(共8张PPT)
第二章 相交线与平行线
专题特训六 平行线中的“拐点”模型
类型一 单“拐点”模型
1. 如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E. 若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数为（ B ）
A. 60° B. 30° C. 40° D. 70°
2. 如图所示为路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝35°，∠3＝155°，则∠2的度数为 60° .
B
60°
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3. 平面内有两条直线AB，CD，且AB∥CD，P为一动点.
（1） 如图①，当点P移动到AB，CD之间时，∠APC与∠A，∠C有怎样的关系？请说明理由.
解：（1） ∠APC＝∠A＋∠C. 理由：如图①，过点P作PE∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PE. 所以∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE. 所以∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠A＋∠C.
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（2） 当点P移动到图②、图③的位置时，∠APC，∠A，∠C又有怎样的关系？请说明理由.
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解：（2） 如题图②，此时∠APC＋∠A＋∠C＝360°.理由：如图②，过点P作PE∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PE. 所以∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°.所以∠APC＋∠A＋∠C＝360°.如题图③，∠APC＝∠C－∠A. 理由：如图③，过点P作PE∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PE. 所以∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE. 所以∠APC＝∠CPE－∠APE＝∠C－∠A.
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类型二 多“拐点”模型
4. 如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2的度数为（ A ）
A. 30° B. 35° C. 36° D. 40°
5. 如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是 540° .
A
540°
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6. （1） 如图①，AB∥CD，则∠BEF＋∠FGD与∠B＋∠EFG＋∠D有何关系？请说明理由.
解：（1） ∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D. 理由：如图，过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥EM∥FN∥GH∥CD. 所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D. 所以∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
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（2） 如图②，若AB∥CD，则又能得到什么结论？请直接写出.
解：（2） ∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.
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6(共16张PPT)
第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. ★如图，下列说法中，不正确的是（ D ）
A. ∠1与∠4是同位角
B. ∠3与∠5是同旁内角
C. ∠3与∠4是内错角
D. ∠3与∠6是同位角
D
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2. 如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ B ）
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3
C. ∠4＝∠5 D. ∠2＋∠4＝180°
3. 新考法·开放题 如图，E是BC的延长线上一点，请添加一个恰当的条件，如 答案不唯一，如∠A＋∠B＝180° ，使AD∥BC.
B
答案不唯一，如∠A＋∠B＝180°
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4. 如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，则AB与CD平行吗？请说明理由.
（第4题）
解：AB∥CD. 理由：因为∠BAF＋∠BAC＝180°，∠BAF＝46°，所以∠BAC＝134°.因为CE⊥CD，所以∠DCE＝90°.因为∠DCE＋∠ACD＋∠ACE＝360°，∠ACE＝136°，所以∠ACD＝134°.所以∠BAC＝∠ACD. 所以AB∥CD.
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5. 如图，有下列条件：① ∠2＝∠3；② ∠1＝∠4；③ ∠1＋∠2＝∠6＋∠7；④ ∠3＋∠4＋∠5＝180°.其中，能判定AB∥CD的是（ D ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
D
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6. 在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（ C ）
A. 相交 B. 相交且垂直
C. 平行 D. 无法确定
7. 如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°.若添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，则添加的条件可能是（ C ）
A. ∠BOE＝55°
B. ∠DOF＝35°
C. ∠BOE＋∠AOF＝90°
D. ∠AOF＝35°
C
C
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8. 分类讨论思想 如图，舞台上的灯光由灯带上点A和点C处的两盏灯控制.光线AB与灯带AC的夹角∠A＝40°.当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB'＝ 140°或40° 时，CB'∥AB.
140°或
40°
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9. 将三角尺ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上.有下列条件：① ∠2＝2∠1；② ∠1＋∠2＝90°；③ ∠1＝25°，∠2＝55°；④ ∠ABC＝∠2－∠1；⑤ ∠ACB＝∠1＋∠3.
其中，能判定直线m∥n的是 ③④⑤ （填序号）.
③④⑤
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10. 如图①，它展示了光的反射定律，EF是平面镜的镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，经AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角∠θ1＝∠θ2.
（1） 试说明：∠α＝∠β.
解：（1） 因为EF⊥AB，所以∠EFA＝∠EFB＝90°.因为∠θ1＝∠θ2，所以∠α＝∠β.
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（2） 如图②所示为潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，∠2＝∠3，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的.
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解：（2） 由（1）知∠1＝∠2，∠3＝∠4.因为∠2＝∠3，∠5＝180°－∠1－∠2，∠6＝180°－∠3－∠4，所以易得∠5＝∠6. 所以m∥n.
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11. ★如图，∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°.试说明：AB∥EF.
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解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.因为∠B＝25°，∠E＝10°，所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN. 所以AB∥CM，EF∥DN. 因为∠BCD＝45°，所以∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝45°－25°＝20°.因为∠CDE＝30°，所以∠CDN＝∠CDE－∠EDN＝30°－10°＝20°.所以∠MCD＝∠CDN. 所以CM∥DN. 所以AB∥EF.
（第11题答案）
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12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，且∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°.
（1） ① 若∠DCE＝40°，则∠ACB＝ 140° .
② 若∠ACB＝128°，求∠DCE的度数.
解：（1） ② 根据题意，得∠ACD＝∠ECB＝90°.因为∠ACB＝128°，所以∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝128°－90°＝38°.所以∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝90°－38°＝52°.
（第12题）
140°
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（2） 将三角尺ECB绕点C旋转.当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，这副三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在.当∠ACE＝30°时，AD∥BC；当∠ACE＝45°时，AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE；当∠ACE＝135°时，CD∥BE；当∠ACE＝165°时，AD∥BE.
（第12题）
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第二章 相交线与平行线
专题特训五 两直线平行的判定方法
类型一 同位角相等，两直线平行
1. 如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点G，且∠FGE＝60°，∠ABG＝30°.请判断AE与CD是否平行，并说明理由.
（第1题）
解：AE∥CD. 理由：因为AB⊥CD，所以∠ABD＝90°.因为∠ABG＝30°，所以∠DBG＝90°－30°＝60°.所以∠DBG＝∠FGE. 所以AE∥CD.
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类型二 内错角相等，两直线平行
2. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，试说明：BE∥CF.
（第2题）
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解：因为AB⊥BC，DC⊥BC，所以∠ABC＝∠BCD＝90°.因为BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，所以∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠BCF＝ ∠BCD＝45°.所以∠EBC＝∠BCF. 所以BE∥CF.
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类型三 同旁内角互补，两直线平行
3. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中∠AED＝45°，∠BAC＝∠ADE＝90°.若∠CAD＝15°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
（第3题）
解：AE∥BC. 理由：由题意，得∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.所以∠BAE＝90°＋45°－15°＝120°.所以∠B＋∠BAE＝60°＋120°＝180°.所以AE∥BC.
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类型四 平行线的传递性
4. 如图，点C在射线BC上，CE平分∠BCD. 若∠B＝140°，∠E＝110°，∠1∶∠BCE＝4∶7，则AB与EF平行吗？
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解：因为CE平分∠BCD，所以∠DCE＝∠BCE. 因为∠1∶∠BCE＝4∶7，所以∠1∶∠DCE∶∠BCE＝4∶7∶7.所以∠DCE＝∠BCE＝180°× ＝70°.所以∠BCD＝140°.因为∠B＝140°，所以∠BCD＝∠B. 所以AB∥CD. 因为∠E＝110°，所以∠DCE＋∠E＝180°.所以CD∥EF. 所以AB∥EF.
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4(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（ C ）
A. 同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B. 同一平面内，两条平行线只有一个公共点
C. 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D. 两条不相交的直线叫作平行线
2. 如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
C
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3. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象.如图，若∠1＝47°，∠2＝30°，则光的传播方向改变的度数为（ A ）
A. 13° B. 15°
C. 17° D. 19°
A
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4. 若∠1＝∠2，且∠1与∠2互余，则∠1的补角的度数为 135° .
5. 如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°.
（1） 图中与∠DOE互余的角有 ∠EOF，∠DOB .
（2） 图中与∠DOE互补的角是 ∠BOF .
135°
∠EOF，∠DOB
∠BOF
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6. 如图，将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β一定相等的是（ C ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
C
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7. 如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），过点D，C作射线DE，则∠1与∠2满足的数量关系为（ D ）
A. ∠2＝2∠1 B. ∠2＋∠1＝180°
C. ∠2＋2∠1＝180° D. ∠2－∠1＝90°
D
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8. 如图，∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上画射线OA，使∠AOC和∠COD互余.若∠BOC＝56°，则∠AOB的度数为（ D ）
A. 118° B. 34°
C. 90°或34° D. 118°或6°
D
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9. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝94.3°，∠2＝31°24'，则∠BOE的余角的度数为 35.7° .
10. 若∠β是∠α的补角，∠γ是∠α的余角，且∠β与∠γ的和是平角的 倍，则∠β是∠α的 11 倍.
35.7°
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11. 如图，直线CD与直线EF 相交于点O，OB，OA为射线，∠BOE＝∠AOD＝90°.∠EOD＞∠EOC.
（1） 找出图中相等的锐角.
解：（1） ∠EOC＝∠DOF，∠BOD＝∠FOA.
（第11题）
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（2） 找出∠DOF的补角.
解：（2） ∠DOF的补角有∠DOE，∠FOC，∠AOB.
（第11题）
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12. 方程思想 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC∶∠AOD＝3∶7.
（1） 直接写出与∠AOC互补的角.
解：（1） ∠AOD，∠BOC.
（第12题）
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（2） 求∠DOE的度数.
解：（2） 因为∠AOC∶∠AOD＝3∶7，所以设∠AOC＝3x，∠AOD＝7x.由题意，得∠AOC＋∠AOD＝180°，即3x＋7x＝180°，解得x＝18°.所以∠AOC＝3x＝54°.因为∠BOD与∠AOC互为对顶角，所以∠BOD＝∠AOC＝54°.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝ ∠BOD＝27°.
（第12题）
（3） 若∠EOF＝90°，求∠COF的度数.
解：（3） 由（2），知∠DOE＝27°，因为∠EOF＝90°，所以∠DOF＝∠EOF－∠DOE＝90°－27°＝63°.所以∠COF＝180°－∠DOF＝180°－63°＝117°.
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13. ★（1） 平面内3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条直线呢？n条直线呢？
解：（1） 平面内3条直线相交于一点，共有3×2＝6（对）对顶角；平面内4条直线相交于一点，共有4×3＝12（对）对顶角；平面内10条直线相交于一点，共有10×9＝90（对）对顶角；平面内n条直线相交于一点，共有n（n－1）对对顶角.
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（2） 若（1）中的直线两两相交，且不一定交于一点，（1）中的结论仍然成立吗？
解：（2） 若（1）中的直线两两相交，且不一定交于一点，（1）中的结论仍然成立.
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14. 三角尺中的数学问题.
（1） 如图①，将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°.
① 若∠BCH＝36°，则∠ACD＝ 144° ；若∠ACD＝130°，则∠BCH＝ 50° .
② 猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由.
解：（1） ② ∠ACD＋∠BCH＝180°.
理由：因为∠ACB＝∠DCH＝90°，所以∠ACH＋∠BCH＋∠DCB＋∠BCH＝180°.所以∠ACD＋∠BCH＝180°.
144°
50°
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（2） 如图②，有两把同样的三角尺，将它们60°角的顶点A叠放在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，探究∠CAF与∠EAB之间的数量关系.
解：（2） 因为∠CAB＝∠EAF＝60°，所以∠CAB＋∠EAF＝120°.所以∠CAE＋∠EAB＋∠BAF＋∠EAB＝120°.所以∠CAF＋∠EAB＝120°.
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第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
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1. 下列各图中，∠1＝∠2，不能判定a∥b的是（ C ）
C
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2. 如图，∠BDE和∠BMF是直线 DE 和 CF 被直线 AB 所截得的一对 同位 角.如果∠BDE＝∠BMF，那么 DE ∥ CF .
3. 如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
DE
CF
AB
同位
DE
CF
过直线
外一点有且只有一条直线与这条直线平行
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（1） 指出图中的同位角.
解：（1） ∠1与∠2，∠3与∠4.
（第4题）
4. 如图所示.
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（2） 如果∠1＝∠2，那么哪两条直线平行？如果∠3＝∠4，那么哪两条直线平行？
解：（2） 如果∠1＝∠2，那么AB∥CD. 如果∠3＝∠4，那么CD∥EF.
（第4题）
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（3） 在（2）的条件下，图中还有哪些平行线？请说明理由.
解：（3） AB∥EF. 理由：平行于同一条直线的两条直线平行.
（第4题）
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5. 如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点.下列结论中，正确的是（ B ）
A. 连接AB，则AB∥PQ
B. 连接BC，则BC∥PQ
C. 连接BD，则BD⊥PQ
D. 连接AD，则AD⊥PQ
B
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6. 如图，同一平面内，有经过直线l外一点O的四条直线，其中与直线l相交的直线至少有（ C ）
A. 1条 B. 2条
C. 3 条 D. 4条
C
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7. 新情境·现实生活 如图，∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，下列添加的条件中，正确的是（ C ）
A. ∠2＝90° B. ∠3＝90°
C. ∠4＝90° D. ∠5＝90°
C
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8. 如图，EF⊥MN，垂足为F，∠1＝140°.当∠2＝ 50° 时，AB∥CD.
50°
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9. 如图，按要求画图并解决问题.
（1） 过AC上的一点D作AB的平行线，交BC于点E.
解：（1） 如图所示.
（第9题答案）
（2） 过点C作MN∥AB.
解：（2） 如图所示.
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（3） 直线DE，MN是什么位置关系？请说明理由.
解：（3） DE∥MN. 理由：因为DE∥AB，MN∥AB，所以DE∥MN.
（第9题答案）
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10. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，则EC与DF平行吗？为什么？
（第10题）
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解：EC∥DF. 因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以∠DBF＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB. 因为∠ABC＝∠ACB，所以∠DBF＝∠ECB. 因为∠DBF＝∠F，所以∠ECB＝∠F. 所以EC∥DF.
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11. 如图，图中的同位角共有（ C ）
A. 6对 B. 8对
C. 10对 D. 12对
C
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12. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
（第12题）
解：因为∠CNF＋∠BMN＝180°，∠CNF＋∠DNF＝180°，所以∠BMN＝∠DNF. 所以AB∥CD. 因为∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，所以∠BMN－∠1＝∠DNF－∠2，即∠PMN＝∠QNF. 所以MP∥NQ.
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第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系 第2课时 垂 直
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02
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03
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目
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1. 如图，AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是（ C ）
A. 对顶角 B. 互补
C. 互余 D. 相等
C
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2. 如图所示为测量跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（ B ）
A. AB B. CD C. AC D. BC
3. 新考法·开放题 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3，则BD的长可能是 答案不唯一，如4 （写出一个即可），依据是 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 .
B
答案不唯一，如4
直线外一点与直线上各点
连接的所有线段中，垂线段最短
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4. 如图，P是∠AOB的边OB上的一点.
（1） 过点P画OB的垂线，交OA于点C.
解：（1） 如图所示.
（3） 线段PH的长度是点P到射线 OA 的距离，线段 PC 的长度是点C到射线OB的距离.
OA
PC
解：（2） 如图所示.
（2） 过点P画OA的垂线，垂足为H.
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（4） 因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC，PH，OC之间的大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”连接）.
PH＜PC＜OC
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5. 如图，P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列说法中，不正确的是（ D ）
A. 线段PB的长是点P到直线a的距离
B. 在PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C. 线段AP的长是点A到直线PC的距离
D. 线段AP的长是点C到直线PA的距离
D
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6. 如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，OF将∠BOD分成2∶3的两个角.若较小角∠DOF＝30°，则下列结论中，正确的是（ C ）
A. ∠AOE＝10° B. ∠AOC＝80°
C. ∠BOC＝105° D. ∠BOF＝50°
C
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7. 新情境·现实生活 如图，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与细线重合.若门框AB垂直于地面，则AB与AE重合，否则AB与AE不重合.请你用所学的数学知识说明道理： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
8. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE，则∠BOD的度数为 75° .
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
75°
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9. 如图，将三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上.
（1） 若线段OC的长是点C到直线AB的距离，则点D在直线AB 上 （填“上”或“外”）.
（2） 比较CD与OD的大小，并说明理由.
（第9题）
解：CD＞OD. 理由：因为OD⊥OC，所以点D与OC上各点连接的所有线段中，垂线段OD最短.所以CD＞OD.
上
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10. 如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线.
（1） 图中∠DOE的补角有 3 个.
（第10题）
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（2） 试判断OF和CD的位置关系，并说明理由.
解：（2） OF⊥CD. 理由：因为OD平分∠BOE，所以∠BOD＝∠DOE. 因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF. 因为∠BOD＋∠DOE＋∠AOF＋∠EOF＝180°，所以∠DOE＋∠EOF＝90°，即∠DOF＝90°.所以OF⊥CD.
（第10题）
（3） 若∠BOE＝59°，求∠EOF的度数.
解：（3） 因为OD平分∠BOE，∠BOE＝59°，所以∠DOE＝29.5°.因为∠DOE＋∠EOF＝90°，所以∠EOF＝90°－29.5°＝60.5°.
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11. 如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COB＝25°.若从点O引出一条射线OD，使OD⊥OC，则∠AOD的度数为 65°或115° .
65°或115°
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12. 如图，直线AB，CD相交于点O，CD⊥OF，OE平分∠BOD.
（1） 若∠AOC＝72°，求∠EOF的度数.
解：（1） 因为CD⊥OF，所以∠DOF＝90°.因为∠BOD＝∠AOC＝72°，OE平分∠BOD，所以∠DOE＝ ∠BOD＝36°.所以∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－36°＝54°.
（第12题）
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（2） 若∠DOE比∠BOF大24°，求∠AOF的度数.
解：（2） 设∠BOF＝x°，则∠DOE＝（x＋24）°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠DOE＝2（x＋24）°.因为∠BOD＋∠BOF＝∠DOF＝90°，所以2（x＋24）°＋x°＝90°，解得x＝14.所以∠BOF＝14°.所以∠AOF＝180°－∠BOF＝166°.
（第12题）
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第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第2课时 平行线的判定与性质的综合应用
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03
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目
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1. 如图，∠1＝∠2，∠B＝108°，则∠BAD的度数为（ D ）
A. 82° B. 112° C. 108° D. 72°
2. 如图所示为一条街道的路线图，AB∥CD，且∠ABC＝130°.要使BC∥DE，则∠CDE的度数为（ B ）
A. 40° B. 50° C. 70° D. 130°
D
B
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3. 新情境·现实生活 如图所示为花盆支架的结构示意图，底座为FG，支撑杆AG⊥FG于点G，平台边框AB和CE均与支架AG垂直.如果∠BDE＝120°，∠DEF＝125°，那么∠ABD＋∠EFG＝ 175° .
175°
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4. 新考法·过程性学习 请把下面的说理过程补充完整：
如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2.试说明：DG∥AB.
因为AD⊥BC，EF⊥BC，
所以∠EFB＝∠ADB＝90°.
所以 EF ∥ AD .
所以∠1＝ ∠BAD .
又因为∠1＝∠2，
所以 ∠BAD＝∠2 .
所以DG∥AB.
EF
AD
∠BAD
∠BAD＝∠2
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5. （2024·巴中）直线m∥n，一把含30°角的三角尺按如图所示的方式放置.若∠1＝40°，则∠2的度数为（ A ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
A
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6. 如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N. 若∠F＝∠FND＝2∠EMB，则∠F的度数为 120° .
7. ★如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为 140° .
8. 如图所示为一款长臂折叠护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，此时∠CDE的度数为 100° .
120°
140°
100°
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9. （2024·菏泽郓城期中）如图，∠BAC＋∠GCA＝180°，∠1＝∠2，试说明：∠E＝∠F.
（第9题）
解：因为∠BAC＋∠GCA＝180°，所以AB∥DG. 所以∠BAC＝∠DCA. 因为∠1＝∠2，所以∠BAC－∠1＝∠DCA－∠2，即∠EAC＝∠FCA. 所以AE∥CF. 所以∠E＝∠F.
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10. 如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°.试说明：BF⊥AC.
（第10题）
解：因为∠AGF＝∠ABC，所以GF∥BC. 所以∠1＝∠3.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2＋∠3＝180°.所以DE∥BF. 所以∠CED＝∠CFB. 因为DE⊥AC，所以∠CED＝90°.所以∠CFB＝90°.所以BF⊥AC.
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11. 如图，点F在线段AD上，点E与点G在线段BC上，FG∥AE，∠1＝∠2.
（1） 试说明：AD∥BC.
解：（1） 因为FG∥AE，所以∠1＝∠DAE. 因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠DAE. 所以AD∥BC.
（第11题）
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（2） 若FG⊥DE于点H，DE平分∠ADC，∠C＝110°，求∠2的度数.
解：（2） 因为AD∥BC，所以∠C＋∠ADC＝180°，∠ADE＝∠DEC. 因为∠C＝110°，所以∠ADC＝180°－∠C＝70°.因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝ ∠ADC＝35°.所以∠DEC＝∠ADE＝35°.因为FG⊥DE，所以∠FHD＝90°.因为FG∥AE，所以∠AED＝∠FHD＝90°.所以∠2＝180°－∠DEC－∠AED＝180°－35°－90°＝55°.
（第11题）
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12. 如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数.
小明的思路如下：如图①，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，易得∠APC＝∠APE＋∠CPE＝50°＋60°＝110°.利用小明的思路解决问题：
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（1） 如图②，AB∥CD，直线l分别与AB，CD交于点M，N，点P在直线l上运动.当点P在线段MN上运动时（不与点M，N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC，α，β之间的数量关系，并说明理由.
解：（1） ∠APC＝α＋β.理由：如图①，过点P作PE∥AB. 因为AB∥CD，所以PE∥CD. 所以∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β.所以∠APC＝∠APE＋∠CPE＝α＋β.
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解：（2） 如图②，在（1）的条件下，当点P在线段MN的延长线上运动时，∠APC＝α－β.如图③，在（1）的条件下，当点P在线段NM的延长线上运动时，∠APC＝β－α.
（2） 在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上或线段NM的延长线上运动，请直接写出∠APC，α，β之间的数量关系.
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第二章 相交线与平行线
第二章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
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考点一 相交线的有关计算
典例1 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
（1） 若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数.
解：（1） 因为∠FOD＝21°，∠AOE＝2∠FOD，所以∠AOE＝42°.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－42°＝138°.因为OC平分∠BOE，所以∠COE＝∠COB＝ ∠BOE＝ ×138°＝69°.所以∠AOD＝∠COB＝69°.
（典例1图）
解：（2） OE⊥OF. 理由：设∠DOF＝x，∠COE＝y，则∠AOE＝2x，∠BOE＝2y.因为∠AOE＋∠BOE＝180°，即2x＋2y＝180°，所以x＋y＝90°，即∠DOF＋∠COE＝90°.因为∠EOF＋∠DOF＋∠COE＝180°，所以∠EOF＝90°. 所以OE⊥OF.
（2） 猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由.
[变式]如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，∠BOC＝100°，OP在∠BOC内，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数为 50° .若∠BOP与∠AOM互余，则∠POD的度数为 140° .
50°
140°
典例2 如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，连接AD，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°.试说明：
（1） EH∥AD.
解：（1） 因为∠CDG＝∠B，所以DG∥AB. 所以∠1＝∠BAD. 因为∠1＋∠FEA＝180°，所以∠BAD＋∠FEA＝180°.所以EH∥AD.
（典例2图）
考点二 平行线的性质与判定
解：（2） 因为EH∥AD，所以∠1＝∠H. 因为∠1＝∠BAD，所以∠BAD＝∠H.
[变式]（2025·邯郸临漳期中）如图所示为一条自来水管道的示意图.若AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝ 40° .
40°
（2） ∠BAD＝∠H.
1. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE. 若∠AOC＝46°，则∠COF的度数为（ C ）
A. 67° B. 92° C. 113° D. 134°
C
2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，过点E作直线AB，过点F作直线CD，且AB∥CD. 若∠HFD＝30°，则∠AEG的度数为（ B ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
3. 如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE. 若∠α＝50°，∠β＝26°，则∠γ的度数为（ A ）
A. 24° B. 41° C. 63° D. 76°
B
A
4. 如图，∠1＝∠2，EG平分∠AEC，交BD于点G，∠MAE＝140°，∠FEG＝35°.当AB∥CD时，∠NCE＝ 70° .
70°
5. 如图，∠B＝∠DCG，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠AEB.
（1） 若∠BAD＝98°，求∠ADC的度数.
解：（1） 因为∠B＝∠DCG，所以AB∥CD. 所以∠BAD＋∠ADC＝180°.又因为∠BAD＝98°，所以∠ADC＝180°－∠BAD＝82°.
（第5题）
（2） AD与BC是什么位置关系？请说明理由.
解：（2） AD∥BC. 理由：由（1），得AB∥CD. 所以∠BAF＝∠CFE. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAF＝∠FAD. 所以∠FAD＝∠CFE. 因为∠CFE＝∠AEB，所以∠FAD＝∠AEB. 所以AD∥BC.
（第5题）
（3） 设∠DAB＝α，∠G＝β.当α，β满足什么数量关系时，AE∥DG？
解：（3） 由（2），得∠FAD＝∠AEB. 因为AE平分∠BAD，所以∠FAD＝ ∠BAD. 所以∠AEB＝∠FAD＝ α.因为∠G＝β，所以当∠AEB＝∠G，即 α＝β时，AE∥DG.
6. 如图①，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE，连接EC.
（1） 试说明：∠ABE＋∠C－∠E＝180°.
解：（1） 如图①，过点E作EK∥AB. 所以∠ABE＝∠BEK. 因为AB∥CD，所以EK∥CD. 所以∠CEK＋∠C＝180°，即∠BEK－∠BEC＋∠C＝180°.所以∠ABE＋∠C－∠BEC＝180°.
（2） 如图②，EG平分∠BEC，过点B作BH∥EG，试探究∠FBH与∠C之间的数量关系.
解：（2） 因为BF，EG分别平分∠ABE，∠BEC，所以∠ABF＝∠EBF，∠BEG＝∠CEG. 设∠ABF＝∠EBF＝α，∠BEG＝∠CEG＝β，则∠ABE＝2α，∠BEC＝2β.因为BH∥EG，所以∠HBE＝∠BEG＝β.所以∠FBH＝∠EBF－∠HBE＝α－β.由（1），知∠ABE＋∠C－∠BEC＝180°，即2α＋∠C－2β＝2（α－β）＋∠C＝180°，所以2∠FBH＋∠C＝180°.
解：（3） ∠E＝80°.
（3） 如图③，CN平分∠ECD，BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E＋∠M＝130°，请直接写出∠E的度数.(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
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1. （2025·绥化）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（ C ）
A. 16° B. 30° C. 38° D. 76°
C
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2. 如图，一束太阳光照射在三角尺ABC后投射在地面上得到线段BD. 若∠1＝32°，则∠2的度数为（ B ）
A. 68° B. 58° C. 48° D. 32°
B
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3. 如图，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为 70° .
4. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子.一杆古秤在称物时的状态如图所示.若∠1＝102°，则∠2的度数为 78° .
70°
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（1） 由AE∥BF，可知∠AEC与哪些角相等？
解：（1） 因为AE∥BF，所以∠AEC＝∠BDC，∠AEC＝∠EDF. 所以∠AEC与∠BDC，∠EDF相等.
（第5题）
（2） 由AC∥EF，可知∠CEF与哪个角相等？
解：（2） 因为AC∥EF，所以∠CEF ＝∠C. 所以∠CEF与∠C相等.
5. 如图，AE∥BF，AC∥EF，连接EC，交BF于点D.
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（3） 由AE∥BF，可知∠A与哪个角互补？
解：（3） 因为AE∥BF，所以∠A＋∠ABF＝180°.所以∠A与∠ABF互补.
（第5题）
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6. 如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角的个数为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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7. 仰卧起坐能够很好地锻炼腹部的肌肉.如图所示为小美同学做仰卧起坐运动时某一瞬间的动作示意图.若AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝115°，∠E＝55°，则∠DCE的度数为（ D ）
A. 41° B. 44° C. 51° D. 60°
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8. 新情境·现实生活 健康骑行越来越受人们的喜欢.某款自行车的部分示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD. 若∠CDB＝70°，∠ACD＝80°，则∠EAC的度数为（ C ）
A. 60° B. 40° C. 30° D. 50°
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9. 如图所示为一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD表示互相平行的墙面，绳子EN的一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固定在墙面AB上.若∠AEN＝119°，∠ENG＝150°，则∠CGN的度数为 31° .
10. 易错题 当一条直的等宽纸带按如图所示的方式折叠时，∠α的度数为 75° .
31°
75°
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11. 风筝是我国古代劳动人民发明的，距今已有两千多年的历史.风筝的骨架形成了多种位置关系的角.在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，BC∥AD，AC⊥BD.
（1） 请指出下列两角是何种位置关系：∠1与∠2是 对顶角 ，∠1与∠3是 同旁内角 ，∠1与∠4是 内错角 ，∠1与∠5是 同位角 .
对顶角
同旁内角
内错角
同位角
（第11题）
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（2） 若∠MDN＝50°，求∠ABC的度数.
（第11题）
解：因为∠MDN＝50°，所以∠ADC＝∠MDN＝50°.因为AB∥CD，所以∠BAD＋∠ADC＝180°.因为BC∥AD，所以∠BAD＋∠ABC＝180°.所以∠ABC＝∠ADC＝50°.
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12. 如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝45°，∠CEF＝155°，求∠BCE的度数.
（第12题）
解：因为AB∥CD，∠ABC＝45°，所以∠BCD＝∠ABC＝45°.因为EF∥CD，所以∠CEF＋∠ECD＝180°.因为∠CEF＝155°，所以∠ECD＝180°－∠CEF＝25°.所以∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝20°.
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13. 如图，点M在∠AOB的一边OA上，过点M的直线CD∥OB，MN平分∠CMA.
（1） 若∠O＝48°，求∠DMN的度数.
解：（1） 因为CD∥OB，所以∠AMD＝∠O＝48°.因为∠AMC＋∠AMD＝180°，所以∠AMC＝132°.因为MN平分∠CMA，所以∠AMN＝∠CMN＝66°.所以∠DMN＝66°＋48°＝114°.
（第13题）
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（2） 当MC平分∠OMN时，求∠O的度数.
解：（2） 因为MC平分∠OMN，所以∠CMO＝∠CMN. 因为∠AMN＝∠CMN，所以∠AMN＝∠CMN＝∠CMO. 因为∠AMN＋∠CMN＋∠CMO＝180°，所以∠CMO＝60°.因为CD∥OB，所以∠O＝∠CMO＝60°.
（第13题）
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14. 如图，AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，交射线AM于点C，D.
（1） 当∠A＝50°时，∠ABN的度数为 130° ，∠CBD的度数为 65° .
（第14题）
130°
65°
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（2） 当∠A＝x°时，求∠CBD的度数（用含x的代数式表示）.
解：（2） 因为AM∥BN，所以∠A＋∠ABN＝180°.所以∠ABN＝180°－∠A. 因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，所以∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP. 所以∠ABN ＝∠ABP＋∠PBN＝2∠CBP＋2∠DBP＝2（∠CBP＋∠DBP）＝2∠CBD. 所以180°－∠A＝2∠CBD. 所以∠CBD＝90°－ ∠A＝90°－ x°.
（第14题）
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（3） 当点P运动到使∠ACB＝∠ABD的位置时，∠A＝x°，求∠ABP的度数（用含x的代数式表示）.
解：（3） 因为AM∥BN，所以∠ACB＝∠CBN，∠A＋∠ABN＝180°.因为∠ACB＝∠ABD，所以∠CBN＝∠ABD，即∠CBD＋∠DBN＝∠ABC＋∠CBD. 所以∠DBN＝∠ABC. 因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，所以∠ABC＝∠CBP，∠PBD＝∠DBN. 所以∠ABC＝∠CBP＝∠PBD＝∠DBN. 所以∠ABP＝∠ABC＋∠CBP＝ ∠ABN＝ （180°－∠A）＝ （180°－x°）＝90°－ x°.
（第14题）
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14(共7张PPT)
第二章 相交线与平行线
专题特训四 与平行线有关的尺规作图
1. 过直线AB外一点C作已知直线AB的平行线.下列作图中，正确的是（ D ）
D
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2. 如图①，已知：直线l和l外一点P. 求作：过点P的直线m，使得m∥l.小东的作法如下：
如图②，在直线l上任取点A，连接PA；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA、直线l于点B，C；以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点E；以点E为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点F，作直线PF. 直线PF就是所求作的直线m.老师说：“小东的作法是正确的.”小东的作图依据是 内错角相等，两直线平行 .
内错角
相等，两直线平行
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3. 如图所示为一块废弃的木板，用尺规作图：过点C作AB的平行线，交边AE于点D（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，CD即为所求.
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4. 如图，在三角形ABC中，延长BC至点D，∠A＝60°，∠B＝45°.
（1） 过点C作直线CE∥AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：（1） 如图，CE即为所求.
（第4题答案）
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（2） 求∠ECD的度数.
解：（2） 当点E，A在直线BC的同侧时，由作图，可得∠ECD＝∠B＝45°.当点E，A在直线BC的异侧时，∠ECD＝180°－45°＝135°.综上所述，∠ECD的度数为45°或135°.
（第4题答案）
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5. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
如图，一辆货车从点A出发沿山路送货，在点B处和点C处两次转弯后，保持与出发时相同的方向，且点C到终点D的距离与点B到点C的距离相等，请根据所给条件，确定点D的位置.
解：如图，点D即为所求.
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