七年级数学下册期中考试浙江版2024【浙江专用】
期中压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值；
(3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数．
3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在三角形中，，直线．
(1)如图1，点E在直线上，若，求的度数；
(2)如图2，点E在直线的下方，交于点F，G是上一点，连接交于点H，点K在、之间且在的右侧，连接、．若、分别是和的平分线，试说明；
(3)在（1）的条件下，点P、Q在直线上，点P在点Q左侧，，平分交于点M，点N是直线上方一点，．若．请直接写出的度数．
4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，．
(1)如图1，若，则_______；
(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．
(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数．
5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）．
6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
备用图如下：
(1)若，在中，的“3系数补角”是 ；
(2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数；
(3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小．
7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
8．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，．如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向/秒旋转，在36秒后停止运动．
(1)当时间秒时，试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；
(3)当三角板的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，求出时间的所有值．
9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分．
(1)如图（1），已知平分，，则_____；
(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
(3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值．
10．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
11．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元．
(1)求和的值．
(2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案．
(3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆．
12．（24-25七年级下·浙江·期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
13．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若， 求n， x， y的值；
【任务2】求的最大值．
14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________．
【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________．
【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
15．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）．
情境 内容 图形
情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．
根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）：
(1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
(2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由．
(3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
16．（24-25七年级下·浙江·期中）一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角板不动，三角板形状，大小不变．
(1)如图2，当时，求的度数；
(2)如图3，若点运动到延长线上时，连结．当时，求的值；
(3)如图4，射线平分，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请求出的度数．
17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、．
【阅读理解】
（1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据．
解：、分别平分和，
可设，（ ），
，
（ ），
．
又，
．
，即．
【推广应用】
（2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数．
【拓展提升】
（3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数．(共4张PPT)
浙教版2024 七年级下册
【浙江专用】期中压轴解答题真题汇编
试题分析
二、知识点分布
一、解答题
1 0.4 根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质求角度；三角板中角度计算问题
2 0.4 根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算；垂线的定义理解
3 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；平行公理的应用
4 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算
5 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
6 0.4 根据平行线判定与性质求角度；几何问题(一元一次方程的应用)；加减消元法
7 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数
二、知识点分布
8 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何图形中角度计算问题；垂线的定义理解
9 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
10 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何问题(一元一次方程的应用)；角平分线的有关计算
11 0.4 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
12 0.4 方案问题(二元一次方程组的应用)
13 0.4 几何问题(二元一次方程组的应用)
14 0.4 完全平方公式在几何图形中的应用
15 0.4 几何问题(二元一次方程组的应用)
16 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
17 0.4 根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算；垂线的定义理解七年级数学下册期中考试浙江版2024【浙江专用】
期中压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)105
(2)
(3)20或50或80
本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解；
（2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解．
（1）解：如图①，过点作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105；
（2）解：如图②，过点作，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①当且在上方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，
由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80．
2．(1)
(2)
(3)
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数；
（2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论；
（3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答．
（1）解：如图，过点作，则，
，，
，，
，，
；
（2）解：如图，过点作，则，
，，
，
同理，
平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：分别过点作的平行线，则，
设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
由（2）知： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
．
3．(1)
(2)见解析
(3)
（1）根据平行线性质得出，进而得出；
（2）作，作，设，，可表示出，，进而得出．，依次表示出，，，，，进一步得出结论；
（3）当时，设，则，，依次表示出，，根据，列出，进而得出结果；同样方法得出当时的情形的结论即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
作，作，
又∵，
∴，
设，，
又∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
当时，而，
设，则，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3，
当时，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故舍去，
综上所述：．
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的应用，角的和差运算，本题的难度很大，掌握角度之间的和差关系是解本题的关键.
4．(1)
(2)
(3)或或
本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上判定和性质及分类讨论的思想是解题的关键．
（1）设，则，在利用平角的定义求出，再根据平行线的性质得到，建立方程求解即可；
（2）过点作，设，求出，根据已知结合平行线的性质得到，，，进而得到，即可求解；
（3）分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可．
（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
（2）解：过点作，
设，
∵，，，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，即，
∴；
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，则，
∴，
∴，即；
如图，当时，则，
∴；
如图，当时，则，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴；
当时，则，即，
解得：（不符合实际，舍去）；
综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或．
5．(1)
(2)见解析
(3)
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键．
（1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解；
（2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解；
（3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解．
（1）解：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵由（1）得，，
∴．
（3）解：如图，过点作直线，
∵，，
∴，
，
∵由（1）得：，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)
(2)
(3)图见解析，或
此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）根据题意得，，解方程组即可得到答案；
（3）设，，再根据G的位置建立方程组，解方程组即可得到答案．
（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：；
（2）解：∵比的2倍多，
∴，
∵是的“4系数补角”，
∴，
∴
∴；
（3）解：设，，
分以下三种情况：
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
由条件可知，
即①，
由条件可知，
即②，
∴，
联立①②得，，
解得，
即是；
如图，当G在，之间时，过G作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴①，
由条件可知，
即②，
联立①②得，，
解得，
∴；
如图，当G在的下方时，
同理可得：，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，，
解得：，
即为；
综上：为或；
7．(1)见解析
(2)
(3)或
本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论；
（2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解；
（3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案．
（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧），
∵的延长线为的三等分线，
有以下两种情况：
①当时，如图所示：
设，则，
∴，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，如图所示：
设，则，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
同①得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述：或．
故答案为：或．
8．(1)，理由见解析
(2)或；
(3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
本题考查了角的动态定义、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置．
（1）如图，记，的交点为，求解，再结合三角形的内角和定理与垂直的定义可得答案；
（2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论；
（3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值．
（1）解：，理由如下：
如图，记，的交点为，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：记旋转角为，如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）依题意，分以下五种情况：
①当时，如图，
∴，
∴，
则（秒），
②当时，此时，与重合，如图，
则（秒）
③当时，此时，，如图，
则，
∴（秒）
④当时，此时，与重合，如图，
则，
∴（秒）
⑤当时，如图，
则
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
9．(1)
(2)
(3)或或或
（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
（1）解：过点作，如图所示：
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示：
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
10．(1)
(2)①或；②或
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题．
（1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题．
（2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题．
②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
11．(1)的值为，的值为
(2)共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；
(3)或
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键；
（1）根据“买辆款和辆款需付款万元，买辆款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案；
（3）设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论．
（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元．
根据题意得：
解得：
（2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或
共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；
（3）万元，
款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同．
设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆，
款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，
，即款中没有享受国补的有辆，
根据题意得：
解得：
，， 均为非负整数，
或
款中享受国补的有或辆．
故答案为：或．
12．(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块
(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块
(3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可；
（2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可；
（3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．
（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块，
依题意得：
解得
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块．
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：
可得，
∵，为非负整数，
∴或或
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块．
（3）解：①采用方案3，根据题意，得：
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块．
②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，
根据题意，得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块．
③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块
根据题意,得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
13．[任务1]，，；[任务2]35
本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
（2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可．
解：任务1：由题意得，，
，
解得：；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴，
∴整数解为：或，
∵，
∴的最大值为35．
14．【知识生成】，
【知识应用】20，4
【知识迁移】15
本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可；
知识应用：根据代入计算即可；
知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到，
根据代入计算即可．
【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为，
∴有，
图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为，
∴有，
故答案为：；；
【知识应用】解：∵，
则，
，
故答案为：20，4；
【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
∴
．
15．(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完
(2)能，理由见解析
(3)丙纸板的张数为张或张
（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可；
（3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可．
（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，
由题意得：，
解得：，
答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完；
（2）解：能，理由如下，
∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，
∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张；
设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为；
（3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∵纸板的使用率为，
∴、均为整数，
∵为中的数字，
∴或，
∴或，
∴丙纸板的张数为张或张．
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)，或
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，分类讨论，并构造辅助线．
（1）利用两直线平行同位角相等即可求解；
（2）设，利用平行线的性质表示出即可求解；
（3）分三种情况进行讨论，当时，过点作，利用平行线的性质即可求解；当时，利用平行线的性质即可求解；当时，过点作，利用平行线的性质即可求解．
（1）解：如图（2）所示，当时，
；
（2）解：如图（3）所示，设，则，
当时，，，
；
（3）解：①当时，过点作，
平分，
，
，
；
②如图所示，当时，；
③当时，过点作，
，
，
；
综上，的度数为，或．
17．（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补
（2），
（3）或
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案；
（2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得；
（3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可．
解：（1）、分别平分和，
可设，（角平分线的定义），
，
（两直线平行，同旁内角互补），
．
又，
，
，即．
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（3）分以下两种情况：
当点在点的右边时，如图3所示：
∵、分别平分和，
∴可设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在点的左边时，如图所示：
∵、分别平分和，
∴可设，，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述：的度数为或．
