(共16张PPT)
8.4 因式分解
第1课时 提公因式法
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·宿州萧县期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ D ）
A. （x＋y）（x－y）＝x2－y2
B. a2＋1＝a
C. 6ab＝2a·3b
D. 2mn2＋mn＝mn（2n＋1）
D
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2. （2024·渭南期末）下列代数式中，不能用提公因式法分解因式的为（ C ）
A. ac＋bc B. 2x－4xy
C. ax＋y D. －x2＋xy
3. （2024·宣城模拟）把－6x3y2－3x2y2＋8x2y3分解因式时，应提取的公因式为（ D ）
A. －3x2y2 B. －2x2y2
C. 6x2y2 D. －x2y2
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4. 下列因式分解正确的是（ D ）
A. a2b－2ab＝a（ab－2b）
B. －a2b＋2ab＝－ab（a＋2）
C. ab－ab2＝ab（1－b2）
D. －a2b＋ab2＝－ab（a－b）
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5. 分解因式：
（1） （2024·枣庄）x2y＋2xy＝ .
（2） 3m2n3－12m3n2＝ .
（3） x（x－2）＋（2－x）＝ .
6. （2023·深圳）已知实数a，b满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2＝ .
xy（x＋2）
3m2n2（n－4m）
（x－2）（x－1）
42
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（1） －5x2y＋25x2y2－40x3y.
解：原式＝－5x2y（1－5y＋8x）.
（2） 2m（m－n）2－8m2（n－m）.
解：原式＝2m（m－n）[（m－n）＋4m]＝2m（m－n）（5m－n）.
7. 分解因式：
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8. ★（2024·丹东期中）将5（a－b）＋m（b－a）提公因式后，一个因式为a－b，则另一个因式为（ A ）
A. 5－m B. 5＋m
C. m－5 D. －m－5
9. （2024·宝鸡期末）把多项式x2y5－xynz分解因式时，提取的公因式为xy5，则n的值可能为（ A ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
A
A
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10. （2024·宿州埇桥期中）将多项式（m－n）3－m（m－n）2－n（n－m）2分解因式，结果为（ C ）
A. 2（m－n）3 B. 2m（m－n）2
C. －2n（m－n）2 D. 2（n－m）3
11. （2024·上海浦东期中）计算（－2）2023＋（－2）2024的结果为（ A ）
A. 22023 B. －2 C. －22024 D. －1
C
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12. 化简 的结果是（ D ）
A. 3n－ B. 3n＋2
C. D.
D
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13. 若2a－b＝0，则（2a＋b）2－2b（2a＋b）＝ .
14. 若a－2＝b＋c，则a（a－b－c）＋b（b＋c－a）－c（a－b－c）的值为 .
15. 已知（2x－21）（3x－7）－（3x－7）（x－13）可因式分解为（3x－a）（x－b），其中a，b均为正整数，则a＋3b的值为 .
16. （2024·德州期中）若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2022＝ .
0
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－2025
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17. 用简便方法计算：29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解：原式＝20.21×（29＋72＋13－14）＝20.21×100＝2021.
18. （2024·宿州埇桥期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且 －xy＝1040.请你求出父亲和儿子今年各多少岁.
解：由题意，得x－y＝26.因为x2－xy＝x（x－y）＝1040，所以26x＝1040，解得x＝40.所以y＝40－26＝14.所以父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
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19. 已知x，y满足（x＋y）2＝5，（x－y）2＝41，求x3y＋xy3的值.
解：因为（x＋y）2＝5，（x－y）2＝41，所以（x＋y）2＋（x－y）2＝46.所以x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2＝46，即2（x2＋y2）＝46.所以x2＋y2＝23.因为（x＋y）2－（x－y）2＝－36，所以x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2＝－36.所以4xy＝－36，即xy＝－9.所以x3y＋xy3＝xy（x2＋y2）＝－9×23＝－207.
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20. 试说明：对于任意的正整数n，3n＋2－2n＋2＋3n－2n一定是10的倍数.
解：因为3n＋2－2n＋2＋3n－2n＝3n＋2＋3n－2n＋2－2n＝3n（32＋1）－2n（22＋1）＝10×3n－10×2n－1＝10×（3n－2n－1），所以对于任意的正整数n，3n＋2－2n＋2＋3n－2n一定是10的倍数.
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21. （核心素养·推理能力）认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2
＝（1＋x）[1＋x＋x（1＋x）]
＝（1＋x）[（1＋x）（1＋x）]
＝（1＋x）3.
（1） 上述分解因式的方法是 .
提公因式法
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（2） 分解因式：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3.
解：（2） 1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3＝（1＋x）[1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2]＝（1＋x）（1＋x）[1＋x＋x（1＋x）]＝（1＋x）（1＋x）（1＋x）（1＋x）＝（1＋x）4.
（3） 猜想：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）n分解因式的结果是 .
（1＋x）n＋1
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21(共16张PPT)
8.1 幂的运算
第5课时 零指数幂与负整数指数幂
第8章 整式乘法与因式分解
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 ＋ 的结果为（ A ）
A. 4 B. 3 C. 1 D.
2. （2023·六安金寨期中）下列关于幂的运算正确的是（ B ）
A. （－a）2＝－a2 B. a0＝1（a≠0）
C. a－1＝a（a≠0） D. （a3）2＝a9
A
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3. 若（a－2023）0＝1成立，则a的取值范围是（ B ）
A. a≠0 B. a≠2023
C. a＝2023 D. a＝0或a＝2023
4. （1） （－2024）0＝ ； ＝ .
（2） （2024·淮南寿县期末）若实数m，n满足｜m－2｜＋（n－2024）2＝0，则m－1＋n0＝ .
B
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5. （1） 若43x－1＝1，则x＝ .
（2） 若3n－1＝ ，则n＝ .
6. 计算：
（1） （2024·宿州砀山期末）｜－1｜＋（2025－1）0－ .
解：原式＝1＋1－3＝－1.
（2） （2024·马鞍山花山期末）－12024×4＋ ＋（π－5）0.
解：原式＝－1×4＋9＋1＝6.
－2
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7. 下列计算正确的是（ D ）
A. ＝ B. 9×50＝0
C. 2－3＝－ D. （－53.7）0＝1
8. （2023·滁州定远模拟）下列4个数中，最小的数是（ D ）
A. －（－2） B. ｜－2｜
C. （－2）0 D. （－2）－1
D
D
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9. 若（x－3）0－2（3x－6）－2有意义，则x的取值范围是（ D ）
A. x≠3 B. x≠2
C. x≠2或x≠3 D. x≠2且x≠3
10. 已知x＝1＋7n，y＝1＋7－n，则用x表示y的结果正确的是（ C ）
A. －1 B. 1－
C. 1＋ D. 7－x
D
C
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11. 若102y＝25，则10－y的值为（ A ）
A. B.
C. － 或 D.
12. 成年人手上大拇指指盖的面积约为1平方厘米，若以平方米为单位进行估算，则其面积约为（ A ）
A. 10－4平方米 B. 10－3平方米
C. 1－4平方米 D. 1－3平方米
A
A
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13. 如果（m－3）m＝1，那么下列结论正确的是（ D ）
A. m≤3 B. m＝0
C. m＝0或4 D. m＝0或4或2
14. 若 无意义，则x－1＝ .
15. 定义一种新运算： nxn－1dx＝an－bn.例如： 2xdx＝k2－m2，则 －x－2dx＝ － .
D
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16. 我们规定：a－p＝ （a≠0），即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数.例如：4－2＝ .
（1） 计算：（－2）－2＝ ；若2－p＝ ，则p＝ .
（2） 若a－2＝ ，求a的值.
解：（2） 因为a－2＝ ，所以 ＝ .所以a2＝16.所以a＝±4.
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（3） 若a－p＝ ，且a，p为整数，求满足条件的a，p的值.
解：（3） 因为a－p＝ ，所以 ＝ ，即ap＝9.因为a，p为整数，所以易得当a＝9时，p＝1；当a＝3时，p＝2；当a＝－3时，p＝2.
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17. （1） 你发现了吗？ ＝ × ， ＝ ＝ ＝ × .由上述计算，我们发现 .
（2） 仿照（1），请你通过计算，断 与 之间的关系.
＝
解：（2） 因为 ＝ × × ， ＝ ＝ ＝ × × ，所以 ＝ .
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（3） 我们可以发现： （ab≠0）.
＝
（4） 计算： × .
解：（4） 原式＝ × ＝ × × ＝ × ＝16×1＝16.
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18. 对于实数a，b，定义运算：a△b＝ 例如：2△3＝2－3＝ ，4△2＝42＝16.照此定义的运算方式计算：[2△（－4）]×[（－4）△（－1）]＝ .
－
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19. ★（核心素养·运算能力）阅读材料：
① 1的任何次幂都为1；
② －1的奇数次幂为－1；
③ －1的偶数次幂为1；
④ 任何不等于零的数的零次幂为1.
请问：当x为何值时，代数式（2x＋3）x＋2023的值为1？
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解：当2x＋3＝1时，解得x＝－1.此时x＋2023＝2022，（2x＋3）x＋2023＝12022＝1，符合题意.当2x＋3＝－1时，解得x＝－2.此时x＋2023＝2021，（2x＋3）x＋2023＝（－1）2021＝－1，不符合题意.当x＋2023＝0时，解得x＝－2023.此时2x＋3≠0，符合题意.综上所述，当x＝－1或x＝－2023时，代数式（2x＋3）x＋2023的值为1.
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19(共14张PPT)
专题特训（五） 完全平方公式的变形及其应用
第8章 整式乘法与因式分解
类型一 变形：a2＋b2＝（a＋b）2＋（－2ab）
1. （2024·丹东东港期末）若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为（ C ）
A. 60 B. 80 C. 90 D. ±100
2. （2023·重庆璧山期末）已知a＋b＝5，ab＝－2，则a2－ab＋b2的值是（ B ）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
C
B
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3. （2024·汉中期末）如图，长方形ABCD的周长是20cm，分别以AB，BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF. 如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为50cm2，那么长方形ABCD的面积是（ B ）
A. 24cm2 B. 25cm2 C. 28cm2 D. 30cm2
（第3题）
B
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4. （2024·株洲期末）若｜x＋y－5｜＋（xy－6）2＝0，则x2＋y2的值为 .
5. （2024·东营河口模拟）已知m2－3m＋1＝0，则m2＋ ＝ .
6. （2024·重庆沙坪坝期末）已知直角三角形两直角边的长分别为a，b，且a＋b＝6，a2＋b2＝32，则该三角形的面积是 .
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（1） x2＋y2.
解：因为x＋y＝6，xy＝3，所以x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝62－2×3＝30.
（2） x2＋4xy＋y2.
解：x2＋4xy＋y2＝（x2＋y2）＋4xy＝30＋4×3＝42.
（3） x4＋y4.
解：x4＋y4＝（x2）2＋（y2）2＝（x2＋y2）2－2x2y2＝（x2＋y2）2－2（xy）2＝302－2×32＝302－18＝882.
7. 已知x＋y＝6，xy＝3，求下列各式的值.
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类型二 变形：a2＋b2＝（a－b）2＋2ab
8. （2024·佛山期末）已知a－b＝1，a2＋b2＝25，则ab的值为（ C ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
9. （2024·宝鸡期末）已知xy＝9，x－y＝－3，则x2＋3xy＋y2的值为（ C ）
A. 27 B. 9
C. 54 D. 18
C
C
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10. （2024·安庆大观期末）某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福.如图，小冬以长方形ABCD的四条边为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案.若长方形ABCD的相邻两边的长之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD的面积是（ B ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
（第10题）
B
11. （2024·成都模拟）若ab＝7，a2＋b2＝22，则（a－b）2＋2016＝ .
2024
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2
3
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类型三 变形：（a－b）2＝（a＋b）2＋（－4ab）
12. （2024·贵港期末）若a＋b＝5，ab＝－1，则（a－b）2的值为（ D ）
A. 25 B. 1 C. 21 D. 29
13. （2024·淄博期末）若m，n是长方形的长和宽，且（m＋n）2＝9，（m－n）2＝1，则这个长方形的面积是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
14. （2024·苏州期中）若（x＋2y）2＝（x－2y）2＋A，则代数式A为 .
D
B
8xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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19
15. （2024·咸阳期中）已知（x＋y）2＝49，xy＝2，求（x－y）2－xy的值.
解：因为（x＋y）2＝49，xy＝2，所以（x－y）2－xy＝（x＋y）2－4xy－xy＝（x＋y）2－5xy＝49－5×2＝39.
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19
类型四 变形：（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）
16. （2024·潍坊段考）若（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，则x2＋y2的值为（ C ）
A. －25 B. 24
C. 25 D. 50
17. （2024·茂名段考）若a－b＝2，a2＋b2＝7，则a＋b的值为（ C ）
A. ± B. ±
C. ± D. ±
C
C
1
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18. 已知实数a，b满足a＋b＝1，a2＋b2＝2，求a－b的值.
解：因为a＋b＝1，a2＋b2＝2，所以（a－b）2＝2（a2＋b2）－（a＋b）2＝2×2－1＝3.所以a－b＝± .
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类型五 多种变形的综合应用
19. （2024·景德镇期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图①所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用一张A种纸片，一张B种纸片，两张C种纸片拼成如图②所示的大正方形.
（1） 若要拼出一个面积为（a＋3b）（2a＋b）的长方形，则需要A种纸片 张，B种纸片 张，C种纸片 张.
2
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19
（2） 观察图②，请你写出（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系： .
根据得出的等量关系，解决问题：已知（2021－x）2＋
（2023－x）2＝2024，求（2021－x）（2023－x）的值.
解：（2） 设a＝x－2021，b＝2023－x，则a＋b＝2.因为（2021－x）2＋（2023－x）2＝2024，所以（x－2021）2＋（2023－x）2＝2024.所以a2＋b2＝2024.所以2ab＝（a＋b）2－（a2＋b2）＝4－2024＝－2020.所以ab＝－1010.所以（x－2021）（2023－x）＝－1010.所以（2021－x）（2023－x）＝1010.
（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab
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19
（3） 将正方形ABCD和正方形AEFG按如图③所示的方式摆放，两个正方形的边长分别为x，y.若x2＋y2＝52，BE＝2，求图中涂色部分的面积和.
解：（3） 由题意可知，DG＝BE＝2，则x－y＝2.所以（x－y）2＝4＝x2＋y2－2xy.又因为x2＋y2＝52，所以xy＝24.所以（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝100.所以x＋y＝10（负值舍去）.所以涂色部分的面积和为 DG·DC＋ EF·BE＝ x×2＋ ×2×y＝x＋y＝10.
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19(共8张PPT)
8.1 幂的运算
第2课时 幂的乘方
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 计算（－x2）3的结果是（ A ）
A. －x6 B. x6 C. －x5 D. －x8
2. 下列计算正确的是（ D ）
A. x3＋x2＝x5 B. （x3）3＝x6
C. x2·x3＝x6 D. （x3）4＝x12
A
D
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3. 已知m为正整数，给出下列等式：① a2m＝（am）2；② a2m＝（a2）m；③ a2m＝（－am）2；④ a2m＝（－a2）m.其中，一定成立的有（ B ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 若k为正整数，则 等于（ A ）
A. k2k B. k2k＋1 C. 2kk D. k2＋k
5. 填空：[＝ ；（ ·x3＝ ；[（a－2b）2]5＝ .
6. （1） 已知（ ＝a9，则n＝ .
（2） 若3×92m×273m＝327，则m＝ .
B
A
－a15
x17
（a－2b）10
3
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1
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3
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7. ★计算：
（1） （－a2）5·（－a5）2.
解：原式＝－a20.
（2） 8（a8）3－32（a4）6.
解：原式＝－24a24.
（3） [（x＋2y）3]6·[（x＋2y）9]2.
解：原式＝（x＋2y）36.
（4） [（2y－3x）2]n＋1·[（3x－2y）2n＋1]3.
解：原式＝（3x－2y）8n＋5.
1
2
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13
8. 已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n的值为（ D ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. 已知a＝233，b＝322，c＝411，则a，b，c的大小关系是（ A ）
A. b＞a＞c B. a＞b＞c
C. c＞a＞b D. c＞b＞a
10. （2024·亳州涡阳期末）已知2a＋3b－3＝0，则4a×23b的值为 .
11. （2024·安庆大观期中）已知9n＋1－32n＝72，则n的值为 .
D
A
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
12. 已知n为正整数，且x2n＝4，求：
（1） xn－3·x3n＋3的值.
解：（1） 因为x2n＝4，所以xn－3·x3n＋3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16.
（2） 9（x3n）2－13（x2）2n的值.
解：（2） 因为x2n＝4，所以9（x3n）2－ ＝9x6n－13x4n＝9（x2n）3－13（x2n）2＝9×43－13×42＝576－208＝368.
1
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13. 若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n.利用上述结论，解决下列问题.
（1） 若2×8x×16x＝222，求x的值.
（2） 若（27x）2＝312，求x的值.
解：（1） 因为2×8x×16x＝222，所以2×（23）x×（24）x＝222.所以2×23x×24x＝222.所以21＋3x＋4x＝222.所以1＋3x＋4x＝22，解得x＝3.
解：（2） 因为（27x）2＝312，所以（33x）2＝312.所以36x＝312.所以6x＝12，解得x＝2.
1
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13(共19张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算（x＋2y）2的结果为（ A ）
A. x2＋4xy＋4y2 B. x2＋2xy＋4y2
C. x2＋4xy＋2y2 D. x2＋4y2
A
1
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6
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2. （2024·常德模拟）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2的是（ D ）
D
1
2
3
4
5
6
7
8
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17
3. 下列运用乘法公式计算正确的是（ B ）
A. （2x－1）2＝4x2－2x＋1
B. （y－2x）2＝4x2－4xy＋y2
C. （a＋5b）2＝a2＋5ab＋25b2
D. （x＋2y）2＝x2＋4xy＋2y2
4. 如果多项式x2＋mx＋36＝（x＋n）2是完全平方公式，那么m＝ .
B
±12
1
2
3
4
5
6
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8
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（1） .
解：原式＝ m2－4m＋16.
（2） （－2a＋3）（3－2a）.
解：原式＝（3－2a）2＝9－12a＋4a2＝4a2－12a＋9.
（3） .
解：原式＝（ 4x＋ y）2＝16x2＋4xy＋ y2.
5. 计算：
1
2
3
4
5
6
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8
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17
（4） （2x－y＋3z）2.
解：原式＝[（2x－y）＋3z]2＝（2x－y）2＋6（2x－y）z＋9z2＝4x2－4xy＋y2＋12xz－6yz＋9z2.
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6. （2024·聊城期末）已知a－ ＝5，则a2＋ 的值是（ A ）
A. 27 B. 25 C. 23 D. 7
7. 已知（m－n）2＝20，（m＋n）2＝400，则m2＋n2的值为（ B ）
A. 201 B. 210
C. 402 D. 420
A
B
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17
8. 若a＋b＝－3，ab＝－10，则a－b的值是（ C ）
A. 0或7 B. 0或－13
C. －7或7 D. －13或13
C
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17
9. （2024·舟山期末）将边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一条直线上.已知a＋b＝12，ab＝22，则图中涂色部分的面积为（ B ）
A. 28 B. 39
C. 61 D. 68
（第9题）
B
1
2
3
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5
6
7
8
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17
10. （2024·六安金安一模）已知a，b，c是互不相等的三个实数，且a＝2b－c，则下列结论正确的是（ A ）
A. b2－ac＞0 B. b2－ac＝0
C. b2－ac＜0 D. b2－ac≥0
A
11. （2024·乐山）已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝ .
12. 已知（2021－x）2＋（x－2020）2＝2019，则（2021－x）（x－2020）的值是 .
29
－1009
1
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3
4
5
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9
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13. ★先化简，再求值：（x＋2y）2－（x－y）2－3y2＋1，其中x＝－1，y＝ .
解：原式＝x2＋4xy＋4y2－（x2－2xy＋y2）－3y2＋1＝x2＋4xy＋4y2－x2＋2xy－y2－3y2＋1＝6xy＋1.当x＝－1，y＝ 时，原式＝6×（－1）× ＋1＝－2＋1＝－1.
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14. （2024·合肥庐阳期中）已知x＋y＝3，xy＝－1，试求下列代数式的值：
（1） x2＋y2.
解：（1） 因为（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy，x＋y＝3，xy＝－1，所以9＝x2＋y2－2.所以x2＋y2＝11.
（2） x－y.
解：（2） 因为x2＋y2＝11，所以（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝11－2×（－1）＝13.所以x－y＝± .
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15. 阅读材料，并解答问题.
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2，可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝（a＋b）2－2ab或a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，从而使某些问题得到解决.
例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值.
解：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝52－2×3＝19.
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（1） 已知a＋ ＝6，求a2＋ 的值.
解：（1） 因为 ＝a2＋ ＋2，所以a2＋ ＝ －2＝62－2＝34.
（2） 已知a－b＝2，ab＝3，求a4＋b4的值.
解：（2） 因为a－b＝2，ab＝3，所以a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝22＋2×3＝10，a2b2＝9.所以a4＋b4＝（a2＋b2）2－2a2b2＝102－2×9＝82.
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16. （2024·六安霍邱二模）已知a，b为实数，且满足ab＞0，a＋b－2＝0.当a－b的值为整数时，ab的值为（ C ）
A. 或 B. 或1
C. 或1 D. 或
C
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17. （核心素养·几何直观）（2024·合肥瑶海期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（a＞b），现将B放在A的内部得到甲图，将A，B并列放置后构造新的正方形得到乙图，已知甲图和乙图中涂色部分的面积分别为4和16.
（1） 用含a，b的代数式分别表示甲图中涂色部分的面积为 ，
乙图中涂色部分的面积为 .
（a－b）2
2ab
1
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17
（2） 求正方形A，B的面积之和.
解：（2） 根据题意，得（a－b）2＝4，2ab＝16，所以a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝4＋16＝20.所以正方形A，B的面积之和为20.
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17
（3） 将三个正方形A和两个正方形B按如图丙所示的方式摆放，求涂色部分的面积.
解：（3） 由（2）知，（a－b）2＝4，2ab＝16，a＞b，所以ab＝8，a－b＝2.所以（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab＝4＋32＝36.因为a＋b＞0，所以a＋b＝6.所以（a＋b）（a－b）＝a2＋ab－ab－b2＝a2－b2＝6×2＝12.所以丙图中涂色部分的面积为（2a＋b）2－3a2－2b2＝a2－b2＋4ab＝12＋4×8＝44.
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17(共15张PPT)
8.1 幂的运算
第4课时 同底数幂的除法
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥肥东模拟）计算x5÷（－x）的结果是（ C ）
A. －x5 B. x5 C. －x4 D. x4
2. （2024·安徽模拟）计算（－a）6÷a的结果是（ C ）
A. a6 B. －a6 C. a5 D. －a5
3. （2024·云南）下列计算正确的是（ D ）
A. x3＋5x3＝6x4 B. x6÷x3＝x5
C. （a2）3＝a7 D. （ab）3＝a3b3
C
C
D
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4. 计算：
（1） （－2）6÷24＝ .
（2） （－m3）2÷m3＝ .
（3） （ab）5÷（－ab）2＝ .
（4） （－2x）3÷（2x）＝ .
5. 某发电工程结束后的当年发电量为5.5×109千瓦时，某市有10万户居民，若平均每户每年用电2.75×103千瓦时，则该发电工程该年所发的电能供该市居民使用 年.
4
m3
a3b3
－4x2
20
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（1） x8÷（－x）3.
解：原式＝－x8÷x3＝－x5.
（2） （－x3）4÷（x2）5.
解：原式＝x12÷x10＝x12－10＝x2.
（3） （－ab2）5÷（ab2）3.
解：原式＝－（ab2）5÷（ab2）3＝－（ab2）5－3＝－（ab2）2＝－a2b4.
（4） （x＋y）5÷（－x－y）2.
解：原式＝（x＋y）5÷（x＋y）2＝（x＋y）5－2＝（x＋y）3.
6. 计算：
1
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24
7. 计算x5m＋3n＋1÷（xn）2·（－xm）2的结果是（ B ）
A. －x7m＋n＋1 B. x7m＋n＋1
C. x7m－n＋1 D. x3m＋n＋1
8. ★ （2024·宣城期末）已知xa＝3，xb＝5，则x3a－2b的值为（ B ）
A. 52 B. C. D.
B
B
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9. （2024·合肥瑶海期中）已知（a3）x＝27，（a2）y＝4，则a4x－3y的值为（ D ）
A. 73 B. 73或89
C. D. ±
10. 若3x＝5，3y＝4，9z＝2，则32x＋y－4z的值为（ D ）
A. B. 10 C. 20 D. 25
11. 已知3m＝6，32m－4n＝4.若9n＝x（x＞0），则x的值为（ C ）
A. 8 B. 4 C. 3 D. 2
D
D
C
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12. 若a3x÷ax－1＝a7，则x的值为 .
13. 已知a－2b＝2，c＝2a÷4b，则ca－2b的值是 .
14. （2023·乐山）若实数m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝ .
15. （2023·宿州泗县期中）已知3m＝4，9n＝2，则32m－2n＋1＝ .
16. 若9a×27b÷81c＝9，则2a＋3b－4c的值为 .
17. 若2a＝3，2b＝5，2c＝ ，则c可以用含a，b的代数式表示为
.
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2
c＝a＋b－2
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18. 已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b＋c×3b＋c＝6a－2，则9a÷27b＝ .
19. 我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am－n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，现规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m－n）＝h（m）÷h（n）.若h（1）＝2，则h（2021）÷h（2013）＝ .
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（1） [（xn＋1）4·x2]÷[（xn＋2）3÷（x2）n].
解：原式＝x4n＋4＋2÷（x3n＋6÷x2n）＝x4n＋6÷xn＋6＝x3n.
（2） （x－y）8÷（y－x）7＋（－x－y）5÷（x＋y）4.
解：原式＝（x－y）8÷[－（x－y）7]－（x＋y）5÷（x＋y）4＝－（x－y）－（x＋y）＝－x＋y－x－y＝－2x.
20. 计算：
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21. 已知10m＝20，10n＝4.
（1） 102m＝ .
（2） 当102m－n＝10a时，求a的值.
解：（2） 因为10m＝20，10n＝4，所以102m－n＝102m÷10n＝（10m）2÷10n＝202÷4＝100＝102＝10a.所以a＝2.
400
（3） 求26m÷8n的值.
解：（3） 因为106m＝（10m）6＝（2×10）6＝26×106，103n＝（10n）3＝43＝26，所以106m÷103n＝106m－3n＝26×106÷26＝106.所以6m－3n＝6.所以26m÷8n＝26m－3n＝26＝64.
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22. （1） 若32×92a＋1÷27a＋1＝81，求a的值.
解：（1） 因为32×92a＋1÷27a＋1＝81，所以32×34a＋2÷33a＋3＝34.所以2＋4a＋2－3a－3＝4，解得a＝3.
（2） 若2x＋3y－4z－1＝0，求9x×27y÷81z的值.
解：（2） 因为2x＋3y－4z－1＝0，所以2x＋3y－4z＝1.所以9x×27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x＋3y－4z＝3.
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23. （1） 若26＝a2＝4b （a＞0），则a＋b的值为 .
（2） 若3x＝2，3y＝4，则92x－y＋27x－y的值为 .
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24. （核心素养·运算能力）用“∪”“∩”定义两种新运算：对于两数a，b，规定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b.例如：3∪2＝103×102＝105，3∩2＝103÷102＝10.
（1） 求1039∪983的值.
解：（1） 1039∪983＝101039×10983＝102022.
（2） 求2022∩2020的值.
解：（2） 2022∩2020＝102022÷102020＝102＝100.
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（3） 当x为何值时，x∪5的值与23∩17的值相等？
解：（3） 由题意，得x∪5＝23∩17，则10x×105＝1023÷1017，所以105＋x＝106，即5＋x＝6，解得x＝1.所以当x的值为1时，x∪5的值与23∩17的值相等.
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24(共15张PPT)
8.1 幂的运算
第1课时 同底数幂的乘法
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·池州二模）计算（－a）2·a4的结果是（ B ）
A. a8 B. a6 C. －a8 D. －a6
2. 下列运算正确的是（ C ）
A. a3·a3＝a9 B. a3＋a3＝a6
C. a3·a3＝a6 D. a2·a3＝a6
3. 已知x＋y－4＝0，则2x×2y的值为 （ C ）
A. 8 B. 64 C. 16 D. 12
B
C
C
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4. （1） （2024·苏州）x3·x2＝ .
（2） × ＝ － .
（3） （－p）3·（－p2）＝ .
（4） （x－y）3·（y－x）＝ .
5. 卫星绕地球运动的速度是7.9×103米/秒，那么卫星绕地球运动3×106秒走过的路程是 米.
6. （1） 若a2n－1·a5＝a8，则n＝ .
（2） 若am＝2，an＝3，则am＋n＝ .
（3） 若27×3x＝39，则x的值为 .
x5
－
p5
－（x－y）4
2.37×1010
2
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7. ★计算：
（1） y2·（－y）4·（－y）5.
解：原式＝y2·y4·（－y5）＝－y2·y4·y5＝－y2＋4＋5＝－y11.
（2） －（x－y）·（y－x）2·（y－x）3.
解：原式＝（y－x）·（y－x）2·（y－x）3＝（y－x）1＋2＋3＝（y－x）6.
（3） a2·（－a）2·a－a3·（－a）2.
解：原式＝a2·a2·a－a3·a2＝a5－a5＝0.
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8. 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B. 某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ A ）
A. 230B B. 830B
C. 8×1010B D. 2×1030B
9. 计算（－2）2024＋（－2）2025的结果是（ A ）
A. －22024 B. －22025
C. 22024 D. 22025
A
A
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10. 如果3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（ B ）
A. xy＝z B. x＋y＝z
C. 2x＋y＝z D. 2xy＝z
B
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11. （1） 已知2×8x×16＝223，则x的值为 .
（2） （2024·六安金寨期末）已知10a＝20，10b＝50，则a＋b的值是 .
（3） 若a＋b＋c＝1，则（－2）a－1×（－2）2b＋2×（－2）a＋2c的值为 .
12. 已知2a＝5，2b＝3.2，2c＝6.4，2d＝10，则a＋b＋c＋d的值为 .
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－8
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13. 我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an＝am＋n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m＋n）＝h（m）·h（n）.已知h（2）＝3，则h（4）＝h（2＋2）＝3×3＝9.那么h（2n）·h（2024）＝ .
14. 已知22×22m－1×23－m＝128，求m的值.
解：因为22×22m－1×23－m＝128，所以22＋2m－1＋3－m＝27.所以2＋2m－1＋3－m＝7，解得m＝3.
3n＋1012
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15. 已知an＋1·am＋n＝a6，a5＋3n·am－5n＝a6，求3m×32n的值.
解：由an＋1·am＋n＝a6，得am＋2n＋1＝a6.所以m＋2n＋1＝6，即m＋2n＝5.由a5＋3n·am－5n＝a6，得am－2n＋5＝a6.所以m－2n＋5＝6，即m－2n＝1.所以 解得 所以3m×32n＝33×32＝35＝243.
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16. 定义：a*b＝5a×5b.
（1） 求1*2的值.
解：（1） 1*2＝5×52＝125.
（2） 若2*（x＋1）＝625，求x的值.
解：（2） 因为2*（x＋1）＝625，所以52×5x＋1＝625.所以5x＋3＝54.所以x＋3＝4.所以x＝1.
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17. 记M（1）＝－2，M（2）＝（－2）×（－2），M（3）＝（－2）×（－2）×（－2），…，M（n）＝
n个－2相乘.
（1） 计算：M（5）＋M（6）.
解：（1） M（5）＋M（6）＝（－2）5＋（－2）6＝－32＋64＝32.
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（2） 求2M（2023）＋M（2024）的值.
（3） 试说明：2M（n）与M（n＋1）互为相反数.
解：（2） 2M（2023）＋M（2024）＝2×（－2）2023＋（－2）2024＝－（－2）×（－2）2023＋（－2）2024＝－（－2）2024＋（－2）2024＝0.
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解：
18. （核心素养·推理能力）一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·…·a，记为an；如2×2×2＝23＝8，此时3叫作以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）.一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫作以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）.如34＝81，则4叫作以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）.
（1） 计算下列各对数的值：log24＝ ；log216＝ ；log264＝ .
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（2） log24，log216，log264之间满足的关系式为 .
（3） 由（2）的结果，请你归纳出logaM，logaN，loga（MN）之间满足的关系式： .
（4） 根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论的正确性.
解：设logaM＝x，logaN＝y，则ax＝M，ay＝N. 所以MN＝ax·ay＝ax＋y.所以loga（MN）＝x＋y，即logaM＋logaN＝loga（MN）.
log24＋log216＝log264
logaM＋logaN＝loga（MN）
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18(共19张PPT)
8.4 因式分解
第3课时 提公因式法与公式法的综合应用
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·云南）将a3－9a分解因式的结果为（ A ）
A. a（a－3）（a＋3） B. a（a2＋9）
C. （a－3）（a＋3） D. a2（a－9）
2. 多项式2x3－4x2＋2x可分解因式为（ A ）
A. 2x（x－1）2 B. 2x（x＋1）2
C. x（2x－1）2 D. x（2x＋1）2
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3. 下列因式分解正确的是（ D ）
A. a3－4a＝a（a－2）2
B. 4a3－a＝4a（a＋1）（a－1）
C. 4a3＋2a2＋a＝a（2a＋1）2
D. 4a3＋4a－8a2＝4a（a－1）2
D
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4. 分解因式：
（1） （2024·绥化）2mx2－8my2＝ .
（2） （2024·达州）3x2－18x＋27＝ .
5. （2023·滁州明光二模）分解因式：4（m－n）m2＋（n－m）n2＝ .
6. （2023·合肥期末）若a＋b＝3，ab＝－1，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为 .
2m（x＋2y）（x－2y）
3（x－3）2
（m－n）（2m－n）·（2m＋n）
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（1） 32x3－18xy2.
解：原式＝2x（16x2－9y2）＝2x（4x－3y）（4x＋3y）.
（2） 3x2y－6xy＋3y.
解：原式＝3y（x2－2x＋1）＝3y（x－1）2.
（3） 5x2＋6y－15x－2xy.
解：原式＝（5x2－15x）－（2xy－6y）＝5x（x－3）－2y（x－3）＝（x－3）（5x－2y）.
7. 分解因式：
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（4） 9x2－y2－4y－4.
解：原式＝9x2－（y2＋4y＋4）＝（3x）2－（y＋2）2＝（3x＋y＋2）·[3x－（y＋2）]＝（3x＋y＋2）（3x－y－2）.
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8. 多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式为（ A ）
A. x－1 B. x＋1
C. x2－1 D. （x－1）2
9. 若m＞－1，则多项式m3－m2－m＋1的值为（ C ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
A
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10. 小宇是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应徽、爱、我、美、游、安.现将3a（x2－1）－3b（x2－1）分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ C ）
A. 我爱游 B. 爱安徽
C. 我爱安徽 D. 美我安徽
C
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11. 多项式x2－10xy＋25y2＋2（x－5y）－8分解因式的结果是（ B ）
A. （x－5y＋1）（x－5y－8）
B. （x－5y＋4）（x－5y－2）
C. （x－5y－4）（x－5y－2）
D. （x－5y－4）（x－5y＋2）
B
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12. 分解因式： ＋ax＋a＝ a（x＋2）2 .
13. 分解因式：x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1＝ .
14. 若y＝x－2，则x2－1＋y2－2xy＝ .
15. 若m2＝n＋2024，n2＝m＋2024（m≠n），则代数式m3－2mn＋n3的值为 .
a（x＋2）2
（x－y－1）2
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－2024
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（1） x3＋6x2＋11x＋6.
解：原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋6＝x（x＋3）2＋2（x＋3）＝[x（x＋3）＋2]（x＋3）＝（x2＋3x＋2）（x＋3）＝（x2＋x＋2x＋2）（x＋3）＝[x（x＋1）＋2（x＋1）]（x＋3）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）.
16. 分解因式：
1
2
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（2） a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）.
解：原式＝a2b－a2c＋b2c－b2a＋c2a－c2b＝（b－c）a2＋（c2－b2）a＋bc（b－c）＝（b－c）[a2－（b＋c）a＋bc]＝（b－c）（a2－ab－ac＋bc）＝（b－c）[a（a－b）－c（a－b）]＝（b－c）（a－b）（a－c）.
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17. 给出三个多项式：① 2x2＋4x－4；② 2x2＋12x＋4；③ 2x2－4x.请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解.
解：由①＋②，得2x2＋4x－4＋2x2＋12x＋4＝4x2＋16x＝4x（x＋4）；由①＋③，得2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4（x＋1）（x－1）；由②＋③，得2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4（x2＋2x＋1）＝4（x＋1）2.
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18. （核心素养·创新意识）阅读材料：
分解因式：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2.
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2.
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
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（1） 分解因式：1＋2（2x－y）＋（2x－y）2＝ .
（2） 分解因式：（a＋b）（a＋b－6）＋9.
解：（2） 原式＝（a＋b）2－6（a＋b）＋9＝（a＋b－3）2.
（1＋2x－y）2
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（3） 试说明：若n为正整数，则代数式（n＋1）（n＋4）（n2＋5n）＋4的值一定是某一个整数的平方.
解：（3） 原式＝（n2＋5n＋4）（n2＋5n）＋4＝（n2＋5n）2＋4（n2＋5n）＋4.将“n2＋5n”看成整体，令n2＋5n＝A，则原式＝A2＋4A＋4＝（A＋2）2.再将“A”还原，得原式＝（n2＋5n＋2）2.因为n为正整数，所以n2＋5n＋2也为正整数.所以代数式（n＋1）（n＋4）（n2＋5n）＋4的值一定是某一个整数的平方.
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19. （2024·安庆桐城期末）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下：
x2－4y2＋2x－4y＝（x2－4y2）＋（2x－4y）…分组
＝（x＋2y）（x－2y）＋2（x－2y）…组内分解因式
＝（x－2y）（x＋2y＋2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题.
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（1） 分解因式：16x2－8x＋2y－y2.
解：（1） 16x2－8x＋2y－y2＝（16x2－y2）－（8x－2y）＝（4x＋y）·（4x－y）－2（4x－y）＝（4x－y）·（4x＋y－2）.
（2） 已知a，b，c满足a2－2ac＋c2＝ab－bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） a＝b＋c. 理由：因为a2－2ac＋c2＝ab－bc，所以a2－2ac＋c2－ab＋bc＝0.所以（a－c）2－b（a－c）＝0.所以（a－c）（a－c－b）＝0.所以a－c＝0或a－c－b＝0.因为a≠c，所以a＝b＋c.
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19(共17张PPT)
8.4 因式分解
第2课时 公 式 法
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·六安舒城期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 （ C ）
A. a2－b B. a2＋2b2
C. 9a2－b2 D. －a2－b2
2. （2024·兰州模拟）把4b2－4ab＋a2分解因式正确的是（ B ）
A. 4b（b－a）＋a2 B. （2b－a）2
C. （2b－a）（2b－a） D. （2b＋a）2
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3. 下列分解因式正确的是（ B ）
A. 3x＋3y＋3＝3（x＋y）
B. x2＋x＋ ＝
C. －x2＋y2＝（x＋y）（x－y）
D. x2－4y2＝（x－4y）（x＋4y）
B
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4. 分解因式：
（1） （2024·无锡）x2－9＝ .
（2） （2024·常州）x2－4xy＋4y2＝ .
（3） （2024·威海）（x＋2）（x＋4）＋1＝ .
（4） （2024·安庆二模）（x＋y）2－6（x＋y－1）＋3＝ .
（x＋3）（x－3）
（x－2y）2
（x＋3）2
（x＋y－3）2
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5. 分解因式：
（1） a2－2a（b－c）＋（b－c）2.
解：原式＝[a－（b－c）]2＝（a－b＋c）2.
（2） （x－1）2＋2（x－5）.
解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝（x＋3）（x－3）.
（3） 4x（x－3y）＋9y2.
解：原式＝4x2－12xy＋9y2＝（2x－3y）2.
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6. 已知4x2＋kx＋9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ D ）
A. 6 B. ±6
C. 12 D. ±12
7. 若多项式x2－ax＋4能分解因式为（x－m）2，则a＋m的值是（ A ）
A. ±6 B. ±4 C. ±2 D. 8
D
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8. 若（a－b－2）2＋｜a＋b＋3｜＝0，则a2－b2的值是（ D ）
A. －1 B. 1 C. 6 D. －6
9. 计算1252－50×125＋252的结果为（ C ）
A. 100 B. 150
C. 10000 D. 22500
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10. 某同学粗心大意，在分解因式时，把x4－ ＝（x2＋4）（x＋2）（x－ ）中的两个数弄污了，则式子中的 ， 覆盖的一组数是（ B ）
A. 8，1 B. 16，2
C. 24，3 D. 64，8
B
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11. （2024·宣城期末）分解因式：（x2＋4）2－16x2＝ .
12. （2023·滁州南谯一模）若a＋b＝4，a－b＝1，则（a＋1）2－（b－1）2的值为 .
13. （2024·汕尾模拟）若x＋y＋z＝2，x2－（y＋z）2＝8，则x－y－z＝ .
14. 已知a2－2a＋b2－4b＋5＝0，则（a－b）2023＝ .
（x＋2）2（x－2）2
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（1） （a2－a）2－（1－a）2.
解：原式＝a2（a－1）2－（a－1）2＝（a2－1）（a－1）2＝（a＋1）（a－1）（a－1）2＝（a＋1）（a－1）3.
（2） （a2＋1）2－4（a2＋1）＋4.
解：原式＝（a2＋1－2）2＝（a2－1）2＝（a＋1）2（a－1）2.
（3） 9（a－b）2＋12（a2－b2）＋4（a＋b）2.
解：原式＝[3（a－b）]2＋2×3（a－b）×2（a＋b）＋[2（a＋b）]2＝[3（a－b）＋2（a＋b）]2＝（5a－b）2.
15. 分解因式：
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16. 先分解因式，再求值：（2a＋3b）2－（4a＋6b）（5b－4a）＋（4a－5b）2，其中b－3a＝ .
解：原式＝（2a＋3b）2－2（2a＋3b）（5b－4a）＋（5b－4a）2＝[2a＋3b－（5b－4a）]2＝（6a－2b）2＝4（3a－b）2.因为b－3a＝ ，所以3a－b＝－ .所以原式＝4× ＝1.
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17. （2024·亳州利辛期末）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2＋bx＋c（a≠0）的多项式变形为a（x＋m）2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫作配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x2＋4x－5＝x2＋2×2x＋22－22－5＝（x＋2）2－9＝（x＋2＋3）（x＋2－3）＝（x＋5）（x－1），即x2＋4x－5＝（x＋5）（x－1）.
根据以上材料，解答下列问题：
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（1） 分解因式：x2－2x－15.
解：（1） 原式＝x2－2x＋1－15－1＝（x－1）2－16＝（x－1＋4）（x－1－4）＝（x＋3）（x－5）.
（2） 已知a，b，c是三角形ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋61＝6a＋8b＋12c，求三角形ABC的周长.
解：（2） 因为a2＋b2＋c2＋61＝6a＋8b＋12c，所以a2＋b2＋c2＋61－6a－8b－12c＝0.所以a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－12c＋36＝0，即（a－3）2＋（b－4）2＋（c－6）2＝0.所以a－3＝0，b－4＝0，c－6＝0，解得a＝3，b＝4，c＝6.所以三角形ABC的周长为a＋b＋c＝3＋4＋6＝13.
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18. 已知多项式4x2＋1与一个单项式的和是一个整式，且可以用完全平方公式进行因式分解，则加上的这个单项式为
.
4x或－4x或－1或－
4x2或4x4
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19. （核心素养·推理能力）（2024·合肥庐阳期中）发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
（1） （3＋1）2－（3－1）2＝ .
（2） 设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论是否正确.
解：（2） 由题意，得（m＋n）2－（m－n）2＝（m＋n＋m－n）（m＋n－m＋n）＝2m×2n＝4mn，又因为m，n为正整数，所以（m＋n）2－（m－n）2能被4整除.所以两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数的结论正确.
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（3） 请说明当两个正整数m，n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差.
解：（3） 由（2），得4mn＝（m＋n）2－（m－n）2，所以mn＝ － .因为正整数m，n同为偶数或同为奇数，所以m＋n，m－n同为偶数.所以 ， 都是整数.所以mn可以表示为两个整数的平方差.
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专题特训（四） 幂的运算法则的综合应用
第8章 整式乘法与因式分解
类型一 正用幂的运算法则计算
1. （2024·合肥蜀山期中）
（1） 计算： －（π－3）0－ .
解：（1） 原式＝ －1－2＝－ .
（2） 化简：x3·x5－（2x4）2＋x10÷x2.
解：（2） 原式＝x8－4x8＋x8＝－2x8.
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2. 已知10x＝a，5x＝b.用含a，b的代数式表示：
（1） 50x的值.
解：（1） 因为10x＝a，5x＝b，所以50x＝（10×5）x＝10x×5x＝ab.
（2） 2x的值.
解：（2） 因为10x＝a，5x＝b，所以a＝（5×2）x＝5x×2x＝b×2x.所以2x＝ .
（3） 20x的值.
解：（3） 因为10x＝a，2x＝ ，所以20x＝（2×10）x＝2x×10x＝ .
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3. （2023·滁州定远期中）
（1） 若3×9n－1×32n＋1＝316，求n的值.
解：（1） 因为3×9n－1×32n＋1＝316，所以3×32n－2×32n＋1＝316.所以31＋2n－2＋2n＋1＝316.所以34n＝316.所以4n＝16.所以n＝4.
（2） 若2x＋2＋2x＋1＝24，求x的值.
解：（2） 因为2x＋2＋2x＋1＝24，所以2×2x＋1＋2x＋1＝24.所以3×2x＋1＝24.所以2x＋1＝23.所以x＋1＝3.所以x＝2.
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类型二 逆用幂的运算法则计算
4. （2024·池州贵池期中）已知10a＝5，10b＝6，求下列各式的值：
（1） 10a＋b.
解：（1） 10a＋b＝10a·10b＝5×6＝30.
（2） 102－2a＋b.
解：（2） 102－2a＋b＝102÷（10a）2·10b＝100÷52×6＝24.
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5. 计算：
（1） ×0.255× ×（－4）5.
解：原式＝ ×0.255× ×（－4）5＝ ×[0.25×（－4）]5＝（－1）8×（－1）5＝－1.
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（2） 0.252020×42021－8673×0.52020.
解：原式＝0.252020×42020×4－（23）673×0.52020＝0.252020×42020×4－22019×0.52019×0.5＝（0.25×4）2020×4－（2×0.5）2019×0.5＝12020×4－12019×0.5＝1×4－1×0.5＝3.5.
（3） ×（100×99×98×…×2×1）100.
解：原式＝（ × × ×…× ×1×100×99×98×…×2×1）100＝（ ×100× ×99× ×98×…× ×2×1×1）100＝1100＝1.
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类型三 利用幂的运算法则比较大小
6. 已知a＝280，b＝450，c＝830，比较a，b，c的大小.
解：因为a＝280，b＝450＝（22）50＝2100，c＝830＝（23）30＝290，280＜290＜2100，所以a＜c＜b.
7. 已知3x＝4，3y＝6，3z＝12，试比较x＋2y与2z的大小.
解：因为3x＝4，3y＝6，3z＝12，所以3x＋2y＝3x×（3y）2＝4×62＝4×36＝144，32z＝（3z）2＝122＝144.所以3x＋2y＝32z.所以x＋2y＝2z.
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8. 阅读材料：
若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小关系.
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，而32＞27，所以a15＞b15.所以a＞b.
解答上述问题逆用了幂的乘方，请你类比以上方法，解决以下问题：
若x5＝2，y3＝3，试比较x与y的大小.
解：因为x15＝（x5）3＝23＝8，y15＝（y3）5＝35＝243，而8＜243，所以x15＜y15.所以x＜y.
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9. （核心素养·运算能力）阅读材料：
已知正整数a，b，c，对于同底数、不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，有ab＞ac；对于同指数、不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，有ab＞cb.
根据上述材料，解答下列问题.
（1） 比较大小：520 420，961 2741（填“＞”“＜”或“＝”）.
＞
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（2） ★比较233与322的大小.
解：（2） 因为233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9，
所以233＜322.
（3） 比较312×510与310×512的大小.
解：（3） 因为(3^12×5^10)/(3^10×5^12 )＝3^2/5^2 ＝9/25＜1，
所以312×510＜310×512.
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类型四 整体思想在幂的运算中的应用
10. （1） 已知x3n＝3，求（－2x2n）3＋4（x2）3n的值.
解：（1） 因为x3n＝3，所以（－2x2n）3＋4（x2）3n＝－8x6n＋4x6n＝－4x6n＝－4（x3n）2＝－4×32＝－4×9＝－36.所以（－2x2n）3＋4（x2）3n的值为－36.
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（2） 已知4a－3b＋7＝0，求32×92a＋1÷27b的值.
解：（2） 因为4a－3b＋7＝0，所以4a－3b＝－7.所以32×92a＋1÷27b＝32×（32）2a＋1÷（33）b＝32＋2（2a＋1）－3b＝34a－3b＋4＝3－7＋4＝3－3＝ .
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类型五 与幂的运算有关的新定义题
11. （2024·宿州埇桥期末）规定a*b＝ab－1，例如：2*1＝2×1－1＝1.
（1） 若42*4x－1＝63，求x的值.
解：（1） 因为a*b＝ab－1，所以42*4x－1＝42×4x－1－1＝41＋x－1＝63.所以41＋x＝64＝43.所以1＋x＝3，解得x＝2.
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（2） 求 *（－0.75）2023的值.
解：（2） 因为a*b＝ab－1，所以 *（－0.75）2023＝ × －1＝ × × －1＝ × －1＝（－1）2022× －1＝1× －1＝－ .
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12. （核心素养·推理能力）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）.如果ac＝b，那么（a，b）＝c.例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3.
根据上述规定，解答下列问题.
（1） ① （4，16）＝ ，（－3，81）＝ .
② 若 ＝－4，则x＝ .
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（2） 小明在研究这种运算时，发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4）.小明给出了如下方法：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n.所以3x＝4，即（3，4）＝x.所以（3n，4n）＝（3，4）.试解决下列问题：
① 求（9，100）－（81，10000）的值.
② 若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系.
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解：（2） ① （9，100）－（81，10000）＝（32，102）－（34，104）＝（3，10）－（3，10）＝0.
② 因为（16，49）＝a，（16，441）＝c，所以（4，7）＝a，（4，21）＝c.所以4a＝7，4c＝21.又因为（4，3）＝b，所以4b＝3.因为4c＝7×3＝4a×4b＝4a＋b，所以c＝a＋b.
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12(共18张PPT)
8.2 整式乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算（x－3）（x＋2）的结果为（ C ）
A. x2－6 B. x2－x＋6
C. x2－x－6 D. x2＋x－6
2. （2024·东营期末）下列各式中，结果错误的是（ C ）
A. （x＋1）（x－3）＝x2－2x－3
B. （x－4）（x＋4）＝x2－16
C. （2x＋3）（2x－6）＝2x2－3x－18
D. （2x－1）（2x＋2）＝4x2＋2x－2
C
C
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3. （2024·阜阳界首期末）若（x2－x＋m）（x－8）的计算结果中不含x的一次项，则m的值为（ B ）
A. 8 B. －8 C. 0 D. 8或－8
4. （2024·合肥期末）若（3x＋2）（x＋p）＝mx2＋nx－2，则下列结论正确的是（ D ）
A. m＝6 B. n＝1
C. p＝－2 D. mnp＝3
B
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5. （2024·亳州期末）设A＝（x＋3）（x－8），B＝（x＋1）（x－6），则A与B的大小关系为（ A ）
A. A＜B B. A＞B
C. A＝B D. 无法确定
A
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6. （2024·合肥包河期末）已知m＋n＝3，mn＝1，则（1－2m）（1－2n）的值为 .
7. 已知x2－x＝3，则代数式（x＋1）（2x－4）的值为 .
8. 计算：
（1） （－a＋2b）（a－5b）.
解：原式＝－a2＋5ab＋2ab－10b2＝－a2＋7ab－10b2.
（2） （2x－7y）（3x＋4y－1）.
解：原式＝6x2＋8xy－2x－21xy－28y2＋7y＝6x2－2x－13xy＋7y－28y2.
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9. ★（2023·长沙）先化简，再求值：（2－a）（2＋a）－2a（a＋3）＋3a2，其中a＝－ .
解：（2－a）（2＋a）－2a（a＋3）＋3a2＝4＋2a－2a－a2－2a2－6a＋3a2＝4－6a.当a＝－ 时，原式＝4－6× ＝4＋2＝6.
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10. 设多项式A是二项式，B是三项式，则A×B的结果的项数一定（ D ）
A. 等于5 B. 不多于5
C. 多于6 D. 不多于6
D
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11. 根据如图①所示的图形面积可以说明多项式的乘法运算（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，那么根据如图②所示的图形面积可以说明的多项式的乘法运算是（ A ）
（第11题）
A
A. （a＋3b）（a＋b）＝a2＋4ab＋3b2
B. （a＋3b）（a＋b）＝a2＋3b2
C. （b＋3a）（b＋a）＝b2＋4ab＋3a2
D. （a＋3b）（a－b）＝a2＋2ab－3b2
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12. 从前，某位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞10）的长方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（ A ）
A. 变小 B. 变大
C. 没有变化 D. 无法确定
A
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13. 如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张.如果要拼一个长为a＋3b、宽为a＋2b的大长方形，那么需要C类卡片 张.
（第13题）
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14. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（3x＋a）（4x＋b）.甲因为把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，所以得到的结果为12x2－5x－2.乙因为漏抄了第二个多项式中x的系数，所以得到的结果为3x2＋5x＋2.
（1） 求正确的a，b的值.
解：（1） 因为（3x－a）（4x＋b）＝12x2＋3bx－4ax－ab＝12x2＋（3b－4a）x－ab＝12x2－5x－2，所以3b－4a＝－5①.因为（3x＋a）（x＋b）＝3x2＋3bx＋ax＋ab＝3x2＋（3b＋a）x＋ab＝3x2＋5x＋2， 所以3b＋a＝5②.联立①②，得 解得
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（2） 计算这道乘法题的正确结果.
解：（2） 这道乘法题的正确结果为（3x＋2）（4x＋1）＝12x2＋11x＋2.
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15. （2024·烟台期末）如图，某公园有一块长为（3a＋b）米，宽为（2a＋b）米的长方形地块，规划部门计划将涂色部分进行绿化，中间修建一座雕像，其底座是边长为（a＋b）米的正方形.求绿化的面积是多少平方米，并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积.
（第15题）
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解：S涂色＝（3a＋b）（2a＋b）－（a＋b）（a＋b）＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2＝（5a2＋3ab）平方米.所以绿化的面积是（5a2＋3ab）平方米.当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×9＋3×3×2＝45＋18＝63.所以当a＝3，b＝2时的绿化面积为63平方米.
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16. （2024·合肥瑶海期中）已知甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示（m为正整数），甲、乙两个长方形的面积分别为S1，S2.
（1） S1与S2的大小关系为S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）.
（2） 若满足条件｜S1－S2｜＜n≤2024的整数n有且只有5个，则m的值为 .
（第16题）
＞
1010
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17. （核心素养·运算能力）（2024·宣城宣州期中）（1） 填空：
（x－1）（x＋1）＝ ；
（x－1）（x2＋x＋1）＝ ；
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝ ；
…
由此可得（x－1）（x9＋x8＋x7＋…＋x2＋x＋1）＝ .
x2－1
x3－1
x4－1
x10－1
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（2） 求1＋2＋22＋23＋…＋29＋210＋211的值.
解：（2） 1＋2＋22＋23＋…＋29＋210＋211＝（2－1）（211＋210＋29＋…＋23＋22＋2＋1）＝212－1.
（3） 根据以上结论计算：
1＋3＋32＋33＋…＋347＋348＋349.
解：（3） 1＋3＋32＋33＋…＋347＋348＋349＝ ×（3－1）（349＋348＋347＋…＋33＋32＋3＋1）＝ .
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8.2 整式乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·湖北）计算2x·3x2的结果是（ D ）
A. 5x2 B. 6x2 C. 5x3 D. 6x3
2. （2023·陕西）计算6xy2· 的结果是（ B ）
A. 3x4y5 B. －3x4y5
C. 3x3y6 D. －3x3y6
3. 计算（－a2b）3·（－b）2的结果是（ D ）
A. a6b6 B. －a6b6 C. a6b5 D. －a6b5
D
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4. 下列各式中，计算正确的是（ C ）
A. 2a2·3a3＝5a5
B. －3a2·（－2a）＝－6a3
C. 2a3·5a2＝10a5
D. （－2a）2·（－a）3＝4a5
C
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5. 计算：
（1） m2n·（－3mn3）＝ .
（2） · ＝ a5b3 .
（3） （－2ab2）3·3a2＝ .
（4） （4×106）×（－3×108）2＝ .
－3m3n4
a5b3
－24a5b6
3.6×1023
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6. ★计算：
（1） 3y3·5y5.
解：原式＝15y8.
（2） － a2b3c· a3b3.
解：原式＝ a2＋3b3＋3c＝－ a5b6c.
（3） 2xy2·（－3x2y3）2.
解：原式＝2xy2·9x4y6＝18x5y8.
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（4） （－2ambn）·（－a2bn）·（－3ab2）.
解：原式＝（－2）×（－1）×（－3）am＋2＋1bn＋n＋2＝－6am＋3b2n＋2.
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7. 计算 ·（－2x2）·（－4x4）的结果为（ B ）
A. －4x6 B. －4x7 C. 4x8 D. －4x8
8. （2024·广安三模）一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作3×103秒运算的次数为（ B ）
A. 12×1024 B. 1.2×1012
C. 12×1012 D. 12×108
B
B
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9. （2023·绵阳涪城期末）计算（a－2）3（ab2）－2，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式为（ D ）
A. B. C. D.
10. 若（5×103）（20×10m）（4×102）＝4×109，则m的值为（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 已知A＝3x2，B＝－2xy2，C＝－x2y2，则A·B2·C＝ .
D
A
－12x6y6
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12. （2024·衡阳模拟）如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，那么这两个单项式的积是 .
13. 若三角形 表示3abc，方框 表示－4xywz，则 × ＝ .
14. 若（am＋1bn＋2）·（a2n－1b2m）＝a3b5，则m＋n的值是 .
－32x8y6
－36m6n3
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（1） （－2x5）2＋（－3x3）·2x7.
解：原式＝4x10－6x10＝－2x10.
（2） 2x·（－3xy）2·（－x2y）3.
解：原式＝2x·9x2y2·（－x6y3）＝[2×9×（－1）]x1＋2＋6y2＋3＝－18x9y5.
15. 计算：
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（3） ·（－3xy2）3· .
解：原式＝ x3y·（－27x3y6）· x2＝－ x8y7.
（4） 5a3b·（－3b）2＋（－ab）（－6ab）2.
解：原式＝5a3b·9b2－ab·36a2b2＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
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16. （1） 先化简，再求值：（－2a2b3）·（－ab2）2＋ ·4b，其中a＝2，b＝1.
解：（1） 原式＝－2a2b3·a2b4＋ a4b6·4b＝－2a4b7＋a4b7＝－a4b7.当a＝2，b＝1时，原式＝－24×1＝－16.
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（2） 已知x3m＝2，y2m＝3，求（x2m）3＋（ym）6－（x2y）3m·ym的值.
解：（2） 因为x3m＝2，y2m＝3，所以（x2m）3＋（ym）6－（x2y）3m·ym＝（x3m）2＋（y2m）3－（x6my3m·ym）＝（x3m）2＋（y2m）3－（x3my2m）2＝22＋33－（2×3）2＝－5.
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17. 一个长方体包装箱的长为3a米，宽为2b米，高为ab米.
（1） 求该包装箱的体积.
解：（1） 这个包装箱的体积为3a·2b·ab＝（3×2×1）（a·a）（b·b）＝6a2b2（立方米）.
（2） 若给该包装箱的表面都喷上油漆，则共需喷上多少平方米的油漆？
解：（2） 这个包装箱的表面积为2×（3a·2b＋3a·ab＋2b·ab）＝（6a2b＋12ab＋4ab2）平方米.所以共需喷上（6a2b＋12ab＋4ab2）平方米的油漆.
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18. 小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少需买木地板的面积为（ A ）
A. 12ab B. 10ab C. 8ab D. 6ab
（第18题）
A
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19. （核心素养·推理能力）已知一列单项式：x，－2x2，4x3，－8x4，….
（1） 按规律写出第10个单项式和第n个单项式.
解：（1） 根据所给的单项式列可知，后一项的系数是前一项系数的－2倍，且x的次数依次增加1.因为这列单项式的第一项为x，所以第10个单项式为－29x10，第n个单项式为（－2）n－1xn.
（2） 计算前10个单项式的积.
解：（2） 前10个单项式的积为x·（－2）x2·（－2）2x3·…·（－2）9x10＝（－2）1＋2＋…＋9·x1＋2＋3＋…＋10＝－245x55.
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（3） 根据规律，写出前n个单项式的积.
解：（3） 前n个单项式的积为x·（－2）x2·（－2）2x3·…·（－2）n－1xn＝（－2）1＋2＋…＋n－1·x1＋2＋3＋…＋n＝ .
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19(共13张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
第8章 整式乘法与因式分解
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02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥庐阳期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ C ）
A. （a＋b）（b＋a） B. （－a＋b）（a－b）
C. D. （a2－b）（b2－a）
2. （2024·威海期末）若A（－b－2a）＝4a2－b2，则代数式A为（ C ）
A. －b＋2a B. b＋2a
C. b－2a D. －b－2a
C
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3. 下列计算正确的是（ C ）
A. （5－m）（5＋m）＝m2－25
B. （1－3m）（1＋3m）＝1－3m2
C. （－4－3n）（－4＋3n）＝－9n2＋16
D. （2ab－n）（2ab＋n）＝4ab2－n2
C
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4. 计算：20232－2022×2024＝ .
5. （2024·凉山）已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝ .
6. ★计算：
（1） （2024·阜阳临泉期末）（x－2y）（x＋2y）－x（x－y）.
解：原式＝x2－4y2－x2＋xy＝－4y2＋xy.
（2） （2024·淮北期末）（2m－1）2－（2m＋1）（2m－1）.
解：原式＝（4m2－4m＋1）－（4m2－1）＝4m2－4m＋1－4m2＋1＝－4m＋2.
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7. （2024·宿州期中）将2024×2026变形正确的是（ A ）
A. 20252－1
B. 20252＋1
C. 20252＋2×2025＋1
D. 20252－2×2025＋1
8. 计算（x＋1）（x2＋1）（x－1）的结果是（ C ）
A. x4＋1 B. （x＋1）4
C. x4－1 D. （x－1）4
A
C
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9. 已知x2－4y2＝4，则计算（x－2y）2（x＋2y）2的结果是（ C ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”.例如：8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“创新数”.下列整数是“创新数”的为（ D ）
A. 20 B. 22 C. 26 D. 24
C
D
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11. （2024·合肥包河期中）如果（3m＋2）（3m－2）＝77，那么m的值为 .
12. 定义运算： ＝ad－bc，等式右边为通常的混合运算，则 ＝ .
±3
4x
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13. （2024·徐州期中）计算： × ＋ ＝ .
14. 从前，某位庄园主人把一块边长为am（a＞8）的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一边长增加8m，相邻的另一边长减少8m，变形成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得租户吃亏了吗？通过计算说明你的结论.
解：租户吃亏了.原正方形土地的面积为a2m2，变形后的土地面积为（a＋8）（a－8）＝（a2－64）m2.变形后的土地面积比原来少了a2－（a2－64）＝64（m2），所以租户吃亏了.
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15. 有一道题：“先化简，再求值：（2a＋1）·（2a－1）＋（a－2）2－4（a＋1）（a－2），其中a＝2”.小明在解题时错误地把a＝2抄成了a＝－2，但计算的结果是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？
解：因为（2a＋1）（2a－1）＋（a－2）2－4（a＋1）·（a－2）＝4a2－1＋a2－4a＋4－4（a2－a－2）＝4a2－1＋a2－4a＋4－4a2＋4a＋8＝a2＋11，所以当a＝2或a＝－2时，a2＋11的值不变.
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16. （2024·邯郸期末）【观察】 （2＋3）2－22＝7×3；（4＋3）2－42＝11×3.
【猜想】 比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
（1） （6＋3）2－62的结果是3的 倍.
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（2） 设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
【延伸】
解：（2） 由题意，得偶数为2n，比偶数大3的数为2n＋3.所以（2n＋3）2－（2n）2＝（2n＋3＋2n）（2n＋3－2n）＝3（4n＋3）.因为4n＋3为整数，所以3（4n＋3）能被3整除.
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（3） 比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由.
解：（3） 余数为3. 理由：设这个整数为n，则比n大3的数为n＋3.所以（n＋3）2－n2＝（n＋3＋n）（n＋3－n）＝6n＋9＝6（n＋1）＋3.所以6（n＋1）＋3被6整除余3，即余数为3.
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16(共17张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第3课时 乘法公式的灵活应用
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 为了运用平方差公式计算（x＋2y－1）（x－2y＋1），下列变形正确的是（ C ）
A. [x－（2y＋1）]2
B. [x＋（2y＋1）]2
C. [x－（2y－1）][x＋（2y－1）]
D. [（x－2y）＋1][（x－2y）－1]
C
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2. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如：利用图①可以得到a（a＋b）＝a2＋ab.利用图②可以得到的数学等式为（ D ）
D
A. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2
B. （a＋b＋c）2＝2a2＋2b2＋2c2
C. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca
D. （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
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3. （2024·广州模拟）已知实数a，b满足（a－b）2＝15，ab＝4，则a4＋b4的值为 .
4. （2024·郴州期末）如果x＋ ＝3，那么 的值为 .
497
－4
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（1） .
解：原式＝ ＝1－ x2＋ x4.
（2） （3b－4a＋2c）（2c－4a－3b）.
解：原式＝（2c－4a＋3b）（2c－4a－3b）＝（2c－4a）2－（3b）2＝4c2－16ac＋16a2－9b2.
5. 计算：
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（3） （2y－3x）3.
解：原式＝（2y－3x）（2y－3x）2＝（2y－3x）（4y2－12xy＋9x2）＝8y3－24xy2＋18x2y－12xy2＋36x2y－27x3＝8y3－36xy2＋54x2y－27x3.
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6. 小宇将（2020x＋2021）2展开后得到多项式a1x2＋b1x＋c1，小明将（2021x－2020）2展开后得到多项式a2x2＋b2x＋c2.若两人计算过程无误，则a1－a2的值为（ B ）
A. －1 B. －4041
C. 4041 D. 1
7. 若（a－c＋b）2＝21，（a＋c＋b）2＝2023，则a2＋b2＋c2＋2ab的值是（ A ）
A. 1022 B. 2002 C. 2023 D. 2040
B
A
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8. 观察下列各式及其展开式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
…
请你猜想（2x－1）8的展开式中含x2项的系数是 .
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9. 计算：
（1） （x－2y＋1）（x＋2y－1）－（x＋2y＋1）（x－2y－1）.
解：原式＝[x－（2y－1）][x＋（2y－1）]－[x＋（2y＋1）][x－（2y＋1）]＝[x2－（2y－1）2]－[x2－（2y＋1）2]＝（2y＋1）2－（2y－1）2＝（2y＋1＋2y－1）（2y＋1－2y＋1）＝4y×2＝8y.
（2） （2a＋3b－1）（1＋2a－3b）＋（1＋2a－3b）2.
解：原式＝[2a＋（3b－1）][2a－（3b－1）]＋[2a－（3b－1）]2＝4a2－（3b－1）2＋4a2－4a（3b－1）＋（3b－1）2＝8a2－4a（3b－1）＝8a2－12ab＋4a.
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10. 阅读材料，并解答问题.
例：计算（a－2b＋3）（a＋2b－3）.
解：原式＝[a－（2b－3）][a＋（2b－3）]①
＝a2－（2b－3）2②
＝a2－4b2＋12b－9③.
（1） 例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是 ，②→③的变形依据是 （填整式乘法公式的名称）.
平方差公式
完全平方公式
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（2） 计算：（a＋2x－y－b）（a－2x＋y－b）.
解：原式＝[（a－b）＋（2x－y）]·[（a－b）－（2x－y）]＝（a－b）2－（2x－y）2＝a2－2ab＋b2－4x2＋4xy－y2.
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11. （核心素养·运算能力）（2024·邢台期末）【探究】 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形（a＞b）得到涂色部分，再把涂色部分剪拼成一个长方形（如图②）.通过观察比较图②与图①中的涂色部分面积，可以得到乘法公式：
（用含a，b的等式表示）.
（a＋b）（a
－b）＝a2－b2
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（1） 20222－2024×2020.
解：（1） 20222－2024×2020＝20222－（2022＋2）（2022－2）＝20222－20222＋4＝4.
【应用】 计算：
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解：（2） ×…× × ＝ × × × ×…× × ＝ × × × × × ×…× × × × ＝ × ＝ .
（2） … × .
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12. （核心素养·几何直观）（2024·郑州期中）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.
（1） 如图①是由边长分别为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图①，可得等式：（a＋2b）（a＋b）＝
.
a2＋
3ab＋2b2
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（2） ① 如图②是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a＋b＋c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 .
② 已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，利用①中所得到的等式，求代数式a2＋b2＋c2的值.
（a＋b＋c）2＝a2＋c2＋b2＋2（ab＋bc＋ac）
解：因为a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，所以a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝112－2×38＝45.
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12(共9张PPT)
8.1 幂的运算
第3课时 积的乘方
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2024·安徽三模）计算（－2a3b）3的结果是（ D ）
A. －6a6b3 B. －8a6b3
C. －6a9b3 D. －8a9b3
2. 计算 的结果为（ C ）
A. － x6y3 B. － x2y3
C. － x6y3 D. － x5y4
D
C
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3. 下列计算正确的是（ D ）
A. （ab2）2＝ab4 B. （3xy）3＝9x3y3
C. （－2a2）2＝－4a4 D. （2×102）2＝4×104
4. （1） （2024·淮北期末） ×22024＝ .
（2） 已知（anbm＋4）3＝a9b6，则mn＝ .
D
－2
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5. ★计算：
（1） （2x2）3－x2·x4.
解：原式＝8x6－x6＝7x6.
（2） （x2y）4＋（－x4y2）2.
解：原式＝x8y4＋x8y4＝2x8y4.
（3） （－0.125）6×221.
解：原式＝ ×221＝ ×221＝ ×23＝1×8＝8.
（4） （－3a3）2·a3＋（－4a）2·a7＋（－5a3）3.
解：原式＝9a6·a3＋16a2·a7－125a9＝9a9＋16a9－125a9＝－100a9.
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6. 在手工制作课上，小明做了一个形状为正方体的数学教具，已知其棱长为3×103mm，求该正方体的表面积和体积.
解：该正方体的表面积为6×（3×103）2＝6×32×（103）2＝6×9×106＝5.4×107（mm2），体积为（3×103）3＝33×（103）3＝27×109＝2.7× ）.
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7. 已知a＝34，b＝43，则下列式子正确的是（ D ）
A. ab＝77 B. ab＝1212
C. a3b4＝77 D. a3b4＝1212
8. 计算（0.5×105）2×（4×103）2的结果是（ D ）
A. 2×1013 B. 2×1016
C. 4×1013 D. 4×1016
D
D
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9. 若3x＋1·5x＋1＝152x－3，则x的值为（ C ）
A. 3 B. －3
C. 4 D. －4
10. 若x3＝－8a6b9，则x＝ .
11. 若32＋32＋32＋32＝n2，则n的值为 .
12. 若x，y均为实数，43x＝2024，47y＝2024，则43xy·47xy＝（ ）x＋y.
13. 已知m为正整数，且x2m＝2，求（2x3m）2－（3xm）2的值.
解：因为x2m＝2，所以（2x3m）2－（3xm）2＝4x6m－9x2m＝4×（x2m）3－9x2m＝4×23－9×2＝4×8－18＝32－18＝14.
C
－2a2b3
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2024
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14. 若2a＝5b＝10，试判断a＋b与ab的大小关系.
解：因为2a＝10，所以2ab＝10b①.因为5b＝10，所以5ab＝10a②.由①×②，得2ab×5ab＝10a×10b.所以（2×5）ab＝10a＋b，即10ab＝10a＋b.所以a＋b＝ab.
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14(共26张PPT)
第8章复习
第8章 整式乘法与因式分解
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 幂的运算
典例1 （2023·安徽）下列计算正确的是（ C ）
A. a4＋a4＝a8 B. a4·a4＝a16
C. （a4）4＝a16 D. a8÷a4＝a2
C
跟踪训练
1. （2024·淮安）下列计算正确的是（ A ）
A. a·a3＝a4 B. a2＋a3＝a5
C. a6÷a＝a6 D. （a3）4＝a7
A
考点二 逆用幂的运算求值
典例2 （2024·安庆大观期末）已知5a＝2，5b＝9.求：
（1） 52a的值.
解：（1） 因为5a＝2，所以52a＝（5a）2＝22＝4.
（2） 53a－2b的值.
解：（2） 因为5a＝2，5b＝9，所以53a－2b＝53a÷52b＝（5a）3÷（5b）2＝23÷92＝ .
跟踪训练
2. （2024·蚌埠期末）若2a＋3b－1＝0，则4a×23b的值为（ C ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
C
考点三 用科学记数法表示绝对值小于1的数
典例3 （2024·大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米.数据0.00000156用科学记数法表示为（ C ）
A. 1.56×10－5 B. 0.156×10－5
C. 1.56×10－6 D. 15.6×10－7
C
跟踪训练
3. （2024·广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 秒.
4.3×10－17
考点四 整式的混合运算
典例4 计算：
（1） （3x2y）2·（－15xy3）÷（－9x4y2）.
解：（1） 原式＝9x4y2·（－15xy3）÷（－9x4y2）＝[9×（－15）÷（－9）]（x4·x÷x4）·（y2·y3÷y2）＝15xy3.
（2） 2x2－（x＋1）（2x－1）－3（x＋1）（x－3）.
先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，那么先算括号里的，同级运算按照从左到右的顺序进行.
解：（2） 原式＝2x2－（2x2－x＋2x－1）－3（x2－3x＋x－3）＝2x2－（2x2＋x－1）－3（x2－2x－3）＝2x2－2x2－x＋1－3x2＋6x＋9＝－3x2＋5x＋10.
跟踪训练
4. 计算：
（1） （x2）3－2x3[x3－x2（4x＋1）].
解：原式＝x6－2x3·（x3－4x3－x2）＝x6－2x3·（－3x3－x2）＝x6＋6x6＋2x5＝7x6＋2x5.
（2） （24x2y－12x2y）＋8xy÷（－6xy）.
解：原式＝12x2y－ .
考点五 因式分解
典例5 分解因式：
（1） 9a2－4.
解：原式＝（3a＋2）（3a－2）.
（2） a3－2a2＋a.
解：原式＝a（a2－2a＋1）＝a（a－1）2.
（3） x2－4xy＋4y2－1.
解：原式＝（x－2y）2－1＝（x－2y＋1）（x－2y－1）.
跟踪训练
5. 分解因式：
（1） x2y2－x2（y－1）2.
解：原式＝x2[y2－（y－1）2]＝x2[y＋（y－1）][y－（y－1）]＝x2（y＋y－1）（y－y＋1）＝x2（2y－1）.
（2） （x2－2xy＋y2）＋（－2x＋2y）＋1.
解：原式＝（x－y）2－2（x－y）＋1＝（x－y－1）2.
（3） （x2－5x）（x2－5x－2）－24.
解：原式＝（x2－5x）2－2（x2－5x）－24＝（x2－5x＋4）（x2－5x－6）＝（x－1）（x－4）（x－6）（x＋1）.
考点六 乘法公式的灵活应用
典例6 （核心素养·几何直观）（1） 如图①，可以求出涂色部分的面积是 （写成两数平方差的形式）.
（2） 如图②，若将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）.
（3） 比较图①、图②中涂色部分的面积，可以得到公式：
.
a2－b2
（a＋b）（a－b）
（a＋
b）（a－b）＝a2－b2
（4） 运用你所得到的公式，计算：（a＋b－2c）·（a－b＋2c）.
解：（a＋b－2c）（a－b＋2c）＝[a＋（b－2c）][a－（b－2c）]＝a2－（b－2c）2＝a2－b2＋4bc－4c2.
跟踪训练
6. （核心素养·推理能力）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”.例如：3＝22－12，7＝42－32，8＝32－12，因此3，7，8都是“智慧数”.
（1） 18 “智慧数”，2017 “智慧数”（填“是”或“不是”）.
不是
是
（2） 除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？请说明理由.
解：除1外的正奇数一定是“智慧数”. 理由：设这个奇数为2n＋1（n为正整数）.因为2n＋1＝（n＋1）2－n2，所以除1外的正奇数一定是“智慧数”.
1. （2024·六安霍邱期末）埃格斯特朗（简称埃，符号为 ）是一个长度单位，它不是国际制单位，但是可与国际制单位进行换算，即1 ＝0.0000000001米，即纳米的十分之一.将数据0.0000000001用科学记数法表示为（ D ）
A. 1×1010 B. 1×109
C. 1×10－9 D. 1×10－10
D
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2. （2024·合肥庐阳三模）下列计算正确的是（ D ）
A. 3a7－2a3＝a4
B. （－a）7÷a3＝a4
C. （2a3）2＝4a5
D. （－a）·a3＝－a4
3. （2024·黄山二模）计算（－3x）2·（－2x3）的正确结果为（ C ）
A. 18x5 B. 36x5
C. －18x5 D. －36x5
D
C
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4. （2024·宿州期末）已知（x＋m）（x＋n）＝x2－3x－4，则m2＋n2的值为（ A ）
A. 17 B. 1
C. －3 D. 15
A
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5. （2023·合肥蜀山模拟）分解因式：2m2－8mn＋8n2＝ .
6. 已知a＋b－2＝0，则代数式（a2－b2）2－8（a2＋b2）的值为 .
7. （2024·合肥蜀山期中）我们规定 ＝ad－bc，例如： ＝
1×4－2×3＝－2.已知 ＝5，则代数式2m2－6n－1
的值是 .
2（m－2n）2
－16
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8. （2024·六安霍邱期末）（1） 已知10m＝50，10n＝ ，求10m－n的值.
解：（1） 因为10m＝50，10n＝ ，所以10m－n＝10m÷10n＝50÷ ＝100.
（2） 已知3·2t·4t－23t＝16，求t的值.
解：（2） 因为3·2t·4t－23t＝3·2t·22t－23t＝3·23t－23t＝23t×（3－1）＝23t×2＝23t＋1＝16＝24，所以3t＋1＝4，解得t＝1.
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9. （核心素养·几何直观）（2023·安庆潜山期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图①），将剩下部分按照虚线分割成两部分，将这两部分拼成一个长方形（如图②）.
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（1） 设图①中涂色部分的面积为S1，图②中涂色部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ （不必化简）.
（2） 由（1）中的结果可以验证的乘法公式为
.
（3） 利用（2）中得到的公式，计算：10232－1022×1024.
解：10232－1022×1024＝10232－（1023－1）×（1023＋1）＝10232－（10232－1）＝10232－10232＋1＝1.
a2－b2
（a＋b）（a－b）
（a＋b）（a－b）
＝a2－b2
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9(共18张PPT)
8.2 整式乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·兰州）计算2a（a－1）－2a2的结果为（ D ）
A. a B. －a C. 2a D. －2a
2. （2024·西安模拟）计算（－3x）·（2x2－5x－1）的结果是（ B ）
A. －6x2－15x2－3x B. －6x3＋15x2＋3x
C. －6x3＋15x2 D. －6x3＋15x2－1
D
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3. 下列计算正确的是（ D ）
A. －2x（x－y）＝－2x2－2xy
B. a2（a3＋1）＝a6＋a2
C. （b2－b＋1）·b＝b3－b2＋1
D. 2x（x2－y）＝2x3－2xy
4. 若三角形的底边长为5m，对应高的长为2m－1，则此三角形的面积为（ D ）
A. 10m2＋5m B. 5m2－1
C. 10m2－5m D. 5m2－ m
D
D
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5. 计算：
（1） 2x（3x2＋1）＝ .
（2） a（a－b）＋ab＝ .
（3） （－2x＋1）（－5x2）＝ .
（4） （－3x）·（2x2－5x－1）＝ .
6x3＋2x
a2
10x3－5x2
－6x3＋15x2＋3x
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6. 如图，通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式：
.
（第6题）
2a（a
＋b）＝2a2＋2ab
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7. 计算：
（1） ab· .
解：原式＝ a2b3－a3b2.
（2） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a－4）.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3＋8a2＝－4a2＋9a.
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8. 有这样一道题：－3x（－2x2＋3x－1）＝6x3－□＋3x，其中“□”的地方被墨水污染了.你认为“□”处应填写（ B ）
A. －9x2 B. 9x2 C. 9x D. －9x
9. （2024·合肥瑶海期中）若计算（x2＋ax＋5）·（－2x）－6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ A ）
A. －3 B. － C. 0 D. 3
B
A
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10. 代数式yz（xz＋2）－2y（3xz2＋z＋x）＋5xyz2的值（ A ）
A. 只与x，y有关 B. 只与y，z有关
C. 与x，y，z都无关 D. 与x，y，z都有关
11. 当a＝－2时，a2（a4＋4a2＋16）－4（a4＋4a2＋16）的值为 .
12. （2024·无锡期中）若5m＝6，6n＝5，则2m（3m－n）－m（2n＋6m）＋3的值为 .
13. （2024·郑州期中）已知M＝y2＋2y＋a，N＝－y，P＝y3＋2y2－5y＋2，且M·N＋P的值与y无关，则a＝ .
A
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14. （2024·湖南永州期末）先化简，再求值：2x（x2－x＋1）－x（2x2＋2x－3），其中x＝1.
解：原式＝2x3－2x2＋2x－2x3－2x2＋3x＝－4x2＋5x.当x＝1时，原式＝－4＋5＝1.
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15. 解方程：2x（x＋1）－x（3x－2）＝1－x2.
解：去括号，得2x2＋2x－3x2＋2x＝1－x2.整理，得4x＝1.系数化为1，得x＝ .
16. 已知a（x2＋x－c）＋b（2x2－x－2）＝7x2＋4x＋3，求a，b，c的值.
解：因为a（x2＋x－c）＋b（2x2－x－2）＝7x2＋4x＋3，所以（a＋2b）x2＋（a－b）x－（ac＋2b）＝7x2＋4x＋3.所以a＋2b＝7，a－b＝4，－（ac＋2b）＝3.所以a＝5，b＝1，c＝－1.
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17. 某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果是x2－4x＋1，那么正确的计算结果是多少？
解：这个多项式为（x2－4x＋1）－（－3x2）＝4x2－4x＋1.正确的计算结果是（4x2－4x＋1）·（－3x2）＝－12x4＋12x3－3x2.
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18. 一张长方形硬纸片的长为（5a2＋4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为 a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.求这个无盖盒子的外表面积.
解：由题意，得（5a2＋4b2）·6a4－4× ＝30a6＋24a4b2－9a6＝（21a6＋24a4b2）m2.所以这个无盖盒子的外表面积是（21a6＋24a4b2）m2.
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19. 已知ab2＝－1，则－ab（a2b5－ab3－b）的值为（ C ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 无法确定
C
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20. （核心素养·几何直观）（2024·南宁期中）将7张如图①所示的长方形纸片按照如图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为S1，S2.已知长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.
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（1） 当a＝7，b＝2，AD＝20时，求长方形ABCD的面积.
解：（1） 由图可知，长方形ABCD的宽AB为a＋4b，长为AD，所以长方形ABCD的面积为AD·（a＋4b）.所以当a＝7，b＝2，AD＝20时，长方形ABCD的面积为20×（7＋4×2）＝20×（7＋8）＝20×15＝300.
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（2） 当AD＝20时，请用含a，b的式子表示S1－S2的值.
解：（2） 由图可知，面积为S1的长方形的长为AD－a，宽为4b，面积为S2的长方形的长为AD－3b，宽为a，所以当AD＝20时，S1－S2＝4b·（AD－a）－a（AD－3b）＝80b－4ab－20a＋3ab＝80b－20a－ab.
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（3） 当AD＝m时，若S1－S2的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？
解：（3） 由（2）可知，S1－S2＝4b（AD－a）－a（AD－3b），所以当AD＝m时，S1－S2＝4b（m－a）－a（m－3b）＝4mb－4ab－am＋3ab＝m（4b－a）－ab.因为S1－S2的值与m无关，所以4b－a＝0，即a＝4b.
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20(共14张PPT)
8.1 幂的运算
第6课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
第8章 整式乘法与因式分解
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（ D ）
A. 1 B. －2 C. 0.813 D. 8.13
2. （跨学科融合·语文）（2024·六安金安二模）“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.若苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084＝8.4×10n，则n的值为（ B ）
A. －5 B. －6 C. 5 D. 6
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3. 一种细菌的半径是5×10－4m，用小数把5×10－4表示出来是 .
4. 用科学记数法表示下列各数：
（1） 0.05056＝ .
（2） －0.0000389＝ .
0.0005
5.056×10－2
－3.89×10－5
5. 用小数表示下列各数：
（1） 2×10－8＝ .
（2） －7.01×10－6＝ .
0.00000002
－0.00000701
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6. 已知1cm3的某种气体的质量为0.00009g，一块橡皮的质量为45g.
（1） 用科学记数法表示1cm3的这种气体的质量.
解：（1） 0.00009g＝9×10－5g.
（2） 这块橡皮的质量是1cm3的这种气体的质量的多少倍（结果用科学记数法表示）？
解：（2） 45÷0.00009＝500000＝5×105.所以这块橡皮的质量是1cm3的这种气体的质量的5×105倍.
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7. 已知1纳米＝10－9米，将 纳米用科学记数法表示为a×10n米的形式，则a，n的值分别为（ A ）
A. 2.5，－10 B. 2.5，－9
C. 2.5，－8 D. 4，－10
A
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8. （2023·马鞍山一模）去年某市城镇居民人均可支配收入接近38000元，用科学记数法表示为3.8×104元，还可以用科学记数法表示为（ B ）
A. 3.8×10－3亿元 B. 3.8×10－4亿元
C. 38×10－5亿元 D. 3.8×10－5亿元
9. 计算3.8×10－7－3.7×10－7，结果用科学记数法表示为（ D ）
A. 0.1×10－7 B. 1×10－6
C. 0.1×10－8 D. 1×10－8
B
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10. 已知a＝3.1×10－4，b＝5.2×10－8，下列关于a－b的值的说法正确的是（ B ）
A. 比1大 B. 介于0，1之间
C. 介于－1，0之间 D. 比－1小
11. 若数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10－n，则3.7×10n表示的原数为（ A ）
A. 3700000 B. 370000
C. 37000000 D. －3700000
B
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12. 某种病毒的最大直径约为1.2×10－7m，则将1.2×10－7用小数表示时，小数点后“0”的个数是 .
13. 给出下列结论：① 用四舍五入法得到的近似数1.08×10－4精确到百万位；② 用小数表示5.62×10－8为0.0000000562；③ 1.56×10－6米的一百万倍接近初中学生小丽的身高；④ 把0.00258用科学记数法表示为a×10n的形式，则a＋n＝5.58.其中，正确的是 （填序号）.
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②③
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14. 把1.001×10－9，9.99×10－8，1.002×10－8，9.9999×10－7按照由小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
解：1.001×10－9＜1.002×10－8＜9.99×10－8＜9.9999×10－7.
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15. 雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，整个过程共用了0.0000524秒.已知电磁波的传播速度为3×108米/秒，求该时刻飞机与雷达站之间的距离（结果用科学记数法表示）.
解：0.0000524＝5.24×10－5，3×108×5.24×10－5÷2＝7.86×103（米）.所以该时刻飞机与雷达站之间的距离是7.86×103米.
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16. 一个正方体集装箱的棱长为0.4m.
（1） 这个集装箱的体积是多少（用科学记数法表示）？
解：（1） 因为一个正方体集装箱的棱长为0.4m，所以这个集装箱的体积是0.4×0.4×0.4＝0.064＝6.4×10－2（m3）.
（2） 若有一个小立方块的棱长为1×10－3m，则这个集装箱至多能装多少个这样的小立方块？
解：（2） 因为一个小立方块的棱长为1×10－3m，所以这个集装箱至多能装[0.4÷（1×10－3）]3＝64000000（个）这样的小立方块.
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17. 人们用“捡了芝麻，丢了西瓜”比喻因小失大.有人做过试验，2万粒芝麻的质量约为80克.如果一个西瓜的质量为4千克，那么估计一粒芝麻的质量与这个西瓜质量的比值为（ C ）
A. 10－4 B. 10－5
C. 10－6 D. 10－7
C
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18. （跨学科融合·化学）水与我们的日常生活密不可分.科学家研究发现，一个水分子的质量大约是3×10－26千克，那么8克水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子由2个氢原子和1个氧原子构成，若1个氧原子的质量约为2.657×10－26千克，求1个氢原子的质量（结果用科学记数法表示）.
解： ÷（3×10－26）≈2.667×1023（个）.[（3×10－26）－（2.657×10－26 ）]÷2＝1.715×10－27（千克）.所以8克水中大约有2.667×1023个水分子，1个氢原子的质量约为1.715×10－27千克.
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