(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
第一章整合拔尖
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 幂的运算
典例1 已知4m＝5，8n＝3，3m＝4，求：
（1） 22m＋3n＝22m·23n＝5×3＝15.
（2） 24m－6n的值.
（2） 24m－6n＝24m÷26n＝（22m）2÷（23n）2＝52÷32＝25÷9＝ .
（3） 122m的值.
解：由题意，得4m＝22m＝5，8n＝23n＝3，3m＝4.
（3） 122m＝（3×4）2m＝32m×42m＝（3m）2×（4m）2＝42×52＝16×25＝400.
（1） 22m＋3n的值.
[变式]根据已知条件求值：
（1） 已知ax＝12，ay＝－3，求ax－y的值.
解：（1） ax－y＝ax÷ay＝12÷（－3）＝－4.
（2） 已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值.
解：（2） 因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3.所以4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
考点二 整式的乘除运算
典例2 先化简，再求值：2（2x＋y）（4x－2y）－（x－2y）2＋ ÷ xy，其中x，y满足｜x－1｜＋（y＋2）2＝0.
解：原式＝（4x＋2y）（4x－2y）－（x2－4xy＋4y2）－4xy＋1＝16x2－4y2－x2＋4xy－4y2－4xy＋1＝15x2－8y2＋1.因为｜x－1｜＋（y＋2）2＝0，所以x－1＝0，y＋2＝0，解得x＝1，y＝－2.所以原式＝15×12－8×（－2）2＋1＝15－32＋1＝－16.
[变式]甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2.
（1） 请通过计算比较S1与S2的大小.
解：（1） S1＝（m＋2）（m＋4）＝m2＋6m＋8，S2＝m（m＋6）＝m2＋6m.因为S1－S2＝（m2＋6m＋8）－（m2＋6m）＝8＞0，所以S1＞S2.
解：（2） 由题意，得正方形的边长是 [2（m＋4＋m＋2）＋2（m＋m＋6）]＝2m＋6.所以S3＝（2m＋6）2＝4m2＋24m＋36.因为S3－2（S1＋S2）＝4m2＋24m＋36－2（m2＋6m＋8＋m2＋6m）＝4m2＋24m＋36－2m2－12m－16－2m2－12m＝20，所以代数式S3－2（S1＋S2）的值是一个常数.
（2） 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明：代数式S3－2（S1＋S2）的值是一个常数.
考点三 乘法公式的应用
典例3 如图，用四个长为a、宽为b（a＞b）的小长方形拼成一个正方形.
（1） 用不同代数式表示图中涂色部分的面积，可以得到的等式为 4ab＝（a＋b）2－（a－b）2 .
4ab＝（a
＋b）2－（a－b）2
（2） 已知m＋n＝5，mn＝ ，求m－n的值.
（典例3图）
解：由（1），得4mn＝（m＋n）2－（m－n）2.因为m＋n＝5，mn＝ ，所以4× ＝52－（m－n）2.所以（m－n）2＝16.所以m－n＝±4.
[变式]（2024·成都锦江段考改编）
（1） 若x＋y＝6，x2＋y2＝20，则xy的值为 8 .
（2） 若（4－x）2＋x2＝8，求x（4－x）的值.
解：因为（4－x）＋x＝4，所以[（4－x）＋x]2＝42，即（4－x）2＋2x（4－x）＋x2＝16.又因为（4－x）2＋x2＝8，所以8＋2x（4－x）＝16.所以x（4－x）＝4.
8
1. 如果m＝3a＋1，n＝2＋9a，那么用含m的代数式表示n为（ C ）
A. n＝2＋3m B. n＝m2
C. n＝（m－1）2＋2 D. n＝m2＋2
2. （2024·西安新城期中）若（2x＋b）2＝4x2＋20x＋a，则a＋b的值为（ A ）
A. 30 B. －25 C. 25 D. 10
3. 新考向·跨学科 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10－8cm，则2×103个这样的细胞排成一排的长度是 1×10－4 cm（结果用科学记数法表示）.
C
A
1×10－4
4. 要使（x2－mx＋3x）（1－2x）的展开式中不含x的一次项，则m的值为 3 .
5. 已知一个多项式除以多项式a2＋4a－3，所得的商为2a＋1，余式为2a＋8，则这个多项式为 2a3＋9a2＋5 .
3
2a3＋9a2＋5
6. 如图①所示为一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片 ，取出两张小卡片放入大卡片内拼成如图②所示的图案，再重新用三张小卡片放入大卡片内拼成如图③所示的图案.若图③中的涂色部分的面积比图②中的涂色部分的面积大2ab－15，则小卡片的面积是 5 .
5
7. 计算：
（1） （－2x2y）3·（3xy2）2－12x3y3·
（－5x5y4）.
解：原式＝－8x6y3·9x2y4＋60x8y7＝－72x8y7＋60x8y7＝－12x8y7.
（2） （x＋2y－3）（x－2y＋3）.
解：原式＝[x＋（2y－3）][x－（2y－3）]＝x2－（2y－3）2＝x2－（4y2－12y＋9）＝x2－4y2＋12y－9.
（3） [2（x＋1）2－（x＋2）（1－2x）]÷
.
解：原式＝[2（x2＋2x＋1）－（x－2x2＋2－4x）]÷ ＝（4x2＋7x）÷ ＝－ x－ .
8. 先化简，再求值：
（1） （2x＋1）（2x－1）－（2x－3）2，其中x＝－1.
解：原式＝4x2－1－（4x2－12x＋9）＝4x2－1－4x2＋12x－9＝12x－10.当x＝－1时，原式＝12×（－1）－10＝－22.
（2） [（a－2b）2－（2b－a）（a＋2b）－2a（2a－b）]÷2a，其中a＋b＝－2.
解：原式＝[a2－4ab＋4b2－（4b2－a2）－4a2＋2ab]÷2a＝（－2a2－2ab）÷2a＝－a－b.因为a＋b＝－2，所以原式＝－（a＋b）＝2.
9. （1） 填空：
（a－b）（a＋b）＝ a2－b2 ；
（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ a3－b3 ；
（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝ a4－b4 .
（2） （a－b）（an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1）＝ an－bn （其中n为正整数，且n≥2）.
（3） 计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：因为[2－（－1）]×（29－28＋27－…＋23－22＋2－1）＝210－110，所以29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝（210－110）÷3＝341.所以29－28＋27－…＋23－22＋2＝341＋1＝342.
a2－b2
a3－b3
a4－b4
an－bn (共15张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 利用乘法公式计算2982，下列方法中，正确的是（ B ）
A. 2982＝3002－300×2＋22
B. 2982＝3002－2×300×2＋22
C. 2982＝3002－22
D. 2982＝3002＋2×300×2＋22
B
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2. 计算（－x－2y）2－（x－2y）2的结果是 8xy .
3. 化简：（m－n）（m＋n）（m2－n2）＝ m4－2m2n2＋n4 .
4. 运用完全平方公式计算：
（1） 2012.
解：原式＝（200＋1）2＝40000＋400＋1＝40401.
（2） 9.82.
解：原式＝（10－0.2）2＝100－4＋0.04＝96.04.
（3） 19.92＋19.9×0.2＋0.12.
解：原式＝（19.9＋0.1）2＝202＝400.
8xy
m4－2m2n2＋n4
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5. 计算：
（1） （2m＋3n）2－（2m＋n）（2m－n）.
解：原式＝4m2＋12mn＋9n2－（4m2－n2）＝4m2＋12mn＋9n2－4m2＋n2＝12mn＋10n2.
（2） 2（x－y）2－（2x＋6y）（x－3y）.
解：原式＝2（x2－2xy＋y2）－2（x＋3y）（x－3y）＝2x2－4xy＋2y2－2x2＋18y2＝－4xy＋20y2.
（3） （3x－2y＋5）（3x－2y－5）.
解：原式＝[（3x－2y）＋5][（3x－2y）－5]＝（3x－2y）2－52＝9x2－12xy＋4y2－25.
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6. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如：利用如图①所示的图形可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，那么利用如图②所示的图形所得到的数学等式为（ B ）
A. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2
B. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
C. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc
D. （a＋b＋c）2＝2a＋2b＋2c
B
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7. 已知（x－2024）2＋（x－2026）2＝100，则（x－2025）2＝ 49 .
8. 新考向·数学文化 我国古代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图①所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与图②中的等式图，可知（a＋b）7展开的多项式中各项系数之和为 128 .
49
128
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9. 运用乘法公式计算：
（1） （2a－b－3c）2.
解：原式＝[（2a－b）－3c]2＝（2a－b）2－2（2a－b）·3c＋（3c）2＝4a2－4ab＋b2－12ac＋6bc＋9c2.
（2） （2x－y＋1）（y－1＋2x）.
解：原式＝[2x－（y－1）][2x＋（y－1）]＝（2x）2－（y－1）2＝4x2－（y2－2y＋1）＝4x2－y2＋2y－1.
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10. 如图（单位：米），某市修建了一个大正方形休闲场所，在其内规划了一个小正方形活动区，小正方形到大正方形的四边分别有4条笔直小路.已知大正方形休闲场所的边长为6a米，4条小路的长与宽都分别为b米和 米.涂色区域铺设草坪，草坪的造价为每平方米30元.
（1） 用含a，b的代数式表示草坪的面积并化简.
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解：（1） 由题图，可知大正方形休闲场所的面积为（6a）2平方米，小正方形活动区的面积为（6a－2b）2平方米，4条小路的面积为（4b· ）平方米.所以草坪的面积为（6a）2－4b· －（6a－2b）2＝36a2－2b2－（36a2－24ab＋4b2）＝（24ab－6b2）平方米.
（第10题）
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（2） 若a＝10，b＝5，计算草坪的造价.
解：（2） 当a＝10，b＝5时，24ab－6b2＝24×10×5－6×52＝1050.1050×30＝31500（元）.所以草坪的造价为31500元.
（第10题）
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11. 新考法·新定义题 对于依次排列的多项式x＋a，x＋b，x＋c，a，b，c是常数，当它们满足（x＋b）2－（x＋a）（x＋c）＝M，且M为常数时，称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子.
（1） 已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M.
解：（1） 根据题意，得M＝（x＋4）2－（x＋2）（x＋6）＝x2＋8x＋16－（x2＋8x＋12）＝4.
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（2） 当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数？请说明理由.
解：（2） 2b－a－c＝0.理由：假设a，b，c是一组完美数，则（x＋b）2－（x＋a）（x＋c）的结果为常数.因为原式＝x2＋2bx＋b2－[x2＋（a＋c）x＋ac]＝（2b－a－c）x＋b2－ac，所以当a，b，c之间满足2b－a－c＝0时，它们是一组完美数.
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12. （2024·菏泽郓城期中）如图①所示为一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按如图②所示的方式拼成一个正方形.
（1） 图②中涂色部分为正方形，其边长为 a－b ，面积为 （a－b）2. （用含a，b的代数式表示）.
（2） 由图②，可知代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为 （a＋b）2＝（a－b）2＋4ab .
（3） 若m，n为有理数，且mn＝5，m－n＝4，求m＋n的值.
a－b
（a－b）2.
（a＋
b）2＝（a－b）2＋4ab
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（4） 如图③，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，且a＋b＝5，ab＝5，求图中涂色部分的面积.
解：（3） 因为（m＋n）2＝（m－n）2＋4mn＝42＋4×5＝36，所以m＋n＝±6.
（4） S涂色部分＝S梯形ABGD＋S三角形DEG＝ a（a＋b）＋ b2＝ （a2＋ab＋b2）＝ [（a＋b）2－ab]＝ ×（52－5）＝10.
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12(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法 第2课时 单项式、多项式与多项式相乘
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基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 下列计算错误的是（ B ）
A. （x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3
B. a2（a3－2a）＝a5－2a
C. （2x－3）（x－2）＝2x2－7x＋6
D. －4a（2a2＋3a－1）＝－8a3－12a2＋4a
B
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2. 若多项式x＋m与x－5的乘积中不含x的一次项，则m的值为 5 .
3. 计算：
（1） .
解：原式＝ m4n2＋ m3n2－ m2n.
（2） （－6xy2）2 .
解：原式＝－12x3y5＋54x2y6－36x4y4.
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4. 计算：
（1） （3a－2b）（5b＋a）.
解：原式＝3a2＋13ab－10b2.
（2） （x2＋1）（2－x2）.
解：原式＝－x4＋x2＋2.
（3） （a2－4a＋2）（3a＋2）.
解：原式＝3a3－10a2－2a＋4.
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5. 长为a、宽为b的长方形的周长为18，面积为17，则（a＋1）（b＋1）的值为（ A ）
A. 27 B. 30 C. 33 D. 36
6. 代数式yz（xz＋2）－2y（3xz2＋z＋x）＋5xyz2的值（ A ）
A. 只与x，y的值有关
B. 与x，y，z的值都无关
C. 只与y，z的值有关
D. 与x，y，z的值都有关
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7. 新情境·现实生活 某庄园主把一块长为（a＋5）米、宽为（b＋6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给李伯.第二年，他对李伯说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，李伯的租地面积会（ A ）
A. 变小了 B. 变大了
C. 没有变化 D. 无法确定
8. 若（x2＋ax－2）（x－1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为（ B ）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 0
A
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9. 小明计算（2x－a）（3x－5）的结果时，由于抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“－”写成了“＋”，得到的结果为6x2－4x－10.这道题的正确结果为 6x2－16x＋10 .
10. 已知2m－3n＝－5，则代数式m（n－4）－n（m－6）的值为 10 .
11. 新考法·新定义题 在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：a b＝（ax＋2b）（bx－a），等式右侧是通常的混合运算.计算：1 2＝ 2x2＋7x－4 .
6x2
－16x＋10
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2x2＋7x－4
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12. 如图，现有A类正方形卡片、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张.若要拼一个长为a＋3b、宽为2a＋b的长方形，则需要C类长方形卡片 7 张.
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13. 先化简，再求值：
（1） （2x＋5）（x＋1）－（x－3）（x＋1），其中x＝－7.
解：原式＝x2＋9x＋8.当x＝－7时，原式＝（－7）2＋9×（－7）＋8＝－6.
（2） （a－2b）（a2＋2ab＋4b2）－a（a－5b）·（a＋3b），其中a＝1，b＝－2.
解：原式＝a3＋2a2b＋4ab2－2a2b－4ab2－8b3－a3＋2a2b＋15ab2＝2a2b＋15ab2－8b3.当a＝1，b＝－2时，原式＝2×12×（－2）＋15×1×（－2）2－8×（－2）3＝120.
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14. 数形结合思想 如图，某小区有一块长为（2a＋3b）m、宽为（3a＋2b）m的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边为am的平行四边形小路，将剩下的空地（涂色部分）进行绿化，设绿化的总面积为Sm2.
（1） 用含a，b的式子表示绿化的总面积.
解：（1） S＝（3a＋2b）（2a＋3b）－a（3a＋2b）＝（3a＋2b）（2a＋3b－a）＝（3a＋2b）（a＋3b）＝3a2＋11ab＋6b2.所以绿化的总面积为（3a2＋11ab＋6b2）m2.
（第14题）
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（2） 若a＝2，b＝4，求此时绿化的总面积.
解：（2） 当a＝2，b＝4时，S＝3×22＋11×2×4＋6×42＝196.所以此时绿化的总面积为196m2.
（第14题）
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15. （1） 计算：
（x＋1）（x＋2）＝ x2＋3x＋2 ；
（x＋1）（x－2）＝ x2－x－2 ；
（x－1）（x＋2）＝ x2＋x－2 ；
（x－1）（x－2）＝ x2－3x＋2 .
（2） （x＋a）（x＋b）＝x2＋（ a＋b ）x＋（ ab ）.
（3） 直接写出下列各式的结果：
（x＋99）（x＋1）＝ x2＋100x＋99 ；
（x－2）（x＋50）＝ x2＋48x－100 .
x2＋3x＋2
x2－x－2
x2＋x－2
x2－3x＋2
a＋b
ab
x2＋100x＋99
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16. 新考法·过程性学习 阅读材料，解决问题：
学习多项式乘多项式时，我们知道
（2x＋5）（3x－6）的结果是一个多项式，并且最高次项为 x·2x·3x＝3x3，常数项为4×5×（－6）＝－120，那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.通过观察，我们发现一次项系数就是 ×5×（－6）＋4×2×（－6）＋4×5×3＝－3，即一次项为－3x.
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（1） 求计算（x＋2）（3x＋1）（5x－3）所得多项式的一次项系数.
解：（1） （x＋2）（3x＋1）（5x－3）所得多项式的一次项系数为1×1×（－3）＋2×3×（－3）＋2×1×5＝－3－18＋10＝－11.
（2） 如果计算（x2＋x＋1）（x2－3x＋a）·（2x－1）所得的多项式不含一次项，求a的值.
解：（2） （x2＋x＋1）（x2－3x＋a）（2x－1）所得多项式的一次项系数为1×a×（－1）＋1×（－3）×（－1）＋1×a×2＝－a＋3＋2a＝a＋3.因为所得多项式不含一次项，所以a＋3＝0，解得a＝－3.
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16(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式 第2课时 平方差公式的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 求99 ×100 的值时，运用简便的计算方法，可先变形为（ B ）
A.
B.
C.
D. （99＋100）
B
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2. 如图，根据从图①到图②的变化过程，可以发现的代数结论是 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 .
（a＋b）（a
－b）＝a2－b2
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3. 如图所示为两个边长分别为m，n的正方形，涂色部分的面积分别为S1，S2.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝ 16 .
4. 用平方差公式计算：
（1） 99.8×100.2.
解：原式＝（100－0.2）×（100＋0.2）＝1002－0.22＝10000－0.04＝9999.96.
（2） 20252－2024×2026.
解：原式＝20252－（2025－1）×（2025＋1）＝20252－20252＋1＝1.
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（第3题）
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5. 计算：（3a－b）（3a＋b）－a（4a－1）.小方的解题过程如下：（3a－b）（3a＋b）－a（4a－1）＝3a2－b2－4a2－a＝－a2－b2－a.请判断其是否正确.如果有错误，请写出正确的解题过程.
解：不正确. 正确的解题过程如下：原式＝9a2－b2－4a2＋a＝5a2－b2＋a.
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6. 某校计划在教学楼之间的广场上搭建舞台，已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛.有以下两个方案：① 如图①，绕花坛外围搭建正方形的“回”字形舞台（涂色部分），面积为S1；② 如图②，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（涂色部分），面积为S2.S1与S2的大小关系为（ C ）
A. S1＝S2 B. S1＜S2
C. S1＞S2 D. 无法确定
C
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7. ＋（2n－4）（4＋2n）的值（ B ）
A. 与m的值无关 B. 与n的值无关
C. 与m，n的值无关 D. 与m，n的值有关
8. 整体思想 若（a2＋b2＋1）（a2＋b2－1）＝35，则a2＋b2的值为 6 .
9. 有长度分别为三个连续整数的木棒若干根，小明取4根中等长度的木棒摆出了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒各2根摆出了一个长方形，则 小明 摆的图形的面积较大（填“小明”或“小刚”）.
B
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小明
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（1） （2025·湖南）（x＋2）（x－2）＋x（1－x），其中x＝6.
解：原式＝x－4.当x＝6时，原式＝6－4＝2.
（2） （－2m－7n）（－2m＋7n）－（－m＋5n）（－5n－m），其中m＝－3，n＝ .
解：原式＝4m2－49n2－（m2－25n2）＝3m2－24n2.当m＝－3，n＝ 时，原式＝3×（－3）2－24× ＝27－6＝21.
10. 先化简，再求值：
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11. 数形结合思想 如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的涂色部分拼成一个平行四边形（如图②）.
（1） 上述操作能验证的公式为（ B ）
A. a（a＋b）＝ a2＋ab
B. （a－b）（a＋b）＝ a2－b2
（2） 请用上面的公式完成下列各题：
① 若4a2－b2＝24，2a＋b＝6，则2a－b＝ 4 .
② 计算：242－232＋222－212＋202－192＋…＋22－1.
B
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解：原式＝（242－232）＋（222－212）＋（202－192）＋…＋（22－1）＝（24＋23）×（24－23）＋（22＋21）×（22－21）＋（20＋19）×（20－19）＋…＋（2＋1）×（2－1）＝24＋23＋22＋21＋20＋19＋…＋2＋1＝ ＝300.
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12. 如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b（a≠b）.大正方形与小正方形的面积之差是10，求涂色部分的面积.
（第12题）
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解：因为大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，所以大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2.由题意，得a2－b2＝10.由题图，可知涂色部分的面积＝ DE·BC＋ DE·CG＝ ×（a－b）×a＋ ×（a－b）×b＝ （a－b）（a＋b） ＝ （a2－b2） ＝ ×10＝5.
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13. 新考法·过程性学习 小明计算（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）的过程如下：原式＝（2－1）×（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）＝（22－1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）＝（24－1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）＝（28－1）×（28＋1）×（216＋1）＝（216－1）×（216＋1）＝232－1.请按照小明的方法，计算下列各题：
（1） （3＋1）×（32＋1）×（34＋1）×（38＋1）×（316＋1）.
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解：（1） 原式＝ ×（3－1）×（3＋1）×（32＋1）×（34＋1）×（38＋1）×（316＋1）＝ ×（32－1）×（32＋1）×（34＋1）×（38＋1）×（316＋1）＝ ×（34－1）×（34＋1）×（38＋1）×（316＋1）＝ ×（38－1）×（38＋1）×（316＋1）＝ ×（316－1）×（316＋1）＝ ×（332－1）＝ .
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（2） （5＋1）×（52＋1）×（54＋1）×…×（52048＋1）－ .
解：（2） 原式＝ ×（5－1）×（5＋1）×（52＋1）×（54＋1）×…×（52048＋1）－ ＝ ×（54096－1）－ ＝－ .
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13(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
专题特训二 乘法公式的巧妙应用
类型一 利用乘法公式化简求值
1. 先化简，再求值：a（a－2b）＋（2a－2b）（a＋b）－ （2a－b）2，其中a＝－2，b＝－1.
解：原式＝a2－2ab＋2（a－b）（a＋b）－ （4a2－4ab＋b2）＝a2－2ab＋2（a2－b2）－2a2＋2ab－ b2＝a2－2ab＋2a2－2b2－2a2＋2ab－ b2＝a2－ b2.当a＝－2，b＝－1时，原式＝（－2）2－ ×（－1）2＝4－ ＝ .
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2. 当m＝2，n＝1时，求代数式（m－2n）2（m＋2n）2 －[（m－2n）2－（m＋2n）2]的值.
解：原式＝[（m－2n）（m＋2n）]2－（m2－4mn＋4n2－m2－4mn－4n2）＝（m2－4n2）2－（－8mn）＝m4－8m2n2＋16n4＋8mn.当m＝2，n＝1时，原式＝24－8×22×12＋16×14＋8×2×1＝16.
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类型二 利用乘法公式简便运算
3. 已知a＝12＋32＋52＋…＋252，b＝22＋42＋62＋…＋242，则a－b的值为 325 .
325
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（1） 99×101×10001.
解：原式＝（100－1）×（100＋1）×（10000＋1）＝（10000－1）×（10000＋1）＝108－1＝99999999.
（2） 1005×995－9982.
解：原式＝（1000＋5）×（1000－5）－（1000－2）2＝10002－52－10002＋2×1000×2－22＝－25＋4000－4＝3971.
（3） 20342－4068×2033＋20332.
解：原式＝2 0342－2×2 034×2 033＋2 0332＝（2 034－2 033）2＝1.
4. 运用乘法公式计算：
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类型三 乘法公式的变形应用
5. 若3a＋b＝7，ab＝2，求3a－b的值.
解：因为3a＋b＝7，ab＝2，所以（3a－b）2＝（3a＋b）2－12ab＝72－12×2＝49－24＝25.所以3a－b＝±5.
6. 新考法·过程性学习 若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式为“如意式”.例如：52－32＝2×8；132－112＝6×8.
（1） 验证：212－192为“如意式”.
解：（1） 因为212－192＝（21＋19）×（21－19）＝40×2＝80＝10×8，所以212－192能被8整除.所以212－192为“如意式”.
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（2） 试说明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都为“如意式”.
解：（2） 设两个连续奇数为2n＋1，2n－1.因为（2n＋1）2－（2n－1）2＝[（2n＋1）＋（2n－1）][（2n＋1）－（2n－1）]＝4n×2＝8n，所以任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都为“如意式”.
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类型四 乘法公式的连续应用
7. 运用乘法公式计算：
（1） .
解：原式＝（ x2－y2）（ x2＋y2）＝ x4－y4.
（2） （2x－4y＋3z）（2x－4y－3z）.
解：原式＝[（2x－4y）＋3z][（2x－4y）－3z]＝（2x－4y）2－（3z）2＝4x2－16xy＋16y2－9z2.
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（3） （a－2b－3c）2.
解：原式＝[（a－2b）－3c]2＝（a－2b）2－2（a－2b）·3c＋9c2＝a2－4ab＋4b2－6ac＋12bc＋9c2.
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类型五 乘法公式在几何图形中的应用
8. （2024·西安长安期中）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝6，a2＋4b2＝20，请借助如图所示的图形进行直观分析，计算ab的值应为（ B ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 16
B
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9. （2024·济南天桥期中）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2进行适当变形，可以解决很多的数学问题.如a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，a2＋b2＝（a－b）2＋2ab.
【阅读材料】
已知（3－x）（x－1）＝－5，求（3－x）2＋（x－1）2的值.
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解：设3－x＝a，x－1＝b，则（3－x）（x－1）＝ab＝－5，a＋b＝3－x＋x－1＝2.
因为a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，
所以（3－x）2＋（x－1）2＝a2＋b2＝22－2×（－5）＝14.
【类比探究】
请仿照材料中的方法，解决下列问题：
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（1） 若x＋y＝6，x2＋y2＝30，求xy的值.
解：（1） 因为（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，x＋y＝6，x2＋y2＝30，所以62＝30＋2xy.所以xy＝3.
（第9题）
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解：（2） 设4－x＝a，5－x＝b，则（4－x）（5－x）＝ab＝8，a－b＝4－x－5＋x＝－1.因为a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，所以（4－x）2＋（5－x）2＝a2＋b2＝（－1）2＋2×8＝17.
（第9题）
（2） 已知（4－x）（5－x）＝8，求（4－x）2＋（5－x）2的值.
【问题解决】
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（3） 如图，长方形APIE和长方形HQCF的长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6），将它们放置在边长为6的正方形ABCD中.若长方形的周长为16，面积为15.75，求图中涂色部分的面积S1＋S2＋S3.
解：（3） 因为长方形的周长为16，面积为15.75，所以a＋b＝16÷2＝8，ab＝15.75.所以易得S1＋S2＋S3＝62－2ab＋2（a＋b－6）2＝36－2×15.75＋2×（8－6）2＝36－31.5＋8＝12.5.
（第9题）
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9(共9张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除 第2课时 幂的乘方
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1. （2024·河南）计算（ ）3的结果是（ D ）
A. a5 B. a6 C. aa＋3 D. a3a
2. 下列计算结果不等于a14的是（ A ）
A. （a7）7 B. a2·a3·a4·a5
C. （a3）3·a5 D. （a2）3·（a4）2
D
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3. 有下列四个算式：① （a3）3＝a3＋3＝a6； ＝b8；③ [（－x）3]4＝x12；④ （－y2）5＝y10.其中，正确的有（ C ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 计算[（m4）3]n的结果为 m12n .
5. 已知am＝4，则a3m的值为 64 .
C
m12n
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（1） －p3·（p2）3.
解：原式＝－p9.
（2） a·a2·a3＋（a2）3.
解：原式＝2a6.
（3） （a2n－1）2·（an＋2）3.
解：原式＝a7n＋4.
（4） [（a＋b）2]3·[（a＋b）3]4.
解：原式＝（a＋b）18.
6. 计算：
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7. （2024·咸阳礼泉期中）已知3m＋2n－4＝0，求（2m）3·（22）n的值.
解：因为3m＋2n－4＝0，所以3m＋2n＝4.所以（2m）3·（22）n＝23m·22n＝23m＋2n＝24＝16.
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8. 如果（4n）3＝224，那么n的值是（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则与22m＋6n相等的是（ A ）
A. ab2 B. a＋b2 C. a2b3 D. a2＋b3
10. （2024·保定高碑店段考）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab，则x，y，z满足的等量关系是（ C ）
A. 2x＋y＝z B. xy＝3z
C. 2x＋y＝3z D. 2xy＝z
B
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11. 若43x＝2026，47y＝2026，则43xy×47xy＝（ 2026 ）x＋y.
12. 若xm＝3，xn＝2，则x2m＋3n＝ 72 .
13. 已知2x－3y＋6＝0，则代数式4x＋1×82－y的值为 4 .
2026
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因为 2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，16＜27，所以1625＜2725，即2100＜375.
（1） ★已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a，b，c的大小.
（2） 试比较1714与3111的大小.
解：（1） 因为a＝355＝（35）11＝24311，b＝444＝（44）11＝25611，c＝533＝（53）11＝12511，256＞243＞125，所以25611＞24311＞12511，即b＞a＞c.
（2） 因为1714＞1614，1614＝（24）14＝256，所以1714＞256＞255.因为255＝（25）11＝3211，3211＞3111，所以1714＞3111.
14. 阅读材料，解决问题.
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14(共8张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识
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02
素能攀升
目
录
1. 下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计算的是（ C ）
A. （m－n）（－m－n） B. （m＋n）（－m＋n）
C. （m－n）（－m＋n） D. （m＋2）（m－1）
C
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2. 数形结合思想 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如：如图①，我们可以得到两数之和的平方公式为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.如图②，能得到的数学公式为 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 .
3. 已知m＝5－2n，则代数式m2＋4mn＋4n2的值为 25 .
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
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（1） （4a＋1）2.
解：原式＝16a2＋8a＋1.
（2） .
解：原式＝4a2－2ab＋ b2.
（3） （－0.2x2－0.1）2.
解：原式＝（0.2x2＋0.1）2＝0.04x4＋0.04x2＋0.01.
（4） （2a－3b）2－（3a－2b）2.
解：原式＝4a2－12ab＋9b2－9a2＋12ab－4b2＝－5a2＋5b2.
4. 计算：
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5. 已知（2x＋m）2＝4x2＋nx＋9，则n的值为（ B ）
A. ±6 B. ±12 C. ±18 D. ±36
6. 若某正方形的周长为8a＋4b（a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（ C ）
A. 4a2＋b2 B. 16a2＋4b2
C. 4a2＋4ab＋b2 D. 16a2＋8ab＋b2
7. ★已知a，b满足a＋b＝2，ab＝ ，则a－b的值为（ C ）
A. 1 B. － C. ±1 D. ±
B
C
C
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8. （2024·菏泽郓城期中）若代数式4x2＋mxy＋9y2是完全平方式，则m＝ ±12 .
9. 若a＋ ＝5，则a2＋ ＝ 23 .
10. （2024·平顶山汝州期末）发现规律：已知两个正整数，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数.
±12
23
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特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为（2＋1）2＋（2－1）2＝32＋12＝10.
10÷2＝5，即结果是偶数.所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立.
一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确.
解：由题意，得（m＋n）2＋（m－n）2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2m2＋2n2＝2（m2＋n2）.所以“发现规律”中的结论正确.
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10(共13张PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法 第1课时 单项式与单项式相乘
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 若（ ）·（－x2y）＝4x4y2，则括号里应填的单项式为（ A ）
A. －4x2y B. 4x2y
C. －4x6y3 D. 4x6y3
2. 计算 ·（－2x2）（－4x4）的结果是（ B ）
A. －4x6 B. －4x7 C. 4x8 D. －4x8
3. 计算：（2x2）3·（－3xy3）＝ －24x7y3 .
4. 计算：（－3abc）·（－a2c3）2·（－5a2b）＝ 15a7b2c7 .
A
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－24x7y3
15a7b2c7
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（1） 4xy2· .
解：原式＝－ x3y3z3.
（2） x2y·（－0.5x3y3z）· .
解：原式＝ x6y5z2.
（3） 2ab·3a2b＋（－a2b）·3ab.
解：原式＝3a3b2.
（4） －2x2y·（－2xy2）2＋（2xy）3·xy2.
解：原式＝0.
5. 计算：
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6. 如果单项式－3x4a－by2与 x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是（ A ）
A. －x6y4 B. x6y4
C. －3x3y2 D. － x3y2
7. 若2x3y2·（－3xmy3）·（nx2y）＝30x7y6，则m＋n的值为（ B ）
A. 3 B. －3 C. 5 D. －5
8. （2024·咸阳礼泉期中）如果单项式－22x2my3与x4yn＋1的差是一个单项式，那么这两个单项式的积是 －4x8y6 .
A
B
－4x8y6
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9. 已知ab2＝－1，则2a2b·3ab5＝ －6 .
10. 若（2xy2）3· ＝ x7y8，则3m＋2n＝ 8 .
－6
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（1） （－3x2y）2· · xz2.
解：原式＝9x4y2·（－ xyz）· xz2＝－ x6y3z3.
（2） 5ab3· · .
解：原式＝5ab3· · a2b8＝－ a6b13.
（3） a2b4· ＋ a·（－2ab2）3.
解：原式＝a2b4· a2b2－ a·8a3b6＝ a4b6－2a4b6＝－ a4b6.
（4） ·（2xy2）2－ ·x3y4.
解：原式＝－ x9y6·4x2y4－ x8y6·x3y4＝－ x11y10－ x11y10＝－ x11y10.
11. 计算：
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12. 阅读材料，解决问题：
（－2a2b）2·（3a3b2）3
＝（－6a5b3）6①
＝（－6）6·（a5）6·（b3）6②
＝46656a30b18③
上述过程中，开始出错的一步是 ① （填序号），原因是 弄错了乘方和乘法的运算顺序 ，请写出正确的解答过程.
解：（－2a2b）2·（3a3b2）3＝4a4b2·27a9b6＝108a13b8.
①
弄错了乘方和乘
法的运算顺序
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13. 新考法·新定义题 若 表示3xyz， 表示－4abdc，求 × 的值.
解：由题意，得 × ＝（3×3mn）×（－4n2m5）＝[3×3×（－4）]·（m·m5）·（n·n2）＝－36m6n3.
14. 已知A＝3x2，B＝－2xy2，C＝－x2y2，求A·B2·C的值.
解：由题意，得A·B2·C＝3x2·（－2xy2）2·（－x2y2）＝3x2·4x2y4·（－x2y2）＝－12x6y6.
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15. 已知am＝7，bn＝ ，求（－a3mbn）2·（amb2n）3的值.
解：因为am＝7，bn＝ ，所以（－a3mbn）2·（amb2n）3＝a6mb2n·a3mb6n＝a9mb8n＝（am）9·（bn）8＝79× ＝7× ＝7×1＝7.
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16. 已知9an－6b－2－n与－2a3m＋1b2n的积和25a4b是同类项，求m－n的值.
解：由题意，得9an－6b－2－n·（－2a3m＋1b2n）＝－18a3m＋n－5bn－2.因为9an－6b－2－n与－2a3m＋1b2n的积和25a4b是同类项，所以3m＋n－5＝4，n－2＝1，解得m＝2，n＝3.所以m－n＝2－3＝ .
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17. 将单项式a，2a2，3a3，4a4按如图所示的方式排列，规定（m，n）表示第m排从左向右第n个单项式.例如：（3，2）表示的是a，（5，4）表示的是2a2.求（10，1）与（25，7）的积.
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解：因为（10，1）表示第10排从左向右第1个单项式，所以（10，1）表示第 ＋1＝46（个）单项式.又因为46÷4＝11……2，所以（10，1）表示的是2a2.因为（25，7）表示第25排从左向右第7个单项式，所以（25，7）表示第 ＋7＝307（个）单项式.又因为307÷4＝76……3，所以（25，7）表示的是3a3.所以（10，1）与（25，7）的积是2a2×3a3＝6a5.
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17(共9张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（ A ）
A. （a－b）（－a＋b）
B. （x＋y）（x－y）
C. （－x＋2y）（2y＋x）
D. （－2m＋n）（－2m－n）
A
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2. 新考法·开放题 利用平方差公式计算的结果为a2＋4×，则“”里可以填 答案不唯一，如－1 .
3. 若｜x＋y－5｜＋（x－y－3）2＝0，则x2－y2的结果是 15 .
答案不
唯一，如－1
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（1） （5a＋3b）（3b－5a）.
解：原式＝9b2－25a2.
（2） .
解：原式＝－ x2＋121y2.
（3） （x－3）（x2＋9）（x＋3）.
解：原式＝x4－81.
4. 计算：
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5. 在整式（x－2）■（x＋2）＋▲中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式.
（1） 若（x－2）（x＋2）＋▲＝3x2＋4，求出整式▲.
解：（1） 由题意，得▲＝3x2＋4－（x－2）（x＋2）＝3x2＋4－（x2－4）＝3x2＋4－x2＋4＝2x2＋8.
（2） 已知（x－2）■（x＋2）＋▲的计算结果是二次单项式.当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值.
解：（2） ■表示的运算符号是“×”，▲的值为4.
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6. 已知25x2－9y2＝4，则计算（5x－3y）2·（5x＋3y）2的结果是（ C ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
7. 代数式（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）×（216＋1）×（232＋1）＋1的末位数字是（ C ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 新考法·新定义题 引入新数i，新数i满足分配律、结合律与交换律.已知i2＝－1，则（i－1）（i＋1）（i2＋1）（i4＋1）（i8＋1）－i2的值是 1 .
C
C
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（x－1）（x＋1）＝ x2－1 ；
（x－1）（x2＋x＋1）＝ x3－1 ；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝ x4－1 ；
…
由此可得（x－1）（x9＋x8＋x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1）＝ x10－1 .
（2） 求1＋2＋22＋23＋…＋28＋29＋210的值.
解：（2） 1＋2＋22＋23＋…＋28＋29＋210＝（2－1）×（210＋29＋28＋27＋26＋25＋24＋23＋22＋2＋1）＝211－1.
x2－1
x3－1
x4－1
x10－1
9. （1） 填空：
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（3） 求1＋3＋32＋33＋…＋397＋398＋399的值.
解：（3） 1＋3＋32＋33＋…＋397＋398＋399＝ ×（3－1）×（399＋398＋397＋…＋33＋32＋3＋1）＝ .
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9(共6张PPT)
第一章 整式的乘除
专题特训三 整式乘除的化简与求值问题
类型一 整式乘除的运算
1. 计算：
（1） x3y2·（－xy）2÷ .
解：原式＝x3y2·x2y2÷ ＝x5y4÷ ＝－ x2y3.
（2） 2x（x－3y）－（5xy2－2x2y）÷y.
解：原式＝2x2－6xy－5xy＋2x2＝4x2－11xy.
（3） （6x4－8x3）÷（－2x2）－（3x＋2）（1－x）.
解：原式＝－3x2＋4x－3x＋3x2－2＋2x＝3x－2.
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（4） （－2a＋3b）（3b＋2a）－（3a＋b）2－2b·（a＋4b）.
解：原式＝9b2－4a2－（9a2＋6ab＋b2）－2ab－8b2＝9b2－4a2－9a2－6ab－b2－2ab－8b2＝－13a2－8ab.
（5） [x（3－4x）＋2x2（x－1）]÷（－2x）.
解：原式＝（3x－4x2＋2x3－2x2）÷（－2x）＝（2x3－6x2＋3x）÷（－2x）＝－x2＋3x－ .
（6） [（x－3y）（x＋3y）－（x－3y）2]÷（－3y）.
解：原式＝（6xy－18y2）÷（－3y）＝6y－2x.
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2
类型二 整式乘除的化简求值
2. 先化简，再求值：
（1） （2024·菏泽牡丹期末）[（3x＋y）2＋y（x－10y）－（x＋3y）（x－3y）]÷2x，其中x＝1，y＝－2.
解：原式＝（9x2＋6xy＋y2＋xy－10y2－x2＋9y2）÷2x＝（8x2＋7xy）÷2x＝4x＋ y.当x＝1，y＝－2时，原式＝4×1＋ ×（－2）＝－3.
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（2） （2024·济南章丘期中）[（3a＋b）2－（b＋3a）（3a－b）－6b2]÷（－2b），其中a＝ ，b＝－2.
解：原式＝[9a2＋6ab＋b2－（9a2－b2）－6b2]÷（－2b）＝（9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2）÷（－2b）＝（6ab－4b2）÷（－2b）＝－3a＋2b.当a＝ ，b＝－2时，原式＝－3× ＋2×（－2）＝－1－4＝－5.
（3） （2a－1）2＋6a（a＋1）－（3a＋2）（3a－2），其中a2＋2a－2025＝0.
解：原式＝4a2－4a＋1＋6a2＋6a－9a2＋4＝a2＋2a＋5.因为a2＋2a－2025＝0，所以a2＋2a＝2025.所以原式＝2025＋5＝2030.
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（4） [（2x－y）2－（2x＋3y）（2x－3y）－xy]÷5y，其中x＝－2－1，y＝π0＋1.
解：原式＝[4x2－4xy＋y2－（4x2－9y2）－xy]÷5y＝（10y2－5xy）÷5y＝2y－x.因为x＝－ ＝－ ，y＝π0＋1＝2，所以原式＝2×2－ ＝ .
1
2(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除 第4课时 同底数幂的除法
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
03
思维拓展
1. 下列运算中，正确的是（ D ）
A. a2n÷an＝a2
B. a2n÷a2＝an
C. （xy）5÷xy3＝（xy）2
D. x10÷（x4÷x2）＝x8
2. 下列计算正确的是（ B ）
A. （－2）0＝－1 B. －2－3＝－
C. 3－1＝－ D. 3－2＝－6
D
B
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3. ★应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒.将数据0.00076用科学记数法表示为（ B ）
A. 76×10－5 B. 7.6×10－4
C. 7.6×10－5 D. 0.76×10－3
B
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4. 若am＝2，an＝3，则am－n＝ .
5. 整体思想 若整数m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝ 16 .
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（1） m3÷m－7.
解：原式＝m10.
（2） x2m÷xm－1.
解：原式＝xm＋1.
（3） （－a）9÷（－a）3.
解：原式＝a6.
（4） （x2y）5÷（x2y）3.
解：原式＝x4y2.
6. 计算：
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7. 用小数或分数表示下列各数：
（1） －5－3.
（2） 3.14×10－3.
解：原式＝－ ＝
－ .
解：原式＝3.14× ＝0.00314.
（3） （－2）0×10－5.
（4） （－ ）－2.
解：原式＝1× ＝0.00001.
解：原式＝ ＝ ＝ .
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8. 若（a－1）0＋3（a－4）－2有意义，则a的取值范围是（ C ）
A. a＞4 B. a＜4
C. a≠1且a≠4 D. a≠1或a≠4
9. 如图，有标记为①、②、③、④的4个圆，在每个圆中分别填写一个有理数，且后一个圆中所填的数是前一个圆中所填数的 .若圆①中所填的数是 ，则圆④中所填的数是（ D ）
A. 5×10－4 B. 5×10－5
C. 2×10－1 D. 2×10－5
C
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10. 若a＝3.2×1 ，b＝7.5×1 ，c＝6.3×1 ，则a，b，c的大小关系为（ C ）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
C
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11. 已知（x2n）2÷（x3n＋2÷x3）与－ x3是同类项，则n－3＝ .
12. 将一根蚕丝不重叠地均匀密集地缠绕在一支圆柱形笔杆上，共缠绕了40圈.如果测得缠绕部分的宽度为5mm，那么一根蚕丝的直径约为 1.25×10－4 m（结果用科学记数法表示）.
13. 计算：
（1） 35n÷92n－27n÷（－3）2n.
解：原式＝0.
（2） －22＋ ＋（3.14－π）0＋（－5）.
解：原式＝1.
1.25×10－4
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14. （1） 已知am＝4，an＝8，求a3m－2n的值.
解：因为am＝4，an＝8，所以a3m＝（am）3＝43＝64，a2n＝（an）2＝82＝64.所以a3m－2n＝a3m÷a2n＝64÷64＝1.
（2） 已知4m＋3×8m＋1÷24m＋7＝16，求m的值.
解：由题意，得22（m＋3）×23（m＋1）÷24m＋7＝24，所以易得2（m＋3）＋3（m＋1）－（4m＋7）＝4，解得m＝2.
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15. 计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式.
（1） ·（－5ab8）.
解：（1） 原式＝ a4b－8·（－5ab8）＝－ a5.
（2） x－2y－3·（－5x－1y2）÷15x－3y－2.
解：（2） 原式＝－5x－3y－1÷15x－3y－2＝－ y.
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16. 易错题 若等式（x＋6）x＋1＝1成立，求x的值.
解：① 当x＋1＝0，即x＝－1时，（x＋6）x＋1＝50＝1.
② 当x＋6＝1，即x＝－5时，（x＋6）x＋1＝1－4＝1.
③ 当x＋6＝－1，即x＝－7时，（x＋6）x＋1＝（－1）－6＝1.
综上所述，满足等式成立的x的值为－1或－5或－7.
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17. 新考法·过程性学习 （1） 已知 ＝ × ， ＝ ＝ ＝ × ，则 ＝ （填“＞”“＜”或“＝”）.
（2） 请仿照（1）中的方法判断 与 之间的关系.
（3） 我们发现： ＝ （ab≠0）（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝
＝
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（4） 计算： × .
解：（2） 因为 ＝ × × ， ＝ ＝ ＝ × × ，所以 ＝ .
（4） 原式＝ × ＝ ＝24＝16.
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17(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
4 整式的除法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列运算：① －6x2y3÷2xy2＝－3xy；② 24a3b2÷8ab2＝3a2b；③ （12m3＋8m2）÷（－2m）＝－6m2＋4m；④ （3x2y－3xy2＋x）÷x＝3xy－3y2.其中，不正确的是（ B ）
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②④
2. 若长方形的面积是6a3＋9a2－3ab，其中一边的长是3a，则它的邻边长是（ D ）
A. 2a3＋3a2－b B. 2a2＋3a＋b
C. 3a2＋2a＋b D. 2a2＋3a－b
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3. 计算：4xy2z÷（－2x－2yz－1）＝ －2x3yz2 .
4. 计算：（ x2y－ xy2＋ xy）÷ xy＝ 9x－4y＋6 .
－2x3yz2
9x－4y＋6
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（1） （3a2b3c4）2÷ .
解：原式＝－27a2b2c8.
（2） 2（3m－n）4÷［－ （n－3m）2］.
解：原式＝－90m2＋60mn－10n2.
（3） 27a2by· ÷ a2b3y6.
解：原式＝－5by.
（4） （－4a3－7a3b2＋12a2b）÷（－2a）2.
解：原式＝－a－ ab2＋3b.
5. 计算：
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6. 小燕与小君做游戏，两人各报一个整式，小君报的整式作为除式，小燕报的整式作为被除式，要求商必须是4x2y.
（1） 若小燕报的整式为x7y5－4x5y4＋16x2y，求小君报的整式.
解：（1） 由题意，得小君报的整式为（x7y5－4x5y4＋16x2y）÷4x2y＝ x5y4－x3y3＋4.
（2） 若小燕报的整式为（－2x3y2）2＋5x3y2，则小君能报出一个整式吗？请说明理由.
解：（2） 小君能报出一个整式.理由：因为[（－2x3y2）2＋5x3y2]÷4x2y＝（4x6y4＋5x3y2）÷4x2y＝x4y3＋ xy，所以小君能报出一个整式.
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7. 已知2a－b＝5，则[a2＋b2＋2b（a－b）－（a－b）2]÷4b的值为（ C ）
A. B. － C. D. 15
8. 小明在爬山时，第一阶段的平均速度为2v，所用时间为t；第二阶段的平均速度为v，所用时间为 t.小明爬山的平均速度为（ D ）
A. v B. 3v C. v D. v
9. 若4x4ya÷（－2xby3）2＝y，则a－b＝ .
10. 若（－25y3＋15y2－5y）÷M＝－5y，则M＝ 5y2－3y＋1 .
C
D
5y2－3y＋1
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11. 已知A＝2x，B是多项式，计算B÷A时，小强同学误把B÷A看成了B＋A，此时结果为2x2－x，则计算B÷A的正确结果是 x－ .
12. 已知长方体的体积为3a3b5，长为ab，宽为 ab2，则高为 2ab2 .
13. 若（6a3＋3a2）÷6a＝（a＋1）（a＋2），则a的值为 － .
x－
2ab2
－
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（1） [（－2）2a2b2c]3÷ ÷
，其中a＝－1，b＝－2，c＝1.
解：原式＝－384a2bc3.当a＝－1，b＝－2，c＝1时，原式＝－384×（－1）2×（－2）×13＝768.
（2） （2024·南充）（x＋2）2－（x3＋3x）÷x，其中x＝－2.
解：原式＝4x＋1.当x＝－2时，原式＝4×（－2）＋1＝－8＋1＝－7.
14. 先化简，再求值：
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15. 如图所示为一个圆柱形容器与一个长方体容器，现将圆柱形容器盛满水，然后把水倒入长方体容器中，正好倒满，求长方体容器的宽（结果保留π，两个容器的厚度均忽略不计）.
解：由题意，得长方体容器的宽为［π· · m3n2］÷（2mn2· 6m2n2）＝24πm5n4÷12m3n4＝2πm2.
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16. 新考法·阅读理解 阅读材料，解决问题：
已知一个多项式（设该多项式为A）除以2x2的商为3x＋4，余式为x－1，求这个多项式.小明通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式除法法则：被除式＝除式×商＋余式.
（1） 多项式－15a4＋4a3－3a2－2a＋5除以－3a2的商为 5a2－ a＋1 ，余式为 －2a＋5 .
（2） 请你帮小明求出多项式A.
解：（2） A＝2x2·（3x＋4）＋x－1＝6x3＋8x2＋x－1.
5a2－ a＋1
－2a＋5
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（3） 如果一个多项式除以2x－6的商为3x－1，余式为x＋3，请根据材料中的法则求出这个多项式.
解：（3） 由题意，得这个多项式为（2x－6）（3x－1）＋x＋3＝6x2－2x－18x＋6＋x＋3＝6x2－19x＋9.
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17. 新考法·过程性学习 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算.如计算：（6x2＋7x＋2）÷（2x＋1）.仿照672÷21计算如下：
21） 2x＋1）
所以（6x2＋7x＋2）÷（2x＋1）＝3x＋2.
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（1） 试判断x3－x2－5x－3能否被x＋1整除，并说明理由.
解：（1） x3－x2－5x－3能被x＋1整除.理由： 所以（x3－x2－5x－3）÷（x＋1）＝x2－2x－3，即x3－x2－5x－3能被x＋1整除.
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（2） 若多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求 的值.
解：（2） 若多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，则 所以a＋9＝－3，b＝6.所以a＝－12.所以 ＝－2.
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17(共10张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除 第1课时 同底数幂的乘法
01
基础进阶
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素能攀升
目
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1. （2025·湖南）计算a3·a4的结果是（ B ）
A. 2a7 B. a7 C. 2a4 D. a12
2. 计算结果为23a的式子是（ B ）
A. 2a＋2a＋2a B. 2a×2a×2a
C. 2a×2a＋2a D. 2a×（2a＋2a）
3. 已知7x＝y，则7x＋1等于（ D ）
A. x B. 1＋y C. 7＋y D. 7y
4. 若x2·x4·（ ）＝x16，则括号内填的式子应为 x10 .
B
B
D
x10
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5. 一个长方形农场的长为3×107m，宽为5×104m，则该农场的面积为 1.5×1012 m2（结果用科学记数法表示）.
1.5×1012
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（1） 22×26×23.
解：原式＝22＋6＋3＝211.
（2） （－5）×（－5）2×（－5）3.
解：原式＝（－5）1＋2＋3＝（－5）6＝56.
（3） an＋2·an＋1·an.
解：原式＝an＋2＋n＋1＋n＝a3n＋3.
（4） m·m2·m＋m2·m－m2·m2－2m3.
解：原式＝m4＋m3－m4－2m3＝－m3.
6. 计算：
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7. 已知x＋y－3＝0，则2y·2x的值是（ D ）
A. 6 B. －6 C. D. 8
8. 设5m＝x，5n＝y，则5m＋n＋3等于（ A ）
A. 125xy B. x＋y＋15
C. x＋y＋125 D. 15xy
9. 一个棱长为103的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的棱长为（ D ）
A. 106 B. 107 C. 108 D. 109
D
A
D
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10. 新考向·数学文化 《孙子算经》记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.”这说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，1京＝1万×1万×1兆，则1京为（ B ）
A. 1028 B. 1024 C. 1020 D. 1016
B
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11. 新考法·新定义题 规定：m*n＝3m×3n，例如：2*3＝32×33＝243.若2*（x－1）＝81，则x的值是 3 .
12. 已知10α＝3，10β＝5，10γ＝7，则把105改写成底数是10的幂的形式为 10α＋β＋γ .
13. 类比思想
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10α＋
β＋γ
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22－21＝2×21－1×21＝21；
23－22＝ 2×22－1×22 ＝ 22 ；
24－23＝ 2×23－1×23 ＝ 23 ；
…
（1） 请仔细观察，将上面的等式补充完整，并写出第4个等式.
解：（1） 25－24＝2×24－1×24＝24.
（2） 请你找规律，写出第n个等式.
解：（2） 2n＋1－2n＝2×2n－1×2n＝2n.
2×22－1×22
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2×23－1×23
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（3） 计算：21＋22＋23＋…＋22029－22030.
解：（3） 21＋22＋23＋…＋22029－22030＝－（22 030－22 029－…－23－22－21）＝－2.
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13(共9张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除 第3课时 积的乘方
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 数形结合思想 下列各图中，能直观解释（4m）2＝16m2的是（ C ）
2. 若an＝2，bn＝4，则（ab）n的值为 8 .
3. 若（am·b·bn）3＝a6b15，则m＋n＝ 6 .
C
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4. 计算：
（1） .
解：原式＝ x4y4n.
（2） （－x4y2）3－ .
解：原式＝－x12y6－ x12y6＝－ x12y6.
（3） （－2x2）3＋（－3x3）2＋（x2）2·x2.
解：原式＝－8x6＋9x6＋x6＝2x6.
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5. 某工厂要做一种棱长为2.5×103mm的正方体箱子，求这种箱子的体积（单位mm：3，结果用科学记数法表示）.
解：由题意，可知这种箱子的体积为（2.5×103）3＝1.562 5×1010（mm3）.
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6. 有下列计算：① （4x3）2＝8x6；② （3xy）3＝27x3y；③ ＝25a10b10；④ ＝－ x3.其中，错误的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如果n为正整数，且x3n＝2，那么（2x3n）2＋（－3x2n）3的值为 －92 .
8. 若a3＝－27x9y3z6，则a＝ －3x3yz2 .
9. 81x2y10＝（ ±9xy5 ）2.
10. 如果（2 ＝8a9b15成立，那么m＝ 3 ，n＝ 2 .
C
－92
－3x3yz2
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解：（1） 50x＝10x×5x＝ab.
（2） 已知am＝5，bm＝2，求（a2b3）m的值.
解：（2） 因为am＝5，bm＝2，所以（a2b3）m＝a2m·b3m＝（am）2·（bm）3＝52×23＝25×8＝200.
11. （1） 已知10x＝a，5x＝b，求50x的值.
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12. ★阅读材料，计算下列各题：
计算：（－0.125）12×813.
解：原式＝ ×813＝ ×812×8＝ ×8＝112×8＝8.
（1） （－3）2037× .
解：原式＝（－3）2×（－3）2 035× ＝9×［（－3）× ］2 035＝9×12 035＝9.
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（2） －0.52034× × .
解：原式＝－ × × × × ＝ × ＝12 034×2＝2.
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12(共7张PPT)
第一章 整式的乘除
专题特训一 幂的运算中常见的解题技巧
类型一 逆用幂的运算法则
1. 已知7x＝3，7y＝2，则73y－2x的值为（ D ）
A. B. 1 C. D.
2. 若x3m＝2，则x9m＝ 8 .
3. 已知3m＝4，3n＝6，则92m＋n÷27m＋n＝ .
4. 已知2m＝a，32n＝b，m，n均为正整数，则25m＋10n＝ a5b2 .
5. 若33x＋1·53x＋1＝152x＋4，则x＝ 3 .
6. 已知a2n＝ ，bn＝3，求（ab）4n的值.
解：因为a2n＝ ，bn＝3，所以（ab）4n＝a4n·b4n＝（a2n）2·（bn）4＝ ×34＝ .
D
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a5b2
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7. 已知5a＝4，53b＝6，5c＝9.
（1） 求52a＋3b的值.
解：（1） 52a＋3b＝52a×53b＝（5a）2×53b＝42×6＝96.
（2） 试说明：a＋c＝6b.
解：（2） 因为4×9＝36＝62，5a＝4，53b＝6，5c＝9，所以5a·5c＝（53b）2.所以5a＋c＝56b.所以a＋c＝6b.
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8. 已知am＝2，an＝4，ak＝32（a≠0），求：
（1） a3m＋2n－k的值.
解：（1） 因为a3m＝23，a2n＝42＝24，ak＝32＝25，所以a3m＋2n－k＝a3m·a2n÷ak＝23×24÷25＝23＋4－5＝22＝4.
（2） k－3m－n的值.
解：（2） 因为ak－3m－n＝ak÷a3m÷an＝25÷23÷22＝20＝1＝a0，所以k－3m－n＝0.
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9. 一般的数学公式、法则、定义可以正用，也可以逆用.例如：“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向应用表现为am＋n＝am·an；amn＝（am）n；ambm＝（ab）m，其中m，n为正整数.结合上述内容解决下列问题.
（1） 已知a＝255，b＝344，c＝433，请把a，b，c用“＜”连接起来.
（2） 若xa＝2，xb＝5，求x3a＋2b的值.
（3） 化简：3100×8102× .
解：（1） 因为a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411，32＜64＜81，所以3211＜6411＜8111.所以a＜c＜b.
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（2） 当xa＝2，xb＝5时，x3a＋2b＝x3a·x2b＝（xa）3·（xb）2＝23×52＝8×25＝200.
（3） 3100×8102× ＝3100×2306× ＝3100×2100×2206× ＝（3×2）100× ＝6100×1206＝6100.
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类型二 统一底数或指数
10. 计算（－1.5）2030× 的结果是（ D ）
A. － B. C. － D.
11. 已知a＝212，b＝38，c＝54，则a，b，c之间的大小关系是 c＜a＜b （用“＜”连接）.
12. 若m＋4n－4＝0，则3m·81n＝ 81 .
13. 计算－22033× 的结果是 －2 .
14. （2024·晋中左权期中改编）若2a－3b＋c－2＝0，求16a÷82b×4c的值.
解：因为2a－3b＋c－2＝0，所以2a－3b＋c＝2.所以16a÷82b×4c＝（42）a÷（82）b×4c＝42a÷43b×4c＝42a－3b＋c＝42＝16.
D
c＜a＜b
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