(共17张PPT)
9.2 分式的运算
第5课时 分式的混合运算
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·珠海一模）化简 · ＋ 的结果是（ B ）
A. 0 B. 1 C. a D. a－1
2. （2024·信阳三模）化简 ÷ 的结果是（ A ）
A. 2a B. －2a
C. 2a2－2a D. 2a2＋2a
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3. （2024·北京二模）如果m＋n＝1，那么代数式 · 的值为（ A ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
A
4. （2024·合肥模拟）化简： ÷ ＝ .
5. （2024·阜阳模拟）计算： · －x＋1＝ .
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（1） （2024·泸州） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ .
（2） （2024·东营） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ .
6. 计算：
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7. 若 ÷ 的运算结果为整式，则“○”表示的式子可能为（ C ）
A. a－b B. a＋b
C. ab D. a2－b2
C
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8. 如图，老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，则被遮住的部分是（ D ）
A. B.
C. D.
（第8题）
D
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9. （2024·聊城模拟）若 ÷ 的计算结果为正整数，则下列对x值的描述最准确的是（ B ）
A. x为自然数 B. x为大于1的奇数
C. x为大于0的偶数 D. x为正整数
B
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10. （2024·邯郸模拟）若x为正整数，则表示 ÷ 的值的点落在如图所示的区域（ B ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
（第10题）
B
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11. 一块麦田有a公顷，甲收割机单独收完这块麦田用b小时，让乙收割机来收这块麦田，结果比甲收割机多用1小时才收割完.这两台收割机共同来收割这块麦田需要 小时完成.
12. （2024·安庆大观三模）先化简，再求值： · ，其中x＝ －1.
解：原式＝ · ＝ · ＝x＋1.当x＝ －1时，原式＝ －1＋1＝ .
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13. （2024·宿州泗县期末）先化简 ÷ ，再从不等式组 的解集中选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝2x＋4.解不等式组 得－3＜x≤1.又因为x≠0且x≠±1，且x为整数，所以x可以取－2，此时原式＝0.
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14. 已知A＝ ÷ .
（1） 化简A.
解：（1） A＝ ÷ ＝ · ＝ · ＝ .
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（2） 把A化简结果的分子与分母同时加上3后得到B，当a＞2时，B的值和原来A的值相比变大了还是变小了？请说明理由.
解：（2） B的值和原来A的值相比变小了. 理由：由题意，得B＝ .所以A－B＝ － ＝ ＝ .因为a＞2，所以（a－2）（a＋1）＞0.所以A－B＞0.所以A＞B. 所以B的值和原来A的值相比变小了.
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（3） 若A的值为整数，且a也为整数，求所有符合条件的a的值.
解：（3） 因为A＝ ＝1＋ 为整数，a也为整数，所以a－2是4的因数.所以a－2＝±1，±2，±4.所以a＝3，1，4，0，6，－2.因为当a＝1时不符合题意，所以所有符合条件的a的值为0，3，4，6，－2.
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15. （2024·南充模拟）已知x＋y－1＝0，y＋z－2＝0，则（x－y＋z）
的值是（ B ）
A. －1 B. －3 C. 1 D. 3
B
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16. （核心素养·推理能力）观察以下等式：
第1个等式： × ＝2－ ；
第2个等式： × ＝2－ ；
第3个等式： × ＝2－ ；
第4个等式： × ＝2－ ；
第5个等式： × ＝2－ ；
…
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按照以上规律，解决下列问题.
（1） 写出第6个等式： .
（2） 写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并说明理由.
解：理由：因为左边＝ × ＝ ＝ － ＝2－ ＝右边，所以等式成立.
× ＝2－
× ＝2－
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16(共16张PPT)
9.2 分式的运算
第1课时 分式的乘除
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥蜀山二模）计算 ÷ 的结果为（ D ）
A. B.
C. D.
2. 计算 · 的结果是（ B ）
A. －x B. x C. 2x D. x3
D
B
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3. 计算a2÷ ·b的结果是（ C ）
A. a2 B. C. ab2 D. 2a2b2
4. （2024·葫芦岛期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 ÷ .已知该式子的正确计算结果为 ，则被污染的代数式为（ C ）
A. B. C. D.
C
C
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5. 计算： ÷ ＝ .
6. 化简：
（1） 3xy÷ ÷ .
解：原式＝3xy· · ＝ .
（2） · .
解：原式＝－ · ＝－ .
（3） ★ ÷ .
解：原式＝ · ＝ .
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7. 在一块a公顷的稻田上插秧，人工插秧需要m天完成.如果用插秧机工作，要比人工插秧提前3天完成，那么插秧机的工作效率是人工插秧效率的（ A ）
A. B. C. D.
A
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8. 计算 · ÷ 的结果是（ B ）
A. B. －
C. D. －
B
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9. 某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.对于甲、乙、丙三个人的接力过程，下列判断正确的是（ C ）
A. 甲、乙、丙都正确 B. 甲有错误
C. 乙有错误 D. 丙有错误
C
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10. 小明在计算 ÷ 时，把运算符号“÷”错看成了“×”，得到的计算结果是 ，则正确的结果是 .
11. 若化简 ÷ 的结果为 ，则a＝ .
12. 化简： ÷ · ＝ － .
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13. 由甲地到乙地的一条铁路全程为skm，火车全程运行时间为ah；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh，那么火车的速度是汽车速度的 倍.
14. 先化简，再求值： · ÷ ，其中a满足a2－a＝0.
解：原式＝ · × ＝（a－2）（a＋1）＝a2－a－2.当a2－a＝0时，原式＝0－2＝－2.
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15. 小明在做化简求值题（x2－4y2）÷ · 时，不小心把x的值抄漏了，只抄了y＝－5，他能算出这道题的正确结果吗？请说明理由.
解：小明能算出这道题的正确结果. 理由：原式＝（x＋2y）（x－2y）· · ＝－y.所以当y＝－5时，原式＝5.所以这道题的结果与x的取值无关.所以小明能算出这道题的正确结果.
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16. （核心素养·几何直观）如图①，甲种玉米试验田是半径为Rm的圆去掉宽为1m的出水沟剩下的部分（涂色部分）；如图②，乙种玉米试验田是半径为Rm的圆中间去掉半径为1m的圆剩下的部分（涂色部分）.两块试验田的玉米都收获了450kg.
（1） 哪种玉米的单位面积产量高？
（第16题）
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解：（1） 甲种玉米试验田的面积是π（R－1）2m2，单位面积产量是 kg/m2；乙种玉米试验田的面积是π（R2－1）m2，单位面积产量是 kg/m2.因为R2－1－（R－1）2＝2（R－1），R－1＞0，所以R2－1－（R－1）2＝2（R－1）＞0.所以R2－1＞（R－1）2＞0.所以 ＜ .所以甲种玉米的单位面积产量高.
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（2） 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（2） ÷ ＝ × ＝ .所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍.
（第16题）
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17. （核心素养·应用意识）用水清洗蔬菜上残留的农药，假设用x（x≥1）千克的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 .现有a（a＞2）千克的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次.要使清洗后蔬菜上残留的农药量较少，应怎样清洗？请说明理由.
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解：要使清洗后蔬菜上残留的农药量较少，应把水平均分成两份后清洗两次. 理由：设清洗前蔬菜上残留的农药量为m千克.依题意，知用a千克的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量为 千克.把a千克的水平均分成两份，清洗两次后，蔬菜上残留的农药量为 · ＝ ＝ （千克）.因为a＞0，即 ＞0，所以1＋a＋ ＞1＋a.又因为m＞0，所以 ＜ .所以把a千克的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量较少.
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17(共17张PPT)
9.2 分式的运算
第4课时 分式的加减
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·天津）计算 － 的结果为（ A ）
A. 3 B. x C. D.
2. （2024·淮北二模）化简 ＋ 的结果是（ A ）
A. －1 B. 1 C. D.
3. （2024·芜湖无为模拟）化简 － 的结果是（ C ）
A. B. C. D.
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4. （2024·池州青阳期末）已知x＋y＝4，xy＝2，则 ＋ 的值为（ B ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 计算：（1） ＋ ＝ .
（2） － ＋ ＝ .
6. 已知 ＝ ＋ ，则A＝ .
B
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（1） － .
解：原式＝ ＝ .
（2） － .
解：原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝－ .
7. ★计算：
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（3） ＋ － .
解：原式＝ － － ＝ ＝ ＝ ＝2.
（4） －m＋1.
解：原式＝ － ＋ ＝ ＝ ＝1.
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8. （2024·杭州期末）设P＝x－1，Q＝ ，x≠1，有以下2个结论：① 当x＞1时，P＞Q；② 当x＜0时，P＜Q. 下列判断正确的是（ A ）
A. ①错误，②正确 B. ①正确，②错误
C. ①②都错误 D. ①②都正确
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9. （跨学科融合·物理）照相机成像运用了一个重要原理，用公式 ＝ ＋ （v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f，v，则u等于（ C ）
A. B. C. D.
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10. （2024·怀化期中）已知 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，则 的值为（ D ）
A. －2 B. C. － D.
D
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11. （2024·仪征期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x，y，x*y＝ － .根据此规则化简（m－1）*（m＋1）的结果为 .
12. 甲队单独完成一项工程需要（2a－6）天，乙队单独完成这项工程要比甲队多用8天，则甲、乙两队平均每天共完成的工作量为 .
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13. （2024·扬州期中）对于正数x，规定f（x）＝ ，例如：f（4）＝ ＝ ，f ＝ ＝ ，则f（2024）＋f（2023）＋…＋f（2）＋f（1）＋f ＋f ＋…＋f ＝ .
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14. 已知3m－5n＝0，求 ＋ － 的值.
解：原式＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ ＝ .因为3m－5n＝0，所以m＝ n.所以原式＝ ＝ ＝ .
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15. （核心素养·应用意识）甲、乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料.两次购买饲料的价格不同，两名采购员的购买方式也不同.其中甲每次购买1000千克，乙每次购买800元.设两次购买饲料的价格分别是每千克m元和每千克n元（m，n为正整数，且m≠n）.
（1） 甲、乙两人两次购买饲料的平均价格分别为每千克多少元？
解：（1） 甲两次购买饲料的平均价格为每千克 ＝ （元），乙两次购买饲料的平均价格为每千克 ＝ （元）.
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（2） 谁的购买方式更合算？
解：（2） 因为 － ＝ － ＝ ＝ ，又因为m，n为正整数，且m≠n，所以 ＞0.所以 ＞ .所以乙的购买方式更合算.
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16. 已知x为整数，且 ＋ ＋ 的值为整数，则符合条件的x的值有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
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17. （核心素养·运算能力）（2023·合肥一模）观察下列等式：
第1个等式：a1＝1＋ ＝ ；
第2个等式：a2＝1＋ ＝ ；
第3个等式：a3＝1＋ ＝ ；
第4个等式：a4＝1＋ ＝ ；
…
根据以上规律，解答下列问题.
（1） 写出第5个等式： ；写出第n个等式： .
a5＝1＋ ＝
an＝1＋ ＝
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（2） 由分式的性质可知 － ＝ ，试求a1＋a2＋a3＋…＋a2022－2023的值.
解：a1＋a2＋a3＋…＋a2022－2023＝1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋…＋1＋ －2023＝1＋1－ ＋1＋ － ＋1＋ － ＋…＋1＋ － －2023＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － －1＝－ .
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17(共19张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第1课时 分式的有关概念
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列代数式中，为分式的是（ D ）
A. B. C. D.
2. （2024·阜阳界首期末）若分式 有意义，则x满足的条件是（ C ）
A. x≠－1 B. x≠－2
C. x≠2 D. x≠－1且x≠2
D
C
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3. 若分式 的值为0，则x的值为（ C ）
A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1
4. （2024·六安霍邱期中）在代数式－ ， ，x＋y， ， ， 中，
分式有 个.
5. （1） （2024·安徽）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 .
（2） （2024·济南）若分式 的值为0，则实数x的值为 .
C
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x≠4
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6. 河上游的码头甲与下游的码头乙相距skm，轮船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为bkm/h，则轮船从码头甲到码头乙往返一次航行所需时间为 h.
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（1） .
解：x≠0.
（2） .
解：x≠3.
（3） .
解：x≠±7.
7. 下列分式的分母满足什么条件时，分式有意义？
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（4） .
解：a≠1.
（5） .
解：2m≠3n.
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8. （2024·马鞍山花山期末）对于x取任何实数都有意义的分式为（ A ）
A. B.
C. D.
A
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9. 在分式 中，当x＝－a时，下列结论正确的是（ C ）
A. 分式的值为0
B. 分式无意义
C. 当a≠－ 时，分式的值为0
D. 当a≠ 时，分式的值为0
C
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10. ★（2024·安庆潜山期末）若分式 的值为0，则x的值为 .
11. 若 ＝0，则2x－3y＝ .
12. 已知当x＝－4时，分式 无意义，当x＝2时，分式 的值为0，则 的值为 .
0
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13. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a（0＜a＜8）元，之后的每一分钟收费b元.若某人打该长途电话被收费8元，则此人打电话的时间是 分钟.
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（1） 甲、乙两个工程队要挖一条长为1500米的排水沟，先由甲工程队挖，每小时挖a米，2小时后改由乙工程队挖，乙工程队每小时挖的比甲工程队的2倍少15米，则乙工程队需要多少小时才能把剩下的排水沟挖完？
解：（1） 乙工程队需要 小时才能把剩下的排水沟挖完.
14. 解决下列问题：
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（2） 林林家距离公园a千米，林林骑自行车从家到公园需要b分钟.某天，林林从家骑自行车出发c分钟后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达公园，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？
解：（2） 爸爸每分钟比林林多骑（ － ）千米.
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15. （核心素养·几何直观）某科研团队培育两个品种的水稻，甲品种水稻试验田是边长为am的正方形除去一个边长为bm的正方形蓄水池后余下的部分，如图①所示；乙品种水稻试验田是边长为（a－b）m的正方形，如图②所示.两个品种的水稻试验田的水稻都收获了1000kg，哪个品种的水稻试验田每平方米的产量高？
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解：根据题意，得甲品种水稻试验田每平方米的产量为 kg，乙品种水稻试验田每平方米的产量为 kg.因为a＞b＞0，所以（a2－b2）－（a－b）2＝a2－b2－a2＋2ab－b2＝2ab－2b2＝2b（a－b）＞0.所以a2－b2＞（a－b）2.所以 ＜ .所以乙品种水稻试验田每平方米的产量高.
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16. 若 是一个整数，则整数x的所有可能的取值的个数为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
17. 若分式 的值为正数，则x的取值范围是 .
C
x＞2或x＜1
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18. （核心素养·推理能力）在一次数学练习课上，徐老师为同学们出了这样一道题：当x＝－ ，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝ 时，求分式 的值.
（1） 请你完成这道题.
解：（1） 把x＝－ 代入 ，得 ＝ ＝ ；把x＝－2代入 ，得 ＝ ＝ ；把x＝0代入 ，得 ＝ ；把x＝1代入 ，得 ＝ ；把x＝ 代入 ，得 ＝ ＝ .
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（2） 做完这道题后，小鑫发现：无论x取何值，上述分式都有意义，你知道这是为什么吗？
解：（2） 因为x2－2x＋3＝（x2－2x＋1）＋2＝（x－1）2＋2，无论x为何值，（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋2≥2.所以（x－1）2＋2≠0，即x2－2x＋3≠0.所以无论x取何值，分式 都有意义.
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（3） 如果分式 不论x取何实数总有意义，求m的取值范围.
解：（3） 因为x2－2x＋m＝（x2－2x＋1）＋（m－1）＝（x－1）2＋（m－1），所以当m－1＞0，即m＞1时，不论x取何实数，分式 都有意义.
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18(共19张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第3课时 分式的约分
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 约分 的结果是（ A ）
A. － B. － C. D. －
2. 下列约分正确的是（ C ）
A. ＝1 B. ＝a－b
C. ＝a＋b D. ＝－1
A
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3. 下列分式中属于最简分式的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
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4. 约分：
（1） ＝ .
（2） ＝ .
（3） ＝ .
（4） ＝ .
m－1
2－6x
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5. 琪琪在化简分式 时得到的结果为 ，则？部分的代数式应该为 .
（x－2）2
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（1） .
解： ＝ ＝ .
（2） .
解： ＝ ＝ .
6. 约分：
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（3） .
解： ＝ ＝－ .
（4） .
解： ＝ ＝ ＝ .
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7. 若 是一个最简分式，则“△”可以是（ A ）
A. x B. C. 3 D. 3x
A
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8. 下列约分错误的是（ D ）
A. ＝－
B. ＝
C. ＝2x－2y
D. ＝x－y
D
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9. 已知n是自然数，且 能约分，则n的最小值是（ B ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 以上都不是
10. 若m为整数，则能使 也为整数的m的值有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 若m为实数， 不是最简分式，则m＝ .
12. 已知非零实数x，y满足y＝ ，则 ＝ .
B
C
0或－4
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13. （1） 先化简，再求值： ，其中a＝2，b＝－ .
解：原式＝ ＝ ＝ .当a＝2，b＝－ 时，原式＝ ＝ ＝ .
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（2） （2024·北京）已知a－b－1＝0，求代数式 的值.
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .因为a－b－1＝0，所以a－b＝1.所以原式＝ ＝3.
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14. 如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.若a为正整数，且 为“和谐分式”，请求出所有a的值.
解：由题意，可知x2＋ax＋4可以分解因式，且a为正整数.所以易得x2＋ax＋4＝（x＋4）（x＋1）或x2＋ax＋4＝（x＋2）2.因为（x＋4）（x＋1）＝x2＋5x＋4，（x＋2）2＝x2＋4x＋4，所以a的值为5或4，符合题意.
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15. 有下列式子：
＝ ； ＝ ；…
仔细观察式子，我们作如下猜想： ＝ .请说明猜想的正确性[参考公式：x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）].
解：因为左边＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝右边，所以猜想 ＝ 正确.
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16. （核心素养·推理能力）（2024·宿迁期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如： ＝ ＝4x，则称分式 是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题.
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（1） 有下列分式：① ；② ；③ .其中，是“巧分式”的有 （填序号）.
①③
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（2） 若分式 （m，n为常数）是“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m，n的值.
解：（2） 因为分式 （m，n为常数）是“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，所以（x＋n）（x－7）＝x2－4x＋m.所以x2＋（n－7）x－7n＝x2－4x＋m.所以n－7＝－4，m＝－7n.所以n＝3，m＝－21.
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解：（3） 是“巧分式”. 理由：因为分式 的“巧整式”为1－x，所以A＝ ＝ ＝ ＝2x（1＋x），即A＝2x2＋2x.所以 ＝
＝ ＝ ＝x＋1.因为x＋1是整式，所以 是“巧分式”.
（3） 若分式 的“巧整式”为1－x，请判断 是否为“巧分式”，并说明理由.
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16(共13张PPT)
专题特训（六） 分式的化简求值
第9章 分 式
类型一 化简后直接代入求值
1. （2024·兰州）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝4.
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .当a＝4时，原式＝ ＝ .
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2. （2024·合肥庐江二模）先化简，再求值： · － ，其中x＝ ＋1.
解：原式＝ · － ＝ － ＝ .当x＝ ＋1时，原式＝ ＝ .
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3. （2024·北京朝阳期末）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝ .
解：原式＝［ － ］÷ ＝ · ＝ .当a＝ ＝3时，原式＝ ＝3.
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解：原式＝ － ÷ ＝ － ÷ ＝ － ÷ ＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ .因为 ＋（n＋2）2＝0，所以m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2.当m＝1，n＝－2时，原式＝ ＝－3.
4. （2024·重庆期末）先化简，再求值： － ÷ ，
其中m，n满足 ＋（n＋2）2＝0.
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类型二 化简后整体代入求值
5. （2024·宣城期中）已知x－ ＝3，则x2＋ 的值为（ D ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 11
6. （2024·武汉期末）已知a＋b＝2，则 · 的值为（ A ）
A. B. 2 C. 4 D.
D
A
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7. （2024·淮北期末）已知a＋b＝3，ab＝－3，则 ＋ ＝ .
8. （2024·内江）已知实数a，b满足ab＝1，则 ＋ ＝ .
9. 先化简，再求值： ÷ ，其中a2－a－1＝0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .因为a2－a－1＝0，所以a2＝a＋1.所以原式＝ ＝1.
－5
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类型三 化简后选择字母的值代入求值
10. （2024·蚌埠期末）先化简 ÷ ，再从－1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解：原式＝［ ＋ ］÷ ＝ · ＝ · ＝ .因为x≠－1，0，1，所以x可以取2，此时原式＝ .
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11. （2024·衡阳模拟）先化简 ÷ ，再从－2≤x≤2中选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
解：原式＝－ ÷ ＝－ · ＝－ .因为－2≤x≤2且x为整数，所以x可取的值有－2，－1，0，1，2.又因为x≠2，0，－2，所以x可取的值有－1，1.取x＝－1代入，原式＝－ ＝－1（取x＝1代入，原式＝－ ＝－ ）.
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解：原式＝ ＋ ÷ ＝ ＋ ÷ ＝ ＋ · ＝ － ＝ .因为a是满足不等式组 的整数，解该不等式组，得－1≤a＜4，所以a可取的值为－1，0，1，2，3.因为当a＝0或±1或2时，原分式无意义，所以a的值为3.所以原式＝ ＝ .
12. 先化简，再求值： ＋ ÷ ，其中a是满足不等式组 的整数.
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类型四 化简后利用字母代换约分求值
13. （2024·合肥瑶海期中）已知 － ＝2，则分式 的值为（ B ）
A. － B.
C. － D.
B
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14. （2024·广元）先化简，再求值： ÷ － ，其中a，b满足b－2a＝0.
解：原式＝ · － ＝ － ＝ .因为b－2a＝0，所以b＝2a.所以原式＝ ＝ .
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15. 先化简，再求值：1＋ ÷ ，其中m，n满足 ＝－ .
解：原式＝1＋ · ＝1－ ＝ － ＝ .因为 ＝－ ，所以m＝－ n.所以原式＝ ＝ ＝－6.
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15(共9张PPT)
9.2 分式的运算
第2课时 分式的乘方
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 化简 的结果是（ D ）
A. － B. C. － D.
2. 下列计算正确的是（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
C
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11
3. （2023·河北）化简x3 的结果是（ A ）
A. xy6 B. xy5 C. x2y5 D. x2y6
4. 计算 ÷a· 的结果为（ B ）
A. B. C. a2 D. b2
A
B
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11
5. 计算：（1） ·a2＝ － .
（2） ÷ ＝ .
（3） ÷ ＝ .
－
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11
6. 计算：
（1） · · .
解：原式＝ · · ＝－ .
（2） ÷ · .
解：原式＝－ · · ＝－ .
（3） · ·（a2－b2）.
解：原式＝ · ·（a－b）（a＋b）＝ .
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11
7. 计算 与 的结果可知，它们（ C ）
A. 相等 B. 互为倒数
C. 互为相反数 D. 以上都不对
8. 化简 ÷ · 的结果是（ D ）
A. －x2 B. －x3 C. －x2y4 D. －
C
D
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11
9. 若x＋y＝5，则 ÷ 的值为 .
10. 计算：
（1） · ÷ .
解：原式＝－ · ÷ ＝－ · · ＝－ .
（2） · .
解：原式＝ · ＝ .
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11
11. （2024·邯郸段考）计算 ÷ ÷ 的值，其中x＝2.甲同学把“x＝2”抄成“x＝－2”，但他的计算结果也是正确的.你说说这是怎么回事.
解：原式＝ · ·x3＝x4.因为当x＝2或x＝－2时，原式＝16，所以把“x＝2”抄成“x＝－2”，他的计算结果也是正确的.
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11(共26张PPT)
第9章复习
第9章 分 式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 与分式有、无意义及分式的值为0相关的问题
典例1 （1） （2023·合肥期末）若分式 有意义，则a满足的条件是（ B ）
A. a≠1 B. a≠－1
C. a≠±1 D. a可以为任何实数
（2） 若分式 的值为0，则x的值为 .
B
－2
跟踪训练
1. 对于分式 ，下列说法正确的是（ B ）
A. 当m＝0时，分式无意义
B. 当m＝3时，分式的值为0
C. 当m＝－3时，分式的值为0
D. 当m＝－2时，分式的值为0
B
考点二 分式的基本性质
典例2 （2024·榆林期中）下列变形正确的是（ C ）
A. ＝ B. ＝－
C. ＝ D. ＝
C
跟踪训练
2. （2024·临汾期末）下列变形正确的是（ C ）
A. ＝－ B. ＝
C. ＝－ D. ＝a＋b
C
考点三 分式的运算
典例3 （2024·长治二模）计算 ÷ 的结果是（ B ）
A. B. C. D.
B
跟踪训练
3. （2024·漯河二模） ÷ 的化简结果为 .
考点四 分式的化简求值
典例4 先化简，再求值： ÷ ，其中a＝ ，b＝（－2022）0.
解：原式＝［ － ］· ＝ · ＝ · ＝ .因为a＝ ＝3，b＝（－2022）0＝1，所以原式＝ ＝ .
跟踪训练
4. （2023·合肥瑶海模拟改编）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝5.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .当x＝5时，原式＝ ＝ .
考点五 分式方程及其解法
典例5 （2024·驻马店期末）解方程： ＋ ＝ .
解：方程两边同时乘以x（x－1），得5（x－1）＋4x＝x＋3.去括号，得5x－5＋4x＝x＋3.移项、合并同类项，得8x＝8.系数化为1，得x＝1.检验：当x＝1时，x（x－1）＝0，则x＝1是原方程的增根，故原方程无解.
跟踪训练
5. （2024·兰州模拟）解方程： －1＝ .
解：方程两边同乘以3（y－1），得3y－3（y－1）＝2y.去括号，得3y－3y＋3＝2y.合并同类项，得2y＝3，解得y＝ .检验：当y＝ 时，3（y－1）≠0，故原方程的解为y＝ .
考点六 分式方程的应用
典例6 （2024·合肥长丰一模）某超市购进一批A商品，在销售的过程中发现A商品比较畅销，准备第二次购入.第二次购进A商品的单价比第一次购进的单价贵3元，已知该超市第一次用360元购进A商品的件数与第二次用480元购进A商品的件数相同.问该超市第一次购进A商品的单价是多少元？
解：设该超市第一次购进A商品的单价是x元，则第二次购进A商品的单价是（x＋3）元.根据题意，得 ＝ ，解得x＝9.经检验，x＝9 是原分式方程的解，且符合题意.所以该超市第一次购进A商品的单价是9元.
跟踪训练
6. （2024·合肥肥西一模）春季阳光明媚，某班级利用周末时间去公园开展春游活动，甲、乙两名同学分别从距离活动地点1200m和1800m的两地同时出发，参加活动.已知乙同学的速度是甲同学速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4min到达活动地点.求甲、乙两名同学的速度.
解：设甲同学的速度是xm/min，则乙同学的速度是1.2xm/min.根据题意，得 － ＝4，解得x＝75.经检验，x＝75是所列方程的解，且符合题意.所以1.2x＝1.2×75＝90.所以甲同学的速度是75m/min，乙同学的速度是90m/min.
1. （2024·温州三模）当x＝1时，下列分式无意义的是（ A ）
A. B. C. D.
A
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2. 下列等式中，一定成立的是（ C ）
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. （－3a－2b2c）－2＝
C
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3. 试卷上一个正确的式子 ÷★＝ 被小颖不小心滴上了墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（ A ）
A. B. C. D.
4. （2024·西安期末）已知关于x的分式方程 － ＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ B ）
A. m≤4 B. m≤4且m≠3
C. m≤0 D. m≤0且m≠－1
A
B
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5. 若x是非负整数，则表示 － 的值的点落在如图所示的数轴上的区域（ B ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①或②
（第5题）
B
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6. （2024·徐州）分式方程 ＝ 的解为 .
7. （2024·济宁）已知a2－2b＋1＝0，则 的值是 .
8. （2024·牡丹江）先化简，再求值： ÷ ，并从－1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值.
x＝1
2
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .因为x≠0且x≠3，所以x＝－1或x＝1或x＝2.当x＝－1时，原式＝ ＝－ （或当x＝1时，原式＝－1；当x＝2时，原式＝－2）.
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9. （2024·亳州期末）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由同学们合作完成分式的计算.如图，老师把题目交给一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.
（1） 写出这个“接力游戏”中计算错误的同学.
解：（1） 小明，小红.
（第9题）
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（2） 请你写出正确的解答过程.
解：（2） 正确的解答过程如下： －a＋1＝ －（a－1）＝ － ＝ ＝ .
（第9题）
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10. （核心素养·模型思想）（2024·安庆期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，七（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植.已知吊兰的单价比绿萝的单价贵5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同.
（1） 求绿萝和吊兰的单价.
解：（1） 设绿萝的单价为x元，则吊兰的单价为（x＋5）元.由题意，得 ＝ ，解得x＝10.经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，则x＋5＝15.所以绿萝的单价为10元，吊兰的单价为15元.
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（2） 若购买绿萝的数量是吊兰数量的2倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
解：（2） 设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆.由题意，得15m＋10×2m≤600，解得m≤17 .因为m为正整数，所以m的最大值为17.所以购买吊兰的数量最多是17盆.
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10(共18张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·南阳期末）下列分式与 相等的是（ D ）
A. B. C. D.
2. （2024·长春期末）分式 可变形为（ A ）
A. － B. －
C. D.
D
A
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3. （2024·六安霍邱期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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4. 根据分式的基本性质填空：
（1） ＝ .
（2） ＝ .
（3） ＝ .
（4） ＝ .
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5. 不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“－”号.
（1） .
解： .
（2） .
解：－ .
（3） － .
解： .
（4） － .
解：－ .
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6. 不改变分式的值，将下列分式中的分子、分母各项的系数都化为整数.
（1） .
解：原式＝ .
（2） .
解：原式＝ .
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7. 不改变分式 的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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8. 已知分式 的值是a，如果分式中的x，y用它们的相反数代入所得的值为b，那么a，b之间的关系是（ B ）
A. 相等 B. 互为相反数
C. 互为倒数 D. 乘积为－1
B
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9. （2024·合肥期末）若把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ A ）
A. 扩大到原来的2倍 B. 不变
C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的
10. 已知x2－5x－6＝0，则分式 的值为（ B ）
A. B. C. D.
11. 已知 ＝ ，则M＝ .
A
B
－2
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12. 已知 ＝ 成立，则x的取值范围是 .
13. ＝ ＝ ，括号内应依次填入 ， .
14. 如果 ＋ ＝2，那么 ＝ .
x≠0且x≠2
x－y
－2
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15. 已知x＋ ＝5，求 的值.
解：因为x＋ ＝5，所以x2＋ ＝ －2＝25－2＝23.所以原式＝ ＝ ＝ ＝ .
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16. 对分式 进行变形，甲同学的做法是： ＝ ＝a－b；乙同学的做法是： ＝ ＝a－b.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学的做法是否正确，并说明理由.
解：甲同学的做法是正确的，乙同学的做法是错误的. 理由：因为分式 中已经隐含了a＋b≠0，所以可用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以（a＋b）.所以甲同学的做法是正确的.因为a－b是否为0不能确定，所以不能用分式的基本性质，将分式的分子与分母同乘以（a－b）.所以乙同学的做法是错误的.
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17. 阅读材料中的解题过程，完成问题.
若 ＝－2，求 的值.
解：因为 ＝－2，所以a＝－2b.
所以 ＝ ＝ ＝ .
（1） 材料中，由 得 ，是将分式的分子、分母都除以 .
b2
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（2） 已知 ＝ ，求 的值.
解：（2） 因为 ＝ ，所以b＝2a.所以原式＝ ＝ ＝ .
（3） 已知 ＝ ＝ ≠0，求 的值.
解：（3） 设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k.所以原式＝ ＝ ＝ .
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18. （核心素养·创新意识）已知 － ＝2（xy≠0），求分式 的值.该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？
方法一：因为 － ＝2，所以 ＝2.所以y－x＝2xy.所以x－y＝－2xy.所以原式＝ ＝ ＝ ＝－ .
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方法二：xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得原式＝ ＝…
（1） “方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是
.
分式的分子
与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
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（2） 请你将“方法二”中的剩余解题过程补充完整.
解：（2） 因为xy≠0，所以原式＝ ＝ ＝ .因为 － ＝2，所以 － ＝－2.所以原式＝ ＝－ .
（3） 若b＝ab＋a（a，b都不为0），请直接写出 的值.
解：（3） 1.
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18(共9张PPT)
9.2 分式的运算
第3课时 分式的通分
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 分式 ， ， 的最简公分母是（ D ）
A. 36x2y2 B. 24x2y2
C. 12x2y2 D. 6x2y2
2. 若将分式 与 通分，则分式 的分子应变为（ A ）
A. 6m2－6mn B. 6m－6n
C. 2（m－n） D. 2（m－n）（m＋n）
D
A
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3. 分式 ， ，－ 的最简公分母是（ C ）
A. （x2－x）（x＋1） B. （x2－1）（x＋1）2
C. x（x－1）（x＋1）2 D. x（x＋1）2
4. 把 和 化成分母相同的分式.
（1） ＝ .（2） ＝ .
5. 将分式 ， ， 通分，分母所乘以的单项式依次为 ，
， .
C
4a2y
6ax2
3xy2
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6. 分式 ， ， 的最简公分母是 .
7. 通分：
（1） ， ， .
解：最简公分母是10a2b2c2. ＝ ， ＝ ， ＝－ .
2x（x＋1）（x－1）
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（2） ， ， .
解：最简公分母是4（2x＋y）（2x－y）. ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ， ＝－ ＝－ .
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8. 在把 ， ， 通分的过程中，不正确的是（ D ）
A. 最简公分母是（x－2）（x＋3）2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
D
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9. 将分式 ， ， 通分后，各分式的分子之和为 .
10. 已知分式 ， ，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且 ＝3，试求这两个分式的值.
解：由题意，得两个分式中分母的公因式a＝x－1，最简公分母b＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）.所以 ＝ ＝3（x＋1）＝3，解得x＝0.所以 ＝－ ， ＝－2.
2a2＋7a＋11
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11. 小强昨天做了一道分式题“对下列分式通分： ， ”.他的解答过程如下，请你指出他的错误，并改正.
解： ＝ ＝x－3， ＝ ＝3（x＋1）.
解：本题有2个错误：① 通分的结果弄丢了分母，分式通分后应仍为分式；② 第2个分式的符号错误.正确的解答： ＝ ， ＝－ .
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11(共17张PPT)
9.3 分式方程
第2课时 分式方程的应用
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2023·芜湖南陵期末）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等.甲、乙每小时各做多少个零件？设甲每小时做x个零件，则可列方程为（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
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2. （2024·巴中）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度.设慢车的速度为xkm/h，则可列方程为（ A ）
A. － ＝ B. － ＝
C. － ＝ D. － ＝
A
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3. 某乡村为美化环境，计划种植树木1000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25％，结果提前2天完成任务，则实际每天植树 棵.
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4. （2024·自贡）端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组同学多包20个粽子，甲组同学包150个粽子所用的时间与乙组同学包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x＋20）个粽子.根据题意，得 ＝ ，解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意.所以x＋20＝100.所以甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子.
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5. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12min走完全程.设乙的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ D ）
A. － ＝12
B. － ＝0.2
C. － ＝12
D. － ＝0.2
D
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6. 甲打字员计划用若干小时完成文稿的输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员的文稿输入速度是甲打字员的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ C ）
A. 17小时 B. 14小时
C. 12小时 D. 10小时
C
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7. 某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又用9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次的进价提高了20％，购进的干果质量比第一次的2倍还多300千克.如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完，那么超市两次销售这种干果共盈利 元.
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8. （2024·安徽模拟）某校开展劳动实践活动，七年级承包了一项劳动任务，七（1）班单独劳动1小时后，为了加快进度，七（2）班也加入劳动，这样共用3小时完成了任务.已知七（2）班单独完成此项劳动任务需要4小时.
（1） 求七（1）班单独完成此项劳动任务需要多少小时.
解：（1） 设七（1）班单独完成此项劳动任务需要x小时.由题意，得 ＋2 ＝1，解得x＝6.经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意.所以七（1）班单独完成此项劳动任务需要6小时.
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（2） 若两个班从一开始就合作完成此项劳动任务，求需要多少小时完成劳动任务.
解：（2） 设需要y小时完成劳动任务.由题意，得 y＝1，解得y＝2.4.所以需要2.4小时完成劳动任务.
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9. （2024·阜阳界首期末）超市分两次购进甲、乙两种商品若干件，进货总价如下表：
甲种商品 乙种商品
第一次 1200元 900元
第二次 总共不超过1262元
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（1） 第一次购进甲种商品的件数是乙种商品件数的2倍，且甲种商品的单价比乙种商品的单价便宜10元，求甲种商品的单价.
解：（1） 设甲种商品的单价为x元，则乙种商品的单价为（x＋10）元.依题意，得 ＝2× ，解得x＝20.经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意.所以甲种商品的单价为20元.
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（2） 第二次共购进50件，两种商品的单价与第一次相比，甲种商品提高了10％，乙种商品降低了10％，则此次最多购进乙种商品多少件？
解：（2） 设购进乙种商品m件，则购进甲种商品（50－m）件.依题意，得20×（1＋10％）（50－m）＋（20＋10）×（1－10％）m≤1262，解得m≤32 .又因为m为整数，所以m的最大值为32.所以此次最多购进乙种商品32件.
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10. （核心素养·模型思想）（2024·蚌埠期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲种商品的进价比每个乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同.
（1） 求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元.
解：（1） 设每个乙种商品的进价为x元，则每个甲种商品的进价为（x－2）元.根据题意，得 ＝ ，解得x＝10.经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意.所以每个甲种商品的进价为10－2＝8（元），每个乙种商品的进价为10元.
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（2） 若该商场购进甲种商品的数量比乙种商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则该商场最多购进乙种商品多少个？
解：（2） 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y－5）个.由题意，得3y－5＋y≤95，解得y≤25.所以该商场最多购进乙种商品25个.
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（3） 在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
解：（3） 由（2）及题意，得（12－8）（3y－5）＋（15－10）y＞380，解得y＞23 .因为y为整数，且y≤25，所以y＝24或25.所以共有2种方案.方案一：购进甲种商品3×24－5＝67（个），乙种商品24个；方案二：购进甲种商品3×25－5＝70（个），乙种商品25个.
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10(共16张PPT)
专题特训（七） 分式方程的增根问题
第9章 分 式
类型一 根据分式方程判断它的增根
1. 方程 － ＝ 的增根为（ A ）
A. x＝1 B. x＝±1
C. x＝－1 D. x＝0
2. 若关于x的分式方程 ＝ 有增根，则它的增根为（ C ）
A. x＝0或x＝13 B. x＝1
C. x＝1或x＝－2 D. x＝3
A
C
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3. （2023·永州）若关于x的分式方程 － ＝1（m为常数）有增根，则它的增根是 .
x＝4
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类型二 利用分式方程的增根求字母的值
4. 如果关于x的分式方程 ＝ 有增根x＝5，那么k的值为（ C ）
A. 2 B. 5 C. 3 D. －3
5. 若关于x的分式方程 ＋ ＝2－ 有增根x＝－1，则2a－3的值为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
C
B
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6. 如果关于x的分式方程 － ＝ 有增根x＝2，那么k＝ .
7. 已知关于x的分式方程 － ＝ 有增根x＝1，求k的值.
解：去分母，得2（x－1）＋k（x＋1）＝6.因为原分式方程有增根x＝1，所以当x＝1时，2×（1－1）＋k（1＋1）＝6，解得k＝3.
－1
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类型三 利用分式方程无增根求字母的值或取值范围
8. 若关于x的分式方程 － ＝0没有增根，则k的值不可能是（ C ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
9. 若关于x的分式方程 ＝3＋ 没有增根，则m的值可以为_____
（填一个满足条件的值即可）.
C
1
（答案不唯一，只要m≠－2即可）
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10. 当m的取值满足什么条件时，关于x的分式方程 ＋ ＝ 不会产生增根？
解：去分母，得3x－3＋5x＝x＋m.因为分式方程不会产生增根，所以x≠0且x－1≠0，即x≠0且x≠1.把x＝0代入整式方程，得m＝－3；把x＝1代入整式方程，得m＝4.综上所述，当m的取值满足m≠－3且m≠4时，分式方程不会产生增根.
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类型四 利用分式方程有增根求字母的值
11. （2024·六安金寨期末）若关于x的分式方程 ＋3＝ 有增根，则m的值为（ D ）
A. 0 B. C. 1 D. 4
12. 已知关于x的分式方程 －1＝ 有增根，则m的值为（ D ）
A. 0或2 B. 1
C. 1或－2 D. 2
D
D
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13. （2023·巴中）若关于x的分式方程 ＋ ＝3有增根，则m＝ .
14. 当m为何值时，关于x的分式方程 ＋ ＝ 会产生增根？
解：去分母，得x－1＋5（x＋1）＝m.整理，得6x＋4＝m.由分式方程会产生增根，得x＋1＝0或x－1＝0，解得x＝－1或x＝1.把x＝1代入6x＋4＝m，得m＝10；把x＝－1代入6x＋4＝m，得m＝－2.综上所述，当m的值为－2或10时，方程会产生增根.
－1
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15. 已知关于x的分式方程 －1＝ 有增根，请求出增根及此时m的值.
解：去分母，得x（2m＋x）－x（x－3）＝2（x－3）.整理，得（2m＋1）x＝－6.因为分式方程有增根，所以x＝0或x－3＝0，解得x＝0或x＝3.当x＝0时，m不存在；当x＝3时，m＝－ .综上所述，分式方程的增根为x＝3，此时m的值为－ .
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16. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若该分式方程有增根，则增根为 .
（2） 在（1）的条件下，求m的值.
解：去分母，得2（x＋3）＋mx＝3（x－3）.整理，得（m－1）x＝－15.由（1），知原分式方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝－4；当x＝－3时，m＝6.综上所述，m的值为－4或6.
x＝3或x＝－3
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类型五 利用分式方程无解求字母的值
17. 若关于x的分式方程 ＝3无解，则m的值为（ B ）
A. 1 B. 1或3
C. 1或2 D. 2或3
18. ★若关于x的分式方程 ＝ 无解，则m的值为（ D ）
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
B
D
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19. 已知关于x的分式方程 － ＝1无解，则m的值不可能是（ D ）
A. 0 B. －8 C. －4 D. －2
20. （2024·池州青阳期末）若关于x的分式方程 ＝ 无解，则m的值为 .
21. 若关于x的分式方程 ＋ ＝2a无解，则a的值为 1或 .
D
0或2或4
1或
1
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22. （2024·扬州二模）若关于x的分式方程 ＝ ＋1无解，则m的值为 .
23. （2023·滁州凤阳二模）若关于x的分式方程 ＋ ＝ 无解，则m的值为 .
0或2
－1或5或－
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24. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若方程的增根是x＝1，求m的值.
解：（1） 因为原方程的增根是x＝1，所以m＋1＝－5，解得m＝－6.
解：去分母，得2（x＋2）＋mx＝x－1.移项、合并同类项，得（m＋1）x＝－5.
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（2） 若方程有增根，求m的值.
解：（2） 因为原方程有增根，所以x＋2＝0或x－1＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝－6.综上所述，m的值为1.5或－6.
（3） 若方程无解，求m的值.
解：（3） 当m＋1＝0时，该方程无解，此时m＝－1.当m＋1≠0时，要使原方程无解，则方程有增根.由（2），得m＝－6或m＝1.5.综上所述，m的值为－1或－6或1.5.
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24(共16张PPT)
9.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
第9章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列关于x的方程： ＋x＝1， ＋ ＝ ， ＝ ， ＝2.其中，分式方程的个数为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. （2024·济宁）解分式方程1－ ＝－ 时，去分母变形正确的是（ A ）
A. 2－6x＋2＝－5 B. 6x－2－2＝－5
C. 2－6x－1＝5 D. 6x－2＋1＝5
C
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3. （2024·哈尔滨）方程 ＝ 的解是（ C ）
A. x＝0 B. x＝－5
C. x＝7 D. x＝1
4. （2024·盘锦三模）在解分式方程 ＋2＝ 的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母： .
5. 若关于x的分式方程 ＝ ＋1有增根，则m＝ .
C
x（x＋2）（x－2）
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（1） （2024·广州） ＝ .
解：方程两边同乘以x（2x－5），得x＝6x－15，解得x＝3.检验：当x＝3时，x（2x－5）≠0，故原方程的解为x＝3.
（2） （2024·南通） －1＝ .
解：方程两边同乘以3（x＋1），得3x－3（x＋1）＝2x，解得x＝－ .检验：当x＝－ 时，3（x＋1）≠0，故原方程的解为x＝－ .
6. 解下列方程：
1
2
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4
5
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7
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14
（3） （2024·靖江期中） ＋ ＝ .
解：方程两边同乘以（x＋3）（x－3），得4x－12＋6x＝3x＋9，解得x＝3.检验：当x＝3时，（x＋3）（x－3）＝0，则x＝3是分式方程的增根.故原方程无解.
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7. （2024·安庆太湖期末）若关于x的分式方程 ＝ 有增根，则m的值为（ B ）
A. －3 B. －2 C. 2 D. 4
8. （2024·龙东地区）已知关于x的分式方程 －2＝ 无解，则k的值为（ A ）
A. 2或－1 B. －2
C. 2或1 D. －1
B
A
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4
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9. 某同学在解关于x的分式方程 ＋6＝ 时，由于去分母时6漏乘了最简公分母，最后解得x＝－1，则原分式方程正确的解是 .
10. （2024·滁州期末）定义一种运算：当a＞b时，a*b＝ ；当a＜b时，a*b＝ .若x*3＝2，则x的值为 .
x＝
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11. （2024·淄博二模）已知关于x的分式方程 －2＝ .
（1） 当m＝1时，求方程的解.
解：（1） 当m＝1时，原方程为 －2＝ .去分母，得x－2（x－1）＝－1.去括号，得x－2x＋2＝－1.移项、合并同类项，得－x＝－3，解得x＝3.检验：当x＝3时，x－1≠0.故方程的解为x＝3.
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（2） 若关于x的分式方程 －2＝ 的解为非负数，求m的取值范围.
解：（2） 方程 －2＝ 去分母，得x－2（x－1）＝－m.去括号，得x－2x＋2＝－m.移项、合并同类项，得－x＝－m－2，解得x＝m＋2.因为分式方程有解且解为非负数，所以x≠1且x≥0.所以m＋2≠1且m＋2≥0，解得m≥－2且m≠－1.
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12. （2024·合肥肥西期末）已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若方程的增根为x＝1，求m的值.
解：（1） 方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得2（x＋2）＋mx＝x－1.整理，得（m＋1）x＝－5.将x＝1代入，得m＋1＝－5，解得m＝－6.
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（2） 若方程无解，求m的值.
解：（2） 由（1）知，当m＋1＝0时，原分式方程无解，此时m＝－1.由题意知，分式方程的增根为x＝1和x＝－2，故当x＝1和x＝－2时，原分式方程无解.当x＝1时，m＝－6.当x＝－2时，把x＝－2代入（m＋1）x＝－5，解得m＝ .综上所述，m的值为 或－6或－1.
1
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14
13. 若关于x的分式方程 ＋1＝ 的解为正数，且关于y的一元一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ B ）
A. －5 B. －4 C. －3 D. －2
B
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3
4
5
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13
14
14. （核心素养·运算能力）观察下列等式：
① － ＝ ＝ ；
② － ＝ ＝ ；
③ － ＝ ＝ ；
…
1
2
3
4
5
6
7
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10
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14
根据你发现的规律，解决下列问题.
（1） 第⑤个等式为 .
（2） 探究： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ （用含n的式子表示）.
－ ＝ ＝
1
2
3
4
5
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（3） 应用：若 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，求n的值.
解：因为 ＝ （ － ），所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ×（1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ）＝ ×（1－ ）＝ ＝ ，解得n＝16.经检验，n＝16是该分式方程的解.所以n的值为16.
1
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