(共18张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形 第1课时 三角形及其内角和
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，下列说法中，错误的是（ D ）
A. ∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角
B. △AEC的三条边分别是AE，EC，AC
C. 图中共有3个三角形
D. 以∠BEC为内角的三角形有2个
D
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2. （2025·咸阳永寿期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，则∠D的度数为（ A ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
3. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为 40° ，此三角形为 锐 角三角形（填“锐”“直”或“钝”）.
A
40°
锐
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（第4题答案）
解：不符合规定.如图，延长AB，CD交于点O. 在△AOC中，因为∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，所以∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°.因为83°＜85°，所以不符合规定.
4. 新情境·现实生活 如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
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5. （2025·西安长安期中）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的为（ B ）
A. ∠A＝37°，∠B＝53°
B. ∠A＝∠B＝2∠C
C. ∠A－∠C＝∠B
D. ∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
B
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6. 整体思想 如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点.若∠B＋∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1＋∠2的度数为（ A ）
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
A
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7. 新考向·跨学科 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4.若∠α＝70°，则∠β的度数为（ C ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
C
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8. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，将三角尺ADE绕点A按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 15°或60° .
15°或60°
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9. 如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形.
（1） 一共可以画出多少个三角形？
解：（1） 一共可以画出10个三角形.
（第9题）
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（2） 以AB为一边可以画出哪几个三角形？以C为顶点可以画出哪几个三角形？
解：（2） 以AB为一边可以画出3个三角形，即△ABE，△ABD，△ABC. 以C为顶点可以画出6个三角形，即△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE.
（第9题）
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（3） 从画出的三角形中分别找出1个锐角三角形、1个直角三角形和1个钝角三角形.
解：（3） 锐角三角形：△AED；直角三角形：答案不唯一，如△EBD；钝角三角形：答案不唯一，如△ABC.
（第9题）
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10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E. 若∠ABC＝60°，∠AEB＝70°.
（1） 求∠CAD的度数.
解：（1） 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.因为∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，所以∠BAD＝30°，∠ABE＝ ∠ABC＝30°.因为∠AEB＝70°，所以∠CAD＝180°－∠ABE－∠BAD－∠AEB＝50°.
（第10题）
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（2） 若F为线段BC上的任意一点，则当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数.
解：（2） 由（1），易得∠C＝40°，所以当△EFC为直角三角形时，有两种情况：① 当∠FEC＝90°时，如图①所示.因为∠BEC＋∠AEB＝180°，∠AEB＝70°，所以∠BEC＝180°－∠AEB＝180°－70°＝110°.所以∠BEF＝∠BEC－∠FEC＝110°－90°＝20°.② 当∠EFC＝90°时，如图②所示.因为BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，所以∠CBE＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.因为∠EFB＝180°－∠EFC＝90°，所以∠BEF＝90°－∠CBE＝60°.综上所述，当△EFC为直角三角形时，∠BEF的度数是20°或60°.
（第10题）
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11. 【定义】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.例如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”.
【概念理解】
如图①，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（不与点O，B重合）.
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（1） ∠ABO的度数为 30° ，△AOB 是 “和谐三角形”（填“是”或“不是”）.
30°
是
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解：（2） 因为∠ACB＝80°，所以∠ACO＝180°－∠ACB＝100°.又因为∠MON＝60°，所以∠OAC＝180°－∠ACO－∠MON＝20°.因为∠AOC＝60°＝3×20°＝3∠OAC，所以△AOC是“和谐三角形”.
（2） 若∠ACB＝80°，试说明：△AOC是“和谐三角形”.
【应用拓展】
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解：（3） 因为∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，所以∠EFC＝∠ADC. 所以EF∥AD. 所以∠DEF＝∠ADE. 因为∠DEF＝∠B，所以∠ADE＝∠B. 所以DE∥BC. 所以∠CDE＝∠BCD. 因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝∠CDE. 所以∠B＝∠BCD. 因为△BCD是“和谐三角形”，所以∠BDC＝3∠B或∠B＝3∠BDC. 因为∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，所以∠B＝36°或∠B＝ °.
（3） 如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B. 若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数.
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第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. （2025·河南模拟）如图，在△ACD和△CBE中，CD＝BE. 若C是线段AB的中点，则下列条件中，不能使△ACD和△CBE全等的是（ B ）
A. ∠ACD＝∠ABE B. ∠CAD＝∠BCE
C. AD＝CE D. CD∥BE
B
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2. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能判定△ABF≌△DCE的是（ D ）
A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DEC
C. AB＝DC D. AF＝DE
D
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3. 新考向·数学文化 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝”图案中，∠B＝∠D，AB＝AD，BC＝DE，则可以直接判定 △ABC ≌ △ADE .
△ABC
△ADE
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4. （2024·乐山）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，连接BC，BD，试说明：∠C＝∠D.
（第4题）
解：因为AB是∠CAD的平分线，所以∠CAB＝∠DAB. 在△ABC和△ABD中， 所以△ABC≌△ABD. 所以∠C＝∠D.
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5. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF. 有下列结论：① BD＝CE；② AD＝BD；③ ∠BFC＝49°.其中，一定正确的个数为（ B ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B
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6. 易错题 如图，AE∥DF，AE＝DF. 添加下列条件中的一个：① AB＝CD；② EC＝BF；③ ∠E＝∠F；④ EC∥BF. 其中，能说明△ACE≌△DBF的是 ①③④ （填序号）.
7. 转化思想 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝5，AD＝12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F. 若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 30 .
①③
④
30
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8. 如图，已知∠a，线段b，按要求尺规作图：
（1） 求作△ABC，使得∠A＝∠a，AB＝2b，AC＝b.
解：（1） 如图所示，△ABC即为所求.
（2） 在（1）的基础上，作△ABD，使得∠ABD＝∠a，BD＝AC.
解：（2） 如图所示，△ABD即为所求.
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9. 新情境·现实生活 如图①，为了提醒同学们用电安全，小安为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近.如图②所示为它的简易图，点A，D，C，F在同一条直线上，且AF＝CD，BC＝EF，BC∥EF.
（1） 试说明：△ABC≌△DEF.
解：（1） 因为AF＝CD，所以AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF. 因为BC∥EF，所以∠ACB＝∠DFE. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF.
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（2） 若∠A＝20°，∠AFE＝100°，求∠E的度数.
解：（2） 因为△ABC≌△DEF，所以∠D＝∠A＝20°.因为∠AFE＝100°，所以∠EFD＝180°－100°＝80°.所以∠E＝180°－∠D－∠EFD＝180°－20°－80°＝80°.
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10. ★如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，DE∥CF，AE∥BF，连接DF，CE. 试说明：
（1） △ADE≌△BCF.
解：（1） 因为DE∥CF，所以∠CDE＝∠DCF. 所以易得∠ADE＝∠BCF. 因为AE∥BF，所以∠A＝∠B. 在△ADE和△BCF中， 所以△ADE≌△BCF.
（第10题）
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（2） CE∥DF.
解：（2） 因为△ADE≌△BCF，所以DE＝CF. 在△CDE和△DCF中， 所以△CDE≌△DCF. 所以∠ECD＝∠FDC. 所以CE∥DF.
（第10题）
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11. 新考法·探究题 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.D为直线BC上一动点，以AD为直角边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接EC.
（1） 如图①，当点D在线段BC上时，试说明：△ABD≌△ACE.
解：（1） 因为∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC. 所以∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE.
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（2） 如图②，当点D在线段CB的延长线上时，判断CE与BC的位置关系，并说明理由.
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解：（2） CE⊥BC. 理由：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE. 所以∠CAE＝∠BAD. 在△DAB和△EAC中， 所以△DAB≌△EAC. 所以∠ABD＝∠ACE. 因为易得∠ABC＝∠ACB＝45°，所以∠ABD＝∠ACE＝135°.所以∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝135°－45°＝90°，即CE⊥BC.
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第四章 三角形
专题特训十 全等三角形判定的常见模型
类型一 平移模型
1. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD，连接EC，FD.
（1） 试说明：∠E＝∠F.
解：（1） 因为EA∥FB，所以∠A＝∠FBD. 因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD. 在△EAC和△FBD中， 所以△EAC≌△FBD. 所以∠E＝∠F.
（第1题）
（2） 若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数.
解：（2） 因为△EAC≌△FBD，所以∠ECA＝∠D＝80°.因为∠A＝40°，所以∠E＝180°－∠A－∠ECA＝180°－40°－80°＝60°.
（第1题）
类型二 对称模型
2. 如图，点E在线段AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请判断并说明理由.
（第2题）
解：△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB. 理由：在△ACB和△ADB中， 所以△ACB≌△ADB（SAS）.在△ACE和△ADE中， 所以△ACE≌△ADE（SAS）.
类型三 旋转模型（包含手拉手模型）
3. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD. BD，CE之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
（第3题）
解：BD＝CE，BD⊥CE. 理由：因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE. 所以∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE. 所以BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 因为易得∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，所以∠ACE＋∠DBC＋∠ACB＝90°.所以∠BDC＝90°.所以BD⊥CE.
类型四 一线三等角模型
4. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE. 若∠ADE＝∠B，试说明：AD＝DE.
（第4题）
解：因为∠B＝∠C，∠ADE＝∠B，所以∠B＝∠ADE＝∠C. 因为∠BAD＝180°－∠B－∠ADB，∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB，所以∠BAD＝∠CDE. 在△ABD和△DCE中， 所以△ABD≌△DCE. 所以AD＝DE.(共16张PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
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1. △ABC的三个内角、三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ B ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙
C. 只有乙 D. 只有丙
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2. （2024·榆林子洲期末）如图，点A，B分别在线段OC，OD上，AD与BC交于点E，AD＝BC，∠D＝∠C. 若OC＝5，OB＝2，则BD的长为（ C ）
A. 5 B. 2 C. 3 D. 7
C
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3. 新考法·开放题 如图，∠C＝∠D＝90°，利用AAS说明△ABC≌△BAD，需添加的条件是 答案不唯一，如∠ABC＝∠BAD （写出一种即可）.
答案不唯一，如∠ABC＝∠BAD
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（第4题）
解：△ADC与△BCE全等.理由：因为AD∥EB，所以∠A＝∠B. 在△ADC和△BCE中， 所以△ADC≌△BCE.
4. （2025·沈阳段考）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，∠ACD＝∠BEC. △ADC与△BCE全等吗？请判断并说明理由.
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5. （2025·汉中期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，∠BEC＝90°，过点E作DE∥BC，交AB于点D，延长AC至点F，连接BF. 若∠BCF＝115°，则∠ADE的度数为（ B ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
B
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6. 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF. 有下列结论：① EM＝FN；② CD＝DN；③ ∠FAN＝∠EAM；④ △ACN≌△ABM. 其中，一定正确的个数为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H. 已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为 1 .
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（第7题）
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（第8题）
解：因为AD∥CE，所以∠A＝∠C. 因为∠DBC＋∠ABD＝180°，∠DBC＋∠CEB＝180°，所以∠ABD＝∠CEB. 在△ADB和△CBE中， 所以△ADB≌△CBE. 所以AD＝CB.
8. 如图，B为AC上的一点，AD∥CE，∠DBC＋∠CEB＝180°，BD＝EB，试说明：AD＝CB.
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9. 如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，AB＝DE，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F.
（1） 试说明：△BCA≌△DBE.
解：（1） 因为DE⊥AB，所以∠EFB＝90°.所以∠BEF＋∠ABC＝90°.因为∠A＋∠ABC＝90°，所以∠A＝∠BEF. 在△BCA和△DBE中， 所以△BCA≌△DBE（AAS）.
（第9题）
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（2） 若AC＝3cm，求BD的长.
解：（2） 因为△BCA≌△DBE，所以BC＝DB，AC＝BE. 因为E是BC的中点，所以BC＝2BE. 因为AC＝3cm，所以BC＝6cm.所以BD＝BC＝6cm，即BD的长为6cm.
（第9题）
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10. ★如图所示为∠α，∠β和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，△ABC即为所求作.
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11. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E. 若BD＝8，则CE＝ 4 .
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12. 如图所示为某景区的悬崖秋千的侧面示意图，秋千静止时位于OC上，OC⊥CD，秋千顶端转轴O到地面的距离OC＝20m.某游客在荡秋千的过程中，秋千后撤摆动到最高点A时，测得点A到OC的距离AE＝3m，点A到地面平台DC的距离AD＝2m，绳索OA从点A处摆动到悬崖壁外最远点B处，此时满足OB⊥OA，求点B到OC的距离.
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解：如图，过点B作BF⊥OC，垂足为F. 由题意，知AE⊥OC，OA＝OB，且易得AD＝EC＝2m.又因为OA⊥OB，所以∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝90°.因为BF⊥OC，所以∠BFO＝90°.所以∠BOE＋∠OBF＝90°.所以∠AOE＝∠OBF. 在△OAE和△BOF中， 所以△OAE≌△BOF. 所以OE＝BF＝OC－EC＝20－2＝18（m）.所以点B到OC的距离为18m.
（第12题答案）
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第四章 三角形
专题特训十一 添加辅助线构造全等三角形
类型一 延长法构造全等三角形
1. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，连接BE并延长，交AC于点F. 若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，求CF的长.
（第1题答案）
解：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG. 因为AD为BC边上的中线，所以BD＝CD. 在△BDG和△CDA中， 所以△BDG≌△CDA（SAS）.所以BG＝AC，∠G＝∠CAD. 因为∠AEF＝∠FAE，所以∠CAD＝∠AEF. 因为∠BEG＝∠AEF，所以∠CAD＝∠BEG. 所以∠G＝∠BEG. 所以易得BG＝BE＝4.所以AC＝4.因为∠AEF＝∠FAE，所以易得AF＝EF＝1.6.所以CF＝AC－AF＝4－1.6＝2.4.
2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E，F分别在BD，AD上，EF∥AB，且DE＝CD. 试说明：EF＝AC.
（第2题答案）
解：如图，过点C作CP⊥AD于点P，延长AD至点Q，使DQ＝PD，连接EQ. 在△EDQ和△CDP中， 所以△EDQ≌△CDP（SAS）.所以EQ＝CP，∠Q＝∠CPD＝90°.所以∠Q＝∠CPA＝90°.因为EF∥AB，所以∠EFQ＝∠BAD. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAP. 所以∠EFQ＝∠CAP. 在△EFQ和△CAP中， 所以△EFQ≌△CAP（AAS）.所以EF＝CA.
类型二 截取法构造全等三角形
3. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，探究BC，AB，CD之间的数量关系，并说明理由.
（第3题）
解：BC＝AB＋CD. 理由：在BC上截取FB＝AB，连接EF. 因为BE平分∠ABC，所以∠FBE＝∠ABE＝ ∠ABC. 在△FBE和△ABE中， 所以△FBE≌△ABE（SAS）.所以∠BEF＝∠BEA. 因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠BCD＝180°.因为CE平分∠BCD，所以∠FCE＝∠DCE＝ ∠BCD.
所以∠FBE＋∠FCE＝ （∠ABC＋∠BCD）＝90°.所以∠CEF＋∠BEF＝∠BEC＝90°.所以∠CED＋∠BEA＝90°.所以∠CEF＝∠CED. 在△CEF和△CED中， 所以△CEF≌△CED（ASA）.所以CF＝CD. 所以BC＝FB＋CF＝AB＋CD.
4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于点O.
（1） 求∠AOC的度数.
解：（1） 因为∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，所以∠OAC＋∠ACE＝ ×（180°－60°）＝60°.所以∠AOC＝120°.
（第4题）
（2） 试说明：AC＝AE＋CD.
解：（2） 在AC上截取AF＝AE，连接OF. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC. 在△AOE和△AOF中， 所以△AOE≌△AOF（SAS）.所以∠AOE＝∠AOF. 因为∠AOC＝120°，所以∠AOE＝∠AOF＝60°.所以∠COF＝∠COD＝60°.在△CFO和△CDO中， 所以△CFO≌△CDO（ASA）.所以FC＝DC. 所以AC＝AF＋CF＝AE＋CD.
（第4题）(共14张PPT)
第四章 三角形
4 利用三角形全等测距离
01
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02
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03
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目
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1. （2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ B ）
A. SSS B. SAS
C. ASA D. 以上都不对
B
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2. 如图，用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一把三角尺（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 50 cm.
50
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（第3题）
解：这样做正确.理由：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C. 因为E是线段BC的中点，所以BE＝CE. 在△AEB和△DEC中， 所以△AEB≌△DEC. 所以AE＝DE. 所以这样做正确.
3. 如图，要测量池塘沿岸上A，E两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，E是线段BC的中点，要想知道A，E两点之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做正确吗？请说明理由.
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4. 如图，大树AB与大树CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后到达点E，此时他仰视两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°（忽略小华的身高），且AE＝ED. 已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，则小华走到点E所用的时间是（ B ）
A. 13s B. 8s C. 6s D. 5s
B
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5. 新考法·操作实践题 某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A，B两点间的距离.如图，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米.请根据以上数据求出A，B两点间的距离.
（第5题）
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解：因为∠C＝100°，∠ADC＝65°，所以∠CAD＝15°.所以∠CAD＝∠BEC. 在△ACD和△ECB中， 所以△ACD≌△ECB（AAS）.所以AC＝EC. 又因为CB＝CD，所以AB＝DE＝30米.
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6. 如图，A，B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量.小明设计了如下方案：在池塘同侧取C，D两点，使得AC∥BD，且AC＝BD，连接CD，量出CD的长即可得到A，B两点之间的距离.你认为小明的设计方案可行吗？请说明理由.
（第6题答案）
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解：可行.理由：如图，连接AB，AD. 因为AC∥BD，所以∠CAD＝∠BDA. 在△ACD和△DBA中， 所以△ACD≌△DBA. 所以DC＝AB. 所以量出CD的长即可得到A，B两点之间的距离，即小明的设计方案可行.
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7. 如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行驶的路线平行，那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？请说明理由.
（第7题答案）
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解：A，B两地到路段MN的距离相等.理由：如图，过点A作AE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F. 所以∠AEM＝∠BFN＝90°.由题意，得AM∥BN，AM＝BN，所以∠M＝∠N. 在△AEM和△BFN中， 所以△AEM≌△BFN. 所以AE＝BF，即A，B两地到路段MN的距离相等.
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8. 新考法·综合与实践 某校同学到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，甲、乙两名同学分别设计出如下方案.
甲同学（方案①）：如图①，先过点B作AB的垂线BF，然后在BF上取C，D两点，使CB＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为池塘两端A，B之间的距离.
乙同学（方案②）：如图②，先过点B作BD⊥AB，然后在点D处观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，则测出BC的长即为池塘两端A，B之间的距离.
（1） 以上两名同学所设计的方案中，可行的方案有 ①② （填序号）.
①②
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（2） 请你选择一个可行的方案，并说明理由.
解：选择方案不唯一，如选择方案①.理由：因为AB⊥BD，DE⊥BD，所以∠B＝∠CDE＝90°.在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC. 所以AB＝ED. 所以测出DE的长即为池塘两端A，B之间的距离.
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8(共16张PPT)
第四章 三角形
1 认识三角形 第3课时 三角形的高线、中线与角平分线
01
基础进阶
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03
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目
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1. 下列说法中，正确的是（ D ）
A. 过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线
B. 三角形的角平分线是一条射线
C. 三角形的中线小于任何一条边
D. 三角形的重心一定在三角形内
D
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2. 易错题 利用一把含30°角的三角尺过点A作△ABC的边BC的垂线，下列三角尺摆放的位置正确的是（ B ）
B
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3. 如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O. 若△ABO的面积为4，则四边形MCNO的面积为 4 .
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4. 如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O.
（1） 若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 1 .
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（2） 若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数.
解：因为CD是△ABC的高，所以∠CDB＝90°.因为∠ABC＝62°，所以∠DCB＝28°.因为BE是△ABC的角平分线，所以∠CBE＝ ∠ABC＝ ×62°＝31°.所以∠BOC＝180°－∠CBE－∠BCD＝180°－31°－28°＝121°.
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5. （2025·咸阳永寿期中）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD. 下列结论中，不正确的是（ B ）
A. AB＝CD B. FG＝GC
C. ∠ABE＝2∠FCB D. ∠BFH＝∠BHF
B
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6. 如图，BE，CF是△ABC的两条角平分线，AD过BE，CF的交点，且交BC于点D. 若∠BAC＝64°，则∠DAC的度数为 32° .
7. 如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线，D是边AB上的点，AD＝2BD. 设△ABE的面积为S1，△CBD的面积为S2.若S△ABC＝6，则S1－S2的值为 1 .
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，连接CH，则∠CHD的度数为 45° .
32°
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9. 分类讨论思想 若AD是△ABC的高，且BD＝5，CD＝2，则边BC的长为 7或3 .
10. 如图，BE为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点D，∠C＝70°，∠DEB＝30°.
（1） 求∠A的度数.
解：（1） 因为DE∥BC，所以∠EBC＝∠DEB＝30°.因为BE为△ABC的角平分线，所以∠DBE＝∠EBC＝30°.所以∠ABC＝60°.因为∠C＝70°，所以∠A＝180°－∠C－∠ABC＝50°.
7或
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（2） 请你画出△BCE的中线CF，再找出CF的中点G，连接EG. 若S△BCE＝30，求△CEG的面积.
解：（2） 如图所示.因为CF是△BCE的中线，所以EF＝ BE. 因为S△BCE＝30，所以S△CEF＝ S△BCE＝15.又因为G为CF的中点，所以CG＝ CF. 所以S△CEG＝ S△CEF＝ .
（第10题答案）
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11. 如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的角平分线，且BO，CO相交于点O.
（1） 若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数.
解：（1） 因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，所以∠CBO＝ ∠ABC＝20°，∠BCO＝ ∠ACB＝40°.所以∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCO＝120°.
（第11题）
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（2） 若∠A＝60°，求∠BOC的度数.
解：（2） 因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°.因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB. 所以∠CBO＋∠BCO＝ （∠ABC＋∠ACB）＝60°.所以∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝120°.
（第11题）
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（3） 试写出∠A与∠BOC之间满足的数量关系，并说明理由.
解：（3） ∠BOC＝90°＋ ∠A. 理由：因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. 因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB. 所以∠CBO＋∠BCO＝ （∠ABC＋∠ACB）＝ （180°－∠A）＝90°－ ∠A. 所以∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝90°＋ ∠A.
（第11题）
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12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，动点P从点C开始，沿C-A-B-C的路径运动，速度为2cm/s，设运动的时间为ts.
（1） 当t＝ 3 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
（2） 当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分.
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（3） 当t为何值时，△BCP的面积为4cm2？
（第12题）
解：当点P在AC上时，因为△BCP的面积为4cm2，所以易得 ×2t×3＝4，解得t＝ .当点P在AB上时，因为△ABC的面积为 ×4×3＝6（cm2），△BCP的面积为4cm2，所以△ACP的面积为2cm2.所以易得AP＝ AB＝ cm.所以点P运动的路程为4＋ ＝ （cm）.所以t＝ ÷2＝ .综上所述，当t的值为 或 时，△BCP的面积为4cm2.
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12(共17张PPT)
第四章 三角形
2 全等三角形
01
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素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 若如图所示的两个三角形全等，则∠1的度数为（ D ）
A. 72° B. 60° C. 50° D. 58°
D
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2. 如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段AD上.若△ABD≌△CED，AB＝10，BC＝14，则△CED的周长为（ C ）
A. 10 B. 20 C. 24 D. 28
C
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3. （2025·茂名茂南期中）如图，△ABD≌△CBD. 若∠A＝70°，∠ABD＝45°，则∠BDC的度数为 65° .
65°
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（1） 写出两个三角形的对应边及对应角.
解：（1） 对应边有EF与NM，EG与NH，FG与MH. 对应角有∠E与∠N，∠EGF与∠NHM，∠F与∠M.
（第4题）
（2） 求线段NM及线段HG的长.
解：（2） 因为△EFG≌△NMH，所以EF＝NM＝2.1cm，EG＝NH＝4.4cm.所以HG＝EG－EH＝4.4－1.2＝3.2（cm）.
4. 如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角.在△NMH中，MH是最长边.在△EFG中，FG是最长边，EF＝2.1cm，EH＝1.2cm，NH＝4.4cm.
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5. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中，一定成立的是（ B ）
A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE
C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED
B
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6. 如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA＝∠A. 如果∠A∶∠C＝5∶3，那么∠DBC的度数为（ C ）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
C
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7. （2024·西安长安期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G. 若∠AED＝105°，∠CAD＝18°，∠B＝30°，则∠1的度数为（ B ）
A. 67° B. 63° C. 57° D. 53°
B
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8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 30° .
9. 数形结合思想 如图，在4×4的网格中，∠1＋∠2＝ 45° .
30°
45°
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（1） 试说明：∠ABE＝∠ACF.
解：（1） 由题意，易知BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠AEB＝∠AFC＝90°.所以∠BAE＋∠ABE＝90°，∠ACF＋∠CAF＝90°.所以∠ABE＝∠ACF.
（第10题）
（2） 当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何？请说明理由.
解：（2） AD⊥AG. 理由：因为△ABD≌△GCA，所以∠ADB＝∠GAC. 因为∠ADB＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠DAE＋∠AEB＝180°，所以∠ADB＝∠DAE＋∠AEB. 因为∠GAC＝∠GAD＋∠DAE，所以∠GAD＝∠AEB＝90°.所以AD⊥AG.
10. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高.
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11. 如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
（1） 当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长.
解：（1） 因为△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，所以AB＝DE＝8，BC＝EB＝5.所以AE＝AB－EB＝8－5＝3.
（第11题）
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（2） 若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数.
解：（2） 因为△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，所以∠A＝∠D＝35°，∠C＝∠DBE＝60°.所以∠ABC＝180°－∠A－∠C＝85°.所以∠DBC＝∠ABC－∠DBE＝85°－60°＝25°.
（第11题）
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12. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，△ABD≌△CAE.
（1） 若BD＝6，CE＝4，求DE的长.
解：（1） 因为△ABD≌△CAE，BD＝6，CE＝4，所以BD＝AE＝6，AD＝CE＝4.所以DE＝AE－AD＝2.
（第12题）
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（2） 若BD∥CE，求∠BAC的度数.
解：（2） 因为BD∥CE，所以∠BDE＝∠CEA. 因为△ABD≌△CAE，所以∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE. 所以∠ADB＝∠BDE. 因为∠ADB＋∠BDE＝180°，所以∠ADB＝90°.所以∠ABD＋∠BAD＝90°.所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝90°.
（第12题）
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13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以acm/s的速度由点C向点A运动，设运动时间为ts，连接PD，PQ.
（1） 求CP的长（用含t的式子表示）.
解：（1） 由题意，得BP＝3tcm.因为BC＝8cm，所以CP＝BC－BP＝（8－3t）cm.
（第13题）
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（2） 若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值.
解：（2） 因为AB＝10cm，D为AB的中点，所以BD＝ AB＝5cm.① 当△BDP≌△CPQ时，BD＝CP，即5＝8－3t，解得t＝1.所以BP＝CQ，即3×1＝a×1，解得a＝3.② 当△BDP≌△CQP时，BP＝CP，即3t＝8－3t，解得t＝ .所以BD＝CQ，即5＝a× ，解得a＝ .综上所述，a的值为3或 .
（第13题）
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第四章 三角形
1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系
01
基础进阶
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03
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目
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1. 下列叙述中，正确的是（ C ）
A. 三角形可分为等腰三角形和等边三角形
B. 等腰三角形是等边三角形
C. 等边三角形是特殊的等腰三角形
D. 三角形可分为三边都不相等的三角形和三边都相等的三角形
C
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2. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板完全遮住了，它们的长度如图所示.若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4或5 D. 6
3. （2024·青岛李沧期末）有长度分别为4cm，8cm，10cm，12cm
的四根木条，从中任取三根组成三角形，不同的取法有（ C ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
4. 一个三角形的三边都是整数，若两边的长分别是1cm，2cm，则第三边的长是 2 cm，这个三角形是 等腰三角形 （按边分）.
5. 若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 22 cm.
C
C
2
等腰三角形
22
（第2题）
1
2
3
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17
（1） 求x的取值范围.
解：（1） 由题意，知9－2＜x＜9＋2，即7＜x＜11.
（2） 若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长.
解：（2） 因为AB＝9，BC＝2，△ABC的周长为偶数，所以x取奇数.因为7＜x＜11，所以x的值是9.所以△ABC的周长为9＋2＋9＝20.
6. 在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x.
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17
7. 新情境·现实生活 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一块三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ D ）
A. 1m B. 2m
C. 3m D. 4m
D
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6
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17
8. （2025·宁德模拟）如图，将长为14cm的铁丝折成三段，第一段长为4cm，第二段长为acm.若这三段恰好能围成一个三角形，则a的值可以是（ B ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
9. 四边形ABCD的边长如图所示，连接AC，AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ACD为等腰三角形时，AC的长为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
C
1
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10. 已知△ABC的三边长a，b，c满足（a－2）2＋｜b－4｜＝0，c为偶数，则△ABC的周长为 10 .
11. 有长度为2cm，3cm，6cm，7cm，8cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，则可以构成 6 个不同的三角形.
12. 若a，b，c为三角形的三条边长，化简：｜a－b－c｜＋｜a－c＋b｜＋｜a＋b＋c｜.
解：因为a，b，c为三角形的三条边长，所以由三角形的三边关系，得a－b－c＜0，a－c＋b＞0，a＋b＋c＞0.所以｜a－b－c｜＋｜a－c＋b｜＋｜a＋b＋c｜＝ －（a－b－c）＋（a－c＋b）＋（a＋b＋c）＝－a＋b＋c＋a－c＋b＋a＋b＋c＝a＋3b＋c.
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13. 已知等腰三角形的周长是16cm.
（1） 若其中一边长为6cm，求另外两边长.
解：（1） 当腰长为6cm时，底边长为16－6－6＝4（cm），三边长分别为6cm，6cm，4cm，能构成三角形.所以另外两边长为6cm，4cm.当底边长为6cm时，腰长为（16－6）÷2＝5（cm），三边长分别为5cm，5cm，6cm，能构成三角形.所以另外两边长为5cm，5cm.综上所述，另外两边长分别为6cm，4cm或5cm，5cm.
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（2） 若较长边的长是较短边的长的2倍，求三条边的长.
解：（2） 设较短边的长为xcm，则较长边的长为2xcm.若以较短边为腰，则x＋x＋2x＝16，解得x＝4.所以2x＝8.此时三角形的三条边的长分别为4cm，4cm，8cm.因为4＋4＝8（cm），所以不能构成三角形.若以较长边为腰，则2x＋2x＋x＝16，解得x＝3.2.所以2x＝6.4.此时三角形的三条边的长分别为3.2cm，6.4cm，6.4cm.因为3.2＋6.4＝9.6（cm），9.6＞6.4，所以能构成等腰三角形.综上所述，三条边的长分别为3.2cm，6.4cm，6.4cm.
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14. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
（1） 若a，b，c满足（a－b）2＋（b－c）2＝0，试判断△ABC的形状.
解：（1） 因为（a－b）2＋（b－c）2＝0，所以易得a－b＝0，b－c＝0.所以a＝b＝c.所以△ABC是等边三角形.
（2） 若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长.
解：（2） 因为a＝5，b＝2，且c为整数，所以5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.所以c＝4或5或6.所以△ABC的周长为5＋2＋4＝11或5＋2＋5＝12或5＋2＋6＝13.
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15. 如图，在四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，试说明：AC与BD的长之和小于四边形ABCD的周长.
（第15题）
解：在△ABD中，AD＋AB＞BD，在△BCD中，CD＋BC＞BD，在△ACD中，AD＋CD＞AC，在△ABC中，AB＋BC＞AC，所以2（AD＋AB＋CD＋BC）＞2（AC＋BD）.所以AD＋AB＋CD＋BC＞AC＋BD，即AC与BD的长之和小于四边形ABCD的周长.
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16. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d的值可能是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
C
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17. 周长为20，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
解：设最长边的长为x.因为各边长互不相等，所以x＞ .因为三角形任意两边之和大于第三边，所以x＜ ，即x＜10.所以 ＜x＜10.又因为x是整数，所以x的值为7或8或9.当x＝7时，无符合要求的三角形；当x＝8时，符合要求的三角形的三边长为8，7，5；当x＝9时，符合要求的三角形的三边长为9，8，3或9，7，4或9，6，5.综上所述，周长为20，各边长互不相等且都是整数的三角形共有4个.
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17(共18张PPT)
第四章 三角形
第四章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 三角形的三边关系
典例1 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开.若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（ B ）
A. 甲 B. 乙
C. 甲或乙 D. 甲、乙均不可以
B
解：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＝（a2＋b2－c2＋2ab）（a2＋b2－c2－2ab）＝[（a＋b）2－c2][（a－b）2－c2]＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b－c）（a－b＋c）.因为a，b，c为三角形的三边长，所以a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a－b＋c＞0.所以（a2＋b2－c2）2－4a2b2的值一定为负.
[变式]若a，b，c为三角形的三边长，试说明：（a2＋b2－c2）2－4a2b2的值一定为负.
典例2 如图，在△ABC中，点D在边BC上.
（1） 若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数.
解：（1） 因为∠1＝∠2＝35°，所以∠ADB＝180°－35°－35°＝110°.所以∠3＝∠4＝70°.所以∠DAC＝180°－∠3－∠4＝40°.
（典例2图）
考点二 三角形的内角和及“三线”的有关计算
解：（2） 因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD. 因为△ABD的周长比△ACD的周长大3，所以AB＋AD＋BD－（AC＋AD＋CD）＝3.所以AB＋AD＋BD－AC－AD－CD＝3.所以AB－AC＝3.因为AB＝9，所以AC＝6.
（2） 若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
[变式]如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE，CE. 如果△ABC的面积是8，那么图中阴影部分的面积之和为（ B ）
B
典例3 （2024·深圳福田期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使CE＝ BC，连接DE并延长，交边AC于点F. 若DE＝EF，则AC的长为 12 .
此题存在中点，又存在两个直角，因此利用“平行线＋中点得全等”，作垂线（得平行）同时构造两对全等三角形.
12
考点三 全等三角形的性质与判定
[变式]如图，在△ADC中，DB是边AC上的高，E是DB上一点，AB＝DB，BE＝BC，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN，连接MB，NB，CE.
（1） 试说明：△ABE≌△DBC.
解：（1） 因为DB是边AC上的高，所以∠ABE＝∠DBC＝90°.在△ABE和△DBC中， 所以△ABE≌△DBC.
（2） 探索BM与BN之间的关系，并说明理由.
解：（2） BM＝BN，BM⊥BN. 理由：因为△ABE≌△DBC，所以∠BAE＝∠BDC. 在△ABM和△DBN中， 所以△ABM≌△DBN. 所以BM＝BN，∠ABM＝∠DBN. 所以∠MBN＝∠DBN＋∠DBM＝∠ABM＋∠DBM＝∠ABD＝90°.所以BM⊥BN.
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，有下列结论：① BF＝AF；② ∠AFG＝∠AGF；③ ∠FAG＝2∠ACF；④ S△ABE＝S△BCE；⑤ BH＝CH. 其中，一定正确的有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF. 若AF＝5，则DC＝ 5 .
3. 如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连接CE并延长，交AP于点D. 试说明：AD＋BC＝AB.
（第3题答案）
5
解：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF. 因为AE平分∠PAB，所以∠DAE＝∠FAE. 在△DAE和△FAE中， 所以△DAE≌△FAE. 所以∠ADE＝∠AFE. 因为AD∥BC，所以∠ADE＋∠C＝180°.因为∠AFE＋∠EFB＝180°，所以∠EFB＝∠C. 因为BE平分∠ABC，所以∠EBF＝∠EBC. 在△BEF和△BEC中， 所以△BEF≌△BEC. 所以BF＝BC. 所以AB＝AF＋BF＝AD＋BC，即AD＋BC＝AB.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE. 连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H.
（1） ∠BAC与∠DEC相等吗？为什么？
（第4题）
解：（1） ∠BAC与∠DEC相等.因为∠ACB＝60°，CE平分∠ACM，所以∠DCE＝ ∠ACM＝ ×（180°－60°）＝60°.在△BAC和△DEC中， 所以△BAC≌△DEC（SAS）.所以∠BAC＝∠DEC.
（2） 求∠DHF的度数.
解：（2） 在△CDG和△CBF中， 所以△CDG≌△CBF（SAS）.所以∠CDG＝∠CBF. 又因为∠DFH＝∠BFC，所以∠DHF＝∠FCB＝60°.
（第4题）(共15张PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境·现实生活 如图，双人漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖.这种器材的三角形支架设计应用的几何原理是（ A ）
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
（第1题）
A
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11
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论中，不一定正确的是（ C ）
A. △ABD≌△ACD B. ∠ADB＝90°
C. ∠BAD＝ ∠B D. AD平分∠BAC
C
3. 如图，AC＝DB，如果要用“SSS”说明△ABC≌△DCB，那么应增加的条件是 AB＝DC .
AB＝DC
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4. 如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC. 试说明：△ABC≌△EDC.
（第4题）
解：因为C是BD的中点，所以BC＝DC. 在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC.
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11
5. 如图所示为一个风筝模型，其中，AB＝AC，DB＝DC，BE＝CE，点A，E，D在同一条直线上，则图中的全等三角形有（ D ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
D
1
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11
6. 如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为 130° .
（第7题）
7. 新情境·现实生活 如图所示为一把雨伞的结构示意图，支撑杆DE＝DF，支撑点E，F到伞顶A的距离AE＝AF. 若雨伞在开合的过程中∠BAD＝α，则∠BAC的度数为 2α .雨伞撑开后在风中不易变形的原因是 三角形的稳定性 .
130°
2α
三角形的稳定性
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11
8. 新考法·操作实践题 如图，已知四条线段a，b，c，d的长度比为a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4，选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）.
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11
解：根据三角形的三边关系，只能选b，c，d三条线段画三角形.如图，△ABC即为所求.
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11
9. 新考法·过程性学习 完成下面的说理过程：
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，试说明：AB∥CD且BC∥AD.
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11
解：如图，连接AC.
因为AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，
所以 △ABC ≌ △CDA （SSS）.
所以 ∠BAC ＝ ∠DCA ， ∠DAC ＝ ∠BCA .
所以AD∥BC，AB∥CD.
△ABC
△CDA
∠BAC
∠DCA
∠DAC
∠BCA
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11
10. 如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的两侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE.
（1） 试说明：△ABC≌△DEF.
解：（1） 因为BF＝CE，所以BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF.
（第10题）
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11
（2） 指出图中所有平行的线段，并说明理由.
解：（2） AB∥DE，AC∥DF. 理由：因为△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. 所以AB∥DE，AC∥DF.
（第10题）
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11
11. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝ED，AC＝AD.
（1） ∠B与∠E相等吗？为什么？
解：（1） ∠B＝∠E. 在△ABC和△AED中， 所以△ABC≌△AED. 所以∠B＝∠E.
（第11题）
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11
（2） 若F为CD的中点，则AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由.
解：（2） AF⊥CD. 理由：因为F为CD的中点，所以CF＝DF. 在△ACF和△ADF中， 所以△ACF≌△ADF. 所以∠AFC＝∠AFD. 又因为∠AFC＋∠AFD＝180°，所以∠AFC＝∠AFD＝90°.所以AF⊥CD.
（第11题）
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11(共9张PPT)
第四章 三角形
专题特训九 三角形的内、外角平分线的夹角问题
类型一 三角形中两内角平分线的夹角
1. 如图，在△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别相交于点G1，G2，G3，…，Gn－1（点G1在最下方），可以探究∠BGn－1C与∠A的关系（其中n是不小于2的整数）.当n＝2时，如图①，∠BG1C＝ 90°＋ ∠A .当n＝3时，如图②，∠BG2C＝ 60°＋ ∠A .如图③，猜想∠BGn－1C＝ ＋ ∠A .
90°＋ ∠A
60°＋ ∠A
＋
∠A
1
2
3
4
类型二 三角形中两外角平分线的夹角
2. 已知△ABC的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点O.
（1） 如图①，若∠A＝90°，求∠O的度数.
解：（1） 因为∠A＋∠ACB＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBD，所以∠CBD＝∠A＋∠ACB. 同理，可得∠BCE＝∠A＋∠ABC.
1
2
3
4
因为∠CBD，∠BCE的平分线相交于点O，所以∠CBO＝ （∠A＋∠ACB），∠BCO＝ （∠A＋∠ABC）.所以∠CBO ＋∠BCO ＝ （∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A）.因为∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，所以∠CBO ＋∠BCO ＝90°＋ ∠A. 在△OBC中，∠O＝180°－（∠CBO ＋∠BCO）＝180°－（90°＋ ∠A）＝90°－ ∠A. 因为∠A＝90°，所以∠O＝90°－ ×90°＝90°－45°＝45°.
1
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3
4
（2） 如图②，试探索∠O与∠A之间的数量关系（直接写出结论，不说明理由）.
解：（2） 由（1）可知，∠O＝90°－ ∠A.
1
2
3
4
类型三 三角形中内角与外角平分线的夹角
3. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝ ，…，依此规律，得∠A2026＝ .
1
2
3
4
4. 如图，在△ABC中，I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，D是△ABC的外角∠MBC与∠NCB平分线的交点，E是∠ABC与△ABC的外角∠ACG平分线的交点.
（1） 若∠BAC＝52°，则∠BIC＝ 116° ，∠BDC＝ 64° .
（2） 猜想∠BEC与∠BAC的数量关系： ∠BEC＝ ∠BAC .
（3） 若∠BAC＝x°（0＜x＜90），则当∠ACB＝ （180－2x）° （用含x的代数式表示）时，CE∥AB.
116°
64°
∠BEC＝ ∠BAC
（180－2x）°
1
2
3
4
（4） 若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数.
（第4题）
1
2
3
4
解：由题意，易得∠EBD＝90°.所以∠D＋∠E＝90°.① 当∠EBD＝3∠D时，∠D＝30°.所以易得∠BAC＝120°.② 当∠EBD＝3∠E时，∠E＝30°.所以∠BAC＝60°.③ 当∠D＝3∠E时，∠E＝22.5°.所以∠BAC＝45°.④ 当∠E＝3∠D时，∠E＝67.5°.所以∠BAC＝135°.综上所述，∠BAC的度数为45°或60°或120°或135°.
1
2
3
4(共9张PPT)
第四章 三角形
☆ 问题解决策略：特殊化
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 如图所示的图形的相邻两边均互相垂直，则这个图形的周长为（ C ）
A. 37 B. 26 C. 42 D. 21
C
1
2
3
4
2. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方式摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（涂色部分）的面积和为（ C ）
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
C
1
2
3
4
3. 如图，该图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合.若三个叶片的总面积为1cm22，∠AOB＝120°，求图中涂色部分的面积.
（第3题）
解：因为三个叶片的总面积为12cm2，∠AOB＝120°，所以易得涂色部分的面积＝ ×12＝4（cm2）.
1
2
3
4
4. 在等边三角形ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点O，点M，N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，请猜想CM，MN，AN三者之间的数量关系.
先将问题特殊化，如图①，在等边三角形ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点O，点M，N分别在边AC，AB上，AM＝AN，且∠MON＝60°.
（1） 如图①，直接写出CM，MN，AN三者之间的数量关系.
解：（1） CM＝MN＋AN.
1
2
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解：（2） 成立.理由：如图①，在AC上截取CD＝AN，连接OD. 因为△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的平分线交于点O，所以易得∠OAB＝∠OAC＝∠OCA＝30°.所以OA＝OC，∠AOC＝120°.在△CDO和△ANO中， 所以△CDO≌△ANO（SAS）.所以OD＝ON，∠COD＝∠AON.
（2） 如图②，当AM≠AN，且点M，N分别在边AC，AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
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因为∠MON＝60°，所以∠COD＋∠AOM＝∠AON＋∠AOM＝60°.因为∠AOC＝120°，所以∠DOM＝60°.在△DMO和△NMO中， 所以△DMO≌△NMO（SAS）.所以DM＝NM. 所以CM＝CD＋DM＝AN＋MN.
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（3） 当点M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图③中补全图形，标出相应的字母，并直接写出线段CM，MN，AN三者之间的数量关系.
解：（3） 补全图形如图②所示.AN＋CM＝MN.
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4(共9张PPT)
第四章 三角形
专题特训八 三角形中线、高线与三角形的面积问题
类型一 三角形中线与三角形的面积
1. （2025·广东模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点.若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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2. 如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF. 若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是（ A ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A
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3. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝cm82，则涂色部分的面积是 2 cm2.
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（第4题）
解：因为AF是△ADE的中线，所以S△ADE＝2S△ADF. 同理可得，S△ACD＝2S△ADE，S△ACD＝S△ABD＝ S△ABC. 所以S△ADF＝ S△ABC. 因为四边形ABDF的面积为20，所以S△ABD＋S△ADF＝20.所以 S△ABC＋ S△ABC＝20.所以S△ABC＝32.
4. 如图，D，E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接AD，DE，AF为△ADE的中线.若四边形ABDF的面积为20，求△ABC的面积.
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类型二 三角形高线与三角形的面积
5. （2025·成都期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为E，F. 若S△ABC＝24，AC＝8，求DE＋DF的值.
（第5题）
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解：由条件可得，S△ABP＝ AP·BC，S△ABC＝ AC·BC，即24＝ ×8BC，所以BC＝6.连接DP. 因为DE⊥BP，DF⊥AP，所以S△ABP＝S△ADP＋S△BDP＝ AP·DF＋ BP·DE. 因为BP＝AP，所以S△ABP＝ AP·DF＋ AP·DE＝ AP（DE＋DF）.所以 AP（DE＋DF）＝ AP·BC，则DE＋DF＝BC＝6.
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类型三 三角形中线、高线与三角形的面积
（第6题）
6. 如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为6，AC＝4，则BE的长为 6 .
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（1） △ABD的面积.
解：（1） 因为AD是△ABC的边BC上的中线，且BC＝12，所以BD＝CD＝ BC＝6.因为AF是△ABC的边BC上的高，且AF＝6，所以S△ABD＝ BD·AF＝ ×6×6＝18.
（第7题）
（2） AC的长.
解：（2） 因为BG为△ABC的边AC上的高，AF是△ABC的边BC上的高，所以S△ABC＝ AC·BG＝ BC·AF. 又因为BG＝5，BC＝12，AF＝6，所以AC＝ ＝ ＝14.4.
7. 如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，AF＝6，BC＝12，BG＝5.求：
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7(共14张PPT)
第四章 三角形
专题特训十二 全等三角形的综合问题
类型一 求角的度数
1. 如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为（ D ）
A. 20° B. 28° C. 30° D. 31°
2. 如图，C，E分别为△ABD的边BD，AB上的点，AE＝AD，CE＝CD，∠D＝75°，∠ECD＝140°，则∠B的度数为 35° .
D
35°
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3. 如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
（1） 试说明：△ABC≌△CDE.
解：（1） 因为AC∥DE，所以∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E. 又因为∠ACD＝∠B，所以∠B＝∠D. 在△ABC和△CDE中，
所以△ABC≌△CDE.
（第3题）
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（2） 若∠A＝55°，求∠BCD的度数.
解：（2） 因为△ABC≌△CDE，所以∠A＝∠DCE＝55°.所以∠BCD＝180°－∠DCE＝125°.
（第3题）
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类型二 求线段的长度
4. 如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的高，AD与BE相交于点F. 若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长为（ C ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE. 若AD＝12，BC＝8，则四边形ABCD的周长为 32 .
C
32
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
（1） 试说明：△ABC≌△CFE.
解：（1） 因为CD⊥AB，所以∠ADC＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠A＝∠ECF＝90°－∠ACE. 在△ABC和△CFE中， 所以△ABC≌△CFE（ASA）.
（第6题）
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（2） 若AB＝9，EF＝4，求BF的长.
解：（2） 因为△ABC≌△CFE，所以AB＝CF＝9，CB＝EF＝4.所以BF＝CF－CB＝5.
（第6题）
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类型三 探求线段之间的关系
7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，请探索线段BN，DM，MN之间的数量关系.
（第7题答案）
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解：如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE. 因为∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，所以∠D＝∠ABE. 在△ABE和△ADM中， 所以△ABE≌△ADM （SAS）.所以AE＝AM，∠BAE＝∠DAM. 所以∠EAN＝∠BAE＋∠BAN＝∠DAM＋∠BAN.
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因为∠BAD＝120°，∠MAN＝60°.所以∠DAM＋∠BAN＝∠BAD－∠MAN＝60°.所以∠EAN＝∠MAN＝60°.在△MAN和△EAN中， 所以△MAN≌△EAN（SAS）.所以MN＝EN. 因为BN＋DM＝BN＋BE＝EN，所以BN＋DM＝MN.
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8. 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接BE，CM.
（1） 试说明：BE＝AC.
解：（1） 因为AD⊥BC，所以∠BDE＝∠ADC＝90°.在△BDE和△ADC中， 所以△BDE≌△ADC. 所以BE＝AC.
（第8题）
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（2） 试判断线段AC与线段CM之间的关系，并说明理由.
解：（2） AC⊥CM，AC＝CM. 理由：因为F为BC的中点，所以BF＝CF. 在△BFE和△CFM中， 所以△BFE≌△CFM. 所以∠FBE＝∠FCM，BE＝CM. 由（1），得△BDE≌△ADC. 所以∠DBE＝∠DAC，BE＝AC. 所以∠DAC＝∠FCM，AC＝CM. 因为∠ADC＝90°，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠FCM＋∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°.所以AC⊥CM.
（第8题）
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9. （1） 如图①，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD长的取值范围.小聪同学是这样思考的：延长BD至点E，使DE＝BD，连接CE，利用三角形全等将AB转化为CE，在△BCE中，利用三角形的三边关系即可求出BE长的取值范围，进而求出BD长的取值范围.在这个过程中，小聪同学说明三角形全等用到的判定方法是 SAS ，中线BD长的取值范围是 1＜BD＜9 .
（2） 如图②，在△ABC中，D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，且DM⊥DN. 试说明：AM＋CN＞MN.
SAS
1＜BD＜9
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解：如图，延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF，MF. 因为D是AC的中点，所以AD＝CD. 在△AFD和△CND中， 所以△AFD≌△CND. 所以AF＝CN. 因为DM⊥DN，所以∠FDM＝∠NDM＝90°.在△MDN和△MDF中， 所以△MDN≌△MDF. 所以MN＝MF. 在△AFM中，由三角形的三边关系，得AM＋AF＞MF. 所以AM＋CN＞MN.
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