(共9张PPT)
1 不等式及其性质
第1课时 不 等 式
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 若x－3y □ 2是不等式，则“□”内填的符号不能是（ A ）
A. ＋ B. ＞ C. ＜ D. ≤
A
2. 小明每个月攒25元零花钱，他已经攒了50元.若继续攒x个月，则能
购买一套价值480元的四大古典名著珍藏版.下列符合题意的不等式为
（ A ）
A. 25x＋50≥480 B. 25x－50≥480
C. 25x＋50≤480 D. 25x－50≤480
A
1
2
3
4
5
6
7
8
3. 新情境 现实生活 如图所示为校园内限速标志，若用v km表示速
度，请用含字母v的不等式表示这个标志的实际意义： v≤5 .
（第3题）
v≤5
4. 新考法 开放题 请设计一个实际背景来表示不等式30x＜100的实际
意义： 答案不唯一，如欣欣与好朋友共x人，一同去观看电影，该电
影的票价为30元/人，携带100元购票后仍有剩余 .
答案不唯一，如欣欣与好朋友共x人，一同去观看电影，该电
影的票价为30元/人，携带100元购票后仍有剩余
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 根据数量关系列不等式.
（1） x的6倍小于3.
解：（1） 6x＜3.
（2） x的一半与8的差是负数.
解：（2） x－8＜0.
（3） y的3倍与6的和不大于10.
解：（3） 3y＋6≤10.
（4） a与b的和的平方是一个非负数.
解：（4） （a＋b）2≥0.
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 新考法 新定义题 在数学发展史中，符号占有很重要的地位，它不
但书写简单，而且表达的意义很明确.在不等式中，除了我们熟悉的符
号外，还有很多，例如：≮表示不小于；≯表示不大于； 表示远大
于； 表示远小于；….下列选项中，表达错误的是（ D ）
A. 2≮2 B. －1≯0
C. 100 1 D. －2 －99
D
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 端午节期间，某班级同学参加“美好食光”活动，需包粽子若干
只，若 ；若每人包6只粽子，则未包完.依题意，设有x名同
学，可列不等式5（x＋7）＞6x，则对应所列不等式，横线上的内容
是 每人包5只粽子，则还需要7名同学 .
每人包5只粽子，则还需要7名同学
1
2
3
4
5
6
7
8
8. ★用甲、乙两种货车运输某种材料，已知这两种货车的单次运输能力
和价格如下表所示：
货 车 甲 乙
单次运输能力/吨 3 2
单次运输价格/元 300 180
1
2
3
4
5
6
7
8
（1） 现需要一次性运送该种材料30吨，要求甲、乙两种货车至少12
辆，试写出所需甲种货车辆数x应满足的不等式.
解：（1） ∵ 所需甲种货车x辆，∴ 所需乙种货车 辆.由题意，得
＋x≥12.
（2） 在（1）的条件下，如果使用甲、乙两种货车的运输总费用不超
过2 820元，请写出x应满足的另外一个不等式.
解：（2） 由题意，得300x＋ ×180≤2 820.
1
2
3
4
5
6
7
8(共12张PPT)
专题特训四 利用不等式（组）与一次函数进行方案设计
第二章 不等式与不等式组
类型一 最（至）多（少）问题
1. （2025 赣州章贡期末）某新能源汽车可采用汽油和电两种能源，两
种能源不能同时使用，经测算，该新能源汽车使用汽油和电两种能源行
驶的费用如下表所示：
总费用/元
10 30 14.4
40 20 41.6
1
2
3
4
（1） 该新能源汽车使用汽油和电两种能源行驶1千米的费用分别是多
少元？
解：（1） 设该新能源汽车使用汽油行驶1千米的费用是x元，使用电行
驶1千米的费用是y元.根据题意，得 解得
答：该新能源汽车使用汽油行驶1千米的费用是0.96元，使用电行驶1千
米的费用是0.16元.
1
2
3
4
（2） 已知从A地行驶至B地共100千米，使用汽油和电的总费用不超过
40元，则至少需使用电行驶多少千米？
解：（2） 设使用电行驶m千米，则使用汽油行驶（100－m）千米.根
据题意，得0.16m＋0.96（100－m）≤40，解得m≥70.∴ m的最小值
为70.答：至少需使用电行驶70千米.
1
2
3
4
类型二 可行性方案设计问题
2. 卫生防疫部门准备购买甲、乙两种型号的消毒器，通过市场调研得
知：购买3个甲型消毒器和4个乙型消毒器共需1 040元；购买1个甲型消
毒器比购买2个乙型消毒器少用80元.
（1） 甲、乙两种型号的消毒器的单价各是多少元？
解：（1） 设甲型消毒器的单价是x元，乙型消毒器的单价是y元.根据
题意，得 解得 ∴ 甲型消毒器的单价是
176元，乙型消毒器的单价是128元.
1
2
3
4
（2） 卫生防疫部门准备购买两种型号的消毒器共10个，所用资金不超
过1 400元，卫生防疫部门有哪几种购买方案（两种型号的消毒器都必须
购买）？
解：（2） 设购买m个甲型消毒器，则购买（10－m）个乙型消毒器.根
据题意，得176m＋128（10－m）≤1 400，解得m≤ .又∵ m，10－
m均为正整数，∴ m的值可以为1，2.∴ 卫生防疫部门共有2种购买方
案，方案一：购买1个甲型消毒器，9个乙型消毒器；方案二：购买2个
甲型消毒器，8个乙型消毒器.
1
2
3
4
类型三 最优方案的设计问题
3. 某农业生态园响应国家发展有机农业的号召，大力种植有机蔬菜.某
超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，甲种有机蔬菜的进
价为每千克m元，售价为每千克16元；乙种有机蔬菜的进价为每千克n
元，售价为每千克18元.该超市采购甲种有机蔬菜10千克和乙种有机蔬
菜5千克需要170元；采购甲种有机蔬菜6千克和乙种有机蔬菜10千克需
要200元.
（1） 求m，n的值.
解：（1） 由题意，得 解得
1
2
3
4
（2） 该超市决定每天采购甲、乙两种有机蔬菜共100千克，且投入的
资金不少于1 160元又不多于1 168元，设采购甲种有机蔬菜x（x为整
数）千克，则有哪几种采购方案？
解：（2） ∵ 采购甲种有机蔬菜x千克，∴ 采购乙种有机蔬菜
（100－x）千克.由题意，得
解得58≤x≤60.∵ x为整数，∴ x＝58，59，60.∴ 有3种采购方案.方案一：采购甲种有机蔬菜58千克，乙种有机蔬菜42千克；方案二：采购甲种有机蔬菜59千克，乙种有机蔬菜41千克；方案三：采购甲种有机蔬菜60千
克，乙种有机蔬菜40千克.
1
2
3
4
（3） 在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定将售
出每千克甲种有机蔬菜所获利润捐出2a元，售出每千克乙种有机蔬菜
所获利润捐出a元给当地福利院.若要保证捐款后的利润率不低于20%，
求a的最大值.
解：（3） 设该超市获得的利润为y元，则y＝（16－10）x＋
（18－14）（100－x）＝2x＋400.∵ 2＞0，∴ y随x的增大而增大.∴ 当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60＋400＝520，此时100－x＝40.由题意，得60（16－10－2a）＋40（18－14－a）≥（10×60＋14×40）
×20%，解得a≤1.8.
∴ a的最大值为1.8.
1
2
3
4
类型四 最佳方案的选择问题
4. A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市
都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打九折，超过300元的部分打七折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价销售，超过100元的部分打八折.
例如：一次购物的商品的原价为500元，
去A超市的付款额为300×0.9＋（500－300）×0.7＝410（元）；
去B超市的付款额为100＋（500－100）×0.8＝420（元）.
1
2
3
4
（1） 设商品的原价为x元，付款额为y元，分别就两家超市的促销方式
写出y关于x的函数表达式.
解：（1） 由题意，可得当0＜x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，
yA＝0.9×300＋0.7（x－300）＝0.7x＋60.∴ yA＝
当0＜x≤100时，yB＝x；当x＞100时，yB
＝100＋0.8（x－100）＝0.8x＋20.∴ yB＝
1
2
3
4
（2） 促销活动期间，若小刚一次购物的商品的原价超过200元，则他
去哪家超市购物更省钱？
解：（2） 当x≤300时，令0.9x＞0.8x＋20，解得x＞200；令0.9x＝
0.8x＋200，解得x＝200（不合题意，舍去）；令0.9x＜0.8x＋200，
解得x＜200（不合题意，舍去）.∴ 当200＜x≤300时，他去B超市购
物更省钱.当x＞300时，令0.7x＋60＞0.8x＋20，解得x＜400；令0.7x
＋60＝0.8x＋20，解得x＝400；令0.7x＋60＜0.8x＋20，解得x＞
400.∴ 当300＜x＜400时，他去B 超市购物更省钱；当x＝400时，他去
两家超市购物花费一样；当x＞400时，他去A超市购物更省钱.综上所
述，当200＜x＜400时，他去B超市购物更省钱；当x＝400时，他去两
家超市购物花费一样；当x＞400时，他去A超市购物更省钱.
1
2
3
4(共11张PPT)
专题特训三 不等式（组）与方程（组）的综合问题
第二章 不等式与不等式组
类型一 由方程（组）解的情况列不等式（组）
1. 已知关于x 的方程2x＋4＝m－x的解为负数，则m的取值范围
是（ C ）
A. m＜ B. m＞
C. m＜4 D. m＞4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
2. （2025 邯郸丛台期末）关于x，y的方程组 的解
中，x与y的差不大于3，则k的取值范围是（ D ）
A. k≥2 B. k≤1
C. k≥1 D. k≤2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
3. ★如果关于x的方程ax－2＝x＋3的解为非正数，且关于x，y的二元
一次方程组 的解满足x＋y＞－ ，那么满足条件的整数
a的值有（ C ）
A. 5个 B. 6个
C. 7个 D. 8个
4. （2025 南京建邺期末）已知关于x的方程2（x＋a）＝x＋3的解满
足2x－10＞8a，则a的取值范围是 a＜－ .
C
a＜－
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＜0.
（1） 求a的取值范围.
解：（1） ①＋②，得4x＋4y＝4＋4a.整理，得
x＋y＝1＋a.∵ x＋y＜0，∴ 1＋a＜0，解得a＜－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） 化简：｜1－a｜＋ .
解：（2） ∵ a＜－1，∴ 1－a＞0，a＋ ＜0.∴ ｜1－a｜＋ ＝
1－a－a－ ＝ －2a.
1
2
3
4
5
6
7
8
类型二 由不等式（组）解集的情况列方程（组）
6. 已知关于x的不等式5x＋a＜3的解集是x＜2，求a 的值.
解：解不等式5x＋a＜3，得x＜ .∵ 不等式5x＋a＜3的解集是x＜
2，∴ ＝2.
∴ a＝－7.
1
2
3
4
5
6
7
8
7. （2025 抚州金溪期中）已知关于x的不等式① 4＋2x＞0与② －3（x
＋1）＞4（a－x）.
（1） 若两个不等式的解集相同，求a的值.
解：（1） 解不等式4＋2x＞0，得x＞－2.解不等式－3（x＋1）＞4
（a－x），得x＞4a＋3.∵ 两个不等式的解集相同，∴ 4a＋3＝－2，
解得a＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） 若不等式②的解都是不等式①的解，求a的取值范围.
解：（2） 由（1）知，不等式①的解集为x＞－2，不等式②的解集为
x＞4a＋3，∵ 不等式②的解都是不等式①的解，
∴ 4a＋3≥－2，解得a≥－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
8. （2025 西安碑林段考）已知关于x的不等式组 的解集
是－1＜x＜3.
（1） 求代数式（a＋1）（b－1）的值.
解：（1） 解不等式2x－a＜1，得x＜ .解不等式x－2b＞－3，得
x＞2b－3.∴ 不等式组的解集为2b－3＜x＜ .∵ 不等式组的解集为
－1＜x＜3，∴ 解得 ∴ （a＋1）（b－1）
＝（5＋1）×（1－1）＝6×0＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） 若a，b，c为某三角形的三边长，试求｜a＋b－c｜＋｜c－
3｜的值.
解：（2） ∵ a，b，c为三角形的三边长，∴ a＋b＞c，a－b＜c.
∴ a＋b－c＞0，4＜c＜6.∴ 原式＝5＋1－c＋c－3＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8(共19张PPT)
3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集
为（ C ）
A. x≥2 B. x＜2
C. x≤2 D. x≤－1
（第1题）
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 一次函数y1＝mx－n与y2＝－x＋a的图象如图所示，则关于x的不
等式mx－n＞－x＋a的解集为 x＞4 .
（第2题）
x＞4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 有甲、乙两个圆柱形蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池.
甲、乙两池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的关系如图所示.
已知y甲＝－ x＋2.请结合图象解答问题：
（1） 直接写出乙池中水的深度y乙（m）与注水时间x（h）之间的函数
表达式.
解：（1） y乙＝x＋1.
（第3题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 当注水时间超过多少时后，乙池中水的深度才能超过甲池中水的
深度？
解：（2） 联立 解得 观察图
象，可知当注水时间超过 h后，乙池中水的深度才能
超过甲池中水的深度.
（第3题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 数形结合思想 （2025 临沂郯城期末）如图，直线l1：y＝x－1与
直线l2：y＝kx＋b交于点P（a，2），下列结论错误的是（ C ）
A. k＜0，b＞0
B. 关于x的方程x－1＝kx＋b的解为x＝3
C. 不等式kx＋b≤2的解集为x≤3
D. 关于x的不等式x－1＜kx＋b的解集为x＜3
（第4题）
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 如图，函数y1＝｜x｜和y2＝ x＋ 的图象相交于（－1，1），
（2，2）两点.当y1＞y2时，x的取值范围是（ D ）
A. x＜－1 B. x＞2
C. －1＜x＜2 D. x＜－1或x＞2
（第5题）
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 若直线y＝kx＋b（k＞0）是由正比例函数y＝kx的图象向左平移1
个单位长度得到的，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是
x＞－1 .
7. 如图，直线y＝kx＋b（k＜0）经过点A（3，1），当kx＋b＜ x
时，x的取值范围是 x＞3 .
（第7题）
x＞－1
x＞3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 已知一次函数y1＝x＋2与y2＝－x＋b（b为常数），当x＜1时，y1
＜y2，则b的取值范围是 b≥4 .
b≥4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 一次函数y1＝kx＋b和y2＝3x＋m的图象如图所示，且A（1，0），
B（－4，0）.
（1） 观察图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜0的解集.
解：（1） x＞1.
（第9题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若关于x的不等式3x＋m＞kx＋b的解集是x＞－2，求点C的坐
标.
解：（2） 将B（－4，0）代入y2＝3x＋m，得0＝－12
＋m，解得m＝12.∴ y2＝3x＋12.∵ 关于x的不等式3x
＋m＞kx＋b的解集是x＞－2，∴ 点C的横坐标是－2.
当x＝－2时，y2＝3×（－2）＋12＝6，∴ 点C的坐标
为（－2，6）.
（第9题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. （2025 霸州期末）“谷雨前后，栽瓜点豆”是一句广泛流传的农
谚，此时春耕春播进入了关键期.琪琪家计划在某一天（一天以24 h计）
租用播种机播种花生.现有两家农机公司可提供播种机租赁服务，方案
如下：甲公司收取固定租金80元，另外再按播种机租赁时间计费，每小
时20元；乙公司无固定租金，直接以播种机租赁时间计费，每小时的租
赁费是40元.根据以上信息，解答下列问题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：（1） 根据题意，得y1＝80＋20x，y2＝40x.
（1） 设租赁时间为x h（0＜x≤24）时，租用甲公司的播种机每日所
需费用为y1元，租用乙公司的播种机每日所需费用为y2元，分别求出
y1，y2关于x的函数表达式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 当播种机的租赁时间为多少时，两家公司提供的方案所需租赁费
用相同？
解：（2） ∵ 两家公司提供的方案所需租赁费用
相同，∴ 80＋20x＝40x，解得x＝4.∴ 当播种机
的租赁时间为4 h时，两家公司提供的方案所需租
赁费用相同.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3） 在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，请你根据
（2）中的计算结果，再结合函数图象，帮助琪琪家选择租赁方案，使
租赁费用更合算.
解：（3） 画出图象如图所示.当0＜x＜4时，选择乙公司更合算；当x＝4时，选择两家公司的租赁费用相同；当4＜x≤24时，选择甲公司更
合算.
（第10题答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 定义运算min{a，b}：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，
min{a，b}＝a.例如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{－3，－1}
＝－3.根据该运算的定义解决下列问题：
（1） min{－3，2}＝ －3 ，当x≤2时，min{x，2}＝ x .
－3
x
（第11题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 若min{3x－1，－x＋3}＝3x－1，求x的取值范围.
解：（2） ∵ min{3x－1，－x＋3}＝3x－1，∴ 3x－1≤－x＋3，解
得x≤1.
（第11题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3） 如图，直线y1＝x＋m与y2＝kx－2相交于点P（－2，1）.若
min{x＋m，kx－2}＝kx－2，结合图象，求x的取值范围.
（第11题）
解：（3） ∵ min{x＋m，kx－2}＝kx－2，∴ kx－2≤x＋m，即
y1≥y2.∵ 直线y1与y2交于点P，且在点P的右侧，直线y1在直线y2的上
方，∴ x≥－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共17张PPT)
2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌
椅.若一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，则
最多可搬桌椅的套数（一桌一椅为一套）为（ B ）
A. 81 B. 80 C. 79 D. 75
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 新情境 环保意识 在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购
买A，B两类垃圾桶共40个，要求购买的A类垃圾桶的个数不多于B类垃
圾桶个数的2倍，则最多能购买 26 个A类垃圾桶.
26
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. （2025 辽宁）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上
进行销售.已知A种文创产品比B种文创产品每件的进价多3元，购进2件
A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元.
（1） 求B种文创产品每件的进价.
解：（1） 设B种文创产品每件的进价为x元.根据题意，可得2（x＋
3）＋3x＝26，解得x＝4.答：B种文创产品每件的进价为4元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550
元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？
解：（2） 设小张购进m件A种文创产品.由（1）可知，A种文创产品每
件的进价为4＋3＝7（元），∴ 7m＋4（100－m）≤550，解得m≤50.
答：小张最多可以购进50件A种文创产品.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. （2025 遂宁大英期末）篮球比赛的积分规则是胜1场得2分，负1场得
1分.2025年某篮球联赛中，太阳队与月亮队要争夺出线权，太阳队当时
的战绩是17胜13负，后面还有6场比赛；月亮队当时的战绩是15胜16
负，后面还有5场比赛.为了确保出线，太阳队在后面的比赛中至少要胜
（ 4 ）
A. 3场 B. 4场 C. 5场 D. 6场
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为600 m.已知
小明的速度为1.2 m/s，公交车的速度是小明的速度的5倍，公交车到站
后停靠30 s.若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距
离不能超过 130 m.
（第5题）
130
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品.在甲商场累计购物超
过100元后，超过100元的部分按八折收费；在乙商场累计购物超过50元
后，超过50元的部分按九折收费.已知小红累计购物超过100元.当小红
的累计购物金额超过 150 元时，在甲商场购物花费少.
150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. 某商场的运动服装专柜对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销
后，效益可观，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进
货情况如下表所示：
第一次 第二次
A品牌运动服/件 20 30
B品牌运动服/件 30 40
累计采购款/元 10 200 14 400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（1） A，B两种品牌的运动服的进货单价分别是多少元？
解：（1） 设A，B两种品牌的运动服的进货单价分别是x元、y元.根据
题意，得 解得 ∴ A，B两种品牌的
运动服的进货单价分别是240元、180元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的
数量比A品牌数量的 倍多5件，在采购总价不超过21 300元的情况下，
最多能采购多少件B品牌运动服？
解：（2） 设采购A品牌运动服m件，则采购B品牌运动服 件.
根据题意，得240m＋180× ≤21 300，解得m≤40.∴ m＋
5≤ ×40＋5＝65.∴ 最多能采购65件B品牌运动服.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. （2025 烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色
低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区
域，以升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共
需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1） 求甲、乙两种路灯的单价.
解：（1） 设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元.根据题
意，得 解得
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超
过乙种路灯数量的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
解：（2） 设购买m盏甲种路灯，则购买（40－m）盏乙种路灯.根据题
意，得m≤ （40－m），解得m≤10.∵ 甲种路灯单价低，∴ 购买甲
种路灯越多越省钱.∵ m为整数，∴ m的最大值为10.∴ 40－m＝40－10
＝30.答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. 如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品
厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家食品厂从A地购进原料，
制成食品卖到B地.已知公路部分的运价为1.5元/（千米 吨），铁路
部分的运价为1元/（千米 吨），这两次运输（第一次：A地→食品
厂；第二次：食品厂→B地）共支付公路部分的运费为15 600元，铁
路部分的运费为20 600元.
（1） 这家食品厂到A地的距离是多少千米？
解：（1）设这家食品厂到A地的距离是x千米，则到B地的距离是2x千
米.根据题意，得x＋2x＝20＋100＋30，解得x＝50.∴ 这家食品厂到A
地的距离是50千米.
（第9题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） 此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？
解：（2） 设此次购进了a吨原料，制成了b吨食品.50－20＝30
（千米），100－（50－20）＝70（千米）.根据题意，得
解得 ∴ 此次购进了220
吨原料，制成了200吨食品.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（3） 这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出.已知
购进的原料每吨5 000元，卖出的食品每吨10 000元，保持原料产出食品
的效率不变.如果希望获得利润不少于1 122 940元，那么至少要购进多
少吨原料（注：利润＝销售款－原料费－运输费）？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：（3） 设购进m吨原料，则可制成 m＝ m（吨）食品.根据题
意，得10 000× m－5 000m－20×1.5m－30m－70× m－
30×1.5× m≥1 122 940，解得m≥286.∴ m的最小值为286.∴ 至少要
购进286吨原料.(共16张PPT)
3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 在某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租
汽车运价调整方案.方案一：起步价调至不超过2千米7元，而后每千米
1.6元；方案二：起步价调至不超过3千米8元，而后每千米1.8元.若某
乘客乘坐出租车（路程多于3千米）时用方案一比较合算，则该乘客乘
坐出租车的路程可能为（ A ）
A. 7千米 B. 5千米
C. 4千米 D. 3.5千米
A
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每份材料收费20元，另
收3 000元设计费；乙公司提出，每份材料收费30元，不收设计费.设该
单位要制作x份宣传材料，甲、乙两公司所需的费用分别为y甲元、y乙
元，则y甲＝ 20x＋3 000 ，y乙＝ 30x .当x ＜300 时，选择乙
公司较合算.
20x＋3 000
30x
＜300
1
2
3
4
5
6
7
8
3. （2025 晋城阳城期末）某水果批发商以4元/千克的价格对外销售苹
果，为了减少库存，尽快回笼资金，推出两种批发方案.方案一：每千
克打九五折；方案二：不超过200千克的部分按原价销售，超过200千克
的部分打七五折.某超市计划从该水果批发商处购进x（x＞200）千克
苹果，按方案一购买需支付费用y1元，按方案二购买需支付费用y2元，
则该超市选择哪种方案更合算？
1
2
3
4
5
6
7
8
解：由题意，得y1＝4× x＝3.8x.y2＝4×200＋4× （x－200）＝
3x＋200.令3.8x＜3x＋200，解得x＜250.令3.8x＝3x＋200，解得x＝
250.令3.8x＞3x＋200，解得x＞250.综上所述，当200＜x＜250时，选
择方案一更合算；当x＝250时，选择两个方案的支付费用一样；当x＞
250时，选择方案二更合算.
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司
和铁路货运公司均对外开放海产品的运输业务，两货运公司的收费项目
及收费标准如下表所示：
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1 750
1
2
3
4
5
6
7
8
已知运输路程为140千米，汽车和火车的速度分别为70千米/时，100千
米/时.下列说法中，正确的是（ D ）
A. 当运输货物质量为60吨时，选择汽车合算
B. 当运输货物质量大于50吨时，选择汽车合算
C. 当运输货物质量小于50吨时，选择火车合算
D. 当运输货物质量大于50吨时，选择火车合算
D
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 某教育网站资源有下列下载收费方式：① 会员用户下载每份资源收
取0.1元，另外每年收取36元的会员费；② 普通用户下载每份资源收取
0.5元，不收取其他费用.某用户一年内下载80份资源，合算的下载方式
为 ② （填序号）.
②
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价
都是1元/本，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价
的七折卖；乙商店的优惠条件是从第一本开始打折卖出，在甲、乙两个
商店的购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示.
有下列说法：① 乙商店给出的折扣是八折；② 购买10本练习本时，甲
商店更合算；③ 购买30本练习本时，甲商店更合算；④ 在甲商店购买
20本练习本需花费17元.其中，正确的是 ③④ （填序号）.
③④
（第6题）
1
2
3
4
5
6
7
8
7. ★为了丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装
备.经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球
队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，2套队服与3个足球的费
用相等.
（1） 求每套队服和每个足球的价格.
1
2
3
4
5
6
7
8
① 若该校到甲商场购买，则所花的费用为 （100a＋14 000） 元；若
该校到乙商场购买，则所花的费用为 （80a＋15 000） 元（用含a
的代数式表示）.
② 当a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？
③ 假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比
较合算？
（100a＋14 000）
（80a＋15 000）
（2） 经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套队服，送1个足球；乙商
场优惠方案是若购买队服超过80套，则购买足球打八折.若该校购买100
套队服和a个足球（其中a≥10且为整数）.
1
2
3
4
5
6
7
8
解：（2） ② 依题意，得100a＋14 000＝80a＋15 000，解得a＝50.③
令100a＋14 000＜80a＋15 000，解得a＜50；令100a＋14 000＞80a＋
15 000，解得a＞50.∴ 当10≤a＜50时，到甲商场购买更合算；当a＝
50时，到两家商场购买一样合算；当a＞50时，到乙商场购买比较合算.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 某商店销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台
A型电脑和10台B型电脑的利润为3 500元.
（1） 求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润.
解：（1） 设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润
为b元.由题意，得 解得 ∴ 每台A型电
脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元.
1
2
3
4
5
6
7
8
② 该商店购进A型电脑、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
解：（2） ① 由题意，得购进B型电脑（100－x）台，则y＝100x＋
150 （100－x）＝－50x＋15 000.② 由题意，得100－x≤2x，解得
x≥33 .∵－50＜0，∴ y随x的增大而减小.∵ x为正整数，∴ 当x＝34
时，y取得最大值，此时100－x＝66.∴ 该商店购进A型电脑34台，B型
电脑66台，才能使销售利润最大.
（2） 该商店计划购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量
不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为
y元.
① 求y与x之间的函数表达式.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（50＜m＜100）元，
且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变，请
你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售利润最大
的进货方案.
解：（3） 由题意，得y＝（100＋m）x＋150 （100－x）＝（m－
50）x＋15 000.∵ 50＜m＜100，∴ m－50＞0.∴ y随x的增大而增
大.∵ 33 ≤x≤70.∴ 当x＝70时，y取得最大值，此时100－x＝30.∴
使这100台电脑销售利润最大的进货方案为购进A型电脑70台，B型
电脑30台.
1
2
3
4
5
6
7
8(共10张PPT)
1 不等式及其性质
第2课时 不等式的解集
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 如图，将不等式x ■ 3的解集在数轴上表示出来，则 ■ 盖住的符号
是（ A ）
A. ≥ B. ≤ C. ＞ D. ＜
（第1题）
2. 已知某个不等式的解集是x＜－2，下列说法正确的是（ C ）
A. 0是这个不等式的解
B. －3不是这个不等式的解
C. 小于－3的数都是这个不等式的解
D. 小于－1的数都是这个不等式的解
A
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. （2025 莱州期末）在－2，－1，0，1，2这五个数中，是不等式2x
＋3＞0的解的共有 4 个.
4. 数形结合思想 不等式x≥a－1的解集在数轴上表示如图所示，则
a＝ 0 ，该不等式的最小整数解是 －1 .
（第4题）
4
0
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1） x＞3.
解：x＞3可以用数轴上表示3的点的右边部分来表
示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示
3不在这个解集内，如图①所示.
（第5题①答案）
（第5题①答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2） x＜－1.
解：x＜－1可以用数轴上表示－1的点的左边部分来表
示，在数轴上表示－1的点的位置上画空心圆圈，表示
－1不在这个解集内，如图②所示.
（3） x≥－2.
解：x≥－2可以用数轴上表示－2的点及其右边部分来
表示，在数轴上表示－2的点的位置上画实心圆点，表
示－2在这个解集内，如图③所示.
（第5题②答案）
（第5题③答案）
（第5题②答案）
（第5题③答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（4） x≤1.
解：x≤1可以用数轴上表示1的点及其左边部分来表
示，在数轴上表示1的点的位置上画实心圆点，表示1
在这个解集内，如图④所示.
（第5题④答案）
（第5题④答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 有下列说法：① x＝4是x－3＞1的解；② 不等式x－2＜0的解有无数
个；③ x＞5是不等式x＋2＞3的解集；④ x＝3是不等式x＋2＞1的解；
⑤ 不等式x＋2＜5有无数个正整数解.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. 已知｜x－2｜＝2－x，则x的取值范围在数轴上表示正确的
是（ D ）
D
8. 已知满足x≥5的x的最小值为a，满足y＜－7的y的最大整数为b，
则ab＝ －40 .
－40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. 已知关于x的方程（m＋2）x＝2的解为x＝2.
（1） 求m的值.
解：（1）把x＝2代入（m＋2）x＝2，得2（m＋2）＝2，解得m＝
－1.
（2） 在－2，－1，0，1，2，3这6个数中，判断哪些数是不等式（m＋
4）x＞－3的解，并把不等式的解集在数轴上表示出来.
解：（2） 把m＝－1代入不等式（m＋4）x＞－3，得3x＞－3.∴ x＞－1.∴所给的6个数中是该不等式的解的有0，1，2，3.在数轴上表示不
等式的解集如图所示.
（第9题答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9(共19张PPT)
4 一元一次不等式组
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 项城期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是3x－2＜1，则
另一个不等式可能是（ D ）
A. 1－2x≤3 B. 1－x≤2x－2
C. 3（2－x）＜6 D. ＞1
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 数形结合思想 如图，如果x是整数，且满足 那么x落
在 ③ 段（填序号）.
（第3题）
③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 解不等式组，并把解集分别表示在数轴上.
（1）
解：解不等式 ≤2x＋1，得x≥1.解不等式x－2＜0，得x＜2.∴ 不等式组的解集是1≤x＜2，表示在数轴上如图①所示.
（第4题①答案）
（第4题①答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）
解：解不等式x－ ＞ ，得x＞2.解不等式x＋8＜4x－1，得x＞3.∴ 不等式组的解集为x＞3，表示在数轴上如图②所示.
（第4题②答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. （2025 青海改编）将平面直角坐标系中的点P（a－1，1＋a）向左
平移1个单位长度后位于第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确
的是（ B ）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 若关于x的不等式组 有且仅有2个整数解，则a的
取值范围是（ B ）
A. 3≤a≤4 B. 3≤a＜4
C. 3＜a≤4 D. 2≤a＜4
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （2025 南充仪陇期末）若关于x的不等式组 无解，关
于x的不等式组 的所有整数解之和为12，则m－n的
最大值是 7 .
8. 若关于x的不等式组 的整数解只有－2和－1，则a与b
的取值范围 无 公共部分（填“有”或“无”）.
7
无
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. ★当整数x取哪些值时，不等式2（x－2）≥－7与 － ＞－1
都成立？
解：根据题意，可列不等式组 解不等式①，得
x≥－ .解不等式②，得x＜3.∴ 不等式组的解集为－ ≤x＜3.∴ 不等
式组的整数解为－1，0，1，2，即当整数x的值为－1，0，1，2时，不
等式2（x－2）≥－7与 － ＞－1都成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如图，“开心”农场准备用50 m的护栏围成一个靠墙的长方形花
园，设长方形花园的长为a m，宽为b m.
（1） 当a＝20时，求b的值.
解：（1） 依题意，得20＋2b＝50，解得b＝15.
（第10题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 受场地条件的限制，a的取值范围是18≤a≤26，求b的取值范
围.
解：（2） ∵ 18≤a≤26，a＝50－2b，
∴ 解得12≤b≤16.
（第10题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 学校计划为某演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖
品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元.
（1） 求A，B两种奖品的单价.
解：（1） 设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元.依题意，得
解得 ∴ A种奖品的单价为30元，B种奖品的
单价为20元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B
种奖品数量的 ，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购
买方案.
解：（2） 设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（25－m）个.依题
意，得 解得 ≤m≤10.∵ m为整数，
∴ m的值为7，8，9，10.∵ 购买奖品的花费为30m＋20（25－m）＝
10m＋500，且10＞0，∴ m的值越小，购买奖品的花费越少.∴ 当m＝7
时，花费最少.∴ 最省钱的购买方案是购买A种奖品7个，购买B种奖品
18个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 新考法 操作实践题 某运行程序如图所示，规定：从“输入x”到
“结果是否大于95”为一次程序操作.如果程序操作进行了三次才输出
结果，那么x的取值范围是（ C ）
A. x≥11 B. 11≤x＜23
C. 11＜x≤23 D. x≤23
（第12题）
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 新考法 过程性学习 根据有理数乘法（除法）法则可知：
① 若ab＞0 ，则 或
② 若ab＜0 ，则 或
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
根据上述知识，求不等式（x－2）（x＋3）＞0的解集.
解：原不等式可化为
① 或②
由①，得x＞2.由②，得x＜－3.
∴ 原不等式的解集为x＜－3或x＞2.
请结合上述材料解答下列问题：
（1） 不等式（x－3）（x＋1）＜0的解集为 －1＜x＜3 .
－1＜x＜3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 求不等式 ＜0的解集（要求写出解答过程）.
解：原不等式可化为① 或② 由①，得x＞1.由
②，得x＜－4.∴ 原不等式的解集为x＞1或x＜－4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共25张PPT)
第二章整合拔尖
第二章 不等式与不等式组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 一元一次不等式（组）的解法
典例1 （2025 新沂段考）解下列不等式（组），并将解集表示在
数轴上.
（1） － ≤x－1.
解：去分母，得3x－（x＋2）≤6x－6.去括号，得3x－x－2≤6x－6.移项，得3x－x－6x≤－6＋2.合并同类项，得－4x≤－4.系数
化为1，得x≥1.将解集表示在数轴上如图①所示.
（2）
解：记 解不等式①，得x＜2.解不等式②，得x≥－1.∴ 不等式组的解集为－1≤x＜2.将解集表示在数轴上如图②所示.
［变式］ 解下列不等式（组），并写出它的所有正整数解.
（1） ＞x－1.
解：去分母，得1＋2x＞3（x－1）.去括号，得1＋2x＞3x－3.移项、
合并同类项，得－x＞－4.系数化为1，得x＜4.∴ 不等式的正整数解为
x＝1，x＝2，x＝3.
（2）
解：记 解不等式①，得x≥3.解不等式②，
得x＜5.∴ 不等式组的解集为3≤x＜5.∴ 不等式组的正整数解为x＝
3，x＝4.
考点二 一元一次不等式与一次函数的关系
典例2 （2025 平顶山郏县期中）在学习一元一次不等式与一次函数
时，小明在同一个平面直角坐标系中作出了一次函数y＝k1x＋b1和y＝
kx＋b的图象（如图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点.
已知点A（－1，0），B（2，0），观察图象并回答下列问题：
（典例2图）
（1） 关于x的方程k1x＋b1＝0的解是 x＝－1 ；关于x的不等式kx
＋b＜0的解集是 x＞2 .
x＝－1
x＞2
（典例2图）
（2） 若点C的坐标为（1，3），直接写出关于x的不等式组0≤k1x＋
b1＜kx＋b的解集，并求出△ABC的面积.
解：∵ 点A的坐标为（－1，0），点C的坐标为（1，3），∴ 由图象
可知，不等式组0≤k1x＋b1＜kx＋b的解集是－1≤x＜1.∵ A
（－1，0），B（2，0），∴ AB＝2－（－1）＝3.∴ S△ABC
＝ AB yC＝ ×3×3＝ .
（典例2图）
［变式］ 一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A
（0，4），C（－2，0）.
（1） 由图象可知，不等式kx＋b＜0的解集是 x＜－2 .
x＜－2
（2） 若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1，求点B的坐标.
解：∵ 点A（0，4），C（－2，0）在一次函数y1＝kx＋b的图象上，
∴ 解得 ∴ 一次函数的表达式为y1＝2x＋4.
∵ 不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1，∴ 点B的横坐标是1.当x
＝1时，y1＝2×1＋4＝6.∴ 点B的坐标为（1，6）.
考点三 一元一次不等式的应用
典例3 （2025 咸阳永寿段考）为了丰富学生的课余生活，某校计划购
买足球和篮球共75个供学生活动使用，已知购买1个足球需要80元，购
买1个篮球需要70元.
（1） 若购买足球的数量不低于篮球数量的1.4倍，则最多可以购买多
少个篮球？
解：（1） 设购买篮球m个，则购买足球（75－m）个.根据题意，得75
－m≥1.4m，解得m≤ .∵ m为整数，∴ m的最大值为31.答：最多
可以购买31个篮球.
（2） 若购买的总费用不超过5 700元，则最少可以购买多少个篮球？
解：（2） 设购买篮球n个，则购买足球（75－n）个.根据题意，得
70n＋80（75－n）≤5 700，解得n≥30.∵ n为整数，∴ n的最小值为
30.
答：最少可以购买30个篮球.
［变式］ （2025 南通期末）某校组织学生外出研学，研学社原价每人
收费300元，当研学人数超过60时，研学社给出两种优惠方案.
方案一：研学团队先交1 800元团购费，每人额外收费200元；
方案二：6人免费，其余每人收费按原价打八折.
（1） 当参加研学的人数是70时，采用哪种方案更省钱？
解：（1） 方案一：1 800＋200×70＝1 800＋14 000＝15 800（元）；方
案二：300×80%×（70－6）＝240×64＝15 360（元）.∵ 15 800＞
15 360，∴ 采用方案二更省钱.
（2） 当参加研学的人数在什么范围时，采用方案一更省钱？
解：（2） 设参加研学的人数为x（x＞60）.方案一需要花费（1 800＋
200x）元；方案二需要花费300×80%×（x－6）＝（240x－1 440）
元.根据题意，得1 800＋200x＜240x－1 440，解得x＞81.答：当参加
研学的人数大于81时，采用方案一更省钱.
1. （2025 淄博沂源期末）若关于x的不等式ax＋b＜0的解集为x＞－
1，则a，b应满足的条件为（ A ）
A. a＜0，且a＝b B. a＞0，且a＝b
C. a＜0，且a＝－b D. a＞0，且a＝－b
A
1
2
3
4
5
6
7
2. （2025 南通期末）关于x的不等式组
恰有2个整数解，则a的取值范围
是（ B ）
A. 6≤a＜7 B. 6＜a≤7
C. 6≤a≤7 D. 6＜a＜7
B
1
2
3
4
5
6
7
3. （2025 武威三模）如图，直线y＝kx＋b经过A（2，1），B
（－1，－2）两点，则关于x的不等式组－2＜kx＋b＜ x的解集是
－1＜x＜2 .
（第3题）
－1＜x＜2
1
2
3
4
5
6
7
4. （2025 禹城期末）关于x的不等式组 有下列说法：① 如
果a＝－2，那么不等式组的解集是－2≤x＜1；② 如果不等式组的解集
是－3≤x＜1，那么a＝－3；③ 如果不等式组的整数解只有－2，－1，
0，那么a＝－2；④ 如果不等式组无解，那么a≥2.其中，正确的
是 ①② （填序号）.
①②
1
2
3
4
5
6
7
5. 要使不等式组 只有一个整数解，则在括号里添
加的一元一次不等式可以为下列两个不等式：① 2x＋1＞－1，② x－1
＜2中的 ② （填序号），此不等式组的解集是 1＜x＜3 .
②
1＜x＜3
1
2
3
4
5
6
7
6. 按照如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否
大于85”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于85，那么用得
到的这个数进行下一次操作.
（第6题）
1
2
3
4
5
6
7
（1） 如果程序操作进行一次就输出结果了，那么输入的x的取值范围
是多少？
解：（1） 根据题意，得4x＋1＞85，解得x＞21，∴ 输入的x的取值
范围是x＞21.
（2） 如果程序操作进行了两次才输出结果，那么输入的x的取值范围
是多少？
解：（2） 根据题意，得
解得5＜x≤21，∴ 输入的x的取值范围是5＜x≤21.
1
2
3
4
5
6
7
7. 某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车.根据调查
发现：购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万
元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元.
（1） 求A，B两种型号的电动公交车的单价.
解：设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元.
由题意，得 解得 ∴ A型电动公交车的单价是
36万元，B型电动公交车的单价是40万元.
1
2
3
4
5
6
7
（2） 该市交通管理局计划出资1 128万元，准备购买这两种电动公交车
共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的
购买方案.
解： （2） 设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车
（30－m）辆.由题意，得36m＋40（30－m）≤1 128，解得m≥18.又
∵ m≤20，∴ 18≤m≤20.设购买这两种型号的电动公交车的总费用为w万元.由题意，得w＝36m＋40（30－m）＝－4m＋1 200.∵ －4＜0，
∴ w随m的增大而减小.∴ 当m＝20时，w取得最小值，此时30－m＝10.
∴ 最省钱的购买方案为购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆.
1
2
3
4
5
6
7(共18张PPT)
2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列各式：① 2x＋32＜－4；② 5－ ＞0；③ y－1＞x－3；④ 2
（x＋3）＜7.其中，是一元一次不等式的个数是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 解一元一次不等式 －1≤ 时，去分母正确的是（ A ）
A. 2（2x－1）－10≤5x
B. 2（2x－1）－1≤5x
C. 2x－1－10≤5x
D. 2x－1－1≤5x
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知（k＋3）x｜k｜－2＋5＜k－4是关于x的一元一次不等式，则k的
值是 3 ，此不等式的解集为 x＜－1 .
4. 若要使4x－ 的值不小于3x＋5，则满足条件的最小整数x是 7 .
3
x＜－1
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. ★解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.
（1） 3（x－1）＜4 －3.
解：（1） 去括号，得3x－3＜4x－2－3.移项，得
3x－4x＜－2－3＋3.合并同类项，得－x＜－2.两边
都除以－1，得x＞2.解集在数轴上表示如图①所示.
（第5题①答案）
（第5题①答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） ≥ － .
解：去分母，得12≥4x－（2x－3）.去括号，得
12≥4x－2x＋3.移项，得12－3≥4x－2x.合并同
类项，得2x≤9.两边都除以2，得x≤ .解集在数
轴上表示如图②所示.
（第5题②答案）
（第5题②答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3） 1－ ＞ .
解：去分母，得8－（7x－1）＞2（3x－2）.去
括号，得8－7x＋1＞6x－4.移项，得－7x－6x
＞－4－8－1.合并同类项，得－13x＞－13.两边
都除以－13，得x＜1.解集在数轴上表示如图③所
示.
（第5题③答案）
（第5题③答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 不等式 － ≥－ 的解集在数轴上表示正确的为（ A ）
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 数形结合思想 小康在整理课桌时，不小心将墨水打翻，正好将不
等式3x－1≥－x－● 中的数 ● 污染了，已知该不等式的解集表示在数
轴上如图所示，则被墨水污染的部分是（ B ）
A. 3 B. 5 C. （－3） D. （－5）
（第7题）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知不等式 ＜ －1的负整数解是关于x的方程 － ＝
1的解，则a的值为（ A ）
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
9. 若代数式3（2－x）－5的值不小于代数式 的值，则x的取值范围
是 x≤ .
A
x≤
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. （2025 桂平期中）当a ＜－ 时，关于x的方程x－ （x＋
2a）＝3－ 的解为正数.
11. 已知关于x的方程 ＋m＝2，该方程的解是不等式2x－1＜
的最大整数解，则m＝ 2 .
＜－
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知关于x，y的方程组 的解满足不等式x－3y＞0，
求满足条件的m的取值范围.
解： ①＋②，得3x＝3＋6m，解得x＝1＋2m.把x＝
1＋2m代入①，得y＝2m－2.∵ 关于x，y的方程组 的解
满足不等式x－3y＞0，∴ 1＋2m－3（2m－2）＞0，解得m＜ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 新考法 新定义题 定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0），
都有a b＝ － .等式右边是常规的四则运算，例如：2 1＝ －
＝0.
（1） 求3 4的值.
解：（1） 根据题意，得3 4＝ － ＝ ＋ ＝ .
（第13题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 若2 x的值为P，P的取值范围如图所示，求x的非负整数解.
解：（2） 根据题意，得 － ＜1.去分母，得1－
（2－x）＜2.去括号，得1－2＋x＜2.移项、合并同类项，得x＜3.∴ x的非负整数解为0，1，2.
（第13题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知关于x的不等式 ＞ x－1.
（1） 当m＝1时，求该不等式的解集.
解：（1） 当m＝1时，不等式为 ＞ －1.去分母，得2－x＞x－2，
解得x＜2.
（2） 当m取何值时，该不等式有解？请求出解集.
解：（2） 去分母，得2m－mx＞x－2.移项、合并同类项，得
（m＋1）x＜2（m＋1）.当m≠－1时，不等式有解.当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，不等式的解集为x＞2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 小华说：“老师，我这道题‘解不等式： ≥ ＋●’后面的
部分不小心被墨迹污染了.”
老师说：“小华，这道题的答案是x≤2，且被墨迹污染的是一个常数，
你能把这个常数补上吗？”
小华：“我知道了，谢谢老师.”
请帮小华求出被墨迹污染的常数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：设被墨迹污染的常数为a，则 ≥ ＋a.去分母，得2x－1≥3
（x－5）＋6a.去括号，得2x－1≥3x－15＋6a.移项、合并同类项，
得x≤14－6a.∵ 不等式的解集是x≤2，∴ 14－6a＝2，解得a＝2.
∴ 被墨迹污染的常数为2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共15张PPT)
专题特训二 一元一次不等式（组）中的含参问题
第二章 不等式与不等式组
类型一 根据“解集”求字母参数的取值（范围）
1. （2025 乳山期末）定义新运算：a☆b＝b2－a，等式右侧为通常的
混合运算.若关于x的不等式x☆m＜2的解集为x＞－1，则m的值是
（ C ）
A. －1 B. 2 C. 1或－1 D. 2或－2
2. （2025 成都期中）若关于x的不等式组 的解集为x
＞3，则m的取值范围是 m≤5 .
3. 若关于x的不等式组 的解集是x＜4，则a的取值范
围是 a≥4 .
C
m≤5
a≥4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知关于x的不等式组 的解集在数轴上表示如图所
示，求k的取值范围.
（第4题）
解：解不等式 ＞x－2，得x＜5.解不等式x－k＜0，得x＜k.∵ 该
不等式组的解集是x＜5，∴ k≥5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
类型二 根据“有解”“无解”求字母参数的取值（范围）
5. （2025 漳州期末）若关于x的不等式组 无
解，则m的取值范围是（ A ）
A. m＜－9 B. m＞－9
C. m≥1 D. m＞1
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是（ A ）
A. m＞－2 B. m＜1
C. －2＜m＜1 D. －2＜m≤1
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 a≤1 .
8. （2025 邯郸期末）若关于x的不等式组 有解且
解集是2＜x＜m＋7，则m的取值范围是 －5＜m≤－1 .
a≤1
－5＜m≤－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 若关于x的不等式组 有解，求实数a的取值范
围.
解：解不等式1＋x＜a，得x＜a－1.解不等式 ＋1≥ －1，得
x≥－37.∵ 原不等式组有解，∴ a－1＞－37，解得a＞－36.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
类型三 根据“整数解”求字母参数的取值（范围）
10. （2025 深圳期中）关于x的不等式组 有且仅有2个
整数解，则m的取值范围是（ B ）
A. －1＜m≤0 B. 0≤m＜1
C. 0＜m≤1 D. －1≤m＜0
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2025 武汉期末）已知关于x的不等式组 的最小整数解
为1，则m的取值范围是（ B ）
A. －3≤m＜1
B. 0≤m＜
C. 3＜m≤4
D. 0≤m＜ 或3＜m≤4
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知关于x的不等式组 有解但没有整数解，
求a的取值范围.
解：解不等式3x＋a＜2（x＋2），得x＜4－a.解不等式－ x＜ x＋
2，得x＞－1.∵ 不等式组有解，∴ 不等式组的解集为－1＜x＜4－
a.∵ 不等式组没有整数解，∴ －1＜4－a≤0，解得4≤a＜5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知关于x的不等式组
（1） 若不等式组的最小整数解为x＝1，求整数a的值.
解：解不等式2x＋1＞x＋a，得x＞a－1；解不等式 ＋1≥ x－9，
得x≤5.（1） ∵ 不等式组的最小整数解为x＝1，∴ 0≤a－1＜1.
∴ 1≤a＜2.∴ 整数a的值为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围.
解：解不等式2x＋1＞x＋a，得x＞a－1；解不等式 ＋1≥ x－9，
得x≤5.（2） ∵ 不等式组所有整数解的和为14，∴ 整数解为5，4，
3，2或5，4，3，2，1，0，－1.∴ 1≤a－1＜2或－2≤a－1＜－1.
∴ 2≤a＜3或－1≤a＜0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ （其中a，b
均为非零常数），这里等式右边是常规的四则运算，例如：T（0，1）
＝ ＝b.已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1.
（1） 求a，b的值.
解：（1） 由T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，得
即 解得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 如果关于m的不等式组 恰好有3个整
数解，求实数p的取值范围.
解：（2） 由（1），得T（x，y）＝ ，则不等式组
可化为 解得－ ≤m＜
.∵ 不等式组 恰好有3个整数解，
∴ 2＜ ≤3，解得－2≤p＜－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
类型四 根据解集的从属关系求字母参数的取值（范围）
15. 已知关于x的不等式4（x＋2）－2＞5＋3a的解都能使不等式
＞ 成立，求a的取值范围.
解：解不等式4（x＋2）－2＞5＋3a，得x＞ .解不等式
＞ ，得x＞ .由题意，得 ≥ ，解得a≤－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共19张PPT)
1 不等式及其性质
第3课时 不等式的基本性质
第二章 不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列四个不等式：① 2a＞a＋b；② 3－a＜3－b；③ ac2＞bc2；
④ ＜1.其中，一定能推出a＞b的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. （2025 海口期末）下列不等式的解法中，错误的是（ C ）
A. 由x＋3＞0，得x＞－3
B. 由 x＞0，得x＞0
C. 由2x＞－6，得x＜－3
D. 由－ x＞1，得x＜－
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 新考法 开放题 当x＞y时，ax＜ay，则a的值可能是 －2 （写
出一个即可）.（答案不唯一）
4. 用“＞”或“＜”填空：
（1） 若a＜b，则a＋b ＜ 2b.
（2） 设m＞n，则1－ m ＜ 1－ n.
（3） 若2x－5＜2y－5，则－x ＞ －y.
－2
（答案不唯一）
＜
＜
＞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 根据不等式的基本性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1） x＋7＞9.
解：根据不等式的基本性质1，两边都减7，得x＋7－7
＞9－7，即x＞2.解集在数轴上表示如图①所示.
（第5题①答案）
（第5题①答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 6x＜5x－3.
解：根据不等式的基本性质1，两边都减5x，得6x
－5x＜5x－3－5x，即x＜－3.解集在数轴上表示
如图②所示.
（3） x＜ .
解：根据不等式的基本性质2，两边都乘5，得x＜2.解
集在数轴上表示如图③所示.
（第5题②答案）
（第5题③答案）
（第5题②答案）
（第5题③答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（4） －3x＋2＜2x＋3.
解：根据不等式的基本性质1，两边都减2＋2x，得－3x＋2－（2＋
2x）＜2x＋3－（2＋2x），即－5x＜1.再根据不等式的基本性质3，
两边都除以－5，得x＞－ .解集在数轴上表示如图④所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 数形结合思想 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则
下列式子中，正确的是（ B ）
A. a－c＞b－c B. a＋c＜b＋c
C. ac＞b D. ＜
（第6题）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 设图形“ ”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，现用天平称了两
次，情况如图所示，则“ ”“ ”“ ”代表的三种物体的质量按从大
到小的顺序排列应为（ B ）
A. B. C. D.
（第7题）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果30千克，价格为每千克
b元的乙种糖果20千克，商店以每千克 元的价格全部卖完后，发现
没有赚钱，其原因是（ D ）
A. a＜b B. a＞b C. a≤b D. a≥b
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 不等式（m－2 025）x＞m－2 025的解集如图所示，则m的取值范
围是 m＜2 025 .
（第9题）
m＜2 025
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提
出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少x吨，使
得五年后（即第六年）的碳排放量不超过100吨，则x应满足的不等式
为 300－5x≤100 ，这个不等式的解集为 x≥40 ，x的最小值
为 40 .
300－5x≤100
x≥40
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 用不等式表示下列关系，再利用不等式的基本性质解不等式.
（1） x与1的差比2小.
解：（1） 根据题意，得x－1＜2.根据不等式的基本性质1，两边都加
1，得x－1＋1＜2＋1，即x＜3.
（2） －m的2倍与－1的和不大于－7.
解：（2） 根据题意，得－2m－1≤－7.根据不等式的基本性质1，两边
都加1，得－2m－1＋1≤－7＋1，即－2m≤－6.根据不等式的基本性
质3，两边都乘－ ，得－2m× ≥－6× ，即m≥3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b.如果把这个
两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，
那么a与b哪个大？
解：根据题意，得10b＋a＜10a＋b.在不等式两边都减a＋b，得9b＜
9a；两边同时除以9，得b＜a，即a＞b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 比较大小：
（1） 当a＞1时，a ＞ （填“＞”“＜”或“＝”）.
（2） 说明第（1）问的正确性.
解：在不等式a＞1两边都加a，得a＋a＞a＋1，即2a＞a＋1.两边都
除以2，得a＞ .
＞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 小杰在做题时发现了如下矛盾：他在解不等式－3x＞3x时，将
不等式的两边同时除以x，得－3＞3.这显然是不对的，你能解释这
是为什么吗？
解：在不等式－3x＞3x两边都加3x，得0＞6x.两边都除以6，得x＜0.
在不等式－3x＞3x的两边同除以x时，相当于同除以负数，因此应改
变不等号的方向，即同除以x后应为－3＜3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方
法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a
＜b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“求差法”.请运用这种方
法解决下列问题：
（1） 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小.
解：（1）∵ 4＋3a2－2b＋b2－（3a2－2b＋1）＝b2＋3＞0，∴ 4＋
3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 若2a＋2b－1＞3a＋b，试比较a，b的大小.
解：（2）根据不等式的基本性质1，两边都减3a＋b，得－a＋b－1＞
0.根据不等式的基本性质1，两边都加1，得b－a＞1＞0.∴ a＜b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
