福建厦门市湖滨中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

2025-2026 学年厦门市湖滨中学高一(下)数学阶段性测试 1
(考试时间 120 分钟，总分 150 分)
一、单选题(每小题 5 分，共 8 题，40 分)
1. 下列各量中是向量的是 ( )
A. 时间 B. 路程 C. 加速度 D. 温度
2. 下列说法正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ,则
C. 在菱形 中一定有 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量
3. 已知 的两条对角线相交于点 为 的中点,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 在 中， ，则 是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
5. 在平行四边形 中, 与 相交于点 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知在平面直角坐标系中,点 如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
7. 向量 ，若 ，则 的值是( )
A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
8. 已知平面向量 ，若 ，则 与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题 (每小题 6 分, 共 3 题, 18 分)
9. 对于任意一个四边形 ,下列式子能化简为 的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的 2 倍
D. 若 ，则 外接圆半径为
11. (多选) 中, ,点 满足 ,设 ,则 ( )
A. 若 为 的重心,则
B. 若 为 的内心,则
C. 若 为 的垂心,则
D. 若 为 的外心,则
三、填空题(每小题 5 分，共 3 题，15 分)
12. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 _____.
13. 已知 ,且 ,则 在 方向上的投影向量的模为_____.
14. 在边长为 1 的正三角形 中, 分别为边 上的动点,满足 ,
，且 ，则 的最小值为_____，设点 ， 满足 ，若 ，则 _____.
四、解答题
15. 已知平面向量 ，且 .
(1)求 和 的坐标；
(2)求向量 与向量 的夹角的余弦值.
16. 如图，在直角梯形 中， ， ， ， 与 交于点 .
(1)用 和 表示 ， ；
(2)设 ，求 的值.
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
18. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 . 已知
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
19. 如图,点 是以 为圆心,半径为 1 的圆弧 (包含 两个端点) 上的一点,且 ,且 ;
(1)若 为圆弧 的中点，求 和 的值；
(2)若 在圆弧 (包含 两个端点)上运动，求 的取值范围.
1. C
因为时间、路程、温度只有大小没有方向, 故是数量, 加速度既有大小, 又有方向, 故是向量.
故选: C.
2. C
对于 ,若 ,则 与 大小相等,方向不确定,故 错误;
对于 ,若 时,则 与 方向不确定,
故 与 可能共线也可能不共线,故 错误;
对于 ,由菱形 ,可 且 ,
所以 ,一定有 ,故 正确;
对于 D, 两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量,
规定零向量与任一向量为平行向量, 平行向量又称共线向量,
故共线向量不一定是在同一条直线上的向量, 也可在相互平行的直线上, 故 D 错误.
故选: C.
3. D
因为 ,
所以
则 .
故选: D.
4. A
,所以 是等边三角形.
故选: A.
5. B
由题意可得: .
故选: B.
6. C
由图可得 ,
所以 ,则 .
故选:
7.
向量 ,则
因为 ,
所以 ,
故选: D
8. C
因为 ,则 ,则 ,解得 ,
则 ,
则 与 的夹角的余弦值为 .
9. ABD
对于 ;
对于 ;
对于 ;
对于 .
故选: ABD.
10. ACD
对 ,因为在 中，
所以 ,解得 ,
所以根据正弦定理知 ,故 A 正确;
对 ,易知角 为最大角,则 ,
,所以角 为锐角,故 是锐角三角形,故 错误;
易角 为最小角,则 ,
所以 ,即 ,
又 ,所以 ,所以 ,故 正确;
设外接圆的半径为 ,则由正弦定理得 ,解得 ,故 正确;
故选: ACD.
11. ABC
如图以 中点 为原点, 为 轴建立平面直角坐标系,
则 ,
对于 ,若 为 的重心,则 ,即 ,
所以 ,
若 ,则 ,解得 ,
此时 , 说法正确;
对于 ,若 为 的内心,由点 到 的距离相等可知 在 上,
设内切圆的半径为 ,则 ,
即 ,解得 ,所以 ,
若 ,则 ,解得 ,
此时 , 说法正确;
对于 ,若 为 的垂心,由 可知 在 上,
设 ,则 ,解得 ,
所以 ,
若 ,则 ,解得 ,
此时 说法正确;
对于 ,若 为 的外心,由 可知 在 上,
设 ,则 ,即 ,解得 ,
所以 ,
若 ,则 ,解得 ,
此时 说法错误;
故选: ABC
12.
因为向量 共线,
所以存在实数 ,使 ,
则 ,解得 ,则 .
故答案为:
13. 4
在 方向上的投影向量的模为 .
14.
由题设, ,又 ,
,而 ,
,
由题设知: ,
而 知: 为 中点,
,则 ,
,
,
故 ,由 可得: .
故答案为: .
15.
(2)
(1)因为 ，所以 ，则 ，
因为 ,所以 ,则 .
(2)因为 ，
所以 ,
即向量 与向量 的夹角的余弦值为 .
16. (1)
(2)
(1)因为 ,所以 ;
因为 ,所以
(2)设 ，则 ，
由(1)知 ，因为 ，所以 ，
则 ，解得 .
17. ;
(2) .
(1) 由 及正弦边角关系得 , 而 ,整理得 ,
因为 ,所以 ;
(2)由余弦定理 ,得 ,
进而得 ,得 ,
所以 的周长为 .
18.
(2)
(3)
(1)因为 ,由正弦定理可得
所以 ,所以 ,
由余弦定理可得 ,
因为 ,故 .
(2)由正弦定理可得 ，所以 ，即 ，可得 ， 由余弦定理可得 ,故 .
(3)因为 ，则 为锐角，所以 ，
所以 ,
所以 .
19.
(2)
(1)以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
由 可得 ,
又 ，由三角函数的定义可得 ，
即 ,
因为 为圆弧 的中点,所以 ,又 ,
则 ,
所以 ,
由 可得 ,
即 ,解得 .
(2)设 ，则 ，所以 ， 由 可得 , 可得 ,解得 , 所以 , 因为 ,所以 , 当 时,即 时, 取得最大值 1,此时 的最大值为 2,
当 或 时,即 或 时, 取得最小值 ,
此时 的最小值为 1,
所以 的取值范围为 .