第九章 平面直角坐标系 平面直角坐标系与图形面积问题 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册

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平面直角坐标系 平面直角坐标系与图形面积问题 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
1．如下图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别为64和16．
(1)求出点，，的坐标；
(2)求三角形的面积．
2．如图，在正方形网格中有一个 ，已知点和点，请你建立平面直角坐标系，并按要求作图（只能借助于网格）．
(1)分别作出 中 边上的高 、中线 ；并写出点H和点G的坐标．
(2)作出先将 向右平移 格点，再往上平移 格后的 ；并写出的各个顶点坐标．
(3)作一个锐角 （要求各顶点在格点上），使其面积等于 的面积的 倍．
3．如图，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
(1)在平面直角坐标系中画出，并写出顶点的坐标．
(2)求的面积．
(3)已知点P在x轴上，以为顶点的三角形面积为，请直接写出P点的坐标．
4．如图，中，，，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为．

(1)作出平移之后的图形，并写出、两点的坐标分别为______，______；
(2)为中任意一点，则平移后对应点的坐标为______；
(3)求的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)求的面积．
(2)若点是轴上一点，且，求点的坐标．
6．在平面直角坐标系中，已知点，，，点，直线轴．
(1)计算点的坐标并在坐标系中描出点的位置；
(2)连接，，得到和．若点是轴上一点，请求出使的点的坐标．
7．如图，在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），若点A的坐标为，请按要求解决下列问题：
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系；
(2)点C的坐标为_______；
(3)的面积为_______；
(4)如果的面积为1，且点P在y轴上，则点P的坐标为_______；
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)画出三角形向上平移2个单位长度，向左平移2个单位长度后所得的三角形；
(2)求点，，的坐标；
(3)求平移过程中扫过的面积．
9．如图，已知长方形四个顶点的坐标分别是，，，．
(1)四边形的面积是多少？
(2)将四边形向上平移个单位长度，求所得的四边形的四个顶点的坐标．
10．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．
(1)求这个四边形的面积；
(2)如果四边形各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标均加2，那么所得的四边形面积又是多少？
11．如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形．
(1)三角形的顶点的坐标为________；顶点的坐标为________；
(2)求三角形的面积；
(3)已知点在轴上，以，，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标为_______．
12．如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)直接写出点的坐标；
(2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动．当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间；
(3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点．若三角形的面积为15，求点的坐标．
13．如下图，在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点，．若是第一象限内的一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒2cm的速度沿直线向左移动，同时点从原点出发，以每秒1cm的速度沿轴向右移动．
(1)经过几秒后，？
(2)若某一时刻以，，，为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标．
参考答案
1．(1)点，，的坐标分别为，，．
(2)32
【详解】（1）正方形和正方形的面积分别为64和16，
正方形和正方形的边长分别为8和4，
，点，，的坐标分别为，，．
（2）
．
2．(1)画图见解析，，；
(2)见解析，，，；
(3)见解析
【分析】（1） 根据三角形的高，中线的含义，结合网格特点画图，再建立平面直角坐标系可得的坐标；
（2） 分别确定平移后的对应点，再连线，然后确定对应点的坐标即可；
（3） 利用网格特点画锐角三角形即可．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，， 即为所作．
由网格特点可得：，；
（2）如图所示， 即为所作．
，，；
（3）如图所示， 即为所作；
∵，
，
∴，
由网格特点可得：为锐角三角形，
∴符合要求．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变换，画平移图形，画三角形的高，中线，网格三角形的面积，熟练的画图是解本题的关键．
3．(1)图见解析，
(2)5
(3)或
【分析】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用点平移的坐标变换规律找到三个顶点的位置，然后连线即可；
（2）用一个正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到的面积；
（3）设P点的坐标为，利用三角形面积公式求出a的值，即可得到P点坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，顶点的坐标为．
（2）的面积；
（3）设点P的坐标为，
由点的坐标为，则，
∵以为顶点的三角形面积为，
∴
∴或，
∴点P的坐标为或
4．(1)；
(2)
(3)4
【分析】（1）根据的对应点的坐标为，找出平移规律：向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度．画出图形，即可写出、的坐标；
（2）根据的对应点的坐标为的平移规律解答即可；
（3）用矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可．
【详解】（1）解：，，O的对应点的坐标为，可知向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度．如下图所示：
，，
故答案为：；
（2）解：的对应点的坐标为，，
向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度，
点的坐标为，
故答案为：
（3）解：中，，，
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，根据题目给的对应点坐标，找出平移的规律是解题的关键．
5．(1)
(2)或
【分析】本题考查了三角形的面积公式及坐标与图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据点的坐标分别为，点的坐标为，求出，得出，再结合三角形的面积公式即可求出的值；
（2）设出点M的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：依题意，设点M的坐标为，
则：，
∵，
，
解得：或，
∴点M的坐标为或．
6．(1)；点的位置见解析
(2)点的坐标或．
【分析】本题考查三角形的面积，图形与坐标；
（1）由轴，可得，进而求得的值即可求解；
（2）设，根据坐标可得，，解得或即可．
【详解】（1）解：∵，点，轴，
∴，
解得：，则，
∴；
点的位置如图所示，
；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴点的坐标或．
7．(1)见解析
(2)
(3)4
(4)或
【分析】本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）根据点的坐标，先确定原点的位置，再画出坐标轴即可；
（2）根据平面直角坐标系，确定点的坐标即可；
（3）利用割补法计算的面积即可；
（4）设点坐标为，根据三角形面积公式，可得，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图所示平面坐标系即为所求；
（2）由图可知，点的坐标为，
故答案为：；
（3），
即的面积为4，
故答案为：4；
（4）设点坐标为，
根据题意，可得，
∴，
∴，
∴或5，
∴点坐标为或．
故答案为：或．
8．(1)见解析
(2)，，．
(3)．
【分析】（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（3）根据平移的性质，根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：三角形如答图所示．
（2）解：根据坐标系可得，，，．
（3）解：如答图所示，向上平移2个单位长度扫过的面积为，
接着向左平移2个单位长度扫过的面积为，
所以平移过程中扫过的面积为．
【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质，数形结合是解题的关键．
9．(1)
(2)，，，．
【详解】解：（1）四边形的面积为．
（2），，，．
10．(1)80
(2)80．
【详解】解：（1）．
（2）所得四边形的面积是80．
11．(1)，
(2)
(3)或
【详解】解：（1） [解析]如答图，三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为．
（2）三角形的面积．
（3）或 [解析]设点的坐标为．
以，，为顶点的三角形的面积为，
，解得或．故点坐标为或．
12．(1)点的坐标为．
(2)点的运动时间为2s
(3)点的坐标为或或或．
【详解】（2）设点的运动时间为．
如图①，由题意，得，，，，．
直线将长方形的周长分为两部分，
，
即，
解得．
故点的运动时间为2s．
（3）由（2），得点的坐标为．
如图②，当点在轴上时，设点的坐标为．
三角形的面积是15，
，解得或，
点的坐标为或；
当点在轴上时，设点的坐标为．
三角形的面积是15，
，
解得或，
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
13．(1)经过2s或6s后，
(2)点的坐标为或．
【详解】（1）设经过后，．
当点在轴右侧时，依题意，得，解得；
当点在轴左侧时，依题意，得，解得．
故经过2s或6s后，．
（2）设经过后，以，，，为顶点的四边形的面积是．
当点在轴右侧时，依题意，得10，解得，，
此时点的坐标为；
当点在轴左侧时，依题意，得，解得，，
此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
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