(共15张PPT)
专题特训六 与旋转有关的计算证明题与探究题
第三章 图形的平移与旋转
类型一 与旋转有关的计算证明题
1. （2025 成都青羊期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到
△A′B′C，连接AA′，A′B′⊥AC，则∠AA′B′的度数为（ B ）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
（第1题）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一把三角尺的直
角顶点与边BC的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将
三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与
AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中，不一定正确的是（ C ）
C
A. AE＋AF＝AC
B. ∠BEO＋∠OFC＝180°
C. OE＋OF＝ BC
D. S四边形AEOF＝ S△ABC
（第2题）
1
2
3
4
5
6
7
8
3. （2025 运城闻喜期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平
面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置.使得AB′⊥BC于
点O. 则旋转角的度数是 60° ，若AB＝8，则涂色部分的面积
为 8 .
（第3题）
60°
8
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 如图，F是长方形ABCD内一点，点E在边BC上，连接AF，EF. 将
线段AF绕点A按顺时针方向旋转90°得到AP，连接PE. 若AB＝8，
BC＝6，BE＝ CE，EF＝4，则PE长的最小值为 2 －4 .
（第4题）
2 －4
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 如图，在长方形ABCD中，将Rt△ADC绕点A按顺时针方向旋转得到
△AFE，点F恰好落在对角线AC上，FE交BC于点P，AE交BC于点
Q，∠DAC＝30°.求证：△PQE是等边三角形.
（第5题）
解：∵ 四边形ABCD为长方形，∴ ∠DAB＝∠D＝∠B＝90°.∵ △AFE是△ADC绕点A按顺时针方向旋转得到的，点F在AC上，∴ ∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAC＝30°.∴ ∠E＝180°－90°－30°＝60°.∵ ∠DAB＝90°，∴ ∠QAB＝90°－30°－30°
＝30°.∵ ∠B＝90°，∴ ∠AQB＝60°.∴ ∠PQE＝∠AQB＝60°＝∠E. ∴ △PQE是等边三角形.
1
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7
8
6. （2025 聊城阳谷期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段
AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AQ，连接BQ，BP，CP.
若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积.
解：如图，连接PQ. 由旋转的性质，可知AP＝AQ，
∠PAQ＝60°，∴ △PAQ是等边三角形.∴ PQ＝PA＝
6.∴ 易知S△PAQ＝ ×6×3 ＝9 .∵ △ABC是等边三
角形，∴ ∠CAB＝60°，AC＝AB.
∴ ∠CAB＝∠PAQ＝60°.∴ ∠CAB－∠BAP＝∠PAQ
－∠BAP，即∠CAP＝∠BAQ. 在△ACP和△ABQ中，
（第6题答案）
（第6题答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
∴ △ACP≌△ABQ. ∴ CP＝BQ＝10.∵ PB2＋PQ2＝82＋
62＝100，BQ2＝100，∴ PB2＋PQ2＝BQ2.∴ △BPQ是直
角三角形，且∠BPQ＝90°.∴ S△BPQ＝ ×6×8＝24.∴ S
四边形APBQ＝S△BPQ＋S△PAQ＝24＋9 .
（第6题答案）
1
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4
5
6
7
8
类型二 与旋转有关的探究题
7. 如图①，将两个完全相同的△ABC和△DEC重合放置，其中∠C＝
90°，∠B＝∠E＝30°.
（1） 如图②，固定△ABC，将△DEC绕点C旋转，点D恰好落在
AB上.
① 线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC .
② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系
是 S1＝S2 .
DE∥AC
S1＝S2
（第7题）
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） 当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中
S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中
BC，CE上的高，请你证明小明的猜想.
解：∵ ∠DCE＝∠ACB＝90°，∴ ∠DCM＋∠ACE＝180°.
又∵ ∠ACN＋∠ACE＝180°，∴ ∠ACN＝∠DCM.
∵ DM⊥BC，AN⊥CN，∴ ∠CNA＝∠CMD＝90°.
在△ANC和△DMC中，
∴ △ANC≌△DMC. ∴ AN＝DM.
又∵ CE＝BC，∴ BC DM＝ CE AN，即S1＝S2.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC
＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，
DC（或它们的延长线）于点E，F. 当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF
时（如图①），易证：AE＋CF＝EF（不必证明）.
1
2
3
4
5
6
7
8
（1） 如图②，当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，求证：AE＋CF＝
EF.
解：（1） 如图①，延长FC到点H，使CH＝AE，连
接BH.
∵ AB⊥AD，BC⊥CD，∴ ∠A＝∠BCH＝90°.在
△BCH和△BAE中， ∴
△BCH≌△BAE. ∴ BH＝BE，∠CBH＝∠ABE.
1
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5
6
7
8
∵ ∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴ ∠ABE＋
∠CBF＝∠ABC－∠MBN＝60°.∴ ∠CBH＋
∠CBF＝60°，即∠HBF＝60°.∴ ∠HBF＝∠EBF
＝60°.在△HBF和△EBF中，
∴ △HBF≌△EBF. ∴ HF＝EF. ∵ HF＝CH＋CF
＝AE＋CF，∴ AE＋CF＝EF.
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3
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5
6
7
8
（2） 如图③，当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，上述结论是否成
立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的
数量关系？并证明.
解： （2） 不成立，EF＝AE－CF. 如图②，
在AE上截取AQ＝CF，连接BQ.
∵ AB⊥AD，BC⊥CD，∴ ∠A＝∠BCF＝90°.
在△BCF和△BAQ中，
∴ △BCF≌△BAQ. ∴ BF＝BQ，
∠CBF＝∠ABQ. ∵ ∠MBN＝60°＝∠CBF＋∠CBE.
1
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3
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5
6
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8
∴ ∠CBE＋∠ABQ＝60°.∵ ∠ABC＝120°，∴ ∠QBE＝120°－
60°＝60°＝∠FBE. 在△FBE和△QBE中，
∴ △FBE≌△QBE. ∴ EF＝EQ. ∴ AE＝EQ＋AQ＝EF＋CF，即
EF＝AE－CF.
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7
8(共9张PPT)
专题特训五 巧用平移、旋转解题
第三章 图形的平移与旋转
类型一 巧用平移解题
1. （2025 扬州期末）某长方形草地中需修建一条等宽的小路（涂色部
分），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（ B ）
B
1
2
3
4
5
6
2. ★（2025 邓州期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，若在长
方形地块内修筑同样宽的小路（涂色部分），余下部分为绿化，小路的
宽为2 m，则绿化的总面积是（ C ）
A. 660 m2 B. 600 m2
C. 560 m2 D. 100 m2
（第2题）
C
1
2
3
4
5
6
类型二 巧用旋转解题
3. 如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，
则图中涂色部分的面积是（ C ）
A. 4π B. 3π
C. 2π D. π
（第3题）
C
1
2
3
4
5
6
4. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重
合.若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB为120°，则图中涂色部分的面
积之和为 4 cm2.
（第4题）
4
1
2
3
4
5
6
类型三 巧用中心对称解题
5. 如图，直线a，b互相垂直且相交于点O，曲线C关于点O成中心对
称，点A的对应点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D. 若OB＝3，
OD＝2，则涂色部分的面积之和为 9 .
（第5题）
9
1
2
3
4
5
6
6. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成
全等的两个部分.
（1） 如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心
点O，则S四边形AEFB ＝ S四边形DEFC（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝
1
2
3
4
5
6
（2） 正方形是中心对称图形，将两个正方形按如图②所示的方式摆
放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面
积相等的两部分.
解：（2） 如图①所示.
1
2
3
4
5
6
（3） 八个大小相同的正方形按如图③所示的方式摆放，求作直线将整
个图形分成面积相等的两部分（用三种方法进行分割）.
解：（3） 如图②所示.
1
2
3
4
5
6(共19张PPT)
2 图形的旋转
第1课时 图形的旋转
第三章 图形的平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境 现实生活 有下列现象：① 地下水位逐年下降；② 火箭冲
向空中；③ 方向盘的转动；④ 水龙头开关的转动；⑤ 钟摆的运动；⑥
雨刮器来回摆动.其中，属于旋转的有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
2. （2025 延安富县期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到
△AED，连接BE. 若AB＝7，AC＝5，BC＝3，则BE的长为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
（第2题）
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 新考法 操作实践题 如图，在平面直角坐标系中有△ABC，且A
（－1，3），B（－3，－1），C（－3，3）.已知△DAE是由△ABC
绕某点顺时针旋转得到的，则旋转中心的坐标是 （0，0） ，旋转角
的度数是 90° .
（第3题）
（0，0）
90°
1
2
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5
6
7
8
9
10
11
4. 如图，C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边
三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE.
（1） 试找出图中能够通过旋转完全重合的三角形，并说明旋转中心和
旋转角的度数.
解：（1） ∵ △ACD和△BCE都为等边三角形，
∴ CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝
60°.∴ ∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即
∠ACE＝∠DCB. ∴ △ACE≌△DCB. ∴ △ACE与
△DCB能够通过旋转完全重合，旋转中心为点C，
旋转角的度数为60°.
（第4题）
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 试猜想AE与DB之间的数量关系，并用旋转的性质说明上述关系
成立的理由.
解：（2） AE＝DB. 理由：∵ △ACE绕点C按顺
时针方向旋转60°得到△DCB，旋转前后的两个图
形全等，∴ AE＝DB.
（第4题）
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
11
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方
向旋转，使得点B落在点D处，点C落在边AB上的点E处，连接BD.
若AC＝4，BC＝3，则BD的长为（ B ）
A. B. C. 2 D. 5
（第5题）
B
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6
7
8
9
10
11
6. （2025 苏州期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝
30°.将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，连接BB′，CC′.
有下列结论：① BC＝B′C′；② AC∥B′C′；③ B′C′⊥BB′；④ ∠ABB′
＝∠ACC′.其中，正确的是（ B ）
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
（第6题）
B
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8
9
10
11
7. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射
线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转
一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 2 ，旋转角的
度数为 60° .
（第7题）
2
60°
1
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5
6
7
8
9
10
11
8. ★如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，
B，C均在格点上.
（1） ∠ACB的度数为 90° .
90°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 在如图所示的网格中，以点A为旋转中心，∠BAC为旋转角，把
△ABC按逆时针方向旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的
△AB′C′，并简要说明旋转后点C，B的对应点C′，B′的位置是如何而
找到的（不要求证明）.
解：如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB
＝5 ，延长BC到格点E，连接AE，取格点F，连接FB′交AE于点C′，△AB′C′即为所求作.
（第8题答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 在平面直角坐标系中，O为原点，B（0，6），A（8，0），以点B
为旋转中心，把△ABO按逆时针方向旋转，得到△A′BO′，点O，A旋
转后的对应点分别为O′，A′，记旋转角为β.
（1） 如图①，连接AA′.若β＝90°，求AA′的长.
解：（1） ∵ β＝90°，∴ ∠A′BA＝90°.∵ A（8，0），
B（0，6），∴ OA＝8，OB＝6.根据勾股定理，得AB＝
＝ ＝10，由旋转的性质，得A′B＝AB＝10，在Rt△A′BA
中，根据勾股定理，得AA′＝ ＝10 .
1
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5
6
7
8
9
10
11
（2） 如图②，若β＝120°，求点O′的坐标.
解：（2） 如图，过点O′作O′C⊥y轴于点C. 由旋转的性质，得O′B＝OB＝6，∵ β＝120°，∴ ∠OBO′＝120°.∴ ∠O′BC＝180°－120°＝60°.
∴ ∠BO′C＝30°.∴ BC＝ O′B＝ ×6＝3.
∴ CO′＝ ＝ ＝3 ，OC＝OB＋BC＝6＋3＝9.∴ 点O′的坐标为（3 ，9）.
1
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10
11
10. 易错题 如图，点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（5，3），点D的坐标为（3，－1）.小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一定角度后可以得到另一条线段.你认为这个旋转中心的坐标为 （1， 1）.
（第10题）
（1，1）或（4，4）
1
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10
11
11. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝5，D为边AB上一点，E为边
AC上一点，连接DE.
（1） 如图①，过点E作EF∥BC，交AB于点F，延长ED交CB的延长
线于点G. 若AE＝BG＝1，求DB的长.
1
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10
11
解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A
＝∠ABC＝∠C＝60°.∵ EF∥BC，
∴ ∠FED＝∠G，∠AFE＝∠ABC＝
60°，∠AEF＝∠C＝60°.∴ △AEF是等
边三角形.∴ AE＝EF＝AF. ∵ AE＝BG＝1，
∴ EF＝GB＝1.又∵ ∠EDF＝∠GDB，
∴ △EFD≌△GBD. ∴ DF＝DB. ∵ AB＝5，
∴ BF＝AB－AF＝4.∴ BD＝ BF＝2.
1
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10
11
（2） 如图②，将DE绕点D按逆时针方向旋转60°得到DH，连接
AH，请猜想CE，AH，BD之间的数量关系并证明.
解：（2） CE＝AH＋BD. 如图，过点E作EM∥BC，交
AB于点M，连接EH. 由（1），可知∠AEM＝60°，
△AME是等边三角形，∴ AE＝ME. 由旋转，可知DE＝
DH，∵ ∠HDE＝60°，∴ △DEH是等边三角形.∴ HE＝
DE，∠HED＝60°.
1
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3
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5
6
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8
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10
11
∴ ∠AEH＋∠HEM＝∠HEM＋∠DEM＝60°.∴ ∠AEH＝∠DEM.
∴ △AEH≌△MED. ∴ AH＝MD. ∴ BM＝BD＋DM＝BD＋AH. 易知AM＝AE，AB＝AC，∴ BM＝CE. ∴ CE＝AH＋BD.
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3
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5
6
7
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10
11(共21张PPT)
1 图形的平移
第2课时 图形的平移变换与点的坐标变化
第三章 图形的平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 在平面直角坐标系中，将点A（3，－4）先向左平移5个单位长度，
再向上平移7个单位长度，则平移后的点在（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如图，将①号“鱼”先向右平移 5 个单位长度，再向下平
移 1 个单位长度可以得到②号“鱼”.②号“鱼”也可以由①号
“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为 个单位长度.
（第2题）
5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′.
（1） 分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ －，
4 ）.
1
0
－ 4
4
（第3题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 请说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的.
解：（2） 答案不唯一，如△A′B′C′
是由△ABC向左平移5个单位长度，向上平
移4个单位长度得到的.
（第3题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3） 若M（m，4－n）是△ABC内部一点，平移后对应点M′的坐标
为（2n－8，m－4），求m和n的值.
解：（3） 由题意，得
解得
（第3题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位长度，再
向上平移3个单位长度得到点B. 若点B的横坐标和纵坐标相等，则m的
值为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
1
2
3
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5
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7
8
9
10
11
5. 新考法 探究题 已知点A（2，3）关于x轴的对称点是B，点B关
于y轴的对称点是C，下列平移变换中，能由点A平移得到点C的
是（ B ）
A. 向左平移4个单位长度，向上平移6个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，向下平移6个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度
B
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平
移得到四边形A1B1C1D1.已知A（－3，5），B（－4，3），A1
（3，3），则点B1的坐标为（ B ）
A. （1，2） B. （2，1）
C. （1，4） D. （4，1）
（第6题）
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 分类讨论思想 （2025 福州仓山期中）如图，在平面直角坐标系
中，A（m－1，n－2），B（m＋2，n），平移线段AB，使点A，B
均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 （－3，0 ）或
（0，－2） .
（第7题）
（－3，0）或
（0，－2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），
且｜a－c｜＋ ＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过
的面积为24，则a＋b＋c的值为 18 .
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 如图，△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后的对应点为P1（x0＋
3，y0－5），将△ABC作同样平移得到△A1B1C1.
（1） 求出点A1，B1，C1的坐标，并在图中画出△A1B1C1.
解：（1） A1（2，－1），B1（－1，－6），
C1（4，－4），△A1B1C1如图所示.
（第9题答案）
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11
（2） 若△ABC经两次平移得到△A1B1C1，写出平移的方法.
解：（2） 将△ABC先向右平移3个单位长度，
再向下平移5个单位长度即可得到△A1B1C1（或
将△ABC先向下平移5个单位长度，再向右平移
3个单位长度即可得到△A1B1C1）.
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11
（3） △A1B1C1可以由△ABC经一次平移得到，写出平移的方向和
距离.
解：（3） 如图，连接AA1.由图可知，AA1＝ ＝ ，∴ 将△ABC沿AA1的方向，平移 个单位长度即可得到△A1B1C1.
（第9题答案）
（第9题答案）
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10. 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，
△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，5），（－2，2）.
（1） 请在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标.
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，点C的坐标为（2，3）.
（第10题答案）
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11
（2） 平移△ABC，使点C移动到点F（7，－4），画出平移后的
△DEF，其中点D与点A对应，点E与点B对应.
解： （2） 如图，△DEF即为所求作.
解： （3） S△ABC＝4×3－ ×2×3－ ×4×1－ ×2×2＝5.
（3） 求△ABC的面积.
（第10题答案）
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11
（4） 坐标轴上是否存在点P，使△POC的面积与△ABC的面积相等？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）
建立平面直角坐标系如图所示，点C的坐标为（2，3）.
解： （4） 存在.点P的坐标为（0，5）或（0，－5）或 或
.
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11
11. （2025 南通海安期末）在平面直角坐标系中，A（6，n＋7），
B（4，n＋2），将点A向左平移a（a＞6）个单位长度，向下平移2
个单位长度，得到点C，将点B向左平移b个单位长度得到点D，且
CD∥y轴.
（1） a，b之间的数量关系为 a－b＝2 .
（第11题）
a－b＝2
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11
（2） 如图，连接AD，E为线段AD上一点，连接CE.
① 若CE⊥CD，则CE和CD是否相等？
② 若S△ECD＝ S△ACE，判断EC和CD的位置关系，并说明理由.
解：① ∵ C（6－a，n＋5），D（4－b，n＋2），∴ CD＝3.
∵ A（6，n＋7），CD∥y轴，∴ S△ACD＝ CD×｜xA－xC｜
＝ ×3×a＝ a.又∵ CE⊥CD，即CE∥x轴，
∴ S△ACD＝ CE×｜yA－yD｜＝ ×CE× （n＋7－n－2）＝
CE×5＝ CE. ∴ CE＝ a.∴ CE＝ a.∵ a＞ 6，
∴ a≠3，即CE≠CD.
（第11题）
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11
② CE⊥CD. 理由：设点D到CE的距离为h1，点A到CE的距离为
h2.∵ S△ECD＝ S△ACE，∴ h1＝ h2.∵ CD＝3，｜yA－yD｜＝n＋7－n
－2＝5，｜yA－yC｜＝n＋7－n－5＝2，∴ h1＝3，h2＝2.∴ yE＝yC.
∴ EC∥x轴，即EC⊥CD.
（第11题）
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11(共29张PPT)
第三章整合拔尖
第三章 图形的平移与旋转
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 识别图形的平移与旋转
典例1 如图，图形①经过 轴对称 变化成图形②，图形②经过 平
移 变化成图形③，图形③经过 旋转 变化成图形④（填“平
移”“旋转”或“轴对称”）.
（典例1图）
轴对称
平
移
旋转
［变式］ （2025 南京建邺期中）如图，A，B，C，D，O均在格点
上，△CDO是由△AOB经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）
得到的.有下列变换方式：① 1次旋转和1次平移；② 2次轴对称；③ 1
次平移和1次轴对称；④ 1次轴对称和1次旋转.其中，正确的是 ③
（填序号）.
③④
考点二 利用平移的性质计算
典例2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方
向平移得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接
AD.
（1） 若∠CAD＝56°，求∠F的度数.
解：（1） ∵ △ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，
∴ AC∥DF，AD∥BF. ∴ ∠ACB＝∠F，∠ACB＝
∠CAD. ∴ ∠F＝∠CAD＝56°.
（典例2图）
（2） 若BC＝6 cm，当AD＝2CE时，求线段AD的长.
解：（2） ∵ △ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，
∴ AD＝BE＝CF. 设AD＝x cm，则BE＝CF＝x cm，
CE＝ AD＝ x cm.∵ BC＝6 cm，即BE＋CE＝6 cm，
∴ x＋ x＝6，解得x＝4.∴ AD＝4 cm.
［变式］ （2025 松原长岭期中）如图，直线a∥b，直线c与分别直线
a，b相交于点A，B. AC平分∠BAD，交直线b于点C，把△ABC沿
着平行线向右平移得到△DEF.
（1） 求证：∠BAD＝2∠DFE.
解：（1） ∵ a∥b，∴ ∠DAC＝∠ACB. ∵ AC平分
∠BAD. ∴ ∠BAD＝2∠DAC＝2∠ACB. 由平移的性
质，得∠ACB＝∠DFE，∴ ∠BAD＝2∠DFE.
（2） 若△ABC的周长是9 cm，四边形ABFD的周长是12 cm，求平移的
距离.
解：（2） 设平移的距离为x cm.由平移的性质，得AC
＝DF，AD＝CF＝x cm，∵ 四边形ABFD的周长是
12 cm，∴ AB＋BC＋CF＋DF＋AD＝AB＋BC＋
AC＋2AD＝12 cm.∴ 9＋2x＝12，解得x＝1.5.∴ 平移
的距离为1.5 cm.
考点三 利用旋转的性质计算
典例3 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，把
△ABC绕点C逆时针旋转60°得△DEC，连接AD，BD. 求：
（1） AD的长及∠BAD的度数.
解：（1） ∵ 把△ABC绕点C逆时针旋转60°得△DEC，∴ DC＝
AC，∠ACD＝60°.∴ △ACD是等边三角形.∴ AD＝AC＝8，∠CAD
＝60°.∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝30°.
（2） △ABD的面积.
解：（2） 如图，作BF⊥AD于点F，则∠AFB＝90°.∵
∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，∴ AB＝
＝6.由（1）得AD＝8，∠BAD＝30°，∴ BF＝ AB＝
3.∴ S△ABD＝ AD BF＝ ×8×3＝12，即△ABD的面积为12.
（典例3图答案）
［变式］ 如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转后到达△ADE的位
置，DE与AC，BC分别交于点O，F.
（1） 若△ABC的周长为24，AD＝6，AE＝8，求BC的长.
解：（1） 由旋转的性质，得AB＝AD＝6，AC＝AE＝
8，∴ AB＋AC＝6＋8＝14.∵ △ABC的周长为24，∴ AB
＋AC＋BC＝24.∴ BC＝24－（AB＋AC）＝10.
（2） 若∠BAC＝72°，∠DAC＝32°，求∠EFC的度数.
解：（2） ∵ ∠BAC＝72°，∠DAC＝32°，∴ ∠BAD
＝∠BAC－∠DAC＝72°－32°＝40°.由旋转的性质可
知，旋转角为40°，∠C＝∠E，∴ ∠CAE＝40°.
∵ ∠COF＝180°－∠EFC－∠C，∠AOE＝180°
－∠CAE－∠E，又∵ ∠COF＝∠AOE，∴ 180°
－∠EFC－∠C＝180°－∠CAE－∠E. ∴ ∠EFC＝
∠CAE＝40°.
考点四 识别中心对称图形
典例4 （2025 徐州）传统纹样是中华传统文化的一部分，具有独特的
民族艺术风格.下列是徐州出土的汉代玉器纹样，其中，既是轴对称图
形又是中心对称图形的是（ B ）
B
［变式］ 下列图形中，不是旋转对称图形的为 ⑤ ，既是旋转对称图
形又是中心对称图形的为 ①③ ，旋转72°后能够与原图形完全重合
的图形为 ②④ （填序号）.
⑤
①③
②④
考点五 与平移和旋转相关的作图
典例5 如图，在平面直角坐标系中，先把△ABC向右平移6个单位长
度得到△A1B1C1，然后把△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°得到
△A2B1C2.
（1） 分别在图中画出△A1B1C1和△A2B1C2.
解：（1） 如图，△A1B1C1和△A2B1C2即为所求.
（典例5图答案）
（2） 图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P按顺时针方向旋转得
到？如果能，请写出旋转中心点P的坐标，并说明如何旋转得到的；如
果不能，请说明理由.
解：（2） 能.如图，连接AA2，BB1，分别作线段AA2，BB1的垂直平
分线，相交于点P，易知点P也在线段CC2的垂直平分线上.∴ 旋转中心
点P的坐标为（2，－7）.把△ABC绕着点P按顺时针方向旋转90°，
即可得到△A2B1C2.
（典例5图答案）
［变式］ 如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长为1个单位长
度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，3），B（－4，0），
C（0，0）.
（1） 将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到
△A1B1C1，画出△A1B1C1.
解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求作.
（答案图）
（2） 作出与△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C.
解： （2） 如图，△A2B2C即为所求作.
（3） △A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，则旋转中心点P的坐标
为 （3，1） .
（3，1）
（答案图）
1. （2025 青岛）围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图
形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）
D
1
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3
4
5
6
2. （2025 武汉江汉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝
40°，AD⊥BC于点D. △ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的
对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是（ B ）
A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
（第2题）
B
1
2
3
4
5
6
3. （2025 榆林子洲期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直
角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝4，将
△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换后
点A的对应点的坐标为 （－3，4） .
（第3题）
（－3，4）
1
2
3
4
5
6
4. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平
面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上.
（1） △ABC的面积为 5.5 .
5.5
1
2
3
4
5
6
（2） 将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到
△A1B1C1，画出△A1B1C1.
解：（2） 如图，△A1B1C1即为所求作.
（第4题答案）
（第4题答案）
1
2
3
4
5
6
（3） 将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°，画出旋转后得到的
△A2BC2，并直接写出点A2，C2的坐标.
解：（3） 如图，△A2BC2即为所求作，点A2的坐标为（0，0），点C2的坐标为（3，2）.
（第4题答案）
（第4题答案）
1
2
3
4
5
6
5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的
对应点D恰好落在边BC上.且点A，B，E在同一条直线上.
（1） 求证：DA平分∠BDE.
解：（1） ∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，
得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，
∴ ∠ADE＝∠B，AD＝AB. ∴ ∠ADB＝∠B.
∴ ∠ADE＝∠ADB. ∴ DA平分∠BDE.
（第5题）
1
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4
5
6
（2） 若AC⊥DE，求旋转角α的度数.
解：（2） 设AC与DE交于点O. 由旋转，得AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝α，∠C＝∠E，∵ AC⊥DE，
∴ ∠AOE＝90°.∴ ∠C＝∠E＝90°－α.∵ AB＝AD，∴ ∠ADB＝∠B＝ （180°－∠BAD）＝ （180°－α）＝90°－ α.∵ ∠CAE是△ABC的一个外角，∴ ∠CAE＝∠B＋∠C. ∴ α＝90°－ α＋90°－α，解得α＝72°.
∴ 旋转角α的度数为72°.
（第5题）
1
2
3
4
5
6
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到
的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D
恰好在AC的延长线上.求证：
（1） ∠ADE＝∠CFD.
解：（1） ∵ △EFD是以EF为斜边的等腰直角三
角形，∴ ∠EDF＝90°.∴ ∠ADE＋∠ADF＝
90°.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠CFD＋∠ADF＝
∠ACB＝90°.
∴ ∠ADE＝∠CFD.
1
2
3
4
5
6
（2） CD＝BF.
解：（2） 如图，连接AE. ∵ 线段EF是由线段AB平移得到的，∴ 易得AE∥BF，AE＝BF. ∴ ∠DAE＝∠ACB＝90°.∴ ∠DAE＝∠FCD＝
90°.∵ △EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，∴ DE＝FD. 在△ADE和△CFD中，
∴ △ADE≌△CFD. ∴ AE＝CD. 又∵ AE＝BF，
∴ CD＝BF.
（第6题答案）
（第6题答案）
1
2
3
4
5
6(共10张PPT)
3 简单的图案设计
第三章 图形的平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2025 镇江期中）在下列各组图形中，一个图形不能经过一次平面
变换得到另一个图形的是（ B ）
B
1
2
3
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5
6
7
2. 如图所示的图案可以看作是由大写字母 A 绕旋转中心连续旋转，
每次旋转 60 °组成的.
（第2题）
A
60
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图所示为4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方
形涂色，就可以使图中的涂色部分构成一个中心对称图形，则这个白色
小正方形内的数字是 3 .
（第3题）
3
1
2
3
4
5
6
7
4. 利用旋转分析如图所示的图案，并设计一个你喜欢的图案.
解：如图，图①是由基本图形 绕点O按
顺时针（或逆时针）方向依次旋转72°，
144°，216°，288°得到的；图②是由基
本图形 绕点O按顺时针（或逆时针）方向
依次旋转90°，180°，270°得到的；图③
是由基本图形 绕点O按顺时针（或逆时
针）方向依次旋转90°，180°，270°得到
的.设计图案略.
（第4题答案）
（第4题答案）
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4
5
6
7
5. 下图中的①～③三个图形中，能通过旋转得到图形④的是（ B ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
（第5题）
B
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图，把边长为2的正方形的局部进行图形①～图形④的变换，最终
拼成图形⑤，则图形⑤的面积是 16 .
（第6题）
16
1
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3
4
5
6
7
7. 新考法 操作实践题 按要求完成以下各题：
（1） 请欣赏图①的图案，先找出组成该图案的基本图形，然后分析它
的形成过程.
解：（1） 如图①，基本图形是梯形ABCD. 先
将该基本图形绕点C顺时针依次旋转120°，
240°，然后整个图形沿直线m翻折可以得到
（合理即可）.
1
2
3
4
5
6
7
（2） 利用图②中所给的基本图案，通过平移、旋转或轴对称变换设计
图案，所设计的图案要包括4个基本图案.
解：（2） 答案不唯一，如图②所示.
（第7题答案）
1
2
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4
5
6
7(共19张PPT)
1 图形的平移
第1课时 平移的定义和性质
第三章 图形的平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境 现实生活 （2025 重庆期中）下列生活现象中，属于平移
的是（ D ）
A. 随风摆动的旗帜
B. 把打开的课本合上
C. 投篮时的篮球运动
D. 在笔直的公路上行驶的汽车
D
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
2. 新考向 传统文化 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形
式.下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ A ）
A
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10
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12
3. （2025 凉山）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长
度得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 24 .
（第3题）
24
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12
4. （2025 泰州姜堰期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个
单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移，使点A移到
点D处，E，F分别是点B，C的对应点.
（1） 画出平移后的△DEF.
解：（1） 如图，△DEF即为所求.
（第4题答案）
（2） 在整个平移的过程中，AB扫过的面积是 28 .
28
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11
12
（第4题答案）
5. 如图，△DEF是由△ABC平移得到的，连接BE. 已知∠A＝54°，
∠ABC＝36°，则下列结论中，不一定成立的是（ B ）
A. ∠D＝54° B. ∠BED＝∠FED
C. BC⊥DF D. DF∥AC
（第5题）
B
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11
12
6. 转化思想 （2025 上饶余干期中）如图，将Rt△ABC沿BC方向平
移得到Rt△DEF. 若平移的距离为7，AB＝10，DH＝4，则涂色部分的
面积为（ A ）
A. 56 B. 54 C. 50 D. 49
（第6题）
A
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12
7. （2025 咸阳旬邑模拟）如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，
AC＝10.将△ABC沿AC方向平移一段距离后得到△DEF，DE交BC于
点G. 连接BE，则涂色部分的周长为 24 .
（第7题）
24
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12
8. 如图，半圆从左往右平移的过程中所扫过的面积为 6 .
（第8题）
6
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11
12
9. 新考法 操作实践题 在如图所示的方格中，按下列要求作格点三角
形（图形的顶点都在小正方形的顶点上）.
（1） 在图①中，将△ABC平移，得到△A′B′C′，使得△A′B′C′与
△ABC无重合部分（点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′）.
解：（1） 如图①，△A′B′C′即为所求.
（第9题答案）
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10
11
12
（2） 在图②中，线段AB与CD相交，求作△ABE，使得△ABE中的一
个角等于∠α.
解：（2） 如图②，△ABE即为所求.
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11
12
10. （2025 临沂罗庄期末）如图，在同一平面内，直线l上摆放着两个
大小相同的直角三角形（∠CED＝∠ABC＝60°，∠A＝∠CDE＝
30°），点A，E，C在一条直线上.将△DEC沿直线l向左平移得到
△D′E′C′，点E′在AB上，P为AC与E′D′的交点.
（1） 求∠CPE′的度数.
解：（1） ∵ 将△DEC沿直线l向左平移得到
△D′E′C′，∴ ∠BD′E′＝∠CDE＝
30°.∴ ∠CPE′＝∠BD′E′＋∠ACD＝30°
＋90°＝120°.
（第10题）
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11
12
（2） 求证：AB⊥E′D′.
解：（2） ∵ ∠ABC＝60°，∠BD′E′＝30°，∴ ∠BE′D′＝
180°－60°－30°＝90°.∴ AB⊥E′D′.
（第10题）
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12
（3） 若图中三个涂色部分的面积之和为8，求△ABC的面积.
解：（3） 由平移的性质，可得S△E′C′D′＝
S△ECD，∴ 易得S梯形E′C′CP＝S四边形PEDD′.
∴ S△ABC＝S梯形E′C′CP＋S△AE′P＋S△BC′E′＝
S四边形PEDD′＋S△AE′P＋S△BC′E′＝S涂色＝8.
（第10题）
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11. 如图，等边三角形ABC的边长为6，现将△ABC沿BC方向平移，使
点B与点C重合，得到△DCE，连接AE交DC于点F.
（1） 试猜想AE与CD的位置关系，并证明.
解：（1） AE⊥CD. ∵ △DCE是由△ABC平移得到
的，且△ABC是边长为6的等边三角形，∴ 易知AC
＝CE＝6，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴ ∠CAE＝
∠CEA＝30°.∴ ∠CFE＝180°－∠CEA－∠DCE
＝90°.∴ AE⊥CD.
（第11题）
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（2） 求AE的长.
解：（2） ∵ △DCE是由△ABC平移得到的，
∴ AB∥CD. 又∵ ∠CFE＝90°，∴ ∠BAE＝
∠CFE＝90°.∴ △BAE是直角三角形.∵ AB＝6，
BE＝2BC＝12，∴ AE＝ ＝6 .
（第11题）
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12. 在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1） 如图①，将△ABD沿BC方向平移，使点D平移至点C处，得到
△A′B′D′，且A′B′交AC于点E，猜想∠B′EC与∠A′之间的数量关
系，并说明理由.
解：（1） ∠B′EC＝2∠A′. 理由：
∵ △A′B′D′是由△ABD平移得到的，
∴ A′B′∥AB，∠A′＝∠BAD. ∴ ∠B′EC
＝∠BAC. ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAC＝2∠BAD. ∴ ∠B′EC＝2∠A′.
（第12题）
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（2） 如图②，将△ABD沿AC方向平移，得到△A′B′D′，使A′B′刚好
经过点D，求证：A′D′平分∠B′A′C.
解：（2） ∵ △A′B′D′是由△ABD平移得到的，
∴ A′B′∥AB，∠B′A′D′＝∠BAD.
∴ ∠B′A′C＝∠BAC.
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAC＝2∠BAD.
∴ ∠B′A′C＝2∠B′A′D′.
∴ A′D′平分∠B′A′C.
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12(共18张PPT)
2 图形的旋转
第2课时 中心对称
第三章 图形的平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列奥运比赛项目的图标中，不是中心对称图形的是（ D ）
D
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2. （2025 厦门期末）如图，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分
别为各边的中点，HF与EG交于点O. 下列三角形中，与△HAE成中心
对称的是（ A ）
A. △FCG B. △GOF
C. △FBE D. △HOG
A
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3. 转化思想 （2025 南阳淅川期末）如图，直线a⊥b，垂足为O，
曲线C关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点B，
A′D⊥b于点D. 若OB＝6，OD＝4，则涂色部分面积之和为 24 .
24
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4. 如图所示为四边形ABCD，O为四边形内部一点，以点O为对称中
心，画出与四边形ABCD成中心对称的图形.
解：如图，连接AO并延长至点A′，使得OA′
＝OA；连接BO并延长至点B′，使得 OB′＝
OB；连接CO并延长至点C′，使得OC′＝
OC；连接DO并延长至点D′，使得 OD′＝
OD；连接A′B′，B′C′，C′D′，
D′A′，则四边形A′B′C′D′就是以点O
为对称中心，与四边形ABCD成中心对称的图形.
（第4题答案）
（第4题答案）
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5. （2025 晋城阳城期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，
则对称中心和点A的对称点分别是（ D ）
A. A，H B. I，E
C. E，F D. E，I
（第5题）
D
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6. （2025 五指山期末）已知点A（－1，3a－1）与点B（2b＋1，
－2）关于x轴对称，点C（a＋2，b）与点D关于原点对称，则点D的坐
标是（ A ）
A. （－3，1） B. （－3，2）
C. （3，－1） D. （－3，－1）
A
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7. 如图所示的图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角α
最小可以为 60° .
（第7题）
60°
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8. ★如图，将△ABC先向右平移3个单位长度，再绕原点O旋转180°，
得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为 （－1，－3） .
（第8题）
（－1，－3）
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9. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的
平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）.
（1） 先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1
向上平移4个单位长度得到△A2B2C2.
解：（1） 如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作.
（第9题答案）
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（2） △A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，写出对称中
心的坐标；若不是，请说明理由.
解：（2） 是.∵ 如图，连接AA2，BB2交于点（0，2），∴ △A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称.
（第9题答案）
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10. 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，AC＝4，BC＝6.
（1） 画出△BCD关于点D的中心对称图形.
解：（1） 如图，△AED即为△BCD关于点D的中
心对称图形.
（第10题答案）
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（2） 根据图形说明线段CD的长的取值范围.
解：（2） 由（1），知△AED≌△BCD，∴ ED＝CD，AE＝BC＝6.∴ AE－AC＜2CD＜AE＋AC，即2＜2CD＜10.∴ 1＜CD＜5.
（第10题答案）
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11. 新考法 操作实践题 如图，请你仔细观察如图①所示三个网格中
的涂色部分构成的图案，按要求回答下列问题.
（1） 图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是 中心对称 图
形（填“轴对称”或“中心对称”）.
中心对称
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（2） 请你在图②③的网格中涂色，使涂色部分构成的图案与图①中的
图案有相同特征.
解：答案不唯一，如图①②所示.
（第11题答案）
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12. 如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE
关于点E成中心对称，点E，D，M都在直线AF上，BM的延长线交
CF于点P.
（1） 求证：AC＝DC.
解：（1） ∵ △ABM与△ACM关于直线AF成轴
对称，∴ △ABM≌△ACM. ∴ AB＝AC.
∵ △ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴ △ABE≌△DCE. ∴ AB＝DC. ∴ AC＝DC.
（第12题）
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（2） 若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD之间的数量关系，
并说明理由.
解：（2） ∠F＝∠MCD. 理由：由（1），易
得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA.
设∠MPC＝α.∵ ∠BAC＝2∠MPC，∠BAC＝
∠CAE＋∠BAE＝2∠CAE＝2∠BAE，
∴ ∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝∠MPC＝α.设
∠BMA＝β，则∠PMF＝∠BMA＝∠CMA＝β.
∵ ∠F＝∠MPC－∠PMF＝α－β，∠MCD＝∠CDE－∠DMC＝α－β，∴ ∠F＝∠MCD.
（第12题）
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