(共16张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
（第1题）
1. 如图，根据作图痕迹及相关信息，推断∠ABD的度数为（ C ）
A. 30° B. 33°
C. 35° D. 38°
C
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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，DA＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ B ）
A. 8
B. 7.5
C. 15
D. 无法确定
（第2题）
B
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3. （2024·湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径在∠ABC内画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N. 如果MN＝2，AD＝4MD，那么AM＝ 6 .
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4. 如图，某市有两条相交的公路，A，B两处是两个居民区，现要在居民区旁边修建快递点，为了方便，要使快递点到两条公路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相等.请在图上区域①内画出这个快递点的位置P.
解：如图，点P即为所求作.
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5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（ C ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
C
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6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是∠CAB，∠ABC的平分线的交点，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（ B ）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
B
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7. 把两把同样大小的含30°角的三角尺（记作△ABC，△BCD）按如图所示的方式进行摆放，其中M是AB与CD的交点，则可以得到结论：MA的长度等于点M到BC的距离.请用一个你学过的数学定理解释这个结论： 角平分线上的点到角两边的距离相等 .
角平分线上的点到
角两边的距离相等
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8. （2024·平顶山汝州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12.使用尺规进行如下作图：在AC和AB上分别截取AM，AN，使AM＝AN，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F，作射线AF交边BC于点D.
（1） 根据作图，可知AD是△ABC的一条 角平分 线.
角平分
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（2） 过点D作DE⊥AB于点E. 若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长.
（第8题）
解：因为∠C＝90°，所以CD⊥AC. 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DE＝CD＝4.因为S△ABD＝30，所以 AB·DE＝ AB×4＝30.所以AB＝15.在△ACD和△AED中，∠C＝∠AED＝90°，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，所以△ACD≌△AED. 所以AC＝AE＝12.所以BE＝AB－AE＝15－12＝3.
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9. 如图所示为四边形ABCD，求作点P，使∠PCB＝∠B，且点P到边AD，CD的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，点P1，P2即为所求作.
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10. 如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
（1） 求∠ACE的度数.
解：（1） 因为∠ACB＝100°，所以∠ACD＝180°－100°＝80°.因为EH⊥BD，所以∠CHE＝90°.因为∠CEH＝50°，所以∠ECH＝180°－90°－50°＝40°.所以∠ACE＝80°－40°＝40°.
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（2） 如果AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积.
解：（2） 如图，过点E分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N. 因为BE平分∠ABC，EH⊥BD，所以EM＝EH. 因为∠ACE＝∠ECH＝40°，所以CE平分∠ACD. 又因为EN⊥AC，EH⊥BD，所以EN＝EH. 所以EM＝EN＝EH. 因为AC＋CD＝14，S△ACD＝21，所以S△ACD＝S△ACE＋S△CED＝ AC·EN＋ CD·EH＝ （AC＋CD）·EH＝21，即 ×14·EH＝21.所以EH＝3.所以EM＝3.因为AB＝8.5，所以S△ABE＝ AB·EM＝ ×8.5×3＝ .
（第10题答案）
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11. 如图①，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.
（1） 试说明：BC＝CD.
解：（1） 因为∠D＝∠B＝90°，所以CD⊥AD，CB⊥AB. 因为AC平分∠BAD，所以BC＝CD.
（2） 若将题干中的已知条件“∠B和∠D都是直角”改为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图②，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请判断并说明理由.
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解：（2） 一定相等.理由：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，作CF⊥AB于点F. 所以∠ADC＋∠CDE＝180°.因为∠ADC与∠ABC互补，所以∠ADC＋∠ABC＝180°.所以∠CDE＝∠ABC. 又因为AC是∠BAD的平分线，所以CE＝CF. 在△BCF和△DCE中， 所以△BCF≌△DCE（AAS）.所以BC＝CD.
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第五章 图形的轴对称
专题特训十三 轴对称性质的应用
类型一 利用轴对称的性质求角度
1. 如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF为△ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（ B ）
A. 24°
B. 28°
C. 30°
D. 38°
（第1题）
B
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2. 在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△PEF.
（1） 如图①，当点P落在BC上时，求∠BEP的度数.
解：（1） 因为将△AEF沿EF折叠得到△PEF，所以AE＝PE. 因为E为线段AB的中点，所以AE＝BE. 所以BE＝EP. 所以∠B＝∠EPB＝42°.所以∠BEP＝180°－∠B－∠EPB＝180°－42°－42°＝96°.
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（2） 如图②，当PF⊥AC时，求∠AEF的度数.
解：（2） 因为PF⊥AC，所以∠AFP＝90°.所以易得∠AFE＝∠PFE＝ ∠AFP＝45°.因为∠B＝42°，∠C＝68°，所以∠A＝180°－∠B－∠C＝70°.所以∠AEF＝180°－∠A－∠AFE＝65°.
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类型二 利用轴对称的性质求周长
3. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处，则涂色部分图形的周长为（ D ）
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
D
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类型三 利用轴对称的性质解决最短路径问题
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.如果D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD＋DE的最小值是（ B ）
A. 4.2
B. 4.8
C. 5
D. 4.5
（第4题）
B
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5. 如图，在一条河流中有一个形如三角形的小岛，河岸与小岛之间有一座桥相连.水利部门现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点，在岸边设立了一个观测站，每天由专人从观测站步行去三个取样点取样，并带回化验.请问：三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短（假设速度一定，写出作法）？
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解：如图，作点D关于AB的对称点F，点D关于AC的对称点G，连接FG，交AB于点M，交AC于点N，点D，M，N即为三个取样点的位置.
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5(共15张PPT)
第五章 图形的轴对称
1 轴对称及其性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·湖南）武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中，是轴对称图形的为（ C ）
C
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2. （2024·河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是C，D. 下列结论中，不一定正确的是（ A ）
A. AD⊥BC
B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO
D. AC∥BD
（第2题）
A
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3. ★在如图所示的图形中，属于轴对称图形的有 ①③④⑧⑩ ；成轴对称的图形有 ②⑤⑦⑨ （填序号）.
①③④⑧⑩
②⑤⑦⑨
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4. 把如图①②所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形.
解：如图①②所示.
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5. 新考法·操作实践题 如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个小三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则不同的涂法有（ B ）
A. 1种 B. 3种 C. 5种 D. 7种
B
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6. 如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC，交A'C于点D. 若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为（ D ）
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
7. 如图，所有轴对称图形的对称轴条数之和为 5 .
D
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8. 如图，O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN与PA，PB分别相交于点E，F. 已知MN＝10，则△OEF的周长为 10 .连接PM，PN，若∠MPN＝76°，则∠APB的度数为 38° .
10
38°
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9. ★如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上.
（1） 在图中画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A'B'C'.
解：（1） 如图，△A'B'C'即为△ABC关于直线l的轴对称图形.
（2） 在直线l上找一点P，使PB＋PC的长最短，标出点P
（不要求写出作法，保留作图痕迹）.
解：（2） 如图，点P即为所求作.
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10. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，AD平分∠BAC，E为AC的中点，AD与BE相交于点F，过点B作BH⊥AD，交AD的延长线于点H，作△ABH关于AH对称的△AGH，设△BFH，△AEF的面积分别为S1，S2.若S△BCG＝6，求S1－S2的值.
（第10题）
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解：因为△ABH与△AGH关于AH对称，所以△ABH≌△AGH. 所以AB＝AG，BH＝GH. 因为E为AC的中点，所以S△ABE＝S△CBE. 所以S△BFH－S△AEF＝S△ABH－S△ABE＝ S△ABG－ S△ABC. 所以S1－S2＝ ×（S△ABG－S△ABC）＝ S△BCG. 因为S△BCG＝6，所以S1－S2＝3.
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11. 新考法·操作实践题 如图，在3×3的正方形网格中，△ABC和△DEF均为格点三角形，且这两个三角形关于某直线成轴对称，请在下图中画出所有满足要求的△DEF.
解：如图所示.
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12. 如图，在四边形ACDB中，∠B＝∠C＝90°，∠CAB＝114°，M，N分别是BD，CD上的点.当△AMN的周长最小时，求∠MAN的度数.
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解：如图，作点A关于BD和CD的对称点A'，A″，连接A'A″交BD于点M，交CD于点N，则易得A'A″的长即为△AMN的周长的最小值.因为∠CAB＝114°，所以∠A'＋∠A″＝66°.因为∠A'＝∠MAA'，∠NAC＝∠A″，所以∠MAA'＋∠NAC＝66°.所以∠MAN＝∠CAB－（∠MAA'＋∠NAC）＝114°－66°＝48°.
（第12题答案）
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12(共16张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·佛山禅城期中）若等腰三角形的一个内角是120°，则它的另外两个内角分别是（ B ）
A. 60°和30° B. 30°和30°
C. 120°和120° D. 120°和30°
B
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2. （2025·西安期中）如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE. 若AD＝AE，则∠CDE的度数为（ D ）
A. 20° B. 25° C. 10° D. 15°
D
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3. 转化思想 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点.若BC＝8，AD＝7，则涂色部分的面积是 14 .
14
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（第4题）
解：因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC. 在△ABD和△BCE中， 所以△ABD≌△BCE. 所以AD＝BE.
4. （2024·宜宾）如图，D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F. 试说明：AD＝BE.
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5. 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK. 若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（ D ）
A. 44° B. 66° C. 88° D. 92°
D
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6. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是（ B ）
A. BC B. CE
C. AD D. AC
B
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7. 新情境·现实生活 如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆DE⊥BC. 这种操作方法的依据是 等腰三角形“三线合一” .
等腰三角形“三线合一”
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8. （2024·沈阳铁西期中）如图，△ABC为等边三角形，在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，点D在AB上，点C在EF上.若∠BDE＝45°，则∠ACE的度数为 75° .
9. （2024·内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 100° .
75°
100°
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10. 如图，在等边三角形ABC中，E为高AD上一动点，以BE为边，向右作等边三角形BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ 30° .
30°
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11. 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且BC∥DE.
（1） 这个图形是轴对称图形吗？若是，请画出它的对称轴；若不是，请说明理由.
解：（1） 这个图形是轴对称图形.如图所示.
（第11题答案）
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（2） 若∠D＝75°，∠BAC＝140°，求∠DAE，∠C，∠FAC的度数.
解：（2） 因为△ABC与△ADE都是等腰三角形，所以∠E＝∠D＝75°，∠B＝∠C. 所以∠DAE＝180°－∠D－∠E＝30°，∠C＝ （180°－∠BAC）＝20°.因为这个图形是轴对称图形，所以∠BAF＝∠GAC＝ （∠BAC－∠DAE）＝55°.所以∠FAC＝∠DAE＋∠GAC＝30°＋55°＝85°.
（第11题答案）
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12. 数学课上，老师给出了如下问题：如图，△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M. 试探究线段BD与CE之间的数量关系及∠BMC的度数.
（1） 如图①，当点D在线段BF上时，请直接写出：
① BD与CE的数量关系： BD＝CE .
② ∠BMC＝ 60° .
BD＝CE
60°
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（2） 如图②，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3） 如图③，当点D在线段FB的延长线上时，直接写出∠ACM的度数.
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解：（2） （1）中的结论还成立.理由：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°.因为△ADE是等边三角形，所以AD＝AE，∠DAE＝60°.所以∠BAC＝∠DAE. 所以易得∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE. 所以BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 因为易得∠ABD＋∠DBC＋∠ACB＝120°，所以∠ACE＋∠DBC＋∠ACB＝120°.所以∠BMC＝60°.
（3） ∠ACM＝30°.
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12(共8张PPT)
第五章 图形的轴对称
专题特训十四 等腰三角形中的分类讨论问题
类型一 因边不确定引起的分类讨论
1. （2025·保定竞秀期中）已知有理数a，b满足｜5－a｜＋（b－9）2＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（ C ）
A. 19 B. 23
C. 19或23 D. 以上答案均不对
2. （2024·济南长清期末）等腰三角形的周长为24，一边长为6，则腰长为 9 .
C
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类型二 因角不确定引起的分类讨论
3. 在等腰三角形ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ C ）
A. 40° B. 55° C. 65° D. 70°
4. 一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶5，则这个等腰三角形的顶角的度数为 30°或100° .
C
30°或100°
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类型三 因顶点不确定引起的分类讨论
5. 如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ D ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
（第6题）
D
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7. 如图，P是射线ON上一动点，∠O＝45°，当∠A的度数为 90°或67.5°或45° 时，△AOP为等腰三角形.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP折叠至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，则α的度数为 22.5°或45°或67.5° .
90°或67.5°或
45°
22.5°或45°或67.5°
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类型四 因高不确定引起的分类讨论
9. 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数.
解：在△ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于点D. ① 当
高与底边的夹角为25°时，如图①，高一定在△ABC
的内部.因为BD⊥AC，所以∠BDC＝90°.因为∠DBC
＝25°，所以∠C＝180°－∠BDC－∠DBC＝65°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝65°.所以∠A＝180°－∠ABC－∠C＝50°.② 当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，当高在△ABC的内部时，因为BD⊥AC，所以∠ADB＝90°.因为∠ABD＝25°，所以∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝65°.
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类型四 因高不确定引起的分类讨论
9. 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝
×（180°－∠A）＝57.5°.如图③，当高在△ABC
的外部时，因为BD⊥AC，所以∠ADB＝90°.因为∠ABD＝25°，所以∠BAD＝180°－∠ADB－∠ABD＝65°.所以∠BAC＝180°－∠BAD＝115°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝ ×（180°－∠BAC）＝32.5°.综上所述，这个三角形的各个内角的度数分别为50°，65°，65°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
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9(共19张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·眉山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ C ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
C
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 40° .
40°
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解：如图，两种方法确定点C在线段AB的垂直平分线上.
3. 新考法·操作实践题 如图，C是线段AB外一点.借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段AB的垂直平分线上（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法）.
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4. （2024·榆林子洲期末）如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
（1） 若∠B＝40°，求∠AEF的度数.
解：（1） 设AD与EF交于点O. 因为EF是AD的垂直平分线，所以EF⊥AD. 所以∠AOF＝90°.因为AD是△ABC的高线，所以∠ADC＝90°.所以∠AOF＝∠ADC. 所以EF∥BC. 所以∠AEF＝∠B＝40°.
（第4题）
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（2） 试说明：∠B＝ ∠AED.
解：（2） 因为EF是AD的垂直平分线，所以EA＝ED，EF⊥AD. 所以∠AEF＝∠DEF＝ ∠AED. 由（1）可知，∠AEF＝∠B，所以∠B＝ ∠AED.
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（第4题）
5. （2025·成都期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF. 若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为（ C ）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 16
C
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6. （2024·梅州兴宁期末）如图，直线m是△ABC中边BC的垂直平分线，P是直线m上一动点，连接AP，PC，BP. 若AB＝7，AC＝6，则△APC周长的最小值是（ A ）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 13.5
（第6题）
A
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7. 如图，在△ABC中，∠C＝52°，按以下步骤作图：① 分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；② 作直线EF，分别交AC，BC于点D，M；③ 连接BD，以点D为圆心，DM长为半径画弧，交BD于点G，连接GM. ∠GMB的度数为 19° .
19°
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8. 如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，AE交BD于点P，AE＝7cm，AP＝4cm，则点P到直线AB的距离是 3cm .
9. ★如图，在△ABC中，DE，DF分别为边BC，AB的垂直平分线，连接AD，CD. 若∠B＝50°，求∠ACD的度数.
（第9题）
3cm
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解：连接DB. 因为∠ABC＝50°，所以∠BAC＋∠BCA＝180°－50°＝130°.因为DE，DF分别为边BC，AB的垂直平分线，所以DB＝DC，DB＝DA. 所以∠DCB＝∠DBC，∠DAB＝∠DBA，DC＝DA. 所以∠DCB＋∠DAB＝∠DBC＋∠DBA＝50°.所以∠DAC＋∠DCA＝130°－50°＝80°.因为DC＝DA，所以∠ACD＝∠CAD＝40°.
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10. 如图①，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O.
（1） 试说明：AC垂直平分BD.
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解：（1） 因为△ABC是等边三角形，所以∠BCA＝∠BAC，AB＝CB. 因为CD＝AB，所以CD＝CB. 因为CD∥AB，所以∠ACD＝∠BAC. 所以∠ACD＝∠BCA.
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在△BCO和△DCO中， 所以△BCO≌△DCO. 所以易得∠BOC＝∠DOC＝90°，BO＝DO. 所以AC垂直平分BD.
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（2） 如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN. 试说明：NB＝NM.
解：（2） 由（1），知AC垂直平分BD，所以NB＝ND. 因为ND＝NM，所以NB＝NM.
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11. 新考法·探究题 （1） 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点P，Q，连接AP，AQ. 求∠PAQ的度数.
解：（1） 因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点P，Q，所以AP＝BP，AQ＝CQ. 所以∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C. 因为∠BAC＝130°，所以∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝50°.所以∠BAP＋∠CAQ＝50°.所以∠PAQ＝∠BAC－（∠BAP＋∠CAQ）＝130°－50°＝80°.
（2） 如图②，在△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点P，Q，连接AP，AQ.
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① 若∠BAC＝130°，则∠PAQ的度数为 80° .若∠BAC＝α，则∠PAQ的度数为 2α－180° （用含α的代数式表示）.
② 当∠BAC＝ 135° 时，PA⊥AQ.
③ 若BC＝10cm，求△PAQ的周长.
80°
2α－180°
135°
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解：（2） ③ 因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点P，Q，所以AP＝BP，AQ＝CQ. 因为BC＝10cm，所以AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC＝10cm.所以△PAQ的周长为10cm.
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11(共8张PPT)
第五章 图形的轴对称
☆ 问题解决策略：转化
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点.将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，连接BE. 当BD最短时，∠ABE的度数为（ D ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 47°
D
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2. 如图，在长方形ABCD中，AD＝2，AB＝3，AM＝1，弧DE是以点A为圆心，2为半径的四分之一圆，弧NB是以点M为圆心，2为半径的四分之一圆，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 2 .
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3. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小.
解：如图，点E，F即为所求作.
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4. （2024·吉安永丰期末）已知点P在∠MON内.
（1） 如图①，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的
对称点是H，连接OG，OH，OP.
① 若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100° .
② 若PO＝5，连接GH，则当∠MON的度数为多少时，GH＝10？
解：（1） ② 因为点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，PO＝5，所以GO＝HO＝PO＝5.当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，点G，O，H在同一直线上，此时GH＝GO＋HO＝10.
100°
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（2） 如图②，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，则当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数.
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解：（2） 如图，分别作点P关于OM，ON的对称点P'，P″，连接OP，OP'，OP″，P'P″，P'P″分别交OM，ON于点A，B，则AP＝AP'，BP＝BP″，此时△PAB的周长取最小值，为P'P″的长.由轴对称的性质，可得OP'＝OP＝OP″，∠P'OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，所以∠P'OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°.所以∠OP'P″＝∠OP″P'＝（180°－120°）÷2＝30°.所以易得∠OPA＝∠OP'A＝30°，∠BPO＝∠OP″B＝30°.所以∠APB＝30°＋30°＝60°.
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4(共20张PPT)
第五章 图形的轴对称
第五章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 轴对称图形的判断
典例1 （2025·泸州）下列图标中，是轴对称图形的为（ C ）
[变式]在如图所示的图形中，轴对称图形有 ②③⑤ （填序号），其中对称轴最多的是 ⑤ （填序号），它有 4 条对称轴.
C
②③⑤
⑤
4
典例2 在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD折叠，使点B落在点B'处.当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 25°或115° .
分点B'在直线BC的下方及点B'在直线BC的上方两种情况进行讨论，从而得到问题的答案.
25°或115°
考点二 轴对称的性质
[变式]（2025·苏州期中）如图，∠AOB＝45°，P为∠AOB内任一点，且OP＝6，请在图中分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1O，P2O，P1P2，则△OP1P2的面积为 18 .
18
典例3 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
（1） 试说明：AB＝EC.
解：（1） 因为EF垂直平分AC，所以AE＝EC. 因为AD⊥BC，BD＝DE，所以AB＝AE. 所以AB＝EC.
考点三 等腰（边）三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质
解：（2） 由题意可得，AB＋BC＋AC＝32cm.因为AC＝12cm，所以AB＋BC＝20cm.因为AB＝EC，BD＝DE，所以DC＝DE＋EC＝ BE＋AB＝ （BC－CE）＋AB＝ （BC－AB）＋AB＝ （AB＋BC）＝10cm.
（2） 若△ABC的周长为32cm，AC＝12cm，求DC的长.
[变式]如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G. 若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，求△ACG的面积.
解：如图，过点G分别作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N. 由作图，可知CG平分∠ACB，所以GM＝GN. 因为S△BCG＝ BC·GN＝8，BC＝6，所以GN＝ .所以GM＝GN＝ . 所以S△ACG＝ AC·GM＝ ×9× ＝12.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ B ）
A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5
B
2. （2025·淮安期中）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝90°，点A关于BC的对称点是A'，点B关于AC的对称点是B'，点C关于AB的对称点是C'，BB'交AC于点D. 若△ABC的面积是2，则△A'B'C'的面积是 6 .
3. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成了两个小等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 36°或45° .
6
36°或45°
4. 如图，P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA，OB于C，D两点，连接PC，PD，PE，PF.
（1） 若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数.
解：（1） 因为点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°，所以∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°.所以∠PCF＝40°.所以∠CPF＝180°－∠F－∠PCF＝120°.所以∠CPD＝∠CPF－∠DPF＝100°.
（第4题）
（2） 若CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长.
解：（2） 因为点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，CP＝DP，所以CE＝CP＝DP. 因为DP＝DF，所以CE＝DF. 所以CF＝CE＋DE＋DF＝2CE＋3＝13，解得CE＝5.所以CP＝5.
（第4题）
5. （2024·深圳坪山期末）（1） 如图①，△ABC的三条边相等，三个内角也相等，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且BD＝CE＝AF，连接DE，EF，FD. 请写出图中一对全等三角形： 答案不唯一，如△ADF≌△BED ，其全等的理由是 SAS .
答案不唯一，如△ADF≌△BED
SAS
（2） 如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，连接DF. 请判断△DEF的形状，并说明理由.
解：（2） △DEF为等腰三角形.理由：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 因为∠DEC＝180°－∠BED＝∠DEF＋∠CEF，∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，所以∠B＋∠BDE＝180°－∠BED. 所以∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF. 因为∠DEF＝∠B，所以∠BDE＝∠CEF. 在△BDE和△CEF中， 所以△BDE≌△CEF. 所以DE＝EF. 所以△DEF为等腰三角形.
（3） 如图③，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，且
AD＝CE＝2，∠DEF＝∠B. 延长BC至点M，使得CM＝CA，过点M作AC的平行线MF，与射线EF交于点F. 若MF＝4，求线段BM的长.
解：（3） 因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB. 因为AC∥FM，所以∠M＝∠ACB. 所以∠B＝∠M. 因为AB＝AC，CM＝CA，所以AB＝CM. 因为AD＝CE，所以AB＋AD＝CM＋CE，即BD＝ME. 由（2），可知当∠DEF＝∠B时，∠D＝∠MEF. 在△DBE和△EMF中， 所以△DBE≌△EMF. 所以BE＝MF＝4.因为EM＝BD＝AB＋AD＝10，所以BM＝BE＋EM＝4＋10＝14.
