人教A版高二数学必修五第一章1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题（共28张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教A版高二数学必修五第一章1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题（共28张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 834.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-11-24 10:35:22 | ||
图片预览
文档简介
(共28张PPT)
第2课时 解三角形的实际应用举例
—高度、角度问题
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点)
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度
例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
解: 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).
根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？
分析:
若在ΔABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？
那又如何求BD边呢？
解：在△ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
答：山的高度约为150米.
把测量数据代入上式，得
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
.
思考:有没有别的解题思路呢？
先在△ABC中，根据正弦定理求得AC.再在△ACD中求CD即可.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高CD(精确到1 m).
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°.
根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).
答：山的高约为1 047米.
正确转化为数学模型
例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,
需要航行的距离是
多少 (角度精确到
0.1°,距离精确到
0.01 n mile)
探究点2 测量角度问题
分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.
解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
根据正弦定理,
1.如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，
通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，
设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按
顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的
端点A移动的距离AA0）
（精确到1mm）.
分析：此题即“已知在△ABC中，BC＝85 mm，AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．”
解：如图,在△ABC中，由正弦定理可得：
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81 mm．
解：如图，在△ABC中，由余弦定理得：
2.我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1°）
A
C
B
40°
50°
10°
所以我舰的追击速度为14海里/小时.
答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东12°方向航行才能用2小时追上敌舰.
3.3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
.
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
4.（2013·江苏高考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1 260m，经测量， ， .
（1）求索道AB的长.
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
甲沿
C
B
A
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝15k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1 260m，
知：AB＝52k＝1 040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM·ANcosA＝
7 400 x2－14 000 x＋10 000，
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
C
B
A
D
M
N
1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
2.实际问题处理
第2课时 解三角形的实际应用举例
—高度、角度问题
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点)
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度
例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
解: 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).
根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？
分析:
若在ΔABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？
那又如何求BD边呢？
解：在△ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
答：山的高度约为150米.
把测量数据代入上式，得
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
.
思考:有没有别的解题思路呢？
先在△ABC中，根据正弦定理求得AC.再在△ACD中求CD即可.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高CD(精确到1 m).
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°.
根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).
答：山的高约为1 047米.
正确转化为数学模型
例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,
需要航行的距离是
多少 (角度精确到
0.1°,距离精确到
0.01 n mile)
探究点2 测量角度问题
分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.
解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
根据正弦定理,
1.如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，
通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，
设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按
顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的
端点A移动的距离AA0）
（精确到1mm）.
分析：此题即“已知在△ABC中，BC＝85 mm，AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．”
解：如图,在△ABC中，由正弦定理可得：
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81 mm．
解：如图，在△ABC中，由余弦定理得：
2.我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1°）
A
C
B
40°
50°
10°
所以我舰的追击速度为14海里/小时.
答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东12°方向航行才能用2小时追上敌舰.
3.3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
.
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
4.（2013·江苏高考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1 260m，经测量， ， .
（1）求索道AB的长.
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
甲沿
C
B
A
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝15k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1 260m，
知：AB＝52k＝1 040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM·ANcosA＝
7 400 x2－14 000 x＋10 000，
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
C
B
A
D
M
N
1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
2.实际问题处理