 百分位数为 84 .
平均数约为
;
(3)由图可知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 ,
故 ,
所以两组市民成绩的总平均数是 62 , 总方差是 23 .
18. (1)
(2)
(3)
(1)因为 ， ， ，
所以 ,化简为 .
(2)因为 三点共线，所以 ，
因为 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,解得 .
(3)因为点 是线段 上的动点，设 ，因为
所以 ,
所以 ,
所以
,
故当 时, 取到最小值 .
19.
(2)
(3)
(1)由题意得， ，
因为 ,则存在实数 使得 ,即 ,
因为 不共线,所以 ,得 ;
(2)由题意得， ，且 ，
则 ,
则 在 上的投影向量为 ,
故 在 上的投影向量的斜坐标为 ;
(3)由题意得， ，
设 夹角为 ,则 ,
则 ,
则
因为 ,所以 ,得 ,则 ,
则 ,因为 ,
所以 ,则 ,
则 的最大值为 .
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分， 考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.
第 I 卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四 个选项中, 只有一项符合题目要求.)
1. 下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况
B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C. 了解兰州市中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况
D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
2. 已知 三点共线,则 ()
A. 1 B. 3 C. -1 D. -2
3. 已知向量 ，若 ，则 ()
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
4. 某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温 (单位: ) 的数据, 绘制了下面的折线图. 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是 ( )
A. 最高气温的极差范围
B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温
C. 最低气温低于 的月份有 4 个
D. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在 1 月
5. 已知 的平均数为 3,标准差为 2,则 的 ( )
A. 平均数为 15 , 标准差为 10 B. 平均数为 15 , 标准差为 50
C. 平均数为 17 , 标准差为 10 D. 平均数为 17 , 标准差为 50
6. 如图,已知在 中, 为 的中点, 与 相交于点 . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 图 1 给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示(线段长度代表速度大小，单位: )，则该时刻的真风为( )
级数 名称 风速大小 (单位:m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
8. 已知 ,若点 满足 ,则 的最大值为 ( )
A. 4 B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错 的得 0 分.)
9. 对于平面向量 ，下列命题不正确的是( )
A. 若向量 与 不相等，则
B. 若 ,则向量
C. 若向量 与 不共线,则 与 都是非零向量
D. 若向量 与 共线,向量 与 共线,则向量 与 也共线
10. 为了了解苗圃中树苗的生长情况, 林业部门从一个苗圃中的 10000 棵树苗中随机抽取了 棵,按照树苗的高度 进行了分组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,已知高度在 内的树苗有 10 棵,将样本频率当做概率,则以下结论正确的是( )
A.
B. 这 棵树苗高度的中位数的估计值为 114
C. 在这 10000 棵树苗中,高度在 以下的约有 2000 棵
D. 若采用按比例分层抽样的方法从这 棵树苗中抽取 40 棵,则高度在 内的有 5 棵
11. 定义平面向量的 “Rickie 变换”,记作 “ ”. 对任意平面向量 ,规定变换后的向量 ,对向量 连续进行 次变换所得的向量记作 . 设 为平面内的非零向量, ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则一定存在 ,使得
B. 若 ,则
C. 若 ,则 的最大值为 5
D. 若存在两素数 ,使得 ,则
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 样本数据1,3,7,10,14,19,21,25,35,67的第 70 百分位数为_____.
13. 已知 为正六边形 的中心，且 ，则 _____.
14. 若向量 ，已知 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共计 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
15. 已知 ,设 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 ， 的值；
(3)若 为线段 靠近点 的三等分点，求点 的坐标.
16. 某校有 3 名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近 10 次百米短跑的时间(单位:s) 的数据如下表:
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次 第 10 次
时间 /s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12
(1)计算甲这 10 次百米短跑的时间的平均数与方差;
(2)经过计算，乙最近 10 次百米短跑的时间的平均数和方差分别为 12,0.08，丙最近 10 次百米短跑的时间的平均数和方差分别为 12.4, 0.08 , 若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由.
17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识, 举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本, 将样本的成绩(满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数和平均数
(3)已知落在 的平均成绩是 56，方差是 7，落在 的平均成绩为 65，方差是 4， 求两组成绩的总平均数 和总方差
18. 如图,在梯形 中, ,且 ,设 .
(1)试用 和 表示 ；
(2)若点 满足 ，且 ， ， 三点共线，求实数 的值.
(3)若 ， ， ，且点 是线段 上的动点，求 的最小值.
19. 如图,设 是平面内相交成 角的两条数轴, 分别是与 轴、 轴同方向的单位向量. 若向量 ,则把有序数对 叫做 在仿射坐标
系 Oxy 中的斜坐标.
(1)若 ,求 ;
(2)若 ， ， ，求 在 上的投影向量的斜坐标；
(3)若 ，求 的最大值.
1. D
切开白兰瓜具有破坏性, 故 A 不符合题意;
测试续航能力通常需要将电池完全放电, 具有破坏性, 故 B 不符合题意;
兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要, 因此需要对其进行全面检查, 故 D 符合题意.
2. A
依题意, ,且 ,则 ,
所以 .
故选: A
3. D
因为向量 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,解得 ,
所以 .
4. C
A 选项, 最高气温最低的月为1月, 最高气温最高的月为9 月,
观察图象可知,最高气温的极差范围 , A 选项正确.
B 选项, 通过观察折线图可知, 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温, B 选项正确.
C 选项,最低气温低于 的月份有 3 个, C 选项错误.
D 选项,通过观察折线图可知,月温差 (最高气温减最低气温) 的最大值出现在 1 月, D 选项正确.
故选: C
5. C
设 的平均数为 ,标准差为 ,则 ,
即 .
所以 的平均数为
;
的方差为
,故其标准差为 10 .
故选: C.
6. D
,
则 ,
又 三点共线, ,
又 为 的中点, ,又 ,所以 ,
又 三点共线, ,
由平面向量基本定理知, ,解得 ,所以 ,
即 ,所以 ,
故选: D.
7. A
由题意及图得,
视风风速对应的向量为: ,
视风风速对应的向量, 是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,
船速方向和船行风速的向量方向相反,
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
,船行风速: ,
,
,
由表得,真风风速为轻风,
故选: A.
8. D
设 ,则 ,而 ,
可得 ,而 ,
则 ,得到 ,
即 表示 到点 的距离,
而由两点间距离公式得点 到圆心 的距离为 ,
得到 的最大值为 ,故 正确.
9. ABD
对于 ,当向量 与 互为相反向量时,两向量的模长相等,故该命题不正确;
对于 ,向量的模长有大小关系,但向量之间无大小关系,该命题不正确;
对于 ,由于零向量与任意向量共线,向量 与 不共线,则 与 都是非零向量,该命题正确;
对于 与 共线, 与 共线时, 与 也共线,当 时命题不一定成立,该命题不正确,
故选: ABD.
10. BC
对于 A, ,解得 , 高度在 内树苗的频率为 ,则 (棵),故 A 错误; 对于 ,设中位数为 ,中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等,都为 0.5, 前三个矩形的面积和为 ,
对应的矩形面积为 ,
因为 ,所以中位数在 内,
则 ,解得 ,
所以这 棵树苗高度的中位数的估计值为 114 ，故 B 正确；
对于 ,高度在 以下的树苗的频率为 ,
在这 10000 棵树苗中,高度在 以下的约有 (棵),故 正确;
对于 ,高度在 内的树苗的频率为 ,
故若采用按比例分层抽样的方法从这 棵树苗中抽取 40 棵,则高度在 内的有 (棵),故 错误.
故选: BC.
11. ACD
对 A: 设 ,
由 ,则存在 ,使得 ,
则 ,又 ,
故 ,故 正确;
对 取 ,
则 ,
故 ,
此时 ,故 B 错误;
对 : 设 ,
则 ,
故 ,
则
,
当且仅当 时,等号成立,
故 的最大值为 5,故 正确;
对 D: 设 ,当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ;
若 ，则有以下四种可能:
1. ,且 ,
则 ;
2. ,且 ,
则 ;
3. ,且 ,
则 ;
4. ,且 ,
则 ;
故 时,不合题意;
若 ,则 ,有以下两种可能:
1. ,则 ;
2. ,则 ;
即 时,符合题意;
综上: 若存在两素数 ,使得 ,则 ,故 正确.
12. 23
因为 ,
所以 10 个数的第 70 百分位数为 ,
故答案为: 23
13. -32
由正六边形性质可知, 为正三角形,且 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: -32
14.
由 ,则 ,
又 与 的夹角为钝角,
则 ,即 ,解得 ,
当 与 反向共线时, ,解得 ,此时夹角不是钝角,
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为: .
15.
(2)
(3)(1,-2)
(1)因为 ， ，所以 ， 由模长公式得 .
(2)因为 ，且 ，
所以 ,所以 ,
因为 ,所以可得 ,解得 .
(3)因为线段 的三等分点为 (点 靠近点 )，
所以 ,设 ,即 ,
得到 ,解得 ,即 点的坐标为 .
16.
(1)甲这 10 次百米短跑的时间的平均数为
方差为
(2)因为百米短跑的时间越短，成绩越好，
所以从数据的平均水平看, 甲与乙的成绩更好.
因为方差越大, 数据的波动越大, 方差越小, 数据的波动越小, 所以从数据的波动情况看, 甲的成绩波动最大, 乙和丙的波动水平相当, 所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛.
17.
(2)第 75 百分位数为 84 , 平均数为 74
(3)
(1)由每组小矩形的面积之和为 1 得, , 所以 .
(2)成绩落在 内的频率为 ,
落在 内的频率为 ,
显然第 75 百分位数 ,由 ,
解得 ，所以第 75 百分位数为 84 .
平均数约为
;
(3)由图可知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 ,
故 ,
所以两组市民成绩的总平均数是 62 , 总方差是 23 .
18. (1)
(2)
(3)
(1)因为 ， ， ，
所以 ,化简为 .
(2)因为 三点共线，所以 ，
因为 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,解得 .
(3)因为点 是线段 上的动点，设 ，因为
所以 ,
所以 ,
所以
,
故当 时, 取到最小值 .
19.
(2)
(3)
(1)由题意得， ，
因为 ,则存在实数 使得 ,即 ,
因为 不共线,所以 ,得 ;
(2)由题意得， ，且 ，
则 ,
则 在 上的投影向量为 ,
故 在 上的投影向量的斜坐标为 ;
(3)由题意得， ，
设 夹角为 ,则 ,
则 ,
则
因为 ,所以 ,得 ,则 ,
则 ,因为 ,
所以 ,则 ,
则 的最大值为 .
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