第九章 平面直角坐标系 坐标规律的探究 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册

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平面直角坐标系 坐标规律的探究 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，一个动点按如图所示的方向在第一象限内运动，每次运动1个单位长度，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，……，那么第20次运动到（ ）
A． B． C． D．
2．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）……根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为_______．
8．如图，点，点，点，点，…按照这样的规律下去，点的坐标为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，一动点按如图所示的方式运动，从点开始第一次跳动至点，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，…，则第次跳动到达的点的坐标为________．
三、解答题
10．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“关联点”，例如，点的“关联点”是点．
(1)求点的“关联点”坐标．
(2)坐标平面内有一点，将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点，如果点C与点的“关联点”互相重合，求点C的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)①的坐标为_________；②的坐标为_________．
(2)是正整数，用含的代数式表示坐标；的坐标为_________．
(3)点从点出发，沿着点，，，运动，到点时运动停止，求点运动的路程．
12．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动：
第一次：原点，；
第二次：，；
第三次：，；
第四次：，；
第五次：，；
…
归纳上述规律，完成下列任务．
(1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　；
(2)第2023次运动后，的坐标为________；
(3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　．
13．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

(1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）；
(2)写出点的坐标（是正整数）；
(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．
14．如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，．
(1)计算．
(2)计算的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示的方向，每次移动1个单位长度，依次得到点，…

(1)填写下列各点的坐标：（___________，___________），（___________，___________），（___________，___________）；
(2)写出点的坐标（___________，___________）；
(3)点的坐标是（___________，___________）；
(4)动点从到点的移动方向是___________．（填“向右、向下或向上”）
16．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向左、向下、向下、向左、向上的方向依次不断移动得，，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，其行走路线如图所示．

(1)写出下列各点的坐标：，，，；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)求蚂蚁从原点O移动到点的路程．
17．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知，，，，，，，．
(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形变换成三角形，则的坐标是________，的坐标是________ ；
(2)若按第（1）题的规律将三角形进行了n次变换，得到三角形，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：的坐标是_______，的坐标是_______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C D D A
1．B
【分析】观察图形的变化规律，找到利并利用规律来求解．
【详解】观察点的变化发现：当动点运动到（1，1），（2，2）（3，3）（4，4）（n，n）点时，依次是第2次，第6次，第12次，第20次，第n(n+1)次．
∴第20次运动到（4，4）点．
故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化规律，解答本题的关键是结合图形找出坐标的移动规律，从移动规律中计算其纵坐标和横坐标的变化从而计算第20次的坐标．
2．C
【分析】本题考查点的规律探究，观察可知，点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，据此进行求解即可．
【详解】解：观察可知：点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，
∵，
∴经过第99次运动后，动点的横坐标为，纵坐标为2，即；
故选C．
3．C
【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可；由题意易知半圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动一周所需4秒，进而问题可求解．
【详解】解：由题意，半圆的周长为个单位长度，
∴点在一个半圆上运动时间为2秒，
∴
∴的横坐标为，纵坐标以为一个循环节进行循环，
∵，
∴第2025秒时，点的坐标是；
故选C．
4．D
【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．
根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第203圈后的第5个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标．
【详解】解：，，，，
，，，，
绕四边形一周的细线长度为，
，
细线另一端在绕四边形第203圈的第5个单位长度的位置，
即点的坐标为．
故选：D．
5．D
【分析】由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用5除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【详解】解：经过6次反弹后动点回到出发点．
，
当点第次碰到长方形的边时为第个循环的第3次反弹，
点的坐标为．
故选D．
6．A
【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，，…
观察可知：每4个点为一组，
点，，，．
，
点的纵坐标是0，横坐标是，
点的坐标为．
故选A．
7．（7，6）
【分析】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第22个点的坐标．
【详解】解：由题意可得，
横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，横坐标为奇数时，点的运动方向是从上往下，偶数时，从下往上，
∵22=（1+2+3+4+5+6）+1，
∴第22个点的坐标为（7，6），
故答案为：（7，6）
【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．
8．
【分析】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
观察图形可得奇数点的规律为：，，…．．，偶数点的规律为：，，……，根据规律求解即可．
【详解】解：由图象可得，奇数点的规律为：，，…．．，
偶数点的规律为：，，……，
∵2025是奇数，即，
，
的坐标为，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．
由题意知，动点经过4次跳动为一个循环，即第次跳动到达，由，可知在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同，由题意知，，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，动点经过4次跳动为一个循环，
∴第次跳动到达，
∵，
∴在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同，
由题意知，，
∴，
故答案为：．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，坐标平移的规律左减右加，上加下减，根据所给定义建立方程是解决问题的关键．
（1）根据已知中的定义代入点的坐标即可求得关联点的坐标；
（2）根据坐标平移规律坐标，根据定义可求得关联点，由题意列方程可解决．
【详解】（1）解：∵点，
∴根据定义，点A的“关联点”是：，即，
A的“关联点”坐标；
（2），点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点，
，
∴点的“关联点”是，
∵点C与点的“关联点”互相重合，
∴，，
解得：，，
∴．
11．(1)①，②
(2)
(3)点运动的路程为
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，图形类变化规律，得出规律，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）①根据图中点（为正整数）坐标的规律即可得解；②根据图中点（为正整数）坐标的规律即可得解；
（2）观察图形即可得出答案；
（3）观察图形可得的长度为一个周期，计算出的长度以及周期的个数，即可得解．
【详解】（1）解：①观察图形可得：
点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故的坐标为，
故答案为：；
②观察图形可得：
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，
故的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由图可得：点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；
故的坐标为，
故答案为：；
（3）解：观察图形可得：的长度为一个周期，
，且，
点运动的路程．
12．(1)；；
(2)
(3)；
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键．
（1）根据动点的运动方式，即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）求出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
因为，，，，，
所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）．
令，
解得，
所以．
即点的坐标为．
同理可得，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：，，．
（2）根据（1）的发现可知，
令，
解得，
所以点的坐标为．
故答案为：．
（3）根据（1）的发现可知，
令，
解得，
所以点的坐标为．
则点到轴的距离是4，到轴的距离是199．
故答案为：4，199．
13．(1)2，0；4，0；6，0；
(2)
(3)向右．
【分析】（1）本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题．
（2）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，观察点的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出的值，再根据点在轴的正半轴上，即可解题．
（3）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，根据点的坐标，分析可得点的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点和点的坐标，即可解题．
【详解】（1）解：由图可知，点，点，点都在轴的正半轴上，
小蚂蚁每次移动1个单位，
，，，
，，，
故答案为：2，0；4，0；6，0．
（2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，
，点在轴的正半轴上，
．
（3）解：当时，
，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
蚂蚁从点到点的移动方向为向右．
14．(1)2
(2)1012
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
（1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可；
（2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，即可得到相应结果．
【详解】（1）解：由题意可知 ……
于是得到的值为1，，，3，
∴
（2）解：∵的值分别为3，，，，
∴；
∵，
，
…
，
∵
∴．
15．(1)3，0；4，0；5，0
(2)，0
(3)21，1
(4)向上
【分析】（1）可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在轴上，且相距1个单位，据此解答即可；
（2）由（1）可归纳总结点的坐标为；
（3）根据（2）中规律解答即可；
（4）根据（2）中规律可知动点从到点的移动方向与动点从到点的移动方向方向相同，即向上移动．
【详解】（1）解：由动点运动方向与长度可得，，
可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在轴上，且相距1个单位，即动点运动三次与横轴相交，
∴，
故答案为：3，0；4，0；5，0；
（2）解：由（1）可归纳总结点的坐标为，(是正整数）；
故答案为：，0；
（3）解：观察可知每运动6次为一个循环，每次循环横坐标增加2，
∵，
∴是经过10个循环得到，
∵，
∴，即，
故答案为：21，1；
（4）解：∵，
∴是经过337个循环得到的，
∴动点从到点的移动方向与动点从到点的移动方向方向相同，即向上移动，
故答案为：向上．
【点睛】本题考查了坐标与图形－坐标的变化规律，根据图形抽象出坐标的变化规律是解本题的关键．
16．(1)，，，；
(2)；
(3)198．
【分析】（1）根据图象可得移动3次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标，进而得出规律解答即可；
（2）根据（1）的规律写出的坐标即可；
（3）分别算出每一段的路程相加即可．
【详解】（1）解： ，，，；
（2）点的坐标为；
（3）∵，
∴蚂蚁从原点O到点移动的路程为．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
17．(1)，；
(2)，
【分析】（1）因为，，，…纵坐标均为3，同时横坐标都和2有关，为，
因为，，，…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为，
即可得出答案；
（2）由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为
，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为，，，…纵坐标不变为3，
同时横坐标都和2有关，为，那么；
因为，，，…纵坐标不变，为0，
同时横坐标都和2有关为，那么B的坐标为；
故答案为：，；
（2）解：由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为，
∴的坐标是，Bn的坐标是．
故答案为：，．
【点睛】本题考查点的坐标规律，正确理解题意得出规律是解题的关键．
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