第十九、二十章测试题 2025-2026学年人教版数学（2024）八年级下册

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二十章测试题 2025-2026学年人教版数学（2024）八年级下册
一、单选题
1．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．
A． B． C． D．
4．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（ ）．
A． B． C． D．
6．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
7．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
8．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
10．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
11．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果最简根式与是同类二次根式，那么__________．
14．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号）
①北偏西 ②南偏西 ③南偏东 ④南偏西
15．若，则的值为_____．
16．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________．
17．已知，则代数式的值为________．
18．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．
三、解答题
19．若最简二次根式和是同类二次根式．
(1)求x，y的值．
(2)求的平方根．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值，如果，，求的值．
22．有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
24．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
25．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长．
26．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m＜－6，化简．
27．【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
参考答案
1．A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
2．D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可得，的面积是：，
∵是的高，，
∴，
解得，，
故选：．
【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
3．B
【分析】先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
，
∴是直角三角形，且，
∴点C到BD的距离为．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个．
【详解】解：如图所示：
其中，，AB=2，
∵，
∴为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
则
∴
∴这棵树在折断前的高度是，
故选：C
6．A
【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质．
利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可．
【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确；
∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；
∴ 甲、乙两种方法均正确，
故选：A．
7．B
【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算．
【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由，得：．
将代入代数式：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算．
8．C
【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项．
根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长．
【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算：
．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又，
．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可．
【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意；
B、，被开方数为，与不同，不符合题意；
C、，被开方数为，相同，符合题意；
D、，被开方数为，与不同，不符合题意；
故选： C．
11．B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意．
C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B．
12．A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
13．10
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式．
根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：10．
14．①/③
【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：如图，O表示港口，
根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000，
∴OA2+OB2=AB2，
∴是直角三角形，且∠AOB=90°，
同理，是直角三角形，且=90°，
∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即，
∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ．
故答案为：①或③
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
15．4
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y的值，最后计算．
【详解】解：由二次根式的定义有意义的条件得且，
解得，
代入原式，得，
所以．
故答案为：4．
16．275
【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
每级台阶的宽度和高度分别是和，
台阶平面展开图为长方形，长，宽，
蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
故答案为：275．
17．11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．
将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
18．12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
【详解】解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义．
（1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答；
（2）先求出，则，故可求5的平方根．
【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得．
又，
把代入解得．
（2）解：，
∴，
∴5的平方根为：．
∴的平方根为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．
（1）先算乘除，再计算加减法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．，
【分析】先对b分母有理化，计算出的值，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，
（1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键．
【详解】（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
23．(1)48米
(2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题．
（2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
24．(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
25．
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案．
【详解】解：（1）
；
（2）由已知可得：3m<-6，
解之可得：m<-2，即-m>2，
∴2-m>4>0，-m-2>0，
∴．
【点睛】本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键．
27．(1)1
(2)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，解得，再化简二次根式，再合并即可；
（2）根据三角形三边关系得出，，，然后化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵，
解得：，
∴，
∴
；
（2）解：∵a、b、c为的三边长，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，三角形三边关系，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
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