(共13张PPT)
专题特训十一 分式方程的应用类型
第五章 分式与分式方程
类型一 经济生活问题
1. （2025 成都）第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀
宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种
吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的 ，用300
元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
（1） 求每个A种挂件的价格.
解：（1） 设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 x
元.由题意，得 ＝ ＋7，解得x＝25.经检验，x＝25是原方程的
解，且符合题意.∴ 每个A种挂件的价格为25元.
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（2） 某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件
的数量比A种挂件的数量多5个，则该游客最多购买多少个A种挂件？
解：（2） 设该游客购买m个A种挂件，则购买（m＋5）个B种挂件.由
（1），知每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为 ×25＝
20（元）.∴ 25m＋20（m＋5）≤600，解得m≤ .∵ m为整数，
∴ m的值最大为11.∴ 该游客最多购买11个A种挂件.
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类型二 行程问题
2. 小刚到离家1 200 m的电影院看电影，到电影院时发现手机忘在家里
了，此时距电影放映还有25 min，于是他立即步行（匀速）回家，在家
找手机用了2 min，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自
行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院
步行到家少用了9 min.
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解：（1） 设小刚步行的速度是x m/min.由题意，得 － ＝9，
解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意.∴ 小刚步
行的速度是80 m/min.
（2） 小刚能否在电影放映前赶到电影院？
解：（2） ∵ ＋ ＋2＝23（min），23＜25，
∴ 小刚能在电影放映前赶到电影院.
（1） 求小刚步行的速度.
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3. 如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家
的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km.小刚的父母外出务
工，为了使小刚能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王
老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了
20 min，求王老师的步行速度及骑自行车的速度.
（第3题）
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解：设王老师的步行速度为x km/h，则王老师骑自行车的速度为
3x km/h.根据题意，得 － ＝ ，解得x＝5.经检验，x＝5是
原分式方程的解，且符合题意.∴ 3x＝15.∴ 王老师的步行速度为
5 km/h，骑自行车的速度为15 km/h.
（第3题）
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4. （2025 广元苍溪期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为
60 km，D地在BC的中点处.甲、乙同时从A地出发，甲去往B地，乙
去往C地，乙的速度是甲的1.2倍，结果比甲早到了1 h.
（1） 求甲、乙的速度.
解：由题意，得AB＝AC＝BC＝60 km，BD＝CD＝ BC
＝30 km.（1） 设甲的速度为x km/h，则乙的速度为
1.2x km/h.由题意，得 ＝ ＋1，解得x＝10.经检验，
x＝10是原方程的解，且符合题意.∴ 1.2x＝1.2×10＝12.
∴ 甲的速度为10 km/h，乙的速度为12 km/h.
（第4题）
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（2） 若乙到达C地后立即按原速去往D地，甲到达B地后也立即去往
D地，则甲要与乙同时到达，甲的速度需是原速的多少倍？
解：由题意，得AB＝AC＝BC＝60 km，BD＝CD＝ BC
＝30 km.（2） 设甲的速度需是原速的y倍.由题意，得
－1＝ ，解得y＝2.经检验，y＝2是原方程的解，且符合题
意.∴ 甲的速度需是原速的2倍.
（第4题）
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类型三 工程问题
5. （2025 白山模拟）我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排
名世界首位.某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递
配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送
车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的1.5倍，每天的工作时间
比原来减少了2 h，每天的快递配送量比原来提高了20%.小李现在每天
需要工作多长时间？
解：设小李现在每天需要工作x h，则原来每天工作（x＋2）h.根据题
意，得1.5× ＝ ，解得x＝8.经检验，x＝8是原方
程的解，且符合题意.∴ 小李现在每天需要工作8 h.
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6. （2025 保定曲阳期末）挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，每施工1天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款
1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有下列施工
方案：
方案一：甲工程队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
方案二：乙工程队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
方案三：若由甲、乙两个工程队合作做5天，剩下的工程由乙工程队单
独做，也正好按规定工期完成.
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（1） 求出完成这项工程的规定时间.
解：（1） 设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成
这项工程，乙工程队需（x＋6）天完成这项工程.根据题意，得
5× ＋ ＝1，解得x＝30.经检验，x＝30是原方程的解，
且符合题意.∴ 完成这项工程的规定时间为30天.
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（2） 为了节省工程款，同时又能如期完工，应该选择哪种方案？请说
明理由.
解：（2） 选择方案三. 理由：方案一需付工程款2.4×30＝72（万
元）.方案二不能如期完工，不符合题意.方案三需付工程款2.4×5＋
1.8×30＝66（万元）.∵ 72＞66，∴ 选择方案三.
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6(共16张PPT)
专题特训九 分式的运算技巧
第五章 分式与分式方程
类型一 设参数法
1. 若xyz≠0，x＋y＋z≠0，且 ＝ ＝ ，求
的值.
解：设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则y＋y，
x＋y＝kz.∴ 2（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）.又∵ x＋y＋z≠0，
∴ k＝ ＝2.当k＝2时，原式＝ ＝k3＝23＝8.
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类型二 “先约分再计算”法
2. （2025 德阳） .
解：原式＝ ＝（a－1＋1）（a－3）
＝ a（a－3）＝a2－3a.
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类型三 巧用分配律法
3. 化简： （m＋1）＝ m .
4. 化简： ÷ ＝ x－6 .
5. 计算： ÷ .
解：原式＝［ － ］
＝－2（x＋3）＋（x－3）＝－x－9.
m
x－6
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类型四 逐项通分法
6. 计算： － － － .
解：原式＝ － － ＝ － －
＝ － ＝ － ＝0.
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7. 计算： － － － －…－ .
解：原式＝ － － －…－ ＝ －
－ －…－ ＝ － －…－ ＝ .
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类型五 裂项相消法
8. 计算： ＋ ＋ .
解：原式＝（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＝0.
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9. 计算： ＋ ＋ ＋…＋
.
解：原式＝ ＋ ＋
＋…＋ ＝ － ＋ － ＋ －
＋…＋ － ＝ － ＝ .
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10. 计算： ＋ ＋…＋ .
解：原式＝ （ － ）＋ （ － ）＋…＋ （ －
）＝ （ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ （ －
）＝ .
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类型六 作差比较法
11. （2025 浙江模拟）实数a，b，m，n满足a＜b，－1＜n＜m.若
M＝ ，N＝ ，则M与N的大小关系是（ A ）
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 无法确定
A
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类型七 构造法
12. 已知a－ ＝－ ，则a＋ 的值是（ D ）
A. B. C. ± D. ±
13. 若a＋b＋c＝0，求a ＋b ＋c ＋3的值.
解：原式＝ ＋ ＋［c ＋1］＝a
（ ＋ ＋ ）＋b（ ＋ ＋ ）＋c（ ＋ ＋ ）＝ （a＋
b＋c）.∵ a＋b＋c＝0，∴ 原式＝0.
D
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类型八 倒数法
14. 已知 ＝ ，求 的值.
解：由 ＝ ，知x≠0，∴ ＝3，即x＋ ＝3.∴ ＝x2＋
＝2－2＝32－2＝7.∴ 的值为7的倒数，即 .
上述解法先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子的倒数的
值，我们把这种解法称为“倒数法”.请利用“倒数法”解答问题：
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（1） 已知 ＝ ，求 的值.
解：（1） 由 ＝ ，知x≠0，∴ ＝x＋ －1＝7，即x
＋ ＝8.∴ ＝x2＋ ＋1＝2－1＝82－1＝63.∴
的值为63的倒数，即 .
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（2） 已知 ＝2， ＝ ， ＝ ，求 的值.
解：（2） 由 ＝2，知xy≠0，∴ ＝ ＋ ＝ .同理，可得
＝ ＋ ＝ ， ＝ ＋ ＝ .∴ 2 ＝ ＋ ＋ ＝2，
即 ＋ ＋ ＝1.∴ ＝ ＋ ＋ ＝1.∴ 的值为1
的倒数，即1.
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类型九 灵活变形法
15. （2025 绵阳段考）已知m2－5m－1＝0，求2m2－5m＋ 的值.
解：由题意，可知m≠0.将m2－5m－1＝0两边同除以m，得m―5―
＝0，即m― ＝5.∴ 将两边分别平方，得2＝52，即m2－2＋
＝25.∴ m2＋ ＝27.由m2－5m－1＝0，得m2－5m＝1.∴ 2m2－5m
＋ ＝m2＋ ＋m2－5m＝27＋1＝28.
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16. 已知a，b是实数，且 － ＝ ，求 ＋ 的值.
解：等式两边同时乘b－a，得 － ＝1.∴ －
＝1.∴ －1＋ －1＝1.∴ ＋ ＝3.
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16(共16张PPT)
1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质及最简分式
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 郑州模拟）若分式 是最简分式，则 △ 表示的可能为
（ D ）
A. 2x＋2y B. （x－y）2
C. x2＋2xy＋y2 D. x2＋y2
2. 使式子 ＝ 从左到右变形成立，x应满足的条件是（ D ）
A. x－2≠0 B. x＋2＞0
C. x＋2＜0 D. x＋2≠0
D
D
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3. 新考法 过程性学习 在分式 中，分子与分母的公因式
为 m＋n ，约分后的结果为 ，是 分式 （填“整式”或
“分式”）.
4. 数形结合思想 如图，若a＝2b，则在数轴上表示 的值的点落
在第 ③ 段.
（第4题）
m＋n
分式
③
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5. 化简下列分式：
（1） .
解：原式＝－ .
（2） .
解：原式＝－ .
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（3） .
解：原式＝ .
（4） .
解：原式＝ .
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6. （2025 莱西期末）下列约分正确的是（ D ）
A. ＝a2 B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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7. （2025 亳州期末）下列分式中，是最简分式的为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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8. （2025 内江威远期末）若x，y的值均扩大为原来的5倍，则下列分
式中，值保持不变的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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9. 若 ＝ ， ＝ ，则 ＝ .
10. 已知y－x＝3xy，则代数式 的值为 4 .
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11. 先化简，再求值： ，其中a＝2，b＝－ .
解：原式＝ .把a＝2，b＝－ 代入，得原式＝ ＝ .
12. （2025 北京）已知a＋b－3＝0，求代数式 的值.
解：∵ a＋b－3＝0，∴ a＋b＝3.∴ 原式＝ ＝ .
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13. 化简： ，A，B两名同学相互交流解法如下：
A同学： ＝ ＝x－y.
B同学： ＝
＝
＝x－y.
你认为他们的解法谁对谁错？若错误，请指出错误的原因.
解：A同学的解法正确，B同学的解法错误.x－y的值可能为0.
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14. 新考法 过程性学习 根据分式的基本性质，对于分式 ，当
分式的分子和分母都乘10时，分式的值不变，原分式可变形为 .
这样，分式的分子、分母中各项的系数都化为整数.请你根据这个方
法，把下列分式的分子、分母中的各项系数都化为整数.
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解：原式＝ .
（2） .
解：原式＝ .
（1） .
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15. 新考法 开放题 有下列代数式：① a2－2ab＋b2；② 2a－2b；③
a2－b2.其中a≠b.
（1） 请从①②③中任意选取两个，分别作为分子和分母构造成一
个分式.
解：（1） 答案不唯一，如 .
（2） 请把（1）中构造的分式进行化简.
解：（2） 原式＝ ＝ .
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（3） 若a，b为满足不等式组0＜x＜3的整数解，且a＞b，请求出
（2）中化简后的分式的值.
解：（3） ∵ a，b为满足不等式组0＜x＜3的整数解，且a＞b，∴ a
＝2，b＝1.将a＝2，b＝1代入 ，得原式＝ ＝ .
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15(共15张PPT)
2 分式的运算
第3课时 分式的混合运算
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 商丘睢县期末）计算分式 ÷ －1的结果是
（ B ）
A. B. C. D.
2. （2025 内江段考）若x＋y＝1，则代数式 （x2－y2）的
值为（ A ）
A. 3 B. 1 C. －1 D. －3
B
A
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3. （2025 大庆）化简 ÷ 的结果为 x－1 ，当x＝
3时，其值为 2 .
4. （2025 成都温江模拟）已知非零实数a，b满足a＋3b＋2ab＝0，
则 ÷ 的值为 －2 .
x－1
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5. 计算：
（1） ÷ － .
解：原式＝ － ＝ － ＝ ＝1.
（2） ÷ .
解：原式＝ ＝
＝a.
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（3） ÷ .
解：原式＝ ＝
＝ ＝a（a＋2）＝a2＋
2a.
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6. 计算 ÷ 的结果是（ C ）
A. B. ＋1 C. 1－ D.
7. 已知P＝ ÷ .关于P的值，下列说法正确的是（ C ）
A. 存在P＝4 B. 存在P＝2
C. 存在P＝0 D. P存在最大值
C
C
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8. 若 ÷ 的值为整数，则整数x的值
有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知m2＋3m＋1＝0，则 ÷ ＝ －1 .
D
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10. 先化简，再求值：
（1） ÷ ，其中a＝1＋－1－π0.
解：原式＝ .∵ a＝1＋－1－π0＝2，∴ 原式＝ ＝0.
（2） ＋ ＋ ，其中 ＝ .
解：原式＝ .∵ ＝ ，∴ n＝5m.∴ 原式＝ ＝ .
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11. 易错题 （2025 重庆铜梁期末）先化简：
÷ ＋ ，再从0，－1，－2中选取的一个合适的数为x的值代
入求值.
解：原式＝ .∵ 当x＝0或x＝－2或x＝3时，原分式无意义，∴ 取x
＝－1.当x＝－1时，原式＝ ＝－ .
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12. 墨迹覆盖了等式“ － ＝ ”中的一个代数式，求
这个被墨迹覆盖的代数式.
解：设这个被墨迹覆盖的代数式为A. 由题意，得A＝
÷ ＝ ＝ .∴ 这个被墨迹覆盖的代数式为 .
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13. （2025 驻马店泌阳期中）阅读材料，解决问题.
1－ ÷
＝ ÷ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④.
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（1） 计算步骤中，从第 ① 步开始出现错误（填序号）.
（2） 从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？若不正确，错误
的原因是什么？
解：（2） 不正确.去括号时，括号内的第二项没有变号.
①
（3） 请你写出此题正确的解答过程，并求出当x＝－1＋（2 025
－π）0，y＝2时的值.
解：（3） 原式＝1－ ＝1－ ＝－ .∵ x
＝－1＋（2 025－π）0＝2＋1＝3，y＝2，∴ 原式＝－ ＝－ .
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14. 设S1＝1＋ ＋ ，S2＝1＋ ＋ ，S3＝1＋ ＋ ，…，Sn＝1
＋ ＋ .若S＝ ＋ ＋…＋ ，求S的值 （用含n的
代数式表示，其中n为正整数）.
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解：∵ Sn＝1＋ ＋ ＝1＋2＋2× ＝
1＋2＋2× ＝2，n为正整数，
∴ ＝1＋ .∴ S＝ ＋ ＋ ＋…
＋ ＝1×n＋1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝n
＋1－ ＝ .
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14(共18张PPT)
2 分式的运算
第2课时 分式的加减法
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 － 的结果为（ A ）
A. 1 B. x－2y C. D.
A
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2. 在如图所示的计算过程中，最早出现错误的一步是（ B ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
（第2题）
3. （2025 河南）化简 － 的结果是 x＋1 .
B
x＋1
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4. 小慧的妈妈每个月给她m元零花钱，她计划每天用a元（用于吃早
点，乘车）刚好用完，而实际她每天节约b元钱，则她实际可以比原计
划多用 天才全部消费完.
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5. 计算：
（1） ＋ .
解：原式＝ .
（2） － .
解：原式＝ － ＝ .
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（3） － .
解：原式＝ － ＝ ＝
＝ .
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6. （2025 聊城高唐期末）下列运算正确的是（ D ）
A. ＋ ＝
B. ＋ ＝
C. － ＝0
D. － ＝
D
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7. 已知分式P＝ ，Q＝ ，其中n为任意正整数，则P，Q的大
小关系为（ C ）
A. P＜Q
B. P＝Q
C. P＞Q
D. 无法确定
C
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8. 数形结合思想 如图，若x为正整数，则表示 － 的值
的点落在（ B ）
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
（第8题）
B
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9. （2025 淮南寿县段考）已知A为整式，计算 － 的结
果为 ，则A为（ A ）
A. 2x－y B. 2x＋y
C. x－2y D. x＋2y
10. 若 ＝ ，则 － ＋ 的值是 －2 .
A
－2
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11. 易错题 化简： － －1.
圆圆的解答如下：原式＝4x－2（x＋2）－（x2－4）＝－x2＋2x.
圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.
解：圆圆的解答错误.正确解法：原式＝ －
－ ＝ ＝
＝－ ＝－ .
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12. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，
给我加200元油.”此时油箱未加满.而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱
加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油
方式，哪种会更省钱呢？现以两次加油为例来研究.设爸爸妈妈第一次
加油的油价为x元/升，第二次加油的油价为y元/升.
（1） 求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格（用含x，y的式子
表示）.
解：（1） 由题意，可得妈妈两次加油的总量是 ＋ ＝
（升）.∴ 妈妈两次加油的平均价格是 ＝ （元/升）.
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（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？
解：（2） 设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价
格是 ＝ （元/升）. － ＝ ＝
.∵ x＞0，y＞0，（x－y）2≥0，当且仅当x＝y时，等号成
立，∴ － ≤0，即 ≤ .∴ 当x＝y时，爸爸的加油方
式和妈妈的加油方式一样省钱；当x≠y时，妈妈的加油方式更省钱.
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13. 新考法 阅读理解 我们知道，假分数可以化为带分数.例如： ＝2
＋ ＝2 .在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于
或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母
的次数时，我们称之为“真分式”.例如： ， 这样的分式就是
假分式； ， 这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化
为带分式（即整式与真分式的和的形式）.
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例如： ＝ ＝ ＝ － ＝1－ ；
＝ ＝ ＝x＋1＋ .
（1） 将分式 化为带分式.
解：（1） ＝ ＝1－ .
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（2） 若分式 的值为整数，求整数a的值.
解：（2） ＝ ＝2－ ，∵ 的值为整数，∴
的值也为整数.∵ a为整数，∴ 整式a＋1可取得的整数值为±1，±3.
∴ 整数a的值为0，－2，2，－4.
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（3） 已知b＝ ，a，b均为整数，请写出a所有可能的取值.
解：（3） b＝ ＝ ＝2（a－1）＋ .∵ a，b均
为整数，∴ 的值必为整数.∴ a＋1＝±1.∴ a所有可能的取值为
0，－2.
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13(共17张PPT)
2 分式的运算
第1课时 分式的乘除法
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 的结果是（ B ）
A. B. C. D.
2. （2025 天津期末）化简2÷ 的结果是（ A ）
A. B. C. mn3p2 D. mn3p3
B
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3. （2025 邯郸模拟）若计算 ÷ 的结果为整式，则被遮挡的
式子可能是（ B ）
A. B. 3xy C. 5y D. x＋y
4. （2025 厦门期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨.现
改用喷灌方式，可使同样m吨的水多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷
灌方式每天用水量的 倍.
B
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5. （2025 安徽）化简 ÷ 的结果为 ，当x＝3
时，其值为 1 .
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6. 计算：
（1） 3 2÷ .
解：原式＝－ .
（2） ÷ .
解：原式＝ .
（3） ÷ .
解：原式＝－ .
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7. 化简 ÷ 的结果是 ，则a的值是（ A）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
8. 若2÷2＝3，则a8b4的值为（ B）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 8
9. （2025 慈溪期末）若A＝ ，B＝ ，则A÷B的值可能为（ ）
A. B. C. D. 0
A
B
C
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10. 新情境 游戏活动 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成
分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，
再将结果传递给下一人，最后完成化简.如图，在接力游戏中，自己所
负责的一步出现错误的是（ D ）
A. 只有乙 B. 甲和丁
C. 乙和丙 D. 乙和丁
（第10题）
D
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11. 如果x等于它的倒数，那么 ÷ 的值是 －3 .
12. （2025 南昌模拟）若分式 除以 的商是整数，则整数
m的值为 2 .
－3
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13. 先化简，再求值： ÷ ，其中 ＝0.
解：原式＝ ＝－ .由 ＝0，得3a＋1＝0，解得
a＝－ .当a＝－ 时，原式＝3.
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14. 有这样一道题：计算 ÷3的值，其中x＝2.小明同
学把“x＝2”错抄成“x＝－2”，但是他的计算结果也是正确的，你
能解释这是怎么回事吗？
解：原式＝ x3＝x2.∵ 当x＝2和x＝－2
时，x2的值都等于4，∴ 小明同学把“x＝2”错抄成“x＝－2”，但
是他的计算结果也是正确的.
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15. （2025 杭州段考）如图，老师在黑板上书写了一道题目的正确计算
过程，随后用手遮住了其中一部分.
（1） 求被手遮住部分的代数式.
解：（1） 设被手遮住部分的代数式为A. ∴ A＝ ÷
＝ ＝ .
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（2） 等式左边代数式的值能为0吗？请说明理由.
解：（2） 等式左边代数式的值不能为0. 理由：若等式左边代数式的
值为0，则 ＝0.∴ x＋1＝0，解得x＝－1.当x＝－1时，x＋1＝0，
分式无意义.∴ 等式左边代数式的值不能为0.
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16. 某水果超市购进凤梨和西瓜两种水果，凤梨的质量为（m－2）2千
克，西瓜的质量为（m2－4）千克，其中m＞2，将两种水果全部售出
后，每种水果该超市都收入540元.
（1） 哪种水果的单价高？
解：（1） 根据题意，得凤梨的单价为 元，西瓜的单价为
元.∵ （m－2）2－（m2－4）＝8－4m，m＞2，∴ 8－4m＜0.
∴ 0＜（m－2）2＜m2－4.∴ ＞ .∴ 凤梨的单价高.
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（2） 凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？
解：（2） ∵ ÷ ＝ ＝
，∴ 凤梨的单价是西瓜单价的 倍.
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17. 新考法 探究题 在学习了分式的乘除法之后，老师出了这样一道
题，计算：（a＋ ）（a2＋ ）（a4＋ ）（a8＋ ）（a2－1）.小
明将a2－1变形为a（a－ ），然后用平方差公式很轻松地得出结论.他
是怎么做到的？
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解：原式＝a（a－ ）（a＋ ） （a2＋ ）（a4＋ ）（a8＋ ）
＝a（a2－ ）（a2＋ ）（a4＋ ） （a8＋ ）＝a（a4－ ）
（a4＋ ） （a8＋ ）＝a（a8－ ）（a8＋ ）＝a（a16－ ）
＝a17－ .
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17(共10张PPT)
1 分式及其基本性质
第1课时 分式的概念
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 易错题 有下列各式： （1－x）； ； ； ； ；
.其中，属于分式的有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. （2025 沈阳沈河期末）若分式 有意义，则x的取值范围是
（ B ）
A. x≠0 B. x≠1
C. x≠－1 D. x＞－1
B
B
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3. 新考法 操作实践题 根据表格中的信息，y代表的分式可能是
（ B ）
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 无意义 * * * …
A. B. C. D.
B
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4. （2025 阜新细河期中）小玉要打一份40 000字的文件，第一天她打
字1.5 h，打字速度为每分钟a字.第二天她的打字速度比第一天每分钟
快了20字，两天打完全部文件.第二天打字用的时间
为 min（用含a的式子表示）.
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5. 若分式 的值为0，求下列分式的值.
（1） .
由题意，得x2－25＝0且x＋5≠0，解得x＝5.
解：当x＝5时， ＝ ＝－ .
（2） .
由题意，得x2－25＝0且x＋5≠0，解得x＝5.
解：当x＝5时， ＝ ＝ .
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6. （2025 太仓期末）下列分式中，当a取任何实数时，该分式总有意
义的是（ D ）
A. B. C. D.
D
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7. （2025 靖江段考）对于分式 （a，b是常数），当x＝3时，分
式无意义，当x＝1时，分式的值为0，则ab＝ .
8. 若x2－6xy＋9y2＝0，则 ＝ .
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9. 新考法 过程性学习 当x取何值时，分式 的值为正？
解：由题意，得 ＞0.
∴ 解得 ＜x＜1，
或 无解.
∴ 不等式的解集是 ＜x＜1.
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∴ 当 ＜x＜1时，分式的值为正.
仿照以上方法，当x取何值时，分式 的值为负？
解：由题意，得 ＜0.∴ 解得－ ＜x＜2，或
无解.∴ 不等式的解集是－ ＜x＜2.∴ 当－ ＜x＜2时，
分式的值为负.
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9(共11张PPT)
专题特训十 分式的化简求值
第五章 分式与分式方程
类型一 化简分式，直接代入求值
1. （2025 宁夏）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝
2 .
解：原式＝ .当a＝2 时，原式＝ ＝ .
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2. （2025 福建）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝
－1.
解：原式＝ .当a＝ －1时，原式＝ ＝ .
3. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝y＋2 026.
解：原式＝x－y.∵ x＝y＋2 026，∴ 原式＝y＋2 026－y＝2 026.
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4. 先化简，再求值： ÷ ，其中a的值是从不等式组－1
＜a＜ 的解集中选取的一个合适的整数.
解：原式＝ .∵ a2－1≠0，a≠0，∴ a≠±1，a≠0.∵ －1＜a＜
，a为整数，∴ a＝2.∴ 原式＝ ＝ .
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5. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝ ＋1.
解：原式＝－x2＋x.当x＝ ＋1时，原式＝－（ ＋1）2＋ ＋1
＝－3－2 ＋ ＋1＝－2－ .
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类型二 化简分式，整体代入求值
6. 先化简，再求值： ÷ ，其中x满足x2－2x－5
＝0.
解：原式＝ ＝x2－2x.∵ x2－2x－5＝0，∴ x2－2x＝
5.∴ 原式＝5.
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7. 先化简，再求值： ÷ ，其中a满足a2＋3a－2
＝0.
解：原式＝ ＝ ＝ ＝
.∵ a2＋3a－2＝0，∴ a2＋3a＝2.∴ 原式＝ ＝1.
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类型三 分式的化简求值与其他知识的综合应用
8. 先化简，再求值： ÷ ，其中x是方程 －
＝0的解.
解：原式＝ ＝ ＝ .解方程 －
＝0，得x＝ .当x＝ 时，原式＝ ＝－ .
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9. 先化简，再求值： ÷ － ，其中a，b满
足方程组
解：原式＝ ÷ － ＝ －
＝ － ＝－ .∵ ∴ ∴ a＋3b＝
15.∴ 原式＝－ .
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10. （2025 莱西模拟）先化简： ÷ ，再从不等
式组 的解集中选一个合适的整数x的值代入求值.
解：解 得－2＜x≤ .∴ 该不等式组的整数解为－
1，0，1.原式＝ ÷ ＝ ＝
－ .∵ x≠－1，x≠1，∴ x＝0.当x＝0时，原式＝－ ＝1.
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11. 已知W＝ ÷ ＋ .
（1） 化简W.
解：（1） W＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） 若a，2，4恰好是等腰三角形ABC的三边长，求W的值.
解：（2） ∵ a，2，4恰好是等腰三角形ABC的三边长，∴ a＝2或a＝
4.当a＝2时，2＋2＝4，不能构成三角形；当a＝4时，符合题意.∴ a＝
4.∴ W＝ ＝ .
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11(共15张PPT)
3 分式方程
第3课时 分式方程的应用
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 高平段考）甲、乙两位打字员承担一项打字任务.已知甲单独
完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4 h，
甲5 h完成这项任务的工作量与乙4 h完成这项任务的工作量相等，则乙
单独完成这项任务需要（ D ）
A. 10 h B. 12 h
C. 14 h D. 16 h
D
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2. （2025 百色期末）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中
得到广泛应用.经实践调查，就为农田喷洒农药一项，一架无人机每小
时喷洒农田的亩数是一个人每小时喷洒农田亩数的7.5倍，120亩的农田
利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13 h，则一架无人机平均每小时
喷洒农田 60 亩.
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3. （2025 扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用
价值的书签，已知甲款书签的单价是乙款书签单价的 倍，且用100
元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两
款书签的单价.
解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 x元.根据题意，
得 － ＝3，解得x＝16.经检验，x＝16是所列方程的解，且符合
题意.∴ x＝ ×16＝20.∴ 甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是
16元.
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4. 某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单已被墨水污染（如下
表），已知①号商品的进价比②号商品的进价每件高50%，①号商品比
②号商品的数量多20件.
商 品 进价/（元/件） 数量/件 总金额/元
① 3 600
② 1 600
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下列判断中，正确的是（ A ）
A
A. ①号商品的进价为60元/件
B. ②号商品的进价为80元/件
C. ①号商品的数量为80件
D. ②号商品的数量为50件
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5. 甲打字员计划用若干时完成文稿的电脑输入工作，2 h后，乙打字员
协助此项工作，且乙打字员的输入速度是甲打字员的1.5倍，结果提前
6 h完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ C ）
A. 17 h B. 14 h C. 12 h D. 10 h
C
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6. （2024 呼和浩特）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的
专属汉字“辰”为名.某厂家生产大、小两种型号的“龙辰辰”，大号
“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”的单价贵15元，且用2 400元购进小
号“龙辰辰”的数量是用2 200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则
大号“龙辰辰”的单价为 55 元.某网店在该厂家购进了两种型号的
“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个
数的一半，小号“龙辰辰”每个的售价为60元，大号“龙辰辰”的售价
比小号“龙辰辰”的售价每个多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售
出，则该网店获得的最大利润为 1 260 元.
55
1 260
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7. 某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生
产进行自动化程序软件升级，用时20 min，恢复生产后工作效率比原来
提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40 min.软件升级后每小时生
产多少个零件？
解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产
x个零件.根据题意，得 － ＝ ＋ ，解得x＝60.经检
验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意.∴ x＝80.∴ 软件升
级后每小时生产80个零件.
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8. （2025 青岛）某公司成功研发了一款新型产品，并接到了首个订
单，该订单订购产品数量为2 100件.公司有甲、乙两个生产车间，甲车
间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1 500
件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这个订单.
（1） 甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品？
解：（1） 设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品.
根据题意，得 ＋ ＝10，解得x＝120.经检验，x＝120
是所列方程的解，且符合题意.∴ 1.5x＝1.5×120＝180.∴ 甲车间每天
生产180件产品，乙车间每天生产120件产品.
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（2） 首个订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一
个车间生产.如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30
天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
解：（2） 设安排甲车间生产m天，则乙车间生产（30－m）天，这30
天的生产总量为w件.根据题意，得w＝180m＋120（30－m）＝60m
＋3 600.∵ 60＞0，∴ w随m的增大而增大.∵ 安排甲车间生产的天数不
多于乙车间的2倍，∴ m≤2（30－m），解得m≤20.∴ 当m＝20时，
w取得最大值，此时30－m＝30－20＝10.∴ 要使这30天的生产总量最
大，应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天.
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9. 甲步行从A地出发，匀速向B地走去，同时乙驾车从B地出发，匀速
向A地驶去.当两人在途中相遇时，乙立即把甲送到B地，再向A地驶去.
乙在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地所用时间的2.5倍，则乙的
速度与甲的速度的比是（ B ）
A. 2∶1 B. 3∶1 C. 4∶1 D. 5∶1
B
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10. 我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全、
改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对A款电动汽车和B
款燃油汽车的对比调查发现，A款电动汽车平均每千米的充电费比B款
燃油汽车平均每千米的加油费少0.6元.
（1） 当充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是
B款燃油汽车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费.
解：（1） 设A款电动汽车平均每千米的充电费为x元，则B款燃油汽车
平均每千米的加油费为（x＋0.6）元.根据题意，得 ＝ ×4，解
得x＝0.2.经检验，x＝0.2是原分式方程的解，且符合题意.∴ A款电动
汽车平均每千米的充电费为0.2元.
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（2） A款电动汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150 km
的路程到达乙地.行驶了30 km后，到了一段平坦且车少的路段，决定在
原速度的基础上每时增加15 km，这样，到达乙地所用的总的时间是原
计划时间的 ，求原计划的速度.
解：（2） 设原计划的速度为y km/h，则提速后的速度为（y＋15）
km/h.根据题意，得 × ＝ ＋ ，解得y＝75.经检验，y＝75
是原分式方程的解，且符合题意.∴ 原计划的速度为75 km/h.
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第五章整合拔尖
第五章 分式与分式方程
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 分式有、无意义及值为零的条件
典例1 若 ＝0，求ab的平方根.
解：由题意，可得｜16－a2｜＋（a＋4b）2＝0，且a＋4≠0.∴ 16－a2
＝0，a＋4b＝0，a≠－4.∴ a＝4，b＝－1.∴ ab＝ .∴ ab的平方根为
± .
［变式］ （2025 衡阳珠晖段考）如果分式 无意义， 的值为
0，求x－2y的值.
解：∵ 分式 无意义，∴ 2x＋4＝0，解得x＝－2.∵ 的值
为0，∴ y＋4＝0且y2＋2≠0，解得y＝－4.∴ x－2y＝－2－2×（－
4）＝6.
考点二 分式的运算及化简求值
典例2 先化简 ÷ ，再请你用喜爱的数代
入求值.
这是一道分式的混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此
时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母并进行通分.做除法时
要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分
子、分母能因式分解的先分解，然后约分.取喜爱的数代入求值时，要
注意原式及化简过程中的每一步都有意义.
解：原式＝［ － ］ ＝
＝ ＝ ＝
.∴ 易得x≠0，x≠2且x≠4.取值不唯一，如当x＝3时，原式＝3.
［变式］ （2025 遂宁）先化简，再求值： ÷ ，
其中a满足a2－4＝0.
解：原式＝ ＝ ＝ .∵ a2－4＝
0，a－2≠0，a≠0，a－1≠0，∴ a＝－2.∴ 原式＝ ＝ .
考点三 解分式方程
典例3 已知关于x的分式方程 ＋1＝ .
（1） 当m＝－1时，求这个分式方程的解.
解：（1） 当m＝－1时，原方程可化为 ＋1＝－ .方程两边同乘x
－1，得2x＋x－1＝1，解得x＝ .经检验，x＝ 是原方程的解.
∴ x＝ .
（2） 当m＝－2时，原分式方程无解.这个说法正确吗？请判断并说明
理由.
解：（2） 这个说法正确. 理由：当m＝－2时，原方程可化为 ＋1
＝－ .方程两边同乘x－1，得2x＋x－1＝2，解得x＝1.∵ 当x＝1
时，x－1＝0，∴ x＝1是原方程的增根.∴ 原分式方程无解.∴ 这个说法
正确.
（3） 若原分式方程的解为正数，求m的取值范围.
解：（3） 方程两边同乘x－1，得2x＋x－1＝－m，即3x＝1－m.
∵ 方程有解，∴ x＝ .∵ 原分式方程的解为正数，∴ x＞0且x≠1.
∴ ＞0且 ≠1.∴ m＜1且m≠－2.
［变式］ （2025 宿州埇桥期末）已知关于x的分式方程 ＝ －2.
（1） 若分式方程有增根，求a的值.
解：（1） 原方程去分母，得2x＝3a－2（2x－2），解得x＝ .
∵ 分式方程有增根，∴ x－1＝0，解得x＝1.∴ 1＝ ，解得a＝ .
（2） 若分式方程的解为非负数，求a的取值范围.
解：（2） ∵ 分式方程的解为非负数，∴ ≥0且 ≠1，解得
a≥－ 且a≠ .∴ a的取值范围是a≥－ 且a≠ .
考点四 分式方程的应用
典例4 （2025 东营模拟）某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2 400
元，购进B款哪吒玩偶的金额是1 600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B
款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶的单价是B款哪吒玩偶的2倍.
（1） A，B两款玩偶的单价分别是多少元？
解：（1） 设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x
元.根据题意，得 － ＝50，解得x＝8.经检验，x＝8是方程的
解，且符合题意.∴ 2x＝2×8＝16.∴ A款哪吒玩偶的单价是16元，B款
哪吒玩偶的单价是8元.
（2） 在A，B两款玩偶单价不变的条件下，该经销店准备再次购进A，
B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2
倍，且总金额不超过1 100元，则有多少种进货方案？
解：（2） 设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100－m）个B
款哪吒玩偶.根据题意，得 解得
≤m≤ .又∵ m为正整数，∴ m的值可以为34，35，36，37.∴ 共有4
种进货方案.
［变式］ （2025 成都成华期中）某快递企业为提高分拣效率，拟购买
A，B两种型号的智能机器
人进行快递分拣.已知每台A型号智能机器人比每台B型号智能机器人贵
20万元，用480万元单独购买A型号智能机器人的数量恰好与用360万元
单独购买B型号智能机器人的数量相等.
（1） 求A，B两种型号智能机器人的单价.
解：（1） 设B型号智能机器人的单价是x万元，则A型号智能机器人的
单价是（x＋20）万元.根据题意，得 ＝ ，解得x＝60.经检
验，x＝60是所列方程的解，且符合题意.∴ x＋20＝60＋20＝80.∴ A型
号智能机器人的单价是80万元，B型号智能机器人的单价是60万元.
（2） 已知A型号智能机器人每台每周可分拣快递22万件，B型号智能机
器人每台每周可分拣快递18万件，现该企业准备用不超过700万元购买
A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使
每周分拣快递的件数最多？
解：（2） 设购买m台A型号智能机器人，则购买（10－m）台B型号
智能机器人.根据题意，得80m＋60（10－m）≤700，解得m≤5.设购
买的两种型号的智能机器人每周分拣快递w万件.∴ w＝22m＋18（10
－m）＝4m＋180.∵ 4＞0，∴ w随m的增大而增大.∴ 当m＝5时，w
取得最大值，此时10－m＝10－5＝5.∴ 当该企业购买5台A型号智能机
器人，5台B型号智能机器人时，能使每周分拣快递的件数最多.
1. 下列说法中，正确的是（ A ）
A. 分式 是最简分式
B. 若分式 的值为0，则x＝±2
C. 根据分式的基本性质，等式 ＝ 成立
D. 将分式 中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变
A
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2. 下列分式变形正确的是（ B ）
A. a＋ ＝a2＋1 B. ＝ －1
C. m÷ n＝m D. ＝－
3. （2025 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么实
数m的值是（ C ）
A. m＝1 B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1
B
C
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4. 练习本上一个正确的式子 ★＝ 被小明同学不小心
滴上墨汁.被墨汁遮住部分 ★ 处的代数式为 .
5. 对于实数a，b（a≠b），规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大
的值，如Max{2，4}＝4.方程Max ＝ －2的根为 x＝.
x＝ 0
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6. （2025 烟台）先化简，再求值： ÷ ，其中
m＝（－1）2 025.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝3m.
∵ m＝（－1）2 025＝－1，∴ 原式＝3×（－1）＝－3.
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7. 已知p＝ ，q＝ （k＞0，m≠0，且m≠－1）.方方说：“p
＞q.”方方的解答过程如下：p－q＝ － ＝k（m＋1）－km＝
k.∵ k＞0，∴ p－q＞0，即p＞q.方方的说法正确吗？为什么？若不
正确，请写出正确的解答过程.
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解：方方的说法不正确.方方在解答过程中直接将分母去掉了.p－q＝
－ ＝ － ＝ .当m＞0时，m（m
＋1）＞0.∵ k＞0，∴ p－q＞0，即p＞q.当m＜－1时，m（m＋1）
＞0.∵ k＞0，∴ p－q＞0，即p＞q.当－1＜m＜0时，m（m＋1）＜
0.又∵ k＞0，∴ p－q＜0，即p＜q.综上所述，p不一定大于q.
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8. （2025 银川模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国
产车.燃油车油箱容积为40升，油价为9元/升，续航里程为a千米，每千
米的行驶费用为 元；新能源车的电池容量为100千瓦时，电价为0.6
元/千瓦时，续航里程为a千米.
（1） 新能源车每千米的行驶费用为 元
（用含a的代数式表示）.
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（2） 若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元.
① 分别求出这两款车每千米的行驶费用.
② 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元，则每
年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用＝年行驶
费用＋年其他费用）？
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解：① 由题意，得 － ＝0.5，解得a＝600.经检验，a＝600是原
分式方程的解，且符合题意.∴ ＝0.6（元）， ＝0.1（元）.∴ 燃
油车每千米的行驶费用为0.6元，新能源车每千米的行驶费用为0.1元.
② 设每年行驶里程为x千米.由题意，得0.6x＋4 800＞0.1x＋7 500，解
得x＞5 400.∴ 当每年行驶里程大于5 400千米时，买新能源车的年费用
更低.
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9. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“和谐分式”.例如： ＝ ＝
＋ ＝1＋ ，则 是“和谐分式”.
（1） 有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，属于
“和谐分式”的是 ①③ （填序号）.
（2） 将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式： ＝ x－1＋ .
①③
x－1＋
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（3） 判断 － ÷ 的结果是否为“和谐分式”，并说明
理由.
解：结果为“和谐分式”. 理由：∵ － ÷ ＝ －
＝ － ＝ ＝ ＝4＋ ，
∴ 原式的结果为“和谐分式”.
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9(共16张PPT)
3 分式方程
第1课时 分式方程
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列关于x的方程：① ＝5；② ＝ ；③ ＝x－1；④
＝ .其中，是分式方程的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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2. （2025 绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小
时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间
相等.设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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3. 若关于x的分式方程 ＝ －4的解为x＝4，则m的值为 －.
4. 一组学生去春游，预计共需要费用96元，后来又有2人参加进来，总
费用不变，于是每人可少分摊4元.设原来这组学生人数为x，则可列方
程为 － ＝4 .
－ 9
－ ＝4
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5. 某工程队改造一条长为3 000米的人行道，为尽量减少施工对交通造
成的影响，施工时 .设实际每天改造人行道x米，则x满足的分式
方程为 －10＝ .请根据分式方程把被墨水污染的部分补充完
整.
解：由方程，得被墨水污染的部分是每天比原计划多铺设10米，结果提
前10天完成.
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6. （2025 深圳）某社区植树60棵，实际种植的人数是原计划人数的2
倍，实际平均每人种植的棵数比原计划少3.设原计划种植的人数为x，
则下列方程正确的是（ A ）
A. － ＝3 B. － ＝3
C. ＝2× D. ＝2×
A
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7. 新考向 数学文化 《四元玉鉴》是我国古代著名的数学专著，书里
记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云
绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”其大意如
下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），绫布和罗布分别全
部出售后均能收入896文.已知绫布和罗布各出售1尺共收入120文，问：
两种布每尺各多少文？设绫布有x尺，根据题意，可列方程是（ B ）
B
A. －120＝ B. ＋ ＝120
C. 120＋ ＝ D. ＝ ＋120
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8. （2025 温州期末）一本书共144页，小刘计划10天读完.当他读完一
半时，发现平均每天要多读6页才能按时读完.设小刘读前一半书时，平
均每天读x页，根据题意，列出的方程为 ＋ ＝10 .
＋ ＝10
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（第9题）
9. 数形结合思想 如图，y1，y2分别表示燃油汽车和新能源汽车行驶
路程s（单位：千米）与所需费用y（单位：元）之间的关系.已知燃油
汽车行驶每千米所需的费用比新能源汽车行驶每千米所需的费用的3倍
少0.1元.设新能源汽车行驶每千米所需的费用为x元，则可列方程
为 ＝ .
＝
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10. 有下列关于x的方程：① ＝－2；② ＝2；③ （x＋3）＋2＝
；④ － ＝ ；⑤ － ＝0；⑥ －2＝ .
（1） 试判断哪些方程是分式方程.
解：（1） ∵ ①②④的分母中都含有未知数x，∴ ①②④都是分式
方程.
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（2） 利用方程的根的定义检验哪个分式方程的根是x＝1.
解：（2） 当x＝1时，对于①：左边＝1，右边＝－2，∴ 左边≠右
边.∴ x＝1不是①的根.对于②：左边＝ ＝－1，右边＝2，∴ 左边≠
右边.∴ x＝1不是②的根.对于④：左边＝ － ＝－ ，右边＝
＝－ ，∴ 左边＝右边.∴ x＝1是④的根.
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11. 某电器商店会计在整理进货单时发现甲、乙两种电器的进货单被墨
水污染了，如图所示.
（第11题）
商品采购员回忆采购情况如下：甲商品的进价比乙商品的进价每台高
50%，甲商品的采购数量比乙商品的采购数量多4台.请求出乙商品的进
价（设恰当的未知数，列出方程即可）.
解：设乙商品的进价为x元/台，则甲商品的进价为（1＋50% ）x元/台.
根据题意，得 － ＝4.
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12. （2025 合肥期末改编）假期将至，某校准备购买花卉装点校园，采
购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元
购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍.
（1） 小华列的方程是2× ＝ ，其中a代表什么？
解：（1） a代表每枝A种花卉的价格.
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（2） 请用不同于（1）中小华的方法，求用320元购买A种花卉的数量
（设恰当的未知数，列出方程即可）.
解：（2） 设用320元购买A种花卉x枝，则每枝A种花卉的价格为
元.由题意，得 ＋5＝ .
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（3） 插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成m盆小
盆栽的插花任务或完成（9－m）盆大盆栽的插花任务，且完成35盆
小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，则m应满足
怎样的方程？
解：（3） ＝ .
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3 分式方程
第2课时 解分式方程
第五章 分式与分式方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 开封祥符期末）解方程 －1＝ 时，小明说：“方程
两边都乘3x－2，得x＋1－3x－2＝－（2－x）.”小颖说：“方程两
边都乘3x－2，得x＋1－（3x－2）＝2－x.”小莉说：“方程两边都
乘2－3x，得－（x＋1）－（2－3x）＝2－x.”说法正确的是（ C ）
A. 小明 B. 小颖
C. 小莉 D. 无法确定
C
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2. （2025 广元苍溪期末）当关于x的分式方程 －1＝0的解是正数
时，a的值可能为（ B ）
A. 3 B. －2
C. －4 D. －2或－4
3. （2025 晋城沁水期中）若关于x的分式方程 ＋ ＝3有增根，
则增根是 x＝－2 ，m的值是 2 .
4. 若 与 ＋1的值相等，则x的值为 4 .
B
x＝－2
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5. ★解方程：
（1） （2025 连云港） ＝ .
解：方程两边同乘x（x＋1），得2x＝3（x＋1），解得x＝－3.经检
验，x＝－3是原分式方程的解.
（2） ＋1＝ .
解：方程两边同乘（x＋1）（x－1），得2＋（x＋1）（x－1）＝x
（x＋1），解得x＝1.∵ 当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，∴ x＝1
是原分式方程的增根.∴ 原分式方程无解.
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6. （2025 杭州钱塘期末）若关于x的分式方程 －1＝ 有增根，则
实数a的值为（ B ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
B
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7. 若关于x的分式方程 － ＝0的解为正数，则m的取值范围
是（ C ）
A. m＜2 B. m＜2且m≠0
C. m＞2 D. m＞2且m≠4
C
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8. 已知关于x的分式方程 ＝ ＋2的解满足－4＜x
＜－1，且k为整数，则符合条件的所有k的值的乘积为（ A ）
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 无法确定
A
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9. 新考法 新定义题 （2025 湖州德清期末）对于任意实数a，b，规
定：a※b＝a－b＋1，等式右边是通常的加、减运算.方程 ※
（－2）＝ 的解为 x＝ .
10. 新考法 探究题 小明在解关于x的分式方程 ＋ ＝1，去分
母时，方程右边的1没有乘任何整式.若此时求得方程的解为x＝3，则m
的值为 －2或－4 .
11. （2025 商丘柘城期末）若三角形的三边长分别为4，7，x，且x是
关于x的分式方程 ＝1－ 的解，则a的取值范围是 4＜a＜36，
且a≠24 .
x＝
－2或－4
4＜a＜36，
且a≠24
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12. 小明解方程 － ＝1的过程如下：
解：方程两边同乘x，得1－（x－2）＝1①.
去括号，得1－x－2＝1②.
移项，得－x＝1－1＋2③.
合并同类项，得－x＝2④.
系数化为1，得x＝－2⑤.
∴ 原分式方程的解为x＝－2⑥.
请指出他的解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.
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解：小明的解答过程有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有
误；步骤⑥前少“检验”步骤.正确解法：方程两边同乘x，得1－（x
－2）＝x.去括号，得1－x＋2＝x.移项，得－x－x＝－1－2.合并同类
项，得－2x＝－3.系数化为1，得x＝1.5.经检验，x＝1.5是原分式方程
的解.∴ 原分式方程的解是x＝1.5.
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13. 如图，慧慧和龙龙对方程 ＋ ＝ 的解法进行了讨论.
（第13题）
请你根据对话的内容解分式方程：
－ ＝1.
解：设 ＝y.方程变形，得9y－5y＝1，
解得y＝ .∴ ＝ ，解得x＝1.经检验，
x＝1是原分式方程的解.
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14. （2025 山西）我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先
进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号
快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2
倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少
22 h.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km.根据题意，得
－ ＝22，解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.
∴ 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km.
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15. ★已知关于x的分式方程 － ＝1.
（1） 若分式方程的根是x＝5，求a的值.
解：（1） 把x＝5代入 － ＝1，得 － ＝1，解得a＝－1.
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（2） 若分式方程有增根，求a的值.
解：（2） 方程两边同乘x（x－2），得x（x－a）－5（x－2）＝x
（x－2）.整理，得（a＋3）x＝10.∵ 分式方程有增根，∴ x（x－2）
＝0，解得x＝0或x＝2.把x＝0代入（a＋3）x＝10，a的值不存在.把
x＝2代入（a＋3）x＝10，得2（a＋3）＝10，解得a＝2.综上所述，
a＝2.
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（3） 若分式方程无解，求a的值.
解：（3） 由（2），可知（a＋3）x＝10.当a＋3＝0时，方程无解，
即a＝－3；当a＋3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由
（2），知a＝2.综上所述，a＝－3或a＝2.
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