第六章 反比例函数
2.反比例函数的图象与性质（二）
一、学生知识状况分析
函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．
二、教学任务分析
《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对和时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质的理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下：
知识与技能目标：
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质．
提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．
过程和方法目标：
让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验．
逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．
情感、态度和价值观目标：
经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力.
在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点：
重点：探索反比例函数的主要性质.
难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：
第一环节： 要点回顾 铺平道路；第二环节：设问质疑 探究尝试；第三环节：实际运用 巩固新知；第四环节：激趣质疑 再探新知；第五环节：活学活用 巩固提高；第六环节：总结串联 纳入系统；第七环节：分层达标 课后延伸.
第一环节：要点回顾 铺平道路
内容：
下列函数中，哪些是反比例函数？
（1） （2） （3） （4） （5）
2. 你能想到的图象吗？它是什么形状？有什么特点？呢？
教学策略：
让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数，的图象，并回顾每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认知．
设计意图：
反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．
第二环节：设问质疑 探究尝试
内容1：试一试
观察反比例函数，，的图象，你能发现它们的共同特征吗?
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
教学策略：
1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．
2．对于问题（2）、（3），教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．
3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行．
设计意图：
本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力．
内容2：议一议
考察当=-2，-4，-6时，反比例函数的图象，它们有哪些共同特征？
教学策略：
前面已经对时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．
设计意图：
通过对时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．
内容3：说一说
你能尝试着说说反比例函数的图象有哪些共同特征吗？
教学策略：
1．在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数的图象性质，从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．
2．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．
设计意图：
“试一试”、“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析，内容3主要是将知识进行了系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．
第三环节：实际运用 巩固新知
内容：练一练
1.下列函数：①；②；③；④中
（1）图象位于二、四象限的有 ；
（2）在每一象限内，随的增大而增大的有 ；
（3）在每一象限内，随的增大而减小的有 ．
2. 若函数的图象在其象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
3.点，都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是 ．
变式：
点，都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是 ．
教学策略：
1．留有充分的时间，让学生独立完成。在此基础上，小组交流，每名成员完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．
2．问题3的变式中蕴含分类讨论思想，教学中让学生独立思考，然后交流各自的想法，关注学生思维的广度和深度．
设计意图：
1.通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．
2.运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想．
3.课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础．
第四环节：激趣质疑 再探新知
内容1：想一想
在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为，与有什么关系？为什么？
（1）让我们从具体的反比例函数开始考虑：
此时，与有什么关系？为什么？
（2）对于一般的反比例函数呢？
教学策略：
1. 给出具体的反比例函数，让学生按题目要求，取点、构造矩形、，自主探究与之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．
2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数，可以完全放手给学生，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结．
设计意图：
如果直接探究函数，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一难点，先给出简单的反比例函数，在探究了具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究，符合学生的认知规律．
内容2：变一变
在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P作x轴的垂线，连接PO（O为原点），与坐标轴围成的三角形面积为；过点Q作x轴的垂线，连接QO，与坐标轴围成的三角形面积为，与有什么关系？为什么？
教学策略：
将问题直接抛给学生，类比前面探究问题的方法，让学生来寻求解决问题的策略．
设计意图：
通过变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建构．
第五环节：活学活用 巩固提高
1．如图，是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点， 随着自变量的增大，矩形的面积（ ）
A．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定
2．如图，是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作连接PO，则△PAO的面积为 ．
3．已知点、点都在反比例函数的图象上.过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是.求的值.
教学策略：
3个题目都比较基础，教师可以让学生独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法．
设计意图：
巩固所学知识，加深对反比例函数性质的理解．
第六环节：归纳总结 纳入系统
内容：
本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
你有哪些感悟和收获？
你还有想继续探究的问题吗？
你对小组成员有什么评价和建议呢？
教学策略：
引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．
设计意图：
引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．
第七环节：分层达标 课后延伸
A层：
1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有 ；在图象所在象限内，的值随的增大而增大的有 ．
(1) ；（2）；（3）；（4）
2.已知点A（-1，）、B（-2，）在双曲线上，则 (填“>、<或=”）．
B层：
已知点，，，都在反比例函数的图象上，比较、、与的大小．
C层：
已知点，，都在反比例函数的图象上，比较、、的大小．
教学策略：让学生根据自身的学习情况，自主选择适合的题目。尽可能当堂反馈检测结果，如果时间不允许，可以课后反馈，但一定要及时．
设计意图：设置不同层次、具有选择性的题目，供不同的学生选择，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”．
作业：
A层：习题1、2
B层：习题3、4
C层：习题5
附：板书设计
四、教学设计反思
1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让生更全面的对函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述．
2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用鼓动性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．
3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．
课件22张PPT。第六章 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质（二）要点回顾 铺平道路1.下列函数中，哪些是反比例函数？
（1） （2）
（3） （4）
（5）2.你能想到 的图象吗？ 它是什么形状？
有什么特点？ 呢？设问质疑 探究尝试观察反比例函数 的图象，回答下列问题：（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？设问质疑 探究尝试观察反比例函数 的图象，回答下列问题：（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
设问质疑 探究尝试考察当K=-2，-4，-6时，反比例函数 的图象，回答下列问题：（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
你能试着说说反比例函数 的共同特征吗？反比例函数 的图象
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。总结串联1.下列函数：① ；② ；③ ；
④ 中
（1）图象位于二、四象限的有 ；
（2）在每一象限内，随的增大而增大的有 ；
（3）在每一象限内，随的增大而减小的有 ．实际运用 巩固新知2.若函数 的图象在其象限内， 随 的
增大而增大，则 的取值范围是 ．
实际运用 巩固新知3.点 ，都在反比例函数
的图象上，若 ，则 的大小关系
是 ．实际运用 巩固新知 点 ，都在反比例函数
的图象上，若 ，则 的大小关系
是 ．变式：在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过
点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围
成的矩形面积为 ；过点Q分别作x轴、y轴
的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，
与 有什么关系？为什么？激趣质疑 再探新知
与 有什么关系？以 为例：激趣质疑 再探新知S1S2
对于一般的函数 呢？在一个反比例函数图象任取两点 ，过点 作 轴的垂线，连接 （ 为原点），与坐标轴围成的三角形面积为 ；过点 作 轴的垂线，连接 ，与坐标轴围成的三角形面积为 ， 与 有什么关系？为什么？变一变：活学活用 巩固提高1.如图， 是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，
随着自变量 的增大，矩形OAPB的面积（ ）
A．不变 B.增大
C. 减小 D.无法确定2.如图， 是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作
连接PO，三角形OAP的面积为 ．
活学活用 巩固提高已知点 、点 都在反比例函数 的图象上.过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是 ；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是 .求 、 、 的值.活学活用 巩固提高归纳总结 纳入系统本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有想继续探究的问题吗？你对小组成员有什么评价和建议呢？A层：
1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有 ；
在图象所在象限内， 随 的增大而增大的有 ．
2.已知点A（-1， ）、B（-2， ）在双曲线 上，则 (填“>、<或=”）．分层达标 评价矫正B层：
已知
都在反比例函数 的图象上，比较 、 、 与 的大小．分层达标 评价矫正C层：
已知点 都在反比例函数
的图象上，比较 、 与 的大小．分层达标 评价矫正反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为QM的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.
∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
∴∠MOH＝∠POH.
问题在于，如何确定线段QM两端点的位置，并且保证O，Q，M在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，Q，连接OM得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?
(2)你能说明∠MOB＝∠AOB的理由吗?
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?
解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，),R(a2, )，则Q(a1，)，M(a2, ）.
设直线OM的关系式为y＝kx.
∵当x＝a2时，y=
∴=ka2,∴k=.∴y=x.
当x=a1时，y=
∴Q(a1，)在直线OM上.
(2)∵四边形PQRM是矩形.
∴PC=PR=CM.∴∠2＝2∠3.
∵PC=OP，∴∠1＝∠2，
∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
即∠MOB=∠AOB.
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.
