平面与平面垂直的判定及性质
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课件16张PPT。平面与平面垂直的判定及性质2010年5月29日1.二面角从一条直线出发两个半平面所组成的图形αβlα— l —β平面两平面的交线平面二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为
垂足，在两个平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条
射线构成的角叫做 这个二面角的平面角 二面角的范围：〔0°，180°〕如何找二面角的平面角PC⊥平面ABC，过C作CD⊥AB连接PD.则∠PDC为平面PAB与平面ABC的二面角的平面角。平面C1D1AB与平面ABCD
的二面角的平面角.关键
点确定二面角的棱，利用
正方体棱垂直于底的特性
就能找出。例1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求(1)二面角D1—BC—D的大小.
(2)面A1BC1与面AC的二面角.先找二面角的棱.过B作AC的平行l，
连接AC、BD、B1D1、O1O、O1B， ∵O1O⊥面AC，∴AC⊥面O1OB，
∴l⊥BD，l⊥O1B. ∴∠O1BO即为
所求的二面角的平面角l归纳：先作出二面角的平面角，再证明，第三，
将作出的角放在三角形中计算出大小。2、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面垂直。
（2）判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。l⊥?，l?β， ?⊥β线面垂直面面垂直例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面
PBC.●O证明：PA⊥平面ABC，所以
PA⊥BC，又AB是⊙O的直径
C是圆周上不同于A、B的任意
一点，所以BC⊥AC. PA与AC
相交于点A，所以BC⊥平面PAC
，而BC在平面PAB内，所以平面
PAC⊥平面PBC.
①线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条线；
②直径所对的圆周角是直角；
③平面与平面垂直的判定定理.练一练
如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面
ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，求证：平面
PDC⊥平面PAD.证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，
PA∩AD=A，CD⊥平面PAD，
而CD?平面PDC，∴平面PDC
⊥平面PAD.例2.在四面体ABCD中，CB=CD, AD⊥BD,且E、F
分别是AB、BD的中点，求证面EFC⊥面BCD.证明：∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF//AD，又AD⊥BD, ∴
EF⊥BD，而CB=CD, ∴CF⊥BD,
EF、CF ?面EFC，且EF∩CF=F
，∴BD⊥面EFC，又BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD.①中位线性质
②等腰三角形三线合一
③平面与平面垂直的判定定理练一练
在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两
互相垂直，且BC=CD=1
( 1 )求证：平面ACD⊥平面ABC;
（2）求二面角C—AB—D的大小.
（1）证明：CD⊥BC、CD⊥AB
，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
，又CD?平面ACD，∴平面ACD
⊥平面ABC.（2）∵AB、BC、CD两两互相垂直，
∴∠CBD是所求二面角的平面角，又
BC=CD=1，CD⊥BC ∴∠CBD=45°
练习
1、如果两条异面直线a和b成30o角，a⊥α，b ⊥β, 那么α与β所成的二面角是____________.30o或150o 2、 如图,过点S作三条不共面的直线,使∠BSC=900, ∠ASB= ∠ASC=600,截取SA=SB=SC,求证:平面ABC⊥平面BSC取BC的中点D，连AD、SD，D平面与平面垂直的性质2010年5月30日 性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直.?⊥β，?∩β=m，l?β
l⊥m l⊥?.（1）线在面内
（2）垂直于两平面的交线这个定理也可作为线面垂直的判定定理判断下列命题是否正确,正确的请说明理由,错误的请举出一个反例.已知两个平面垂直,则:1、一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线。2、一个平面内的已知直线必垂直于另一平面的无数条直线。正确3、一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面。4、过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。正确例1 如图:已知平面 ,直线 满足
试判断直线 与平面 的位置关系.解:在 内作垂直于 与 交线的直线即直线 与平面 平行.定理的应用β?例2.如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证：AB⊥BC.证明：过A作AD⊥PB交于D，D∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC，又∵平面PAB⊥平面PBC，平面
PAB∩平面PBC=PB, ∴AD⊥平面
PBC，∴AD⊥BC.
PA∩AD=A，∴BC⊥平面PAB，
而AB?平面PAB，∴AB⊥BC.如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.F证明: ∵AB是⊙O的直径O∴AC⊥CB
∵PA⊥平面ABC, ∴
PA⊥BC，∴BC⊥平面
PAC. ∴平面PBC⊥平面
PAC，又AF⊥PC
∴AF⊥平面PBC.线面垂直线线垂直面面垂直
垂足，在两个平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条
射线构成的角叫做 这个二面角的平面角 二面角的范围：〔0°，180°〕如何找二面角的平面角PC⊥平面ABC，过C作CD⊥AB连接PD.则∠PDC为平面PAB与平面ABC的二面角的平面角。平面C1D1AB与平面ABCD
的二面角的平面角.关键
点确定二面角的棱，利用
正方体棱垂直于底的特性
就能找出。例1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求(1)二面角D1—BC—D的大小.
(2)面A1BC1与面AC的二面角.先找二面角的棱.过B作AC的平行l，
连接AC、BD、B1D1、O1O、O1B， ∵O1O⊥面AC，∴AC⊥面O1OB，
∴l⊥BD，l⊥O1B. ∴∠O1BO即为
所求的二面角的平面角l归纳：先作出二面角的平面角，再证明，第三，
将作出的角放在三角形中计算出大小。2、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面垂直。
（2）判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。l⊥?，l?β， ?⊥β线面垂直面面垂直例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面
PBC.●O证明：PA⊥平面ABC，所以
PA⊥BC，又AB是⊙O的直径
C是圆周上不同于A、B的任意
一点，所以BC⊥AC. PA与AC
相交于点A，所以BC⊥平面PAC
，而BC在平面PAB内，所以平面
PAC⊥平面PBC.
①线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条线；
②直径所对的圆周角是直角；
③平面与平面垂直的判定定理.练一练
如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面
ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，求证：平面
PDC⊥平面PAD.证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，
PA∩AD=A，CD⊥平面PAD，
而CD?平面PDC，∴平面PDC
⊥平面PAD.例2.在四面体ABCD中，CB=CD, AD⊥BD,且E、F
分别是AB、BD的中点，求证面EFC⊥面BCD.证明：∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF//AD，又AD⊥BD, ∴
EF⊥BD，而CB=CD, ∴CF⊥BD,
EF、CF ?面EFC，且EF∩CF=F
，∴BD⊥面EFC，又BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD.①中位线性质
②等腰三角形三线合一
③平面与平面垂直的判定定理练一练
在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两
互相垂直，且BC=CD=1
( 1 )求证：平面ACD⊥平面ABC;
（2）求二面角C—AB—D的大小.
（1）证明：CD⊥BC、CD⊥AB
，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
，又CD?平面ACD，∴平面ACD
⊥平面ABC.（2）∵AB、BC、CD两两互相垂直，
∴∠CBD是所求二面角的平面角，又
BC=CD=1，CD⊥BC ∴∠CBD=45°
练习
1、如果两条异面直线a和b成30o角，a⊥α，b ⊥β, 那么α与β所成的二面角是____________.30o或150o 2、 如图,过点S作三条不共面的直线,使∠BSC=900, ∠ASB= ∠ASC=600,截取SA=SB=SC,求证:平面ABC⊥平面BSC取BC的中点D，连AD、SD，D平面与平面垂直的性质2010年5月30日 性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直.?⊥β，?∩β=m，l?β
l⊥m l⊥?.（1）线在面内
（2）垂直于两平面的交线这个定理也可作为线面垂直的判定定理判断下列命题是否正确,正确的请说明理由,错误的请举出一个反例.已知两个平面垂直,则:1、一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线。2、一个平面内的已知直线必垂直于另一平面的无数条直线。正确3、一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面。4、过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。正确例1 如图:已知平面 ,直线 满足
试判断直线 与平面 的位置关系.解:在 内作垂直于 与 交线的直线即直线 与平面 平行.定理的应用β?例2.如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证：AB⊥BC.证明：过A作AD⊥PB交于D，D∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC，又∵平面PAB⊥平面PBC，平面
PAB∩平面PBC=PB, ∴AD⊥平面
PBC，∴AD⊥BC.
PA∩AD=A，∴BC⊥平面PAB，
而AB?平面PAB，∴AB⊥BC.如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.F证明: ∵AB是⊙O的直径O∴AC⊥CB
∵PA⊥平面ABC, ∴
PA⊥BC，∴BC⊥平面
PAC. ∴平面PBC⊥平面
PAC，又AF⊥PC
∴AF⊥平面PBC.线面垂直线线垂直面面垂直