(共20张PPT)
专题特训十二 平行四边形性质与判定的应用
第六章 平行四边形
类型一 与线段有关的计算
1. 如图，在 ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，∠ABC的平分线交
AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为（ D ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
（第1题）
D
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12
2. （2025 济宁嘉祥模拟）如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，过
点D作DG⊥BC于点G. 若F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF
的长为（ B ）
（第2题）
A. 6 B. C. 8 D.
B
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3. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若对角线AC
与BD长的和为40 cm，则四边形EFGH的周长为 40 cm .
（第3题）
40 cm
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4. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与
AB，CD分别交于点E，F，连接EC. 若EF⊥AC，△BEC的周长是
10，则 ABCD的周长为 20 .
（第4题）
20
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类型二 角度问题
5. （2025 贵港港南期中）如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，
交BA的延长线于点E. 若∠BCE＝38°，则∠D的度数为（ B ）
A. 62° B. 52° C. 42° D. 38°
（第5题）
B
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6. 如图，E是 ABCD的对角线BD上一点，连接CE. 若点E在线段
AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE＝
66°，求∠BCE的度数.
解：如图，连接AE. ∵ 点D在线段EC的垂直平分线上，∴ ED＝CD. ∴ ∠CED＝∠DCE＝66°.∴ ∠CDE＝180°－66°－66°＝48°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB.
（第6题答案）
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12
∴ ∠ABE＝∠CDE＝48°.∵ 点E在线段AD的垂直平分线上，∴ AE＝ED. ∴ AB＝AE，∠EAD＝∠ADE. ∴ ∠AEB＝∠ABE＝48°.
∵ ∠AEB＝∠ADE＋∠EAD，∴ ∠ADE＝ ×48°＝24°.∴ ∠ADC＝24°＋48°＝72°.∵ AD∥BC，∴ ∠BCD＝180°－∠ADC＝108°.∴ ∠BCE＝108°－66°＝42°.
（第6题答案）
（第6题答案）
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12
类型三 与面积有关的计算
7. （2025 邯郸期中）如图，在 ABCD中，AB＝10 cm，BC＝
20 cm，BC边上的高是8 cm，EF是AD和BC的平行线，则图中涂色部
分的面积是（ B ）
A. 75 cm2 B. 80 cm2
C. 85 cm2 D. 90 cm2
（第7题）
B
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12
8. 如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP. 若S△APH＝2，则S四边形PGCD＝ 8 .
（第8题）
8
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12
9. （1） 如图①，在 ABCD的外侧分别作等腰直角三角形ABF和等腰
直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连接AC，EF. 在图中找出
一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.
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解：（1） 答案不唯一，如△ABC≌△FAE. ∵ ∠FAB＝∠EAD＝
90°，∴ ∠EAF＋∠DAB＝180°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠DAB＋∠CBA＝180°.∴ ∠CBA＝
∠EAF. ∵ △ABF和△ADE是等腰直角三角形，∠FAB＝∠EAD＝
90°，∴ AB＝FA，AE＝AD. ∴ BC＝AE. 在△ABC和△FAE中，
∴ △ABC≌△FAE.
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（2） 如图②，以 ABCD的四条边为边，在其外侧分别作正方形，连
接EF，GH，IJ，KL. 若 ABCD的面积为5，则图中涂色部分的四个
三角形的面积之和为 10 .
10
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12
类型四 平行四边形的性质与判定的综合问题
10. 如图，以 ABCD的边AB，CD为边，在 ABCD的内部作等边三
角形ABE和等边三角形CDF，连接DE，BF. 求证：四边形BFDE是平
行四边形.
（第10题）
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12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，∠BAD
＝∠DCB. ∵ △ABE和△CDF是等边三角形，∴ BE＝AE＝AB＝CD
＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°.∴ ∠DAB－∠BAE＝∠DCB
－∠DCF，即∠DAE＝∠BCF. 又∵ AD＝CB，AE＝CF，
∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF. 又∵ BE＝DF，∴ 四边形BFDE是
平行四边形.
（第10题）
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11. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，
EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，OE＝OF.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（1） ∵ AO＝CO，∠AOE＝∠COF，OE＝
OF，∴ △AOE≌△COF. ∴ ∠OAE＝∠OCF.
∴ AD∥BC. ∴ ∠EDO＝∠FBO. 又∵ OE＝OF，
∠EOD＝∠FOB，∴ △EOD≌△FOB. ∴ OB＝
OD. 又∵ AO＝CO，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（第11题）
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12
（2） 连接AF. 若EF⊥AC，△ABF的周长是15，求四边形ABCD的
周长.
解：（2） ∵ EF⊥AC，AO＝CO，∴ AF＝FC.
∵ △ABF的周长是15，∴ AB＋BF＋AF＝AB＋
BF＋FC＝15，即AB＋BC＝15.∴ ABCD的周长
＝2（AB＋BC）＝2×15＝30.
（第11题）
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类型五 动点问题
12. （2025 陇南西和期末）如图，在 ABCD中，∠BAC＝90°，∠B
＝60°，AB＝6 cm.动点P从点A出发，沿AD以1 cm/s的速度向终点D
运动，同时点Q从点C出发，以4 cm/s的速度沿射线CB运动，当点P到
达终点时，点Q也随之停止运动.设点P运动的时间为t s.是否存在某一
时刻，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由.
（第12题）
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12
解：存在.∵ ∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴ ∠ACB＝90°－
∠ABC＝30°.∵ AB＝6 cm，∴ CB＝2AB＝12 cm.∵ 四边形ABCD是
平行四边形，∴ AD＝CB＝12 cm.∵ 点P在线段AD上，点Q在射线
CB上，∴ AP∥BQ. ∴ 当AP＝BQ时，以A，B，P，Q为顶点的四
边形为平行四边形.当点Q与点B重合时，4t＝12，∴ t＝3.当点P与点
D重合时，t＝12.
（第12题答案）
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12
分两种情况讨论：① 当0＜t＜3时，如图①，四边形APQB是平行四边形.∵ AP＝BQ，∴ t＝12－4t，解得t＝ .② 当3＜t≤12时，如图②，四边形APBQ是平行四边形.∵ AP＝BQ，∴ t＝4t－12，解得t＝4.综上所述，t的值为 或4.
（第12题答案）
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12(共17张PPT)
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 广安段考）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE＝CD，
∠B＝62°，则∠DEC的度数为（ A ）
A. 62° B. 57° C. 59° D. 60°
（第1题）
A
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2. 数形结合思想 （2025 长沙雨花期末）如图，在平面直角坐标系
中， ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），
（2，3），则顶点C的坐标是（ C ）
A. （3，7） B. （5，3）
C. （7，3） D. （8，2）
（第2题）
C
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3. （2025 扬州期末）在 ABCD中，∠A＋∠C＝100°，则∠B
＝ 130° .
130°
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.
∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE
中， ∴ △ADE≌△FCE.
∴ AD＝FC＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.
4. （2025 宜宾）如图，E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延
长，交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF
的长.
（第4题）
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10
11
5. （2025 贵州改编）如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：① 分别
以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧；② 过两弧相交的两点作
直线交BC于点E，连接AE. 若CD＝4，∠B＝60°，则AE的长
为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
（第5题）
B
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11
6. 新考法 操作实践题 如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A
落在点A′处.若∠1＝∠2＝48°，则∠A′的度数为（ C ）
A. 96° B. 106°
C. 108° D. 122°
（第6题）
C
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10
11
7. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交
AD于点F，交BC于点E. 若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中涂色部
分的面积是 12 .
（第7题）
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11
8. 新考向 数学文化 （2025 新乡延津期末）“三等分一个任意角”
是数学史上的一个著名问题.在探索中，有同学利用如图所示的图形逐
步实现特定条件下角的三等分.已知四边形ABCD是平行四边形，点E
在对角线AC上，且AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数
是 26° .
（第8题）
26°
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11
9. （2025 九江修水段考）如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上
的两点，且AE＝CF.
（1） 求证：△ADF≌△CBE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝
CB，AD∥CB. ∴ ∠DAF＝∠BCE. ∵ AE＝CF，
∴ EF＋AE＝EF＋FC，即AF＝CE. 在△ADF和
△CBE中， ∴ △ADF≌△CBE.
（第9题）
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11
（2） 若∠BCE＝30°，∠AFD＝80°，求∠CBE的度数.
解：（2） ∵ △ADF≌△CBE，∴ ∠AFD＝∠CEB.
∵ ∠AFD＝80°，∴ ∠CEB＝80°.∵ ∠BCE＝
30°，∴ ∠CBE＝180°－∠CEB－∠BCE＝70°.
（第9题）
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11
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分
别平分∠DAB和∠CBA.
（1） 求∠APB的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AB∥CD. ∴ ∠DAB＋∠CBA＝
180°.又∵ AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴ ∠PAB＋∠PBA＝ （∠DAB＋∠CBA）＝
90°.∴ ∠APB＝180°－（∠PAB＋∠PBA）＝90°.
（第10题）
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10
11
（2） 若AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长.
解：（2） ∵ AP平分∠DAB，∴ ∠DAP＝∠PAB.
∵ AB∥CD，∴ ∠PAB＝∠DPA. ∴ ∠DAP＝
∠DPA. ∴ AD＝DP＝5 cm.同理，可得PC＝CB＝
5 cm.∴ AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.在Rt△APB
中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，∠APB＝90°，
∴ BP＝ ＝6（cm）.∴ △APB的周长
是6＋8＋10＝24（cm）.
（第10题）
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11. （2025 唐山乐亭期末）如图，以 ABCD的顶点B为圆心，AB长
为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为
半径画弧，两弧交于点F，作射线BF，交AD于点G，交CD的延长线
于点H.
（1） 由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 ∠1＝∠2 .
∠1＝∠2
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（2） 求证：CB＝CH.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CH. ∴ ∠1＝
∠CHB. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2＝∠CHB. ∴ CB＝CH.
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11
（3） 若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积.解：
（3） 如图，过点H作HT⊥BC，交BC的延长线于点T. ∵ 四边形
ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB. ∴ ∠AGB＝∠2＝∠1.∴ AG＝AB
＝4.∵ AG＝2DG，∴ DG＝2.∴ BC＝AD＝CH＝6.∵ AB∥CH，∴
∠HCT＝∠ABC＝60°.∵ ∠T＝90°，∴ ∠CHT＝30°.∴ CT＝
CH＝3.∴ HT＝ ＝3 .∴ △BCH的面积＝ BC HT＝
×6×3 ＝9 .
解：（3） 如图，过点H作HT⊥BC，交BC的延长线于点T. ∵ 四边形
ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB. ∴ ∠AGB＝∠2＝∠1.∴ AG＝AB
＝4.∵ AG＝2DG，∴ DG＝2.∴ BC＝AD＝CH＝6.∵ AB∥CH，∴
∠HCT＝∠ABC＝60°.∵ ∠T＝90°，∴ ∠CHT＝30°.∴ CT＝
CH＝3.∴ HT＝ ＝3 .∴ △BCH的面积＝ BC HT＝
×6×3 ＝9 .
（第11题答案）
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11(共18张PPT)
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列图形：① 梯形；② 平行四边形；③ 扇形；④ 等腰梯形.其
中，轴对称图形有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
2. （2025 厦门同安期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点
O. 若AB＝5，AC＋BD＝28，则△COD的周长为（ B ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
（第2题）
B
B
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14
3. 新考法 操作实践题 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B
＝70°，DE∥AB，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E，则∠EDC的
度数为 40° .
（第3题）
40°
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14
4. 如图，在 ABCD中，AB＝4，AC＝6，AB⊥AC，则BD的长
为 10 .
（第4题）
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14
5. 如图，AC，BD是 ABCD的两条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E，F. 求证：OE＝OF.
（第5题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO. ∵ AE⊥BD，
CF⊥BD，∴ ∠AEO＝∠CFO. 在△AEO和△CFO中，
∴ △AEO≌△CFO. ∴ OE＝OF.
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6. （2025 松原长岭期中）已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（ A ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
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7. （2025 湖北改编）如图，在平面直角坐标系中，原点O为 ABCD
对角线BD的中点，AD∥x轴，点D的坐标为（1，1），AD＝3，则点
C的坐标为（ B ）
A. （3，－1） B. （2，－1）
C. （1，－2） D. （－2，1）
（第7题）
B
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14
8. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为
E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ D ）
A. B. C. D.
（第8题）
D
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14
9. （2025 上海浦东新区期末）如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠A
＝120°，AD＝3，BC＝5，则AB＝ 2 .
（第9题）
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14
10. （2025 诸暨期中）如图，点A（0，8），B（0，－2），
E（0，5），F（－5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD长的最小值是 2 .
（第10题）
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13
14
11. 新考法 操作实践题 如图，OA＝OB，点E在OB上，四边形
AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中作出∠AOB的平分线，
并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）.
解：如图，OP即为∠AOB的平分线. 理由：
∵ 四边形AEBF是平行四边形，∴ AP＝BP.
又∵ OA＝OB，OP＝OP，∴ △APO≌△BPO.
∴ ∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB.
（第11题答案）
（第11题答案）
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13
14
12. （2025 玉树模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上
的点，AE与BD交于点O，且AC＝BC，∠1＝∠2.求证：四边形
ABED是等腰梯形.
（第12题）
解：∵ CA＝CB，∴ ∠CAB＝∠CBA. ∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠OAB＝∠OBA. ∴ OA＝OB. 在△AOD和△BOE中， ∴ △AOD≌△BOE.
∴ AD＝BE，OD＝OE. ∴ ∠ODE＝∠OED. ∵ ∠AOD＝∠BOE，∠OAB＝∠OBA，∠ODE＝∠OED，
∴ ∠OAB＝∠OED. ∴ DE∥AB. ∵ AD＝BE，∴ 四边形ABED是等腰梯形.
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14
13. （2025 榆树段考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，过点O作EF分别交AD，BC于点E，F.
（1） 求证：△BFO≌△DEO.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线
AC，BD交于点O，∴ CB∥AD，OB＝OD.
∴ ∠OFB＝∠OED. 在△BFO和△DEO中，
∴ △BFO≌△DEO.
（第13题）
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（2） 若CD＝10，AD＝8，OE＝5，求四边形ABFE的周长.
解：（2） 由（1），得△BFO≌△DEO，∴ OF＝OE
＝5，BF＝DE. ∴ EF＝2OE＝10，BF＋AE＝DE＋
AE＝AD＝8.∵ AB＝CD＝10，∴ EF＋BF＋AE＋
AB＝10＋8＋10＝28.∴ 四边形ABFE的周长为28.
（第13题）
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14. 如图①， ABCD的周长为6，AB＝1，对角线AC与BD相交于点
O.
（1） 求 ABCD其余各边的长.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝1，AD＝
BC. 又∵ ABCD的周长为6，∴ AB＋AD＋CD＋BC＝6，即2AB＋
2AD＝6.∴ AB＋AD＝ ×6＝3.∴ AD＝BC＝3－1＝2.
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（2） 若AB⊥AC，求OC的长.
解：（2） ∵ AB⊥AC，AB＝1，BC＝2，∴ 在Rt△ABC中，由勾股
定理，得AC＝ ＝ .∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OC＝ AC＝ .
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（3） 将射线OA绕点O按顺时针方向旋转至OA′处，交AD于点E，连
接CE（如图②）.当旋转角为多少度时，CA平分∠BCE？请说明理由.
解：（3） 当旋转角为90°时，CA平分∠BCE. 理由：∵ ∠AOE＝90°，OA＝OC，∴ EO垂直平分AC. ∴ EA＝EC. ∴ ∠EAC＝∠ECA. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠EAC＝∠ACB. ∴ ∠ACB＝∠ECA，即CA平分∠BCE.
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14(共31张PPT)
第六章整合拔尖
第六章 平行四边形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 平行四边形的判定与性质
典例1 （2025 温州鹿城段考）如图，在 ABCD中，E为AD的中点，
延长BE，CD相交于点F，连接AF，BD.
（1） 求证：四边形ABDF是平行四边形.
（典例1图）
解：（1） 由题意，得AB∥CF，∴ ∠ABE＝
∠DFE. ∵ E为AD的中点，∴ AE＝DE. 在△ABE
和△DFE中，
∴ △ABE≌△DFE. ∴ AB＝DF. 又∵ AB∥DF，
∴ 四边形ABDF为平行四边形.
（2） 连接CE. 若BC＝2CD，EF＝4，DF＝3，求CE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABDF为平行四边形，∴ BE＝
EF，AB＝DF＝3.∵ 在 ABCD中，BC＝2CD，
∴ BC＝2CD＝2AB＝6，CF＝CD＋DF＝AB＋
DF＝6.∴ BC＝CF＝6.∴ △CBF是等腰三角形.
∵ BE＝EF，∴ CE⊥BF. ∵ EF＝4，∴ CE＝
＝2 .
［变式］ （2025 宝鸡凤翔期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，
BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，
AF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝
CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AE⊥BD，
CF⊥BD，∴ AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°.在
△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE＝CF. ∴ 四边形AECF是
平行四边形.
（2） 若AD＝8，BE＝2 ，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积.
解：（2） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AED＝90°.∵ ∠ADE
＝30°，AD＝8，∴ AE＝ AD＝4.
∴ DE＝ ＝ ＝4 .由（1），可知
△ABE≌△CDF，∴ DF＝BE＝2 .∴ EF＝DE－
DF＝4 －2 ＝2 .∵ 四边形AECF是平行四边
形，AE⊥EF，∴ S四边形AECF＝AE EF＝4×2 ＝8 .
考点二 三角形的中位线
典例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中
点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点.
（1） 求证：FG＝FH.
解：（1） ∵ D，E分别是边AB，AC的中点，∴ BD
＝ AB，CE＝ AC. ∵ AB＝AC，∴ BD＝CE.
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴ FG＝ BD，FH＝ CE. ∴ FG＝FH.
（2） 若∠A＝90°，求证：FG⊥FH.
解：（2） ∵ F，G分别为BE，DE的中点，
∴ FG∥BD. 同理，可得FH∥EC. ∵ ∠A＝90°，
即AB⊥AC，∴ FG⊥AC. ∵ FH∥CE，
∴ FG⊥FH.
（3） 若∠A＝80°，求∠GFH的度数.
解：（3） 如图，延长FG交AC于点K.
∵ FG∥BD，∠A＝80°，∴ ∠FKC＝∠A＝80°.
∵ FH∥CE，∴ ∠GFH＝180°－∠FKC＝180°
－80°＝100°.
（典例2图答案）
［变式］ 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，
AC的中点，延长BA到点D，使AD＝ AB，连接DE，DF，DE交AF
于点P. 求证：AP＝FP.
解：如图，连接EF，AE. ∵ E，F分别为BC，AC的中点，∴ EF∥AB，EF＝ AB. 又∵ AD＝ AB，∴ EF＝AD. ∵ EF∥AD，∴ 四边形AEFD是平行四边形.∴ AF与DE互相平分.∴ AP＝FP.
（答案图）
考点三 平行四边形与三角形中位线的综合应用
典例3 （2025 广安期末）如图，E为 ABCD中边DC的延长线上一
点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交
BD于点O，连接OF.
（1） 求证：BF＝CF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BA∥DC，BA＝DC. ∴ ∠BAF＝∠E. ∵ CE＝
DC，∴ BA＝CE. 在△ABF和△ECF中，
∴ △ABF≌△ECF. ∴ BF＝CF.
（2） 判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明.
解：（2） AB∥OF，AB＝2OF. ∵ ABCD的对角线
AC与BD交于点O，∴ AO＝CO. 由（1），得BF＝
CF. ∴ OF是△ABC的中位线.∴ OF∥AB，OF＝ AB.
∴ AB∥OF，AB＝2OF.
［变式］ （2025 合肥瑶海期末）如图，等边三角形ABC的边长是4，
D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接
CD，EF，DE.
（1） 请判断四边形CDEF的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形CDEF为平行四边形. 理由：
∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE∥BC，DE
＝ BC. ∴ DE∥CF. ∵ CF＝ BC，∴ DE＝CF. ∴
四边形CDEF为平行四边形.
（2） 求EF的长.
解：（2） ∵ 四边形CDEF为平行四边形，∴ CD＝
EF. ∵ D为AB的中点，△ABC为等边三角形，
∴ CD⊥AB，BD＝ AB＝2.∴ ∠CDB＝90°.∴ EF
＝CD＝ ＝2 .
1. 嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图所示的四块，为
配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号
是（ D ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
（第1题）
D
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2. （2025 阜新太平期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点.若AD＝4，
CD＝6，则EO的长为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第2题）
A
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5
6
7
3. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC、斜边AB为边向外作等边三角
形ACD和等边三角形ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝
90°，∠ABC＝30°.有下列结论：① 四边形BCDF为平行四边形；②
AC⊥DF；③ DA＋DF＝BE. 其中，正确的是 ①② （填序号）.
（第3题）
①②
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7
4. 如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接BQ并延
长，交CD于点F，连接AF与DE相交于点P. 若△APD的面积为
3 cm2，△BQC的面积为7 cm2，则涂色部分的面积为 17 cm2.
（第4题）
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5. 如图，在 ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对
角线AC上，且AE＝CF，连接BD交AC于点O.
（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠GAE＝∠HCF. ∵ G，
H分别是AB，CD的中点，∴ AG＝CH. 在△AGE和
（第5题）
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△CHF中， ∴ △AGE≌△CHF.
∴ GE＝HF，∠AEG＝∠CFH. ∴ ∠GEF＝∠HFE.
∴ GE∥HF. 又∵ GE＝HF，∴ 四边形EGFH是平行
四边形.
（第5题）
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（2） 若BD＝14，AE＋CF＝EF，求EG的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝
OC，OB＝OD. ∵ BD＝14，∴ OB＝OD＝7.∵ AE＝
CF，OA＝OC，∴ OE＝OF. ∵ AE＋CF＝EF，
AE＝CF，∴ 2AE＝EF＝2OE. ∴ AE＝OE. 又∵ G
是AB的中点，∴ EG是△ABO的中位线.∴ EG＝ OB
＝ .
（第5题）
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6. 如图，AC为 ABCD的对角线，E为线段AB的中点，连接CE并延
长，与DA的延长线交于点F，连接BF.
（1） 求证：BF∥AC.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠AFE＝∠BCE. ∵ E为线段AB的
中点，∴ AE＝BE. 在△AEF和△BEC中，
∴ △AEF≌△BEC. ∴ EF＝
EC. ∵ AE＝BE，∴ 四边形ACBF是平行四边形.
∴ BF∥AC.
（第6题）
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（2） 若AC＝3，CD＝4，AD＝5，求EC的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝
CD＝4，BC＝AD＝5.∵ AC＝3，∴ AB2＋AC2＝
BC2.∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
∵ AE＝BE＝ AB＝2，∴ EC＝ ＝
.
（第6题）
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7. 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，过对角线
BD的中点O的直线GH分别交AD，BC于点E，F，交BA的延长线于
点G，交DC的延长线于点H，连接GD，BH.
（1） 求证：四边形BGDH是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD. ∴ ∠BGO＝∠DHO，∠OBG＝
∠ODH. ∵ O是 ABCD的对角线BD的中点，
∴ OB＝OD. 在△BOG和△DOH中，
（第7题）
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∴ △BOG≌△DOH. ∴ BG＝DH. ∵ BG∥DH，
∴ 四边形BGDH是平行四边形
（第7题）
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（2） 求DE＋CF的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝
CD，AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠AEG＝∠BFG.
∵ ∠BFG＝∠CFH，∴ ∠AEG＝∠CFH. ∵ BG
＝DH，∴ BG－AB＝DH－CD，即AG＝CH. 在
△AEG和△CFH中，
∴ △AEG≌△CFH. ∴ AE＝CF.
∴ DE＋CF＝DE＋AE＝AD＝BC＝4.
（第7题）
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（3） 求四边形ABFE的面积.
解：（3） 过点A作AM⊥BC于点M. ∵ 在
Rt△ABM中，∠ABM＝60°，∴ ∠BAM＝
30°.∵ AB＝3，∴ BM＝ AB＝ .∴ 在Rt△ABM
中，由勾股定理，得AM＝ ＝ .
∴ S ABCD＝BC AM＝4× ＝6 .由（1）
（2），得△BOG≌△DOH，△AEG≌△CFH，
∴ S△BOG＝S△DOH，S△AEG＝S△CFH. ∴ S△BOG
－S△AEG＝S△DOH－S△CFH，即S四边形ABOE＝S四边形
CDOF. ∴ S四边形ABFE＝S四边形ABOE＋S△BOF＝S四边形
CDOF＋S△BOF＝S△BCD＝ S ABCD＝ ×6 ＝3 .
（第7题）
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7(共17张PPT)
2 平行四边形的判定
第2课时 根据对角线的关系判定平行四边形
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 东营利津期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O. 下
列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ B ）
A. OA＝ AC，OB＝ BD
B. AB＝CD，AO＝OC
C. AB∥CD，∠DAC＝∠BCA
D. AB＝CD，BC＝AD
（第1题）
B
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2. 如图，AC，BD是相交的两条线段，O恰好为线段AC，BD的中点.
当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA所得到的四边形ABCD
始终为 平行四边 形，依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边.
（第2题）
平行四边
对角线互相平分的四边形是平行四边形
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3. （2025 周口商水期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，
AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
（1） 求证：△AOF≌△COE.
解：（1） ∵ 在 ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO.
∵ AO＝CO，
∴ △AOF≌△COE.
（第3题）
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（2） 连接AE，CF，求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（2） ∵ △AOF≌△COE，∴ OF＝OE. ∵ AO
＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形.
（第3题）
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4. 在给定的条件中，能画出平行四边形的是（ C ）
A. 以60 cm长为一条对角线，20 cm，34 cm长为两条邻边
B. 以6 cm，10 cm长为两条对角线，8 cm长为一边
C. 以20 cm，36 cm长为两条对角线，22 cm长为一边
D. 以6 cm长为一条对角线，3 cm，10 cm长为两条邻边
C
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5. （2025 天山武山段考）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上
不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的
是（ B ）
A. BE＝DF B. AE＝CF
C. AF∥CE D. ∠BAE＝∠DCF
（第5题）
B
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6. （2025 临沂郯城期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四
边形ABCD的面积为 24 .
（第6题）
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7. 新考法 操作实践题 综合实践课上，小明画出了△ABC，通过折叠
的方法找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，图①～图③是其操
作过程.① 折叠△ABC使得点A与点C重合，折痕与AC相交于点O；
② 连接BO并延长，E是BO的延长线上一点；③ 再次折叠△ABC，使
点B的对应点D落在OE上，折痕恰好经过点O，连接AD，CD. 在小
明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是 对角线
互相平分的四边形是平行四边形 .
对角线
互相平分的四边形是平行四边形
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8. （2025 安庆期末）如图，在 ABCD中，M，N是对角线BD的三等
分点.
（1） 求证：四边形AMCN是平行四边形.
解：（1） 连接AC交BD于点O. ∵ 四边形ABCD
是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ M，N
是对角线BD的三等分点，∴ BM＝DN. ∴ OM＝
ON. ∴ 四边形AMCN是平行四边形.
（第8题）
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（2） 若AM⊥BD，AD＝13，BD＝18，求CD的长.
解：（2） ∵ AD＝13，BD＝18，M，N是对角线
BD的三等分点，∴ DM＝12，BM＝6.
∵ AM⊥BD，∴ AM＝ ＝5.∴ AB＝
＝ .∵ 四边形ABCD是平行四边
形，∴ CD＝AB＝ .
（第8题）
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9. 如图，在 ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线和
AD，BC分别相交于点E，F，AM平分∠BAD，CN平分∠DCB. 请在
ABCD的基础上添加适当的条件，构造新的平行四边形，并说明理
由.
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解：答案不唯一，如图，连接AN，CM，则四边形
AMCN是平行四边形. 理由：如图，连接AC. ∵ 四
边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，∠BAD＝
∠BCD，AB∥CD，OB＝OD，AC经过点O且OA
＝OC. ∴ ∠ABM＝∠CDN. ∵ AM平分∠BAD，
CN平分∠DCB，
∴ ∠BAM＝∠DCN. 在△ABM和△CDN中，
∴ △ABM≌△CDN. ∴ BM＝DN. ∵ OB＝OD，
∴ OM＝ON. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形AMCN是平行
四边形.
（第9题答案）
（第9题答案）
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10. 新考法 探究题 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
且AC⊥BD，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上，从点B出
发，以1 cm/s的速度向点O运动，同时，点F在线段OD上，从点O出
发，以2 cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点也随之停
止.设运动时间为t s.
（1） EO＝ （6－t） cm，OF＝ 2t cm
（用含t的代数式表示）.
（6－t）
2t
（第10题）
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（2） 当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？为什么？
解：（2） 当t＝2时，四边形AECF是平行四边形.∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC＝6 cm，BD＝12 cm，∴ AO＝OC＝ AC＝3 cm，BO＝OD＝ BD＝6 cm.当t＝2时，EO＝6－2＝4（cm），OF＝2×2＝4（cm）.∴ EO＝OF. 又∵ AO＝OC，∴ 四边形AECF是平行四边形.
（第10题）
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（3） 是否存在t，使得△AEF是以AF为底边的等腰三角形？若存在，
请求出t的值，若不存在，请说明理由.
解：（3） 存在. ∵ AC⊥BD，∴ ∠AOE＝90°.
∵ △AEF是以AF为底边的等腰三角形，∴ AE＝EF.
∵ EO＝（6－t）cm，OF＝2t cm，
∴ AE＝EF＝（6＋t）cm.∵ AO＝3 cm，
∴ 在Rt△AEO中，由勾股定理，得AO2＋EO2＝AE2，即32＋（6－t）2＝（6＋t）2，解得t＝ .
（第10题）
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10(共17张PPT)
2 平行四边形的判定
第1课时 根据边的关系判定平行四边形
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 玉溪期末）如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平
行四边形的是（ B ）
A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
B. AB＝CD，AD∥BC
C. AB＝CD，AD＝BC
D. ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
（第1题）
B
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2. 如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：① 以点B为圆心，AD长
为半径画弧；② 以点D为圆心，AB长为半径画弧；③ 两弧在BD上方
交于点C，连接BC，DC. 可直接判定四边形ABCD为平行四边形的理
由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
（第2题）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
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3. （2025 抚顺望花段考）如图，AB∥CD，AB＝DC，点E，F在BC
上，且BF＝CE，连接AE，CF.
（1） 求证：△ABE≌△DCF.
解：（1） ∵ AB∥CD，点E，F在BC上，且BF＝
CE，∴ ∠B＝∠C，BF－EF＝CE－EF，即BE＝
CF. 在△ABE与△DCF中，
∴ △ABE≌△DCF.
（第3题）
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（2） 连接AF，DE，求证：四边形AFDE为平行四边形.
解：（2） 由（1）知，△ABE≌△DCF，∴ AE＝
DF，∠AEB＝∠DFC. ∴ ∠AEF＝∠DFE.
∴ AE∥DF. 又∵ AE＝DF，∴ 四边形AFDE是平行四
边形.
（第3题）
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4. 数形结合思想 依据所标角度和边长，下列四边形中，不能判定为
平行四边形的是（ C ）
C
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5. 如图，P，Q分别是四边形ABCD的边AB，CD上的点，有如下条
件：① AP＝CQ；② ∠APD＝∠CQB；③ AB∥CD；④ 四边形ABCD
是平行四边形.根据已知及下列条件的组合，不能得到四边形BQDP是
平行四边形的是（ B ）
A. ①和④ B. ①和③
C. ②和③ D. ②和④
（第5题）
B
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6. （2025 鹰潭余江期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射
线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从
点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度运动，点E，F同时出发，设运动
时间为t s.当t＝ 2或6 时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行
四边形.
（第6题）
2或6
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7. （2025 天津蓟州期中）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中
点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF. 添加一个条
件，使四边形ABCD是平行四边形，则添加的条件可以是 ∠F ＝
∠CDE （写出一个即可）.（答案不唯一）
（第7题）
∠F＝
∠CDE
（答案不唯一）
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8. 如图，E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的点，AE＝CF，DE
与AF交于点G，CE与BF交于点H. 求证：四边形EHFG是平行四边
形.
（第8题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，即AE∥FC. ∵ AE＝CF，∴ 四边形AECF是平行四边形.∴ AF∥CE. 又∵ AB－AE＝CD－CF，即EB＝DF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.∴ DE∥FB. ∴ 四边形EHFG是平行四边形.
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9. （2025 兰州七里河期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F
是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.求证：
（1） AE＝CF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝
BC，AD∥BC. ∴ ∠DAE＝∠BCF. 在△ADE与
△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF.
∴ AE＝CF.
（第9题）
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（2） 四边形EBFD是平行四边形.
解：（2） ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠DEF＝∠BFE.
∴ DE∥BF. 由（1），知△ADE≌△CBF，
∴ DE＝BF. ∴ 四边形EBFD是平行四边形.
（第9题）
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10. （2025 兴宁期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝
30°，以线段AB为边，在AB上方作等边三角形ABD，F是线段AD的
中点，连接CF.
（1） 若AC＝3，求AD的长.
解：（1） ∵ ∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴ BC＝
AB. 设BC＝x，则AB＝2x.在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝
AB2，∴ x2＋32＝（2x）2，解得x＝ （负值舍去）.
∴ BC＝ ，AB＝2 .∵ △ABD是等边三角形，
∴ AD＝AB＝2 .
（第10题）
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（2） 求证：四边形BCFD是平行四边形.
解：（2） ∵ ∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴ BC＝
AB，∠ABC＝60°.∵ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD.
∴ ∠ABC＝∠BAD.
∴ BC∥DA. ∵ F是线段AD的中点，
∴ DF＝ AD. ∴ BC＝DF.
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
（第10题）
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11. 如图所示为小明家所在街道的示意图，其中点D在CE上，CE垂直
平分AF，AB∥CD，BC∥DF. 小明的爸爸每天要从点E处的家开车
前往点B处的公司上班，CE与AB长期因修路被封闭无法行车，小明的
爸爸上班有以下两条路线可供选择.路线一：E→A→D→B，路线
二：E→F→C→B. 为了减少行车里程，节约汽油，他应该选择哪条
路线？请说明理由.
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解：选择路线一和路线二都一样. 理由：如图，延长FD
交AB于点G. ∵ CE垂直平分AF，∴ ∠FED＝90°，
EF＝EA，DF＝DA.
∴ ∠DFA＝∠DAF. ∵ AB∥CD，∴ ∠FAG＝∠FED
＝90°.∴ ∠DFA＋∠DGA＝90°，∠DAF＋∠DAG＝
90°.∴ ∠DAG＝∠DGA.
∴ DA＝DG. ∴ DF＝DG. ∵ AB∥CD，FG∥BC，∴
四边形BCDG是平行四边形.∴ CB＝DG. ∴ CB＝DF. ∵
BC∥DF，∴ 四边形BCFD是平行四边形.∴ BD＝CF.
∴ EA＋AD＋DB＝EF＋FC＋BC. ∴ 路线一和路线二
一样长，选择哪条路线都一样.
（第11题答案）
（第11题答案）
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11(共20张PPT)
3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 宿迁）如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E，F分别是边
AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是（ C ）
A. DE∥BC B. ∠B＝∠EFC
C. ∠BAF＝∠CAF D. OD＝OE
（第1题）
C
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2. （2025 成都新都期末）如图，D，E分别是△ABC中AC，BC的中
点，F为BE的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点G. 若BG＝
2，则AB的长是（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
（第2题）
B
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3. （2025 广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A
＝70°，则∠EDF的度数为 70° .
（第3题）
70°
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12
4. 如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是CD的中
点，点F在BC的延长线上，且CF＝ BC. 求证：四边形OCFE是平行
四边形.
（第4题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD，即O是BD的中点.
又∵ E是CD的中点，∴ OE是△BCD的中位线.∴ OE∥BC，且OE＝
BC. ∵ CF＝ BC，∴ OE＝CF. 又∵ 点F在BC的延长线上，
∴ OE∥CF. ∴ 四边形OCFE是平行四边形.
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12
5. （2025 咸阳兴平期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，G分别
是AD，BC，BD的中点.若AB＝CD，∠EGF＝124°，则∠GEF的
度数为（ C ）
A. 10° B. 20° C. 28° D. 30°
（第5题）
C
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6. 如图，M是BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N.
若AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长为（ D ）
A. 28 B. 32 C. 18 D. 25
（第6题）
D
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7. 新考法 探究题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝
12，AD＝5，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M
不与点B重合），E，F分别为DM，MN的中点，则EF的长可能
为（ B ）
A. 2 B. 5 C. 7 D. 9
（第7题）
B
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8. （2025 龙东地区）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别
在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，
DE的中点，连接MN，则MN的长为 .
（第8题）
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9. 如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，F是AC的中
点，连接EF.
（1） 求证：EF∥BC.
解：（1） 如图，延长AE交BC于点H. ∵ CD是
△ABC的角平分线，∴ ∠ACE＝∠HCE.
∵ AE⊥CD，∴ ∠CEA＝∠CEH＝90°.在△CAE
和△CHE中，
∴ △CAE≌△CHE. ∴ AE＝HE，即E是AH的中
点.又∵ F是AC的中点，∴ EF∥HC. ∴ EF∥BC.
（第9题答案）
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12
（2） 试猜想∠B，∠DAE，∠EAC三个角之间的数量关系，并加以
证明.
解：（2） ∠EAC＝∠B＋∠DAE. 由（1），知
△CAE≌△CHE，∴ ∠EAC＝∠EHC.
又∵ ∠EHC＝∠B＋∠DAE，∴ ∠EAC＝∠B＋
∠DAE.
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10. （2025 武冈期末）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，延
长CD到点E，使DE＝CD，连接AE.
（1） 求证：四边形ABDE是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ CD＝DE，
∴ AB＝DE. ∴ 四边形ABDE是平行四边形.
（第10题）
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（2） 连接BE，交AD于点F，连接OF，求证：CE＝4OF.
解：（2） 四边形ABDE是平行四边形，四边形
ABCD是平行四边形，∴ BF＝EF，OB＝OD.
∴ OF是△BDE的中位线.∴ DE＝2OF.
∵ CD＝DE，∴ CE＝2DE. ∴ CE＝4OF.
（第10题）
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11. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，
M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点E，F. 请探
究OE与OF的数量关系，并加以证明.
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解：OE＝OF. 如图，取AD的中点G，连接MG，
NG. ∵ G，N分别为AD，CD的中点，∴ GN是
△ACD的中位线.∴ GN∥AC，GN＝ AC. 同理，可
得GM∥BD，GM＝ BD. ∵ AC＝BD，∴ GN＝
GM. ∴ ∠GMN＝∠GNM. 又∵ GM∥OE，
GN∥OF，∴ ∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝
∠GNM. ∴ ∠OEF＝∠OFE. ∴ OE＝OF.
（第11题答案）
（第11题答案）
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12. ★（1） 如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是
AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点
M，N. 求证：∠BME＝∠CNE.
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解：（1） 如图①，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH. ∵ E，H分别是AD，BD的中点，∴ EH∥AB，EH＝ AB. ∴ ∠BME＝∠HEF. ∵ F，H分别是BC，BD的中点，∴ FH∥CD，FH＝ CD. ∴ ∠CNE＝∠HFE. ∵ AB＝CD，∴ EH＝FH. ∴ ∠HEF＝∠HFE.
∴ ∠BME＝∠CNE.
（第12题答案）
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（2） 如图②，在△ABC中，F是BC的中点，D是AC上一点，E是
AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G. 若AB＝CD＝2，∠FEC＝
45°，求EF的长.
解：（2） 如图②，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH. ∵ E，H分别是AD，BD的中点，∴ EH＝ AB. ∵ H，F分别是BD，BC的中点，∴ FH＝ CD，FH∥AC.
∴ ∠HFE＝∠FEC＝45°.
∵ AB＝CD＝2，∴ EH＝FH＝1.
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∴ ∠HEF＝∠HFE＝45°.∴ ∠EHF＝180°－∠HFE－∠HEF＝90°.∴ EF＝ ＝ .
（第12题答案）
（第12题答案）
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12(共18张PPT)
2 平行四边形的判定
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形 判定方法的选择
第六章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 石家庄桥西期末）如图，直线AB∥CD，P是直线AB上一个
动点，当点P从左向右移动时，△PCD的面积（ C ）
A. 变小 B. 变大
C. 始终不变 D. 无法确定
（第1题）
C
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2. 如图，将△ABC沿着AB的方向平移得到△A′B′C′，其中A′C′与BC
交于点D，连接CC′，则下列结论一定成立的是（ D ）
A. A′B＝CC′ B. ∠A＝∠B′
C. B′C′＝2BD D. ∠B′＝∠BCC′
（第2题）
D
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3. 四边形ABCD的部分数据如图所示，要使得四边形ABCD是平行四边
形，则应在 ② （填序号）处添加数据 4 .
（第3题）
②
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4. ★如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE＝
CF，AF与DE相交于点M，BF与CE相交于点N. 写出图中除 ABCD
外的所有平行四边形，并证明.
（第4题）
解： AECF， BEDF， EMFN. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ AE＝CF，∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AE＝CF，AB＝CD，∴ BE＝DF. ∵ AB∥CD，∴ 四边形BEDF是平行四边形.
∴ DE∥BF，即EM∥NF. ∵ 四边形AECF是平行四边形，∴ AF∥CE，即MF∥EN. ∴ 四边形EMFN是平行四边形.
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5. 新考法 操作实践题 已知 ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的
方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边
形，甲、乙两人的作法如图所示.下列判断正确的是（ B ）
A. 甲对、乙不对 B. 甲、乙都对
C. 甲不对、乙对 D. 甲、乙都不对
（第5题）
B
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6. 如图，AC是 ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC，交AD于点
G，垂足为E，过点D作DH⊥AC，交BC于点H，垂足为F，连接
GH，EH. 有下列结论：① BE＝DF；② 四边形GBHD是平行四边
形；③ ∠GAC＝∠DHC；④ GH平分 ABCD的周长；⑤ S△ABE＝
S△EHC. 其中，一定正确的个数是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（第6题）
C
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7. 如图，l1∥l2，BE∥DF，AB∥CD. 有下列结论：① BE＝DF；②
S四边形ABDC＝S四边形BDFE；③ AB＝CD；④ S△ABE＝S△CDF. 其中，正确的
是 ①②③④ （填序号）.
（第7题）
①②③④
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8. 如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，A是直线l1与l2外一
点，点A到直线l1的距离为2，B，D分别是直线l1与直线l2上的动点.先
以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径
作弧，两弧在l2下方交于点C，连接AC，则AC长的最小值为 8 .
（第8题）
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9. （2025 泸州龙马潭期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为
AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，过点C作CF∥BD交BE的延
长线于点F，连接DF交AC于点G.
（1） 求证：四边形DBCF是平行四边形.
（第9题）
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解：（1） ∵ E为CD的中点，∴ CE＝DE.
∵ CF∥BD，∴ ∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝
∠BDE. 在△CEF和△DEB中，
∴ △CEF≌△DEB. ∴ CF＝DB. ∵ CF∥DB，∴
四边形DBCF是平行四边形.
（第9题）
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（2） 若∠A＝30°，AC＝4 ，CF＝6，求AD的长.
解：（2） ∵ 四边形DBCF是平行四边形，∴ CF＝
BD＝6.∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴ AB＝
2BC. ∵ 在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，∴ 设
BC＝x，则AB＝2x.∴ （4 ）2＋x2＝（2x）2，
解得x＝4（负值舍去）.∴ AB＝8.∴ AD＝AB－BD
＝8－6＝2.
（第9题）
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10. 将一把直尺按如图所示的方式放置，直尺恰好过点B，D，且与
ABCD的边CD，AB交于点E，F，连接AE，CF，分别与DF，BE
相交于M，N两点.
（1） 求证：四边形MFNE是平行四边形.
解：（1） ∵ 点D，F与点B，E分别在直尺的对边上，
∴ DF∥BE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，点F，E分别在AB，CD上，∴ FB∥ED，AB＝CD. ∴ 四边形BEDF是平行四边形.∴ BF＝DE. ∴ AB－BF＝CD－DE，即AF＝CE. ∵ AF∥CE，∴ 四边形AFCE是平行四边形.∵ 点M，N分别在AE，CF上，∴ EM∥FN. ∵ FM∥EN，
∴ 四边形MFNE是平行四边形.
（第10题）
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（2） 若EM为直尺的宽，EM＝DM，且AB＝6，求 ABCD的面积.
解：（2） ∵ EM为直尺的宽，∴ EM⊥DF.
∴ ∠DME＝∠AEB＝90°.∵ EM＝DM，∴ ∠EAB
＝∠MED＝∠MDE＝45°.∴ ∠EBA＝∠EAB＝
45°.∴ AE＝BE. 过点E作EH⊥AB于点H，则AH＝
BH. ∵ AB＝6，∴ 易得EH＝3.
∴ S ABCD＝AB EH＝6×3＝18.
（第10题）
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11. （2025 咸阳乾县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长
BC至点E，使得BE＝CD，连接AE交CD于点F，连接AC，BF，
DE.
（1） 求证：AE是∠BAD的平分线.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝
CD，AD∥BC. ∴ ∠DAE＝∠BEA. ∵ BE＝CD，
∴ AB＝BE. ∴ ∠BAE＝∠BEA. ∴ ∠BAE＝
∠DAE. ∴ AE是∠BAD的平分线.
（第11题）
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（2） 若BF平分∠ABE，求证：四边形ACED是平行四边形.
解：（2） ∵ AB＝BE，BF平分∠ABE，∴ AF＝
EF. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADF＝∠ECF. 在△AFD和
△EFC中， ∴ △AFD≌△EFC.
∴ DF＝CF. ∴ 四边形ACED是平行四边形.
（第11题）
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（3） 若BF⊥AE，∠ABF＝30°，AB＝6，求 ABCD的面积.
解：（3） ∵ AB＝BE＝6，BF⊥AE，∴ BF平分
∠ABE. 由（2），得四边形ACED是平行四边形，
∴ AD＝CE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD
＝BC. ∴ AD＝CE＝CB＝ BE＝3.∵ ∠EBF＝
∠ABF＝30°，∴ ∠ABE＝2∠ABF＝60°.
∴ △ABE是等边三角形.∴ AC⊥BE. ∴ ∠ACB＝
90°.∴ AC＝ ＝ ＝3 .
∴ S ABCD＝CB AC＝3×3 ＝9 .∴ ABCD的
面积为9 .
（第11题）
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