(共14张PPT)
专题特训（三） 利用不等式（组）选择最佳方案
第7章 一元一次不等式与不等式组
类型一 生产方案的选择
1. （核心素养·模型思想）某工厂计划生产甲、乙两种产品共100件，需要购买价格为30元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料.通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件甲种产品需要A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件乙种产品需要A种材料3千克，B种材料4千克.
根据以上信息，解答下列问题：
1
2
3
4
（1） 现工厂用于购买A，B两种材料的资金不能超过15000元，且生产乙种产品不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
解：（1） 设生产乙种产品a件，则生产甲种产品（100－a）件.由题意，得（30×4＋20）×（100－a）＋（3×30＋4×20）a≤15000，解得a≤33 .因为生产乙种产品不少于30件，所以30≤a≤33 .因为a为整数，所以a＝30，31，32，33，则100－a的值依次为70，69，68，67.所以符合条件的生产方案有：① 生产甲种产品70件，乙种产品30件；② 生产甲种产品69件，乙种产品31件；③ 生产甲种产品68件，乙种产品32件；④ 生产甲种产品67件，乙种产品33件.
1
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3
4
解：（2） 方案①的成本为70×（60＋30×4＋20）＋30×（80＋30×3＋20×4）＝21500（元）；方案②的成本为69×（60＋30×4＋20）＋31×（80＋30×3＋20×4）＝21550（元）；方案③的成本为68×（60＋30×4＋20）＋32×（80＋30×3＋20×4）＝21600（元）；方案④的成本为67×（60＋30×4＋20）＋33×（80＋30×3＋20×4）＝21650（元）.因为21500＜21550＜21600＜21650，所以应选择生产甲种产品70件，乙种产品30件的生产方案，才能使生产这批产品的成本最低.
（2） 在（1）的条件下，若生产一件甲种产品需加工费60元，生产一件乙种产品需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
1
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4
类型二 调配方案的选择
2. （2023·合肥期中）某公司准备把240吨白砂糖运往A，B两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，相关数据如下表：
载货量 运往A地的费用 运往B地的费用
大货车 15吨/辆 630元/辆 750元/辆
小货车 10吨/辆 420元/辆 550元/辆
1
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4
（1） 大、小两种货车各用多少辆？
解：（1） 设大货车用x辆，则小货车用（20－x）辆.由题意，得15x＋10（20－x）＝240，解得x＝8.所以20－x＝12.所以大货车用8辆，小货车用12辆.
1
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4
（2） 如果安排10辆货车前往A地，其中大货车有m辆，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于130吨.
① 求m的取值范围.
② 请设计出总运费最少的货车调配方案，并求最少总运费.
解：（2） ① 因为前往A地的大货车有m辆，所以前往A地的小货车有（10－m）辆.由题意，得15m＋10（10－m）≥130，解得m≥6.因为大货车共有8辆，所以6≤m≤8.
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4
② 设总运费为W元.因为前往A地的大货车有m辆，所以前往A地的小货车有（10－m）辆，前往B地的大货车有（8－m）辆，前往B地的小货车有[12－（10－m）]＝（2＋m）辆.由题意，得W＝630m＋420（10－m）＋750（8－m）＋550（2＋m）＝630m＋4200－420m＋6000－750m＋1100＋550m＝10m＋11300.因为6≤m≤8，所以易得当m＝6时，W的值最小，此时10－m＝4，8－m＝2，2＋m＝8，W＝10×6＋11300＝11360.所以应安排6辆大货车和4辆小货车前往A地，安排2辆大货车和8辆小货车前往B地，最少总运费为11360元.
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4
类型三 租车方案的选择
3. （2024·烟台蓬莱期末）某公司要将一批新研发的物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车.在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B型货车，可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车，可装载275箱物资.
（1） A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
解：（1） 设A型货车每辆可装载x箱物资，B型货车每辆可装载y箱物资.根据题意，得 解得 所以A型货车每辆可装载25箱物资，B型货车每辆可装载15箱物资.
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（2） 初步估算，运输的这批物资不超过725箱.若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明.
解：（2） 设租用A型货车m辆，则租用B型货车（40－m）辆.根据题意，得 解得10≤m≤ .又因为m是正整数，所以m＝10，11，12，则40－m的值依次为30，29，28.所以有以下3种租车方案：方案1：租用A型货车10辆，B型货车30辆；方案2：租用A型货车11辆，B型货车29辆；方案3：租用A型货车12辆，B型货车28辆.
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类型四 采购方案的选择
4. ★（核心素养·模型思想）（2024·瑶海期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚.某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”.经过调查得知：每套甲种“文房四宝”比每套乙种“文房四宝”贵20元，购买5套甲种“文房四宝”和10套乙种“文房四宝”共用1300元.
（1） 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少.
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解：（1） 设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元.根据题意，得 解得 所以每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元.
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（2） 若该校需购买甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购买乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍.问有几种购买方案？最低总费用是多少？
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解：（2） 设购买m套甲种“文房四宝”，则购买（150－m）套乙种“文房四宝”.根据题意，得 解得30≤m≤32.又因为m为正整数，所以m＝30，31，32，则150－m的值依次为120，119，118.所以共有以下3种购买方案：方案1：购买30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”，所需总费用为100×30＋80×120＝12600（元）；方案2：购买31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”，所需总费用为100×31＋80×119＝12620（元）；方案3：购买32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”，所需总费用为100×32＋80×118＝12640（元）.因为12600＜12620＜12640，所以最低总费用是12600元.
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4(共16张PPT)
7.3 一元一次不等式组
第2课时 解较复杂的一元一次不等式组
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥瑶海校级三模）不等式组 的解集在数轴上表示为（ C ）
C
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2. （2024·青岛市南二模）求不等式组 的解集，下列结果正确的是（ C ）
A. －2≤x＜3 B. x≥－2
C. x＞3 D. x＞8
C
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3. （2024·大庆）不等式组 的整数解有 个.
4. （2024·安庆期末）解不等式组 并写出它的所有正整数解.
解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＜4.所以原不等式组的解集为x≤3，所有正整数解是1，2，3.
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5. ★（2024·淮北期末）解关于x的不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
解：解不等式①，得x＞－3.解不等式②，得x≤1.所以原不等式组的解集是－3＜x≤1.把解集在数轴上表示如图所示.
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6. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3.若 ＝5，则x的值可以是（ C ）
A. 40 B. 45 C. 51 D. 56
C
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7. 已知不等式组 的解集为x＞－8，则实数a的取值范围是（ A ）
A. a≤－8 B. a＜－8
C. a≥－8 D. a＞－8
A
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8. 已知不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式ax＞－1解集的一部分，则a的取值范围是（ D ）
A. 0＜a≤1
B. － ＜a＜0
C. － ＜a≤1
D. － ＜a≤1且a≠0
D
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9. （2024·马鞍山和县期末）若关于x的不等式组 最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3（y－1）－2（y－k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ B ）
A. 13 B. 18 C. 21 D. 26
B
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10. （2023·滁州校级模拟）若关于x的不等式组 的所有整数解的和是－9，则m的取值范围是 .
11. （2023·眉山仁寿期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＞y，且关于x的不等式组 无解，则整数a的值为 .
－2＜m≤－1或1＜m≤2
2或3
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12. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解同时满足x＋y＜3，x－y＞1，求k的取值范围.
解：由①＋②，得4x＋4y＝k＋4，所以x＋y＝ .由①－②，得2x－2y＝k－2，所以x－y＝ .因为x＋y＜3，x－y＞1，所以 解得4＜k＜8.所以k的取值范围是4＜k＜8.
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13. 已知关于x的不等式组 （a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，求符合条件的所有整数a的和.
解：记 解不等式①，得x＞a－1.解不等式②，得x≤a＋5.所以不等式组的解集为a－1＜x≤a＋5.所以不等式组的整数解为a，a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5.因为所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，所以21.6≤6a＋15＜33.6，解得1.1≤a＜3.1.所以符合条件的整数a的值为2，3，其和为2＋3＝5.
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14. （2024·北京石景山期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a＜x＜b（a，b为常数，且a＜b），则称 为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”.
（1） 在方程① 2x＝－1，② 4x－6＝0中，是不等式组 的“中点关联方程”的为 （填序号）.
①
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（2） 已知不等式组 请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”： .
（3） 若关于x的不等式组 的“解集中点”大于方程3x－1＝2x的解且小于方程2x＋8＝4x的解，求m的取值范围.
答案不唯一，如2x＝12
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解：解不等式组 得2m＋3＜x＜1－4m.所以该不等式组的“解集中点”为 ＝－m＋2.解方程3x－1＝2x，得x＝1.解方程2x＋8＝4x，得x＝4.根据题意，得 解得－2＜m＜1.因为2m＋3＜1－4m，所以m＜－ ，即m的取值范围是－2＜m＜－ .
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14(共21张PPT)
7.2 一元一次不等式
第2课时 解较复杂的一元一次不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2023·安徽）在数轴上表示不等式 ＜0的解集，正确的是（ A ）
A
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2. 解不等式 ＞ 的过程如下：① 去分母，得5（2＋x）＞3（2x－1）；② 去括号，得10＋5x＞6x－3；③ 移项、合并同类项，得－x＞－13；④ 系数化为1，得x＞13.其中，错误的一步是（ D ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. （2024·西安碑林期中）不等式 ＋1＜ 的负整数解有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. （2024·淮北三模）不等式 ＜2x－2的解集是 .
D
C
x＞1
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5. 若关于x的不等式 － ≤1的解集为x≤2，则a＝ .
6. ★解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1） （2024·连云港） ＜x＋1.
解：去分母，得x－1＜2（x＋1）.去括号，得x－1＜2x＋2.移项、合并同类项，得－x＜3.系数化为1，得x＞－3.解集在数轴上表示如图①所示.
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（2） （2024·眉山） －1≤ .
解：去分母，得2（x＋1）－6≤3（2－x）.去括号，得2x＋2－6≤6－3x.移项、合并同类项，得5x≤10.系数化为1，得x≤2.解集在数轴上表示如图②所示.
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7. 若实数3是关于x的不等式 ＋2m＜－3的一个解，则m可取的最大整数值为（ C ）
A. －1 B. 2
C. －3 D. 3
C
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8. 规定max{m，n}（m≠n）表示m，n中较大的数，若max ＝2，则x的取值范围是（ B ）
A. x≤17 B. x＜17
C. x＞23 D. x＜23
B
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9. ★若不等式 －1≤2－x的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，则m的取值范围是（ C ）
A. m＞－ B. m＜－
C. m＜－ D. m＞－
C
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10. （2024·河北期末）若关于x的不等式 ＞x＋m只有4个正整数解，则m的取值范围是（ D ）
A. －3≤m＜－2 B. －3＜m≤－2
C. －1＜m≤－ D. －1≤m＜－
D
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11. 当k ≥ 时，2x＋k＝ （x－4k）＋6的解是非正数.
12. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－y＞1，则a的取值范围是 .
13. （2024·呼和浩特）不等式 －1＞ 的解集是 .若这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是 .
≥
a＞1
x＞8
m≤7
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14. 若代数式 －1的值不大于 的值，求x的取值范围.
解：根据题意，得 －1≤ .去分母，得3（3＋x）－6≤4x＋3.去括号，得9＋3x－6≤4x＋3.移项、合并同类项，得－x≤0.系数化为1，得x≥0.
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15. 解不等式 ＞ －1，并写出它的所有正整数解.
解：去分母，得3（x＋1）＞2（2x＋2）－6.去括号，得3x＋3＞4x＋4－6.移项、合并同类项，得－x＞－5.系数化为1，得x＜5.所以该不等式的所有正整数解为1，2，3，4.
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解：解不等式 （x＋2）－ ＜ （x－1）＋ ，去分母，得2（x＋2）－5＜3（x－1）＋4.去括号，得2x＋4－5＜3x－3＋4.移项、合并同类项，得－x＜2.系数化为1，得x＞－2.所以该不等式的最小整数解为－1.将x＝－1代入 x－ax＝5，得 ×（－1）－a×（－1）＝5，解得a＝ .所以9a2－18a－160＝9× －18× －160＝256－96－160＝0.
16. 已知不等式 （x＋2）－ ＜ （x－1）＋ 的最小整数解是关于x的方程 x－ax＝5的解，求代数式9a2－18a－160的值.
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17. 小宇和小静同时解一元一次不等式 ≥ ＋ ，但小宇的题目后面看不清楚，现提供如下信息：① 看不清楚的部分是一个常数；② 小静正确解得的结果为x≥－ .
你能根据以上信息把小宇看不清楚的地方补上吗？试试看.
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解：能.设这个常数为a，则 ≥ ＋a.去分母，得3（2x－1）≥4（x＋2）＋12a.去括号，得6x－3≥4x＋8＋12a.移项、合并同类项，得2x≥11＋12a.系数化为1，得x≥ .因为小静正确解得的结果为x≥－ ，所以 ＝－ ，解得a＝－1.所以看不清楚的地方为－1.
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18. （核心素养·运算能力）已知m，n为实数，若不等式（2m－n）x＋3m－4n＜0的解集为x＞ ，求关于x的不等式（m－4n）x＋2m－3n＞0的解集.
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解：因为不等式（2m－n）x＋3m－4n＜0的解集为x＞ ，所以解不等式（2m－n）x＋3m－4n＜0，得x＞ ，且2m－n＜0.所以 ＝ ，即n＝ m.所以2m－ m＜0.所以m＜0，n＜0.由不等式（m－4n）x＋2m－3n＞0，得 x＞－2m＋ m，即－ mx＞ m，解得x＞－ .所以关于x的不等式（m－4n）x＋2m－3n＞0的解集是x＞－ .
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19. （核心素养·推理能力）是否存在整数m，使关于x的不等式1＋ ＞ ＋ 与关于x的不等式x＋1＞ 的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由.
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解：存在.分两种情况：① 对于1＋ ＞ ＋ ，当m＞0时，有m＋3x＞x＋9，移项、合并同类项，得2x＞9－m，解得x＞ .解关于x的不等式x＋1＞ ，去分母，得3x＋3＞x－2＋m.移项、合并同类项，得2x＞m－5，解得x＞ .当 ＝ 时，解得m＝7，符合题意，此时不等式的解集为x＞1.② 对于1＋ ＞ ＋ ，当m＜0时，有m＋3x＜x＋9，移项、合并同类项，得2x＜9－m，
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解得x＜ .由①知，关于x的不等式x＋1＞ 的解集为x＞ .因为x＞ 与x＜ 的不等号方向相反，所以当m＜0时不存在符合条件的整数m.综上所述，存在整数m＝7，使关于x的不等式1＋ ＞ ＋ 与关于x的不等式x＋1＞ 的解集相同，此时两个不等式的解集都是x＞1.
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7.3 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组及其解法
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·项城校级期中）下列各项中，是一元一次不等式组的为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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2. （2024·宿州萧县期末）不等式组 的解集是（ B ）
A. x＜1 B. x≤－2
C. 无解 D. －2≤x＜1
B
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3. （2024·马鞍山和县期末）不等式组 的解集在数轴上表示为（ A ）
A
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4. （2024·枣庄）写出满足不等式组 的一个整数解：
.
5. （2024·遵义仁怀期末）解不等式组：
解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＞2.所以原不等式组的解集是2＜x≤3.
答
案不唯一，如－1
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6. （2024·包头）若2m－1，m，4－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（ B ）
A. m＜2 B. m＜1
C. 1＜m＜2 D. 1＜m＜
B
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7. （2024·南充）若关于x的不等式组 的解集为x＜3，则m的取值范围是（ B ）
A. m＞2 B. m≥2
C. m＜2 D. m≤2
B
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8. （2024·蚌埠期末）若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ D ）
A. a≥4 B. a＞4
C. a≤4 D. a＜4
D
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9. （2024·亳州利辛期末）已知关于x的不等式组 下列说法错误的是（ C ）
A. 若m＝－3，则该不等式组的解集是－3≤x＜2
B. 若该不等式组的解集是0≤x＜2，则m＝0
C. 若该不等式组的整数解只有－2，－1，0，1，则m＝－2
D. 若该不等式组无解，则m≥2
C
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10. （2024·大庆龙凤二模）已知不等式组 要使它的解集中的任意x的值都能使不等式2x≥m＋3成立，则m的取值范围是 .
11. 已知关于x，y的方程组 的解都是非负数，求a的取值范围.
解：解方程组，得 根据题意，得 解得－ ≤a≤2.
m≤－7
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12. 先阅读下面的材料，再按要求解答问题.
例：解不等式（x－2）（x＋1）＞0.
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① 或②
解不等式组①，得x＞2.
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解不等式组②，得x＜－1.
所以不等式（x－2）（x＋1）＞0的解集为x＞2或x＜－1.
根据材料中的方法，解不等式：
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（1） ＞0.
解：由不等式 ＞0，得① 或② 解不等式组①，得x＞ .解不等式组②，得x＜－ .所以不等式 ＞0的解集为x＞ 或x＜－ .
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（2） ＜0.
解：由不等式 ＜0，得① 或② 解不等式组①，得－ ＜x＜ .不等式组②无解.所以不等式 ＜0的解集为－ ＜x＜ .
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13. （核心素养·推理能力）阅读以下材料：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.
例如：M{－1，2，3}＝ ＝ ，min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a}＝
根据材料中的内容，解答下列问题：
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（1） 如果min{2，2x＋2，4－2x}＝2x＋2，那么x的取值范围是 .
（2） 如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，求x的值.
解：（2） 因为M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，又因为M{2，x＋1，2x}＝ （2＋x＋1＋2x）＝x＋1，所以 解得 所以x＝1.
x≤0
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（3） 根据（2）中的结果，你发现如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么a，b，c之间有怎样的大小关系？请说明理由.
解：（3） a＝b＝c. 理由：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令 （a＋b＋c）＝a，即a＝ .又因为 所以a＋c≤2b，a＋b≤2c.把a＝ 代入a＋c≤2b，得c≤b.把a＝ 代入a＋b≤2c，得b≤c.所以b＝c.将b＝c代入a＝ ，得b＝c＝a.所以a＝b＝c.
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13(共10张PPT)
7.1 不等式及其基本性质
第2课时 不等式的基本性质
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2024·上海）如果x＞y，那么下列不等式成立的是（ C ）
A. x＋5≤y＋5 B. x－5＜y－5
C. 5x＞5y D. －5x＞－5y
2. （2024·马鞍山花山期末）下列判断不正确的是（ C ）
A. 若a＞b，则－4a＜－4b
B. 若2a＞3a，则a＜0
C. 若a＞b，则ac2＞bc2
D. 若ac2＞bc2，则a＞b
C
C
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3. 如果a＜b，那么－2＋3a －2＋3b（填“＞”“＜”或“＝”）.
4. 如果a＜b，那么－ ＋1 － ＋1（填“＞”“＜”或“＝”）.
＜
＞
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（1） 3x＜6.
解：x＜2.
（2） － x＜3.
解：x＞－9.
（3） 6x＞9x＋15.
解：x＜－5.
（4） 4x－2＞2x＋2.
解：x＞2.
5. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
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6. 已知m＜n，根据下列条件求a的取值范围：
（1） （a－5）m＜（a－5）n.
解：（1） 因为m＜n，（a－5）m＜（a－5）n，所以a－5＞0，由不等式的基本性质1，得a＞5.
（2） （a－5）m＞（a－5）n.
解：（2） 因为m＜n，（a－5）m＞（a－5）n，所以a－5＜0，由不等式的基本性质1，得a＜5.
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7. （2024·池州贵池期末）若x＞y，且（4－m）x＜（4－m）y，则m的值可能是（ D ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. ★（2024·宿州泗县期末）若x＋a＜y＋a，ax＞ay，则（ B ）
A. x＜y，a＞0 B. x＜y，a＜0
C. x＞y，a＞0 D. x＞y，a＜0
D
B
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9. （2024·合肥庐江期中）已知实数a，b满足3a＋2b＜2，a＋b＝2，则下列结论不正确的是（ C ）
A. 2a＋b＜0 B. b＞4
C. ＜－ D. ＜－
C
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10. （2024·亳州蒙城期末）若－1＜x≤2且3x＋y＝2，则y的取值范围是 .
11. 已知x满足不等式｜ax－1｜＞ax－1（其中a≠0），则x的取值范围是 .
－4≤y＜5
当a＜0时，x＞ ；当a＞0时，x＜
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解：（1） 因为m＞n，所以－2m＜－2n.所以－2m＋1＜－2n＋1.
（2） 若m＜n，试比较ma与na的大小.
解：（2） ① 当a＝0时，ma＝na.② 当a＞0时，因为m＜n，所以ma＜na.③ 当a＜0时，因为m＜n，所以ma＞na.综上所述，当a＝0时，ma＝na；当a＞0时，ma＜na；当a＜0时，ma＞na.
12. （1） 若m＞n，试比较－2m＋1与－2n＋1的大小.
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12(共9张PPT)
7.1 不等式及其基本性质
第1课时 不 等 式
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2024·郑州高新期中）有下列数学式子：① －3＜0；② 2x＋3y≥0；③ x＝1；④ x2－2xy＋y2；⑤ x＋1≠3.其中，是不等式的有（ C ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2. （2024·合肥蜀山期中）某不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ D ）
A. x＞－1 B. x≥－1
C. x＜－1 D. x≤－1
（第2题）
C
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3. （2024·汕头一模）下列是不等式5x－3＜6的一个解的为（ A ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
4. 某初中生在家上网课，每天6节课，每节网课a分钟，每天上网课总时长小于240分钟，则可列不等式为 .
A
6a＜240
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（1） x的3倍与2的差是非负数.
解：（1） 3x－2≥0.
（2） a的 与b的平方的和至多为3.
解：（2） a＋b2≤3.
（3） x与5的和的30％大于－2.
解：（3） 30％（x＋5）＞－2.
（4） x的6倍与1的和小于x的一半与5的差.
解：（4） 6x＋1＜ x－5.
5. 用不等式表示下列数量之间的不等关系：
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6. 若x＝1是不等式1－ax≤x的一个解，则a的值可以是（ C ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 任意实数
7. （2024·淮南八公山期末）某一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，若该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 （ B ）
A. －3≤a＜－2 B. －3＜a≤－2
C. －2≤a＜－1 D. －3＜a＜－1
（第7题）
C
B
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8. （2024·安庆太湖期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，那么至少可获得12％的利润.若设该商品的原价是x元，则列式正确的是（ D ）
A. 50－50×12％≥85％x
B. 50－50×12％≤85％x
C. 50＋50×12％≥85％x
D. 50＋50×12％≤85％x
D
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9. （1） 因为小于1的每一个数都是不等式x＋2＜5的解，所以不等式x＋2＜5的解集是x＜1.这种说法对吗？为什么？
解：（1） 这种说法不对.因为当x＝2时，不等式x＋2＜5成立，说明x＝2是不等式x＋2＜5的解，所以不等式x＋2＜5的解集是x＜1的说法不对.
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（2） 试判断－10，0，3，4，0.01， ，10，－ 是不是不等式3x－12＜0的解.请再写出此不等式的两个解，并猜想此不等式的解集.
解：（2） 因为当x＝－10，0，3，0.01， ，－ 时，不等式3x－12＜0成立，所以它们都是不等式3x－12＜0的解.－1，－2也是此不等式的解（举例不唯一）.此不等式的解集是x＜4.
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9(共17张PPT)
7.2 一元一次不等式
第3课时 一元一次不等式的应用
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥长丰期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（ A ）
A. 4× ＞10 B. ＞
C. 4× ＜10 D. ＜
A
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2. （2024·晋中榆次一模）为帮助同学们新学期以新形态树新目标、显新气象，王老师准备在开学时举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让15名同学进行总计不超过35分钟的演讲或朗诵活动，要求每个活动只能有一名同学参加，每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为3分钟，朗诵时间为2分钟，那么最多能安排 名同学进行演讲.
3. 9人用14天完成了一项工作的 ，而剩下的工作要求在4天内完成，在他们工作效率不变的前提下，至少需要增加 人.
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4. ★（2024·山西）学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的价格为540元/个，干粉灭火器的价格为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买这种型号的干粉灭火器（50－x）个.根据题意，得540x＋380（50－x）≤21000，解得x≤12.5.因为x为整数，所以x的最大值为12.所以最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
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5. （2024·安庆怀宁期末）某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分.如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的道数是（ C ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
C
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6. （2024·合肥瑶海期中）阳阳在超市购买一款心爱的玩具，玩具的成本为60元/个，定价为90元/个.当天是儿童节，超市打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5％，则该玩具最多可以打（ D ）
A. 8.5折 B. 8折
C. 7.5折 D. 7折
7. 某单位为响应政府号召，准备购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个.若总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ B ）
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
D
B
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8. 某品牌毛巾的原价为每条8元，凡一次性购买三条以上（含三条），可享受商家推出的两种优惠销售办法中的任意一种.第一种：三条按原价，其余按原价的7折优惠；第二种：全部按原价的8折优惠.若想在购买相同数量的情况下，选择第一种办法比第二种办法得到的优惠多，则最少要购买 条毛巾.
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9. （2024·长沙）刺绣是我国民间传统手工艺之一，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元.
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（1） 求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价.
解：（1） 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.根据题意，得 解得 所以A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元.
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（2） 该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
解：（2） 设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200－m）件.根据题意，得300m＋200（200－m）≤50000，解得m≤100，则m的最大值为100.所以最多能购买100件A种湘绣作品.
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10. 某中学计划组织春季研修活动，活动组织负责人从公交公司了解到如下租车信息：
车 型 A B
载客量/（人/辆） 48 30
租金/（元/辆） 400 280
校方从实际情况出发，决定租用A，B型客车共5辆，且租车费用不超过1900元.
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（1） 请为校方设计可能的租车方案.
解：（1） 设租用A型客车x辆，则租用B型客车（5－x）辆.由题意，得400x＋280（5－x）≤1900，解得x≤ .因为x为非负整数，所以x的值可取0，1，2，3，4，对应的5－x的值为5，4，3，2，1.所以可能的租车方案如下表：
方 案 1 2 3 4 5
A型客车/辆 0 1 2 3 4
B型客车/辆 5 4 3 2 1
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（2） 在（1）的条件下，校方根据自愿的原则，统计发现有193人参加春季研修活动，校方应如何租车，既能使参与者全有座位，又能省钱？
解：（2） 由（1）及题意，得48x＋30（5－x）≥193，解得x≥ .由（1），得x的值可取0，1，2，3，4.所以x的值可取3或4.当x＝3时，400×3＋280×2＝1760（元），此时租车费用为1760元；当x＝4时，400×4＋280×1＝1880（元），此时租车费用为1880元.因为1760＜1880，所以A型客车租3辆，B型客车租2辆，既能使参与者全有座位，又能省钱.
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11. （核心素养·应用意识）春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需长时间排队等候购票.经调查，每天开始售票时，有400名旅客排队等候购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票.售票时售票厅每分钟新增购票人数为4，每分钟每个售票窗口出售的票的张数为3.某一天售票厅开始用4个售票窗口，过了t分钟售票大厅还有320人排队等候（规定每人只购1张票），则t的值为 .若要在开始后20分钟内让所有排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，则开始时至少还需要增加 个售票窗口.
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12. 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费.
（1） 若购买商品的标价为200元，请通过计算说明在哪家商场购买合算.
解：（1） 在甲商场购买所需费用为100＋（200－100）×90％＝190（元），在乙商场购买所需费用为50＋（200－50）×95％＝192.5（元）.因为190＜192.5，所以在甲商场购买合算.
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（2） 某顾客计划采购一件某种商品，经过计算选择在乙商场购买更合算，他购买的商品的标价在什么范围内？
解：（2） 设他购买的商品的标价为x元.当0＜x≤50时，在两家商场都没有优惠.当50＜x≤100时，因为甲商场没有优惠，乙商场有优惠，所以在乙商场购买合算.当x＞100时，若在乙商场购买更合算，则100＋90％（x－100）＞50＋95％（x－50），解得x＜150.所以100＜x＜150.综上所述，他购买的商品的标价高于50元，低于150元.
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7.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·宿州埇桥期中）下列各式中，是一元一次不等式的为（ C ）
A. 5＋4＞8 B. 2x－1
C. 2x≤5 D. －3x≥0
C
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2. （2024·湖北）不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ A ）
3. （2024·陕西）不等式2（x－1）≥6的解集是（ D ）
A. x≤2 B. x≥2
C. x≤4 D. x≥4
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4. （2024·合肥蜀山期中）能使代数式4x－7的值不小于代数式8x＋5的值，x可以是（ C ）
A. －2 B. 4 C. －4 D. 2
5. （2024·广西）不等式7x＋5＜5x＋1的解集为 .
6. （2023·阜阳模拟）不等式2x－6≤5的最大整数解是 .
C
x＜－2
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（1） （2024·宣城宣州三模）3（x－2）≤4x－2.
解：去括号，得 3x－6≤4x－2.移项、合并同类项，得－x≤4.系数化为1，得 x≥－4.
（2） （2024·安庆大观期中）2（x－1）＞3（x＋1）－1.
解：去括号，得2x－2＞3x＋3－1.移项、合并同类项，得－x＞4.系数化为1，得x＜－4.
7. 解不等式：
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8. 已知（m－4）x｜m－3｜＋2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ B ）
A. 4 B. 2
C. 4或2 D. 无法确定
B
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9. 不等式－2（x＋1）＞－4的解集在数轴上表示为（ C ）
10. （2024·滁州期末）不等式2（x－3）≤4x＋1的负整数解有（ B ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
B
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11. 如果两个数2－m和－1在数轴上从左到右排列，那么关于x的不等式（2－m）x＋2＞m的解集是（ B ）
A. x＞－1 B. x＜－1
C. x＞1 D. x＜1
12. （2024·宿州埇桥期中）如果关于x的方程2x＋3（m－1）＝1＋x的解是正数，那么m的取值范围是（ C ）
A. m＞ B. m＜－
C. m＜ D. m≤
B
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13. （2024·合肥瑶海期末）若关于x的不等式3（x－a）≤2x－4a的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（ A ）
A. －1 B. － C. D. 1
（第13题）
A
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14. （2024·蚌埠期末）若关于x的不等式ax－b＞0的解集是x＜ ，则关于x的不等式（a－b）x－（a＋b）＞0的解集为 .
15. （2024·宁国期末）若关于x的不等式x＋m≥2x－5恰有3个正整数解，则m的取值范围是 .
16. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－y＞－8，则所有满足条件的m的正整数值为 .
x＜2
－2≤m＜－1
1，2，3
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17. 已知关于x的不等式4x－3a＞－1与不等式2（x－1）＋3＞5的解集相同，求a的值.
解：由4x－3a＞－1，得x＞ ；由2（x－1）＋3＞5，得x＞2.因为这两个不等式的解集相同，所以 ＝2，解得a＝3.
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18. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a☆b＝a－2b，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：3☆2＝3－2×2＝－1.
（1） 当m☆n＝n☆m时，请判断此时m，n有何关系，并说明理由.
解：（1） m＝n.理由：由题意，知m－2n＝n－2m.所以3m＝3n.所以m＝n.
（2） 若3☆x的值小于1，求x的取值范围，并在数轴上表示出来.
解：（2） 由题意，知3－2x＜1，解得x＞1.解集在数轴上表示出来如图所示.
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19. 我们规定，对于任意实数a，b，c，d，有 ＝ad－bc.求不等式 ＞x－2的解集，并把解集在数轴上表示出来.
解：由题意，得5x－2（x－1）＞x－2.去括号，得5x－2x＋2＞x－2.移项，得5x－2x－x＞－2－2.合并同类项，得2x＞－4.系数化为1，得x＞－2.解集在数轴上表示出来如图所示.
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20. （核心素养·运算能力）若不等式2（x＋4）－5＜3（x＋1）＋4的最小整数解是关于x的方程 x－mx＝5的解，则m2－2m＋11的平方根为 .
±
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（第21题）
21. （核心素养·几何直观）如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，－2x＋3.
（1） 求x的取值范围.
（2） 数轴上表示数－x＋2的点应落在（ B ）
A. 点A的左边
B. 线段AB上（不包括点A，B）
C. 点B的右边
解：（1） 由题意，得－2x＋3＞1，解得x＜1.
B
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专题特训（二） 含字母系数的不等式（组）的求解问题
第7章 一元一次不等式与不等式组
类型一 根据不等式组有无解求字母的取值范围
1. （2024·安庆大观期中）若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（ D ）
A. m＞1 B. m≥1
C. m＜1 D. m≤1
D
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2. （2024·泸州期末）若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是（ B ）
A. m＞－1 B. m≥－1
C. m＜－1 D. m≤－1
B
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类型二 根据不等式（组）的解集求字母的值或取值范围
3. （2024·资阳期末）若关于x的不等式 －1＞2m的解集是x＞5，则m的值是（ B ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
B
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4. （2024·淮南田家庵期末）如果关于x的不等式组 的解集为x＜2，那么a的取值范围是（ D ）
A. a＝2 B. a＞2
C. a＜2 D. a≥2
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5. ★（2024·合肥瑶海期中）若关于x的不等式组 的解集为x＞3，则a的取值范围是（ A ）
A. a≤3 B. a＜3
C. a≥3 D. a＞3
A
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6. （2024·亳州涡阳期末）若关于x的不等式组 的解集是－1＜x＜1，则a＝ ，b＝ .
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类型三 根据不等式（组）的解的关系求字母的值或取值范围
7. 已知不等式2x＞4的解都是关于x的不等式x－a＞5的解，则a的取值范围是（ C ）
A. a＞－3 B. a≥－3
C. a≤－3 D. a＜－3
8. 若在关于x的不等式组 的解集中，每一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，则m的取值范围是 .
C
m≤1或m≥5
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解：（1） 由题意，得a＋2＜8，解得a＜6.所以a的取值范围是a＜6.
（2） 已知在关于x的不等式x－a≤2的解集中，任意x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围.
解：（2） 解不等式x－a≤2，得x≤a＋2.因为在不等式x－a≤2的解集中，任意x的值均在x＜8的范围内，所以a＋2＜8，解得a＜6.所以a的取值范围是a＜6.
9. （1） 已知x＝a＋2.若x＜8，试求a的取值范围.
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（3） 已知在关于x的不等式组 的解集中，任意x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的所有整数解.
解：（3） 解不等式组，得a－1＜x≤a＋2.由题意，得 解得3≤a＜6.所以a的所有整数解为3，4，5.
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类型四 根据不等式（组）整数解的个数求字母的取值范围
10. ★（2024·安庆大观期中）若关于x的不等式组 的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ A ）
A. －5≤m＜－4 B. －5＜m≤－4
C. －4≤m＜－3 D. －4＜m≤－3
A
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11. （2024·池州青阳期末）已知关于x的不等式组 有且只有3个正整数解，则m的取值范围是（ D ）
A. －1≤m＜－ B. －1＜m＜－
C. －1≤m≤－ D. －1＜m≤－
D
12. 已知关于x的不等式2（x＋3）－5x＋a＞0的解集中恰有3个非负整数，则a的取值范围是 .
0＜a≤3
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类型五 新定义题型中求字母的值或取值范围
13. （2024·呼伦贝尔）对于实数a，b，定义运算“※”为a※b＝a＋3b，例如：5※2＝5＋3×2＝11，则当关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
0≤m＜
k≥2
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14. （2024·济宁二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”.如不等式组的解集为－3≤x＜4，不等式2x－1＞－9的解集为x＞－4，因为－3≤x＜4在x＞－4的范围内，所以不等式组是不等式2x－1＞－9的“子集”.若不等式组是关于x的不等式x－k≤1的“子集”，则k的取值范围是 .
k≥2
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15. 对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ （其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）＝ ＝b.已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1.
（1） 求a，b的值.
解：（1） 根据题意，得T（1，－1）＝ ＝－2，即a－b＝－2；T（4，2）＝ ＝1，即2a＋b＝5.所以 解得
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（2） 若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求实数p的取值范围.
解：（2） 由（1），知T（x，y）＝ .根据题意，得 解不等式①，得m≥－ .解不等式②，得m＜ .因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2.所以2＜ ≤3，解得－2≤p＜－ .
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第7章复习
第7章 一元一次不等式与不等式组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 不等式的基本性质
典例1 （2024·亳州蒙城期末）下列判断正确的是（ A ）
A. 若2a＜－2b，则a＜－b
B. 若－2x＜3，则x＞－
C. 若a－6＞b－6，则a＜b
D. 若a＞b，则a2＞b2
A
跟踪训练
1. （2024·阜阳期末）若1－m＜1－n，则下列不等式一定成立的是（ B ）
A. －2m＋1＞－2n＋1
B. m＋14＞n＋14
C. m＋a＞n＋b
D. －am＞－an
B
考点二 一元一次不等式的解法
典例2 （2024·合肥包河期末）解不等式 －1＜ ，并将其解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得2（x＋3）－6＜3（2x＋1）.去括号，得2x＋6－6＜6x＋3.移项、合并同类项，得－4x＜3.系数化为1，得x＞－ .解集在数轴上表示如图所示.
跟踪训练
2. （2024·合肥庐阳三模）解不等式 ≤x－1，并把它的解集表示在数轴上.
解：去分母，得x－3≤2（x－1）.去括号，得x－3≤2x－2.移项、合并同类项，得－x≤1.系数化为1，得x≥－1.解集在数轴上表示如图所示.
考点三 一元一次不等式组的解法
典例3 （2024·滁州二模）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
解：解不等式2x＋5≤3（x＋2），得x≥－1.解不等式x＜ ＋1，得x＜1.所以不等式组的解集为－1≤x＜1.解集在数轴上表示如图所示.
跟踪训练
3. （2024·济南）解不等式组 并写出它的所有整数解.
解：解不等式①，得x＞－1.解不等式②，得x＜4.所以原不等式组的解集是－1＜x＜4，其所有整数解为0，1，2，3.
考点四 确定不等式组中字母的取值范围
典例4 （2024·合肥长丰期中）已知关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是（ A ）
A
A. m＞－1 B. m≥－1
C. m＜－1 D. m≤－1
结合数轴，有解即两个不等式的解集有公共部分，无解即两个不等式的解集无公共部分.
跟踪训练
4. （2024·马鞍山花山期末）已知关于x的不等式组 恰有4个整数解，则m的取值范围是（ B ）
A. ＜m＜ B. ≤m＜
C. ＜m≤ D. ≤m≤
B
考点五 有关不等式（组）的新定义问题
典例5 （2024·合肥蜀山期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a＋b；当a＜b时，a※b＝2b－a.例如：3※（－4）＝2×3＋（－4）＝2，（－6）※2＝2×2－（－6）＝10.
（1） 2※（－3）＝ .
1
（2） 若x是一个负数，且满足（2x－3）※（1－3x）＜7，求x的取值范围.
解：因为x＜0，所以2x－3＜0，1－3x＞0.所以2x－3＜1－3x.由（2x－3）※（1－3x）＜7，得2（1－3x）－（2x－3）＜7.去括号，得2－6x－2x＋3＜7.移项、合并同类项，得－8x＜2.系数化为1，得x＞－ .所以x的取值范围是－ ＜x＜0.
跟踪训练
5. （2024·淮北期末）对x，y定义一种新的运算，规定F（x，y）＝ 例如：F（2，1）＝2－2×1＝0.
（1） F（3，5）＝ .
（2） 若关于正数m的不等式组 恰好有2个整数解，则a的取值范围是 .
2
3＜a≤4
考点六 一元一次不等式的应用
典例6 （2024·合肥蜀山期中）某校计划从商店一次性购买A品牌篮球和B品牌足球共50个.若甲、乙两家商店销售这两种商品的零售价相同，其中每个篮球的零售价为300元，每个足球的零售价为200元.
（1） 若按照商店的零售价直接购买，且要求购买总费用不超过1.21万元，则该校至多可以购买篮球 个.
（2） 为促进消费，盘活库存，甲、乙两家商店均推出不同的优惠方案：甲商店篮球按零售价格打8折销售，足球按零售价格原价销售；乙商店按购买篮球和足球的零售总价格打9折销售.若该校至少购买篮球18个，则该校从哪家商店购买篮球和足球更合算？请说明理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）.
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解：设购买篮球x个，到甲商店购买的总费用为y甲元，到乙商店购买的总费用为y乙元，则购买足球（50－x）个.根据题意，得y甲＝300×0.8x＋200（50－x）＝40x＋10000，y乙＝[300x＋200（50－x）]×0.9＝90x＋9000.当40x＋10000＞90x＋9000时，解得x＜20.因为该校至少购买篮球18个，所以当18≤x＜20时，到乙商店购买更合算.当40x＋10000＝90x＋9000时，解得x＝20，此时到两家商店购买所花的钱一样多.当40x＋10000＜90x＋9000时，解得x＞20.所以当x＞20时，到甲商店购买更合算.综上所述，当购买篮球18个或19个时，到乙商店购买更合算；当购买篮球20个时，到两家商店购买都一样；当购买篮球21个及以上时，到甲商店购买更合算.
跟踪训练
6. （2023·合肥蜀山期中）某中学计划组织七年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息：
车 型 A B
载客量/（人/辆） 50 30
租金/（元/辆） 400 280
校方从实际情况出发，决定租用A，B型客车共10辆，且两种车型都要租用，租车费用不超过3500元.
（1） 请问校方最多租用A型客车多少辆？
解：（1） 设租用A型客车x辆，则租用B型客车（10－x）辆.根据题意，得400x＋280（10－x）≤3500，解得x≤5 .因为两种车型都要租用，所以1≤x≤5 .因为x为正整数，所以校方最多租用A型客车5辆.
（2） 在（1）的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有360人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方案是哪一种？
解：（2） 因为共有360人参加本次活动，所以由（1），得50x＋30（10－x）≥360，解得x≥3.所以3≤x≤5 .又因为x为整数，所以x可取3，4，5.所以合理的租车方案有以下三种：① 租用A型客车3辆，B型客车7辆，租车费用为3×400＋7×280＝3160（元）；② 租用A型客车4辆，B型客车6辆，租车费用为4×400＋6×280＝3280（元）；③ 租用A型客车5辆，B型客车5辆，租车费用为5×400＋5×280＝3400（元）.因为3160＜3280＜3400，所以最省钱的租车方案是租用A型客车3辆，B型客车7辆.
1. （2024·六安金安一模）已知实数a，b，c满足a＋2b＝3c，则下列结论不正确的是（ D ）
A. a－b＝3（c－b）
B. ＝c－b
C. 若a＞b，则a＞c＞b
D. 若a＞c，则b－a＞
D
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2. （2024·合肥庐阳期中）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤m，则m的取值范围是（ B ）
A. m≥2 B. m≤2
C. m＜2 D. m＞2
3. （2024·安庆潜山期末）若关于x的不等式mx－n＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式mx－2m－n＞0的解集为（ C ）
A. x＜1 B. x＞1
C. x＜3 D. x＞3
B
C
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4. （2023·重庆万州期末）若整数a使得关于x的不等式组 有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程 － ＝1的解满足y＞21，则所有满足条件的整数a的值之和为 .
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5. （核心素养·模型思想）（2024·芜湖期末）某市环保局决定购买A，B两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫.已知1辆A型扫地车和2辆B型扫地车每周可以处理垃圾100吨，2辆A型扫地车和1辆B型扫地车每周可以处理垃圾110吨.
（1） 求A，B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨.
解：（1） 设A，B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾a吨、b吨.根据题意，得 解得 所以A，B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾40吨、30吨.
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（2） 已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少.最少资金是多少？
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解：（2） 设购买A型扫地车m辆，则购买B型扫地车（40－m）辆.由题意，得 解得20≤m≤22.因为m为整数，所以m＝20，21，22，则40－m＝20，19，18.所以共有三种购买方案.方案一：购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆；方案二：购买A型扫地车21辆，B型扫地车19辆；方案三：购买A型扫地车22辆，B型扫地车18辆.因为方案一所需资金为20×25＋20×20＝900（万元），方案二所需资金为21×25＋19×20＝905（万元），方案三所需资金为22×25＋18×20＝910（万元），且900＜905＜910，所以购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆所需资金最少，最少资金是900万元.
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