(共12张PPT)
10.1 相 交 线
第1课时 对 顶 角
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2024·宣城期末）下列图形中，∠1和∠2是对顶角的为（ B ）
B
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2. （2023·河南）如图，直线AB，CD相交于点O. 若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ B ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
（第2题）
B
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3. 如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 .
（第3题）
180°
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4. 如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC. 若∠1＋∠2＝80°，则∠3的度数为 .
（第4题）
70°
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5. （2024·芜湖期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠BOC内一条射线，OC平分∠AOE.
（1） 若∠BOE＝80°，求∠AOC的度数.
解：（1） 因为∠BOE＝80°，∠BOE＋∠AOE＝180°，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝100°.因为OC平分∠AOE，所以∠AOC＝ ∠AOE＝50°.
（第5题）
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（2） 若∠BOE比∠BOD大30°，求∠BOD的度数.
解：（2） 设∠BOD＝x，则∠AOC＝x.因为OC平分∠AOE，所以∠AOE＝2∠AOC＝2x.因为∠BOE比∠BOD大30°，所以∠BOE＝x＋30°.因为∠AOE＋∠BOE＝180°，所以2x＋x＋30°＝180°.所以x＝50°，即∠BOD＝50°.
（第5题）
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6. 有下列说法：① 对顶角相等；② 相等的角是对顶角；③ 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；④ 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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7. 如图，直线AB和DF相交于点O（∠AOD为锐角），∠COB＝90°，OE平分∠AOF，则2∠EOF－∠COD＝ .
（第7题）
8. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是（2x－10）°和（110－x）°，则x＝ .
90°
40或80
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9. 如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE.
（1） 若∠BOD＝80°，求∠BOF的度数.
解：（1） 因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD＝80°.因为∠AOE∶∠EOC＝3∶5，所以∠AOE＝ ∠AOC＝30°.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－30°＝150°.因为OF平分∠BOE，所以∠BOF＝ ∠BOE＝75°.
（第9题）
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（2） 若∠BOF＝∠AOC＋14°，求∠BOD的度数.
解：（2） 因为OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC＋14°，所以∠BOE＝2∠BOF＝2∠AOC＋28°.因为∠AOE∶∠EOC＝3∶5，所以∠AOE＝ ∠AOC＝ ∠AOC. 因为∠BOE＋∠AOE＝180°，即2∠AOC＋28°＋ ∠AOC＝180°，所以∠AOC＝64°.因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠BOD＝∠AOC＝64°.
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9(共18张PPT)
10.3 平行线的性质
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于点E，F，且∠1＝40°，则∠2的度数为（ C ）
A. 120° B. 130°
C. 140° D. 150°
（第1题）
C
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2. 如图，直线AB∥CD，∠A＝2∠B. 若∠1＝110°，则∠2的度数为（ D ）
A. 55° B. 45° C. 40° D. 35°
（第2题）
D
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3. （2024·黄山期中）如图，直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝48°，则∠2的度数为（ A ）
A. 156° B. 166°
C. 157° D. 146°
（第3题）
A
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4. 如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与PO平行的方向射出.若∠AOB＝145°，∠OBD＝90°，则∠OAC的度数为 .
（第4题）
55°
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5. 如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
（1） 试说明：∠BDF＝∠A.
解：（1） 因为DE∥BC，所以∠C＝∠AED. 因为∠EDF＝∠C，所以∠AED＝∠EDF. 所以DF∥AC. 所以∠BDF＝∠A.
（第5题）
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（2） 若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请判断三角形ABC的形状.
解：（2） 因为DE∥BC，∠A＝45°，所以∠BDF＝∠A＝45°，∠B＋∠BDE＝180°.因为DF平分∠BDE，所以∠BDE＝2∠BDF＝90°.所以∠B＝180°－∠BDE＝90°.所以∠C＝180°－90°－45°＝45°，即∠C＝∠A. 所以三角形ABC是等腰直角三角形.
（第5题）
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6. （2024·阜阳三模）如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝52°，则∠AEF的度数为（ C ）
A. 128° B. 120°
C. 116° D. 112°
（第6题）
C
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7. （2024·亳州期末）如图，某生态公园要修建一条健身跑道，跑道先从点A沿北偏东α°方向到点B，再从点B沿北偏西β°方向到点C，最后沿CE方向修建.若直线AB∥CE，则α，β与γ满足的数量关系是（ C ）
A. 2α－β＝γ B. α＋β＋γ＝180
C. α＋β＝γ D. 2α－β＋γ＝180
（第7题）
C
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8. （2024·安庆大观期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠B的度数为 .
9. （2024·马鞍山期末）如图，一条公路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角∠A＝100°，第二次的拐角∠ABC＝150°，第三次的拐角是∠C，这时的公路恰好和第一次拐弯之前的公路AD平行，则∠C的度数为 .
（第9题）
20°或55°
130°
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10. （2024·淮南期末）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝ °.
（第10题）
90
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11. 如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数.
解：因为EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，∠ACB＋∠DAC＝180°.因为∠DAC＝120°，所以∠ACB＝60°.又因为∠ACF＝20°，所以∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°.因为CE平分∠BCF，所以∠BCE＝ ×40°＝20°.因为EF∥BC，所以∠FEC＝∠BCE＝20°.
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12. 如图，AC∥EF，∠F＋∠3＝180°.
（1） 猜想AF与CD的位置关系，并说明理由.
解：（1） AF∥CD. 理由：因为AC∥EF，所以∠F＋∠2＝180°.又因为∠F＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3.所以AF∥CD.
（第12题）
（2） 若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠1＝78°，求∠BCD的度数.
解：（2） 因为AF∥CD，∠1＝78°，所以∠FAB＝∠1＝78°.因为AC平分∠FAB，所以∠2＝ ∠FAB＝39°.因为∠2＝∠3，所以∠3＝39°.因为AC⊥EB，所以∠ACB＝90°.所以∠BCD＝90°－∠3＝51°.
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13. （核心素养·推理能力）（2024·滁州期末）如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上的点，点M在两平行线AB与CD之间，连接EM，FM，∠AEM的平分线EN交CD于点N.
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（1） 如图①，过点M作MG∥AB，若∠AEN＝65°，∠EMF＝120°，求∠MFD的度数.
解：（1） 因为EN平分∠AEM，∠AEN＝65°，所以∠AEM＝2∠AEN＝130°.所以∠BEM＝180°－130°＝50°.因为MG∥AB，所以∠EMG＝∠BEM＝50°.因为∠EMF＝120°，所以∠GMF＝120°－50°＝70°.因为MG∥AB，AB∥CD，所以MG∥CD. 所以∠MFD＝∠GMF＝70°.
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（2） 如图②，∠MFD的平分线FH的反向延长线交EN于点P.
① ∠AEP＝∠EPH＋∠HFD成立吗？请说明理由.
② 试探究∠EMF与∠EPH之间的数量关系.
解：（2） ① 成立. 理由：如答案图①，过点P作PQ∥CD. 因为AB∥CD，所以AB∥PQ∥CD. 所以∠HFD＝∠HPQ，∠AEP＝∠EPQ. 因为∠EPQ＝∠EPH＋∠HPQ＝∠EPH＋∠HFD，所以∠AEP＝∠EPH＋∠HFD.
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② 如答案图②，过点M作MK∥AB. 因为AB∥CD，所以CD∥MK∥AB. 所以∠BEM＝∠EMK，∠KMF＝∠MFD. 所以∠EMF＝∠EMK＋∠KMF＝∠BEM＋∠MFD. 因为EN平分∠AEM，FH平分∠MFD，所以∠AEN＝∠MEN，∠MFH＝∠HFD. 设∠AEN＝∠MEN＝y，∠MFH＝∠HFD＝∠PFN＝x，则∠BEM＝180°－2y，∠MFD＝2x.所以∠EMF＝180°－2y＋2x.由①可知，∠EPH＝∠AEN－∠HFD＝y－x，所以∠EMF＝180°－2y＋2x＝180°－2（y－x）＝180°－2∠EPH，即∠EMF＝180°－2∠EPH.
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13(共28张PPT)
第10章复习
第10章 相交线、平行线与平移
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 由相交线求角的度数
典例1 （2024·定西期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，射线ON在∠BOM的内部.
（1） 求∠AOD的度数.
解：（1） 因为OC平分∠AOM，且∠AOM＝88°，所以∠AOC＝∠COM＝ ∠AOM＝44°.所以∠AOD＝180°－44°＝136°.
（2） 若∠BOC＝4∠NOB，求∠MON的度数.
解：（2） 因为∠AOD＝136°，所以∠BOC＝136°.因为∠BOC＝4∠NOB，所以∠NOB＝34°.因为∠COM＝44°，所以∠MON＝∠BOC－∠NOB－∠COM＝136°－34°－44°＝58°.
跟踪训练
1. （2024·安庆桐城期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB，OE平分∠AOD.
（1） 若∠BOD＝60°，求∠COE的度数.
解：（1） 因为OE平分∠AOD，∠BOD＝60°，所以∠DOE＝ ∠AOD＝ ×（180°－60°）＝60°.所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－60°＝120°.
（第1题）
（2） 若∠AOC∶∠COF＝2∶1，求∠DOE的度数.
解：（2） 因为∠AOC∶∠COF＝2∶1，所以设∠COF＝x，则∠AOC＝2x.因为OF⊥AB，所以∠FOB＝90°.因为∠AOC＋∠COF＋∠FOB＝180°，所以2x＋x＋90°＝180°，解得x＝30°.所以∠AOC＝60°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠DOE. 因为∠AOE＋∠DOE＋∠AOC＝180°，所以2∠DOE＋60°＝180°.所以∠DOE＝60°.
（第1题）
考点二 平行线的判定
典例2 （2024·淮北期末）如图，C，D两点分别在三角形ABF两边BF，AF的延长线上，过点D作射线DE，满足∠2＝∠1，∠CDE＋∠B＝180°.AB与CD平行吗？请说明理由.
解：AB∥CD. 理由：因为∠1＝∠BFD，∠1＝∠2，所以∠BFD＝∠2.所以BC∥ED. 所以∠C＋∠CDE＝180°.又因为∠CDE＋∠B＝180°，所以∠C＝∠B. 所以AB∥CD.
跟踪训练
2. （2024·合肥庐江期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于点G. 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（第2题）
解：AB∥CD. 理由：因为AF⊥CE，所以∠1＋∠C＝90°.又因为∠2＋∠C＝90°，所以∠1＝∠2.因为∠1＝∠D，所以∠2＝∠D. 所以AB∥CD.
考点三 平行线的性质
典例3 如图，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在∠AMN，∠DNM的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分∠MND.
（1） 若∠AMN＝60°，求∠DNQ的度数.
解：（1） 因为AB∥CD，∠AMN＝60°，所以∠MND＝∠AMN＝60°.又因为NQ平分∠MND，所以∠DNQ＝ ∠MND＝30°.
（2） 若PM∥NQ，试说明：MP平分∠AMN.
解：（2） 因为PM∥NQ，所以∠MNQ＝∠PMN. 因为NQ平分∠MND，所以∠PMN＝∠MNQ＝ ∠MND. 又因为AB∥CD，所以∠MND＝∠AMN. 所以∠PMN＝ ∠AMN. 所以MP平分∠AMN.
跟踪训练
3. （2024·德州期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，FH⊥FB.
（1） 若∠DFH＝59°，求∠B的度数.
解：（1） 因为FH⊥FB，所以∠BFH＝90°.因为∠DFH＝59°，所以∠BFD＝∠BFH－∠DFH＝90°－59°＝31°.因为AB∥CD，所以∠B＝∠BFD＝31°.
（2） 若∠BEF＝2∠AEF，FB平分∠EFD，求∠GFH的度数.
解：（2） 因为∠BEF＋∠AEF＝180°，∠BEF＝2∠AEF，所以∠AEF＝60°.因为AB∥CD，所以∠EFD＝∠AEF＝60°.因为FB平分∠EFD，所以∠EFB＝ ∠EFD＝30°.所以∠GFH＝180°－∠EFB－∠BFH＝180°－30°－90°＝60°.
考点四 平行线的性质与判定的综合
典例4 （2024·吉林丰满期中）如图，点E，F，G分别在直线CD，AB，AD上，BE交AD于点H，且∠A＝∠D，∠CEB＝∠BFG.
（1） FG与BE平行吗？请说明理由.
解：（1） FG∥BE. 理由：因为∠A＝∠D，所以AB∥CD. 所以∠CEB＋∠B＝180°.因为∠CEB＝∠BFG，所以∠BFG＋∠B＝180°.所以FG∥BE.
（2） 若∠DHE＝105°，求∠FGD的度数.
解：（2） 由（1），得FG∥BE. 所以∠BHG＋∠FGD＝180°.因为∠DHE＝105°，所以∠BHG＝∠DHE＝105°.所以∠FGD＝180°－∠BHG＝75°.
跟踪训练
4. （2024·邵阳期末）如图，直线AB，CD被直线BC所截，且∠1＋∠2＝180°.
（1） AB与CD平行吗？请说明理由.
解：（1） AB∥CD. 理由：因为∠1＋∠ABC＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝∠ABC. 所以AB∥CD.
（2） 若BD平分∠ABC，∠D＝40°，求∠1的度数.
解：（2） 因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠D＝40°.因为BD平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠ABD＝80°.所以∠1＝180°－∠ABC＝100°.
考点五 平移的性质及作图
典例5 （2024·马鞍山花山期末）（1） 如图，画出三角形ABC先向右平移6格，再向下平移2格得到的三角形A1B1C1.
解：（1） 如图，三角形A1B1C1即为所求.
（2） 连接AA1，BB1，直接写出线段AA1与BB1的关系：
.
（3） 三角形A1B1C1的面积为 .
平行且相
等
3.5
跟踪训练
5. （2024·安庆大观期末）如图，在网格图中，平移三角形ABC使点A平移到点D，且点B，C的对应点分别为E，F.
（1） 画出平移后的三角形DEF.
解：（1） 如图，三角形DEF即为所求.
（2） 连接AD，CF，则线段AD与CF的关系是 .
AD∥CF，AD＝CF
1. （2024·泸州期末）如图，∠1＝∠2，∠4＝130°，则∠3的度数为（ C ）
A. 30° B. 35° C. 50° D. 65°
（第1题）
C
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5
2. （2024·宣城期末）如图，有下列条件：① ∠BAC＝∠DCA；② AG平分∠FAE，且∠BAC＝∠BCA；③ ∠CAD＋∠BCG＝180°；④ AB∥DC，且∠ABC＝∠ADC. 其中，能得到BC∥AD的有（ B ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
（第2题）
B
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5
3. （2023·黄山期中）如图，DA∥BC∥EF，CE平分∠BCF，∠DAC＝115°，∠ACF＝15°，则∠FEC的度数为 .
（第3题）
40°
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5
4. （2024·安康期末）如图，AB＝8，BC＝10，AC＝4，将三角形ABC沿BC方向平移a（0＜a＜10）个单位长度，得到三角形DEF，连接AD，则涂色部分的周长为 .
（第4题）
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5. （2024·遵义期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠C，∠ABD的平分线BE交CD的延长线于点E，∠BDC的平分线DF交AB的延长线于点F.
（1） AD与BC平行吗？请说明理由.
解：（1） AD∥BC. 理由：因为AB∥CD，所以∠C＝∠CBF. 因为∠A＝∠C，所以∠A＝∠CBF. 所以AD∥BC.
（第5题）
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5
（2） 若∠E＝35°，求∠BDF的度数.
解：（2） 因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC. 因为BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，所以∠DBE＝ ∠ABD，∠BDF＝∠CDF＝ ∠BDC. 所以∠DBE＝∠BDF. 所以BE∥DF. 所以∠CDF＝∠E. 又因为∠E＝35°，所以∠CDF＝35°.所以∠BDF＝∠CDF＝35°.
（第5题）
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5(共18张PPT)
10.2 平行线的判定
第4课时 平行线的判定方法2，3
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·韶关期中）如图所示的四个图形是由含30°角或45°角的直角三角尺组合而成的，其中利用内错角相等，画出AB∥CD的有（ B ）
B
A. ①③ B. ②④
C. ①②④ D. ②③④
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2. （2024·广安期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（ A ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠4＋∠2＝180°
C. ∠2＝∠3 D. ∠A＝∠1
（第2题）
A
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3. 如图所示为一个弯形管道ABCD，若它的两个拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，则管道AB∥CD. 这里用到的推理依据是____________
.
（第3题）
同旁内角互
补，两直线平行
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13
4. 如图，如果∠1＝∠EDF，那么可得 ∥ ；如果∠2＝∠EDF，那么可得 ∥ .
（第4题）
AB
DF
BC
ED
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5. （2024·廊坊期末）如图，有下列条件：① ∠1＝∠3；② ∠2＝∠3；③ ∠4＝∠5；④ ∠2＋∠4＝180°.其中，能判定直线l1∥l2的有 个.
（第5题）
3
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13
6. （1） 如图，若∠1＋∠2＝180°，则能判定哪两条直线平行？请说明理由.
解：（1） AB∥CD. 理由：因为∠1＋∠2＝180°，所以AB∥CD.
（第6题）
（2） 若∠3＝∠FEB，∠FEB＝∠C，则能判定哪两条直线平行？请说明理由.
解：（2） AF∥CE. 理由：因为∠3＝∠FEB，∠FEB＝∠C，所以∠3＝∠C. 所以AF∥CE.
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7. 如图，直线DE分别交射线BA，BG于点D，F，给出下列条件：① ∠ADE＝∠GBC；② ∠DFB＝∠GBC；③ ∠EDB＋∠ABC＝180°；④ ∠GFE＝∠GBC. 其中，能判定DE∥BC的条件个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第7题）
C
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8. （2024·邢台期中）一次数学活动中，检验两条纸带①②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：如图，嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合（点C在MN上，点D在PQ上）.下列判断正确的是（ B ）
B
A. 只有纸带①的边线平行
B. 只有纸带②的边线平行
C. 纸带①②的边线都平行
D. 纸带①②的边线都不平行
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9. 如图，∠1＝140°，∠2＝40°，∠3＝108°，则当∠4＝ 时，AB∥EF.
（第9题）
108°
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10. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中顶点B，F重合，若固定三角尺DEF，改变三角尺ABC的位置，其中点B（F）的位置始终不变.有下列条件：① ∠DBC＝15°；② ∠DBC＝45°；③ ∠DBC＝135°；④ ∠DBC＝165°.其中，能得到AC∥DE的有 （填序号）.
（第10题）
①④
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11. 如图，∠1＝∠2，BD平分∠ABC.
（1） 哪两条直线平行？为什么？
解：（1） AD∥BC. 因为BD平分∠ABC，所以∠1＝∠CBD. 又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠CBD. 所以AD∥BC.
（第11题）
（2） 如果将上述条件中的“BD平分∠ABC”改为“BD平分∠ADC”，那么可以说明AB∥CD吗？为什么？
解：（2） 可以说明AB∥CD. 因为BD平分∠ADC，所以∠2＝∠BDC. 因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BDC. 所以AB∥CD.
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12. 小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝30°，∠AED＝70°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝30°，∠AED＝70°后，又量了∠EDC＝40°，就说AB与CD肯定是平行的.聪明的你知道是什么原因吗？
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解：如图，过点E作∠AEF＝30°.因为∠BAE＝30°，所以∠AEF＝∠BAE. 所以EF∥AB. 因为∠AEF＝30°，∠AED＝70°，所以∠DEF＝40°.因为∠EDC＝40°，所以∠DEF＝∠EDC. 所以EF∥CD. 所以AB∥CD.
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13. （核心素养·推理能力）如图，直线AB和CD被直线MN所截.
（1） 如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，那么当∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
解：（1） 当∠1＋∠2＝90°时，AB∥CD. 因为EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，所以∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＋∠2＝90°，所以∠BEF＋∠DFE＝180°.所以AB∥CD.
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（2） 如图②，EG平分∠BEM，FH平分∠DFE，那么当∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
解：（2） 当∠1＝∠2时，AB∥CD. 因为EG平分∠BEM，FH平分∠DFE，所以∠BEM＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＝∠2，所以∠BEM＝∠DFE. 所以AB∥CD.
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（3） 如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，那么当∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
解：（3） 当∠1＝∠2时，AB∥CD. 因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，所以∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＝∠2，所以∠AEF＝∠DFE. 所以AB∥CD.
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13(共12张PPT)
10.2 平行线的判定
第3课时 平行线的判定方法1
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. （2023·宿州萧县期中）如图，若∠1＝∠2，则（ D ）
A. a∥b B. a∥c C. d∥b D. c∥d
（第1题）
D
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2. 如图，∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，下列添加的条件中，正确的是（ C ）
A. ∠2＝90° B. ∠3＝90°
C. ∠4＝90° D. ∠5＝90°
（第2题）
C
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3. 如图，若∠1＝∠2，则 ∥ ；若∠2＝∠3，则 ∥ .
（第3题）
AB
DE
BC
EF
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4. 如图是利用直尺和三角尺过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 .
（第4题）
同位角相等，两直线平行
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5. 如图，直线a，b被直线c所截.若∠1＝30°，∠2∶∠3＝1∶5，则直线a，b平行吗？
（第5题）
解：因为∠2＋∠3＝180°，∠2∶∠3＝1∶5，所以易得∠2＝30°.因为∠1＝30°，所以∠1＝∠2.所以a∥b.
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6. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进.如果汽车第一次右拐60°，那么第二次拐弯应该（ A ）
A. 左拐60° B. 右拐60°
C. 左拐120° D. 右拐120°
A
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7. （2024·河源期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果∠2＝50°，要使a∥b，那么∠1的度数为（ A ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°
（第7题）
A
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8. 如图，木棒AB，CD与EF分别在点G，H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G按逆时针方向旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 .
（第8题）
20°
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9. ★如图，∠1＝∠B，∠2＝∠D，那么AB∥EF吗？为什么？
（第9题）
解：AB∥EF. 因为∠1＝∠B，所以CD∥AB. 因为∠2＝∠D，所以EF∥CD. 所以AB∥EF.
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10. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，问：EC与DF有怎样的位置关系？请说明理由.
（第10题）
解：EC∥DF. 理由：因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以∠DBC＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠ACB. 又因为∠ABC＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BCE. 因为∠DBF＝∠F，所以∠BCE＝∠F. 所以EC∥DF.
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10(共15张PPT)
专题特训（八） 平行线的性质与判定的综合应用
第10章 相交线、平行线与平移
类型一 求角的度数
1. （2024·呼和浩特）如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ B ）
A. 75° B. 105° C. 115° D. 130°
（第1题）
B
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2. （2024·安徽模拟）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示的方式摆放，使含45°角的三角尺的一条直角边与含30°角的三角尺的斜边垂直，则α的度数为（ D ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
（第2题）
D
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3. 如图，∠FED＋∠BGF＝180°，∠B＝∠D，∠FED－∠AED＝55°，∠FED－∠BEF＝65°，则∠BCF的度数为（ C ）
A. 50° B. 47° C. 45° D. 40°
（第3题）
C
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4. 如图，BC平分∠DBE，∠3＝∠4，∠1＝48°，∠2＝132°，则∠ADB＝ .
（第4题）
66°
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5. 如图，EF∥DH，∠D＝∠2，∠A＝80°，将求∠AGD的度数的过程及依据填写完整.
（第5题）
因为EF∥DH，
所以∠1＝ （ ）.
又因为∠D＝∠2，
∠2
两直线平行，同位角相等
所以∠1＝∠D（ ）.
所以AB∥ （ ）.
所以∠A＋ ＝180°（ ）.
因为∠A＝80°，所以∠AGD＝ .
等量代换
DG
内错角相等，两直线平行
∠AGD
两直线平行，同旁内角互补
100°
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6. 如图，D，E，F分别为三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥AB，∠A＝∠EDF，∠C＝60°，求∠BDF的度数.
（第6题）
解：因为DE∥AB，所以∠CED＝∠A. 因为∠A＝∠EDF，所以∠EDF＝∠CED. 所以DF∥AC. 所以∠BDF＝∠C. 又因为∠C＝60°，所以∠BDF＝60°.
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类型二 判断两角的数量关系
7. （2024·滁州定远期末）如图，在四边形ABGH中，点C，D分别在BG，AH上，连接CD，AB∥CD，AE平分∠BAD交BG于点E，交CD于点F，∠CFE＝∠AEB. 判断∠G与∠H之间的数量关系，并说明理由.
解：∠H＋∠G＝180°. 理由：因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠DAE. 因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠CFE. 因为∠CFE＝∠AEB，所以∠AEB＝∠DAE. 所以AH∥BG. 所以∠H＋∠G＝180°.
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类型三 判断两直线的位置关系
8. （2023·芜湖期中）如图，D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，∠EFG＝90°.试说明：FG⊥AB.
解：因为∠AED＝∠C，所以DE∥BC. 所以∠DEF＝∠EFC. 因为∠DEF＝∠B，所以∠EFC＝∠B. 所以DB∥EF. 所以∠AGF＋∠EFG＝180°.因为∠EFG＝90°，所以∠AGF＝90°.所以FG⊥AB.
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9. （2024·合肥庐阳期末）如图，∠ABC＋∠GDE＝180°，CB平分∠ACG.
（1） 试判断BC与DE的位置关系，并说明理由.
解：（1） BC∥DE. 理由：因为∠ABC＋∠GDE＝180°，∠ABC＋∠GBC＝180°，所以∠GBC＝∠GDE. 所以BC∥DE.
（第9题）
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（2） 若∠E＝40°，求∠EFC的度数.
解：（2） 因为BC∥DE，∠E＝40°，所以∠ACB＝∠E＝40°，∠EFC＝∠BCG. 因为CB平分∠ACG，所以∠BCG＝∠ACB＝40°.所以∠EFC＝40°.
（第9题）
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类型四 探究型问题
10. （核心素养·推理能力）（2024·淮南寿县期末）（1） 如图①，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC＋∠ACM＝90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
解：（1） AB∥CD. 理由：因为CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM. 因为∠MAC＋∠ACM＝90°，所以∠BAC＋∠ACD＝2∠MAC＋2∠ACM＝2（∠MAC＋∠ACM）＝180°.所以AB∥CD.
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（2） 如图②，当∠M＝90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的关系不变，直角顶点M移动时，∠BAM与∠MCD之间是否存在确定的数量关系？请说明理由.
解：（2） 存在. 理由：如图②，过点M作MF∥AB. 因为AB∥CD，所以MF∥AB∥CD. 所以∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠MCD. 因为∠AMC＝90°，即∠AMF＋∠FMC＝90°，所以∠BAM＋∠MCD＝90°.所以∠BAM与∠MCD之间存在确定的数量关系.
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（3） 如图③，G为线段AC上一定点，H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的关系不变，当点H在射线CD上运动时（不与点C重合），∠CHG＋∠CGH与∠BAC之间有何数量关系？猜想结论并说明理由.
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解：（3） ∠BAC＝∠CHG＋∠CGH. 理由：如图③，过点G作GP∥AB. 因为AB∥CD，所以GP∥AB∥CD. 所以∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH. 所以∠PGC＝∠PGH＋∠CGH＝∠CHG＋∠CGH. 所以∠BAC＝∠CHG＋∠CGH.
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10(共11张PPT)
10.2 平行线的判定
第2课时 同位角、内错角、同旁内角
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的为（ B ）
A. ∠1与∠2 B. ∠1与∠3
C. ∠2与∠3 D. ∠3与∠4
（第1题）
2. 如图，下列各组角中，是同旁内角的为（ B ）
A. ∠1与∠2 B. ∠1与∠3
C. ∠1与∠4 D. ∠2与∠4
（第2题）
B
B
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3. 如图，按角的位置关系填空：∠4与∠1是 ；∠4与∠3是 ；∠2与∠3是 .
（第3题）
同旁内角
同位角
内错角
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4. ★如图，直线DE截直线AB、直线AC，构成八个角.
（1） 指出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8中的所有同位角、内错角、同旁内角.
解：（1） 同位角：∠1与∠8，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠7.内错角：∠3与∠8，∠4与∠5.同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠8.
（第4题）
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7
（2） ∠A与∠5，∠A与∠6，∠A与∠8分别是哪条直线截哪两条直线而成的什么角？
解：（2） ∠A与∠5是直线AC截直线AB，DE而成的同旁内角.∠A与∠6是直线AC截直线AB，DE而成的内错角.∠A与∠8是直线AC截直线AB，DE而成的同位角.
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5. （2024·宁波期末）如图，有下列说法：① ∠A与∠B是同旁内角；② ∠2与∠1是内错角；③ ∠A与∠C是内错角；④ ∠A与∠1是同位角.其中，正确的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第5题）
C
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7
6. （2024·九江期末）如图，与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是 .
（第6题）
a＜b
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7. （核心素养·几何直观）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想.
（1） 如图①，直线l1，l2被直线l3所截，l1∥l2，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角.
（2） 如图②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，形成3个交点A，B，C，图中一共有 对同旁内角.
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（3） 平面内四条直线两两相交，最多可以形成多少对同旁内角？
解：（3） 如图，平面内四条直线两两相交，最多有6个交点，每3条直线可组成题图②的基本图形，有（l1，l2，l3），（l1，l2，l4），（l1，l3，l4），（l2，l3，l4），共4组.所以最多可以形成4×6＝24（对）同旁内角.
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（4） 平面内n条直线两两相交，最多可以形成多少对同旁内角？
解：（4） n（n－1）（n－2）.
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7(共11张PPT)
10.2 平行线的判定
第1课时 平 行 线
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 给出下列生活实例：① 交通道口的斑马线；② 天上的彩虹；③ 百米跑道线；④ 火车的平直铁轨线.其中，涉及平行线的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A. 在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
B. 在同一平面内，两条直线不相交就重合
C. 在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D. 不相交的两条直线是平行线
C
C
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11
3. 已知直线AB及一点P，若过点P作一条直线与AB平行，则这样的直线（ D ）
A. 有且只有一条 B. 有两条
C. 不存在 D. 不存在或者只有一条
D
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4. 桌面上的两支铅笔都与桌面的同一边平行，那么这两支铅笔
，理由是
.
5. 在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 个交点.
互相
平行
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平
行
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11
6. 作图题（只保留作图痕迹）：如图，在网格纸中，有两条线段AB，BC，利用网格纸完成以下操作：
（1） 过点A作BC的平行线.
解：（1） 如图，AE即为所求.
（2） 过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D.
解：（2） 如图，CD即为所求.
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7. a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（ C ）
A. 因为a∥b，b∥c，所以d∥c
B. 因为a∥d，b∥c，所以d∥c
C. 因为a∥d，b∥d，所以a∥b
D. 因为a∥d，a∥b，所以c∥d
C
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8. 若四条直线在同一平面内交点的个数为a，则a的可能取值有（ D ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
D
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9. 如图，在长方体中，与棱BB1平行的棱有 ，与棱AB平行的棱有 .
（第9题）
CC1，DD1，AA1
CD，C1D1，A1B1
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10. 如图，当风车的叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD所在直线与地面MN的位置关系是 ，理由是______________________
.
（第10题）
相交
过直线外一点有且只有
一条直线与这条直线平行
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11. 如图，在∠AOB内有一点P.
（1） 过点P画l1∥OA，l2∥OB.
解：（1） 如图所示.
（2） 用量角器量一量：l1和l2相交所夹的角与∠O的大小有怎样的关系？
解：（2） 如图，l1和l2的夹角有两个：∠1，∠2.易知∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2相交所夹的角与∠O相等或互补.
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11(共19张PPT)
10.4 平 移
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列几种运动：① 水平传送带上砖的运动；② 笔直的铁路上行驶的动车（忽略车轮的转动）；③ 升降机上下做机械运动；④ 足球场上足球的运动.其中，属于平移的有（ B ）
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
B
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2. 2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神.下列四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ D ）
D
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3. （2024·马鞍山花山期末）如图，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，有下列说法：① ∠ACB＝∠DEF；② AB∥DE；③ AB＝DF；④ 平移距离为线段BE的长.其中，正确的有（ D ）
A. ①② B. ①③
C. ①④ D. ②④
（第3题）
D
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4. （2024·东营）如图，将三角形DEF沿FE方向平移3cm得到三角形ABC. 若三角形DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 cm.
（第4题）
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5. （2024·安庆怀宁期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点、点A1都在正方形网格的格点上.
（1） 平移三角形ABC，使点A与点A1重合，画出平移后得到的三角形A1B1C1.
解：（1） 如图，三角形A1B1C1即为所求.
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（2） 连接AA1，CC1，则线段AA1与CC1的关系是 .
（3） 求四边形AA1C1C的面积.
解：（3） 四边形AA1C1C的面积＝2×5－2× ×1×3－2× ×1×2＝5.
平行且相等
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6. ★如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改造为同样宽度的等宽弯曲小路（小路曲线的上下垂直距离与原来小路的宽度相等），则下列结论正确的是（ D ）
A. 改造后小路的长度不变
B. 改造后小路的长度变小
C. 改造后草地部分的面积变小
D. 改造后草地部分的面积不变
（第6题）
D
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7. 如图，三角形ABC的周长为14cm.将三角形ABC向上平移2cm得到三角形A'B'C'，连接BB'，CC'，则五边形A'B'BCC'的周长为 cm.
（第7题）
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8. （2024·临汾期末）如图，在直角三角形ABC中，AC＝60，BC＝80，AB＝100，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行或在BC上，则这5个小直角三角形的周长之和为 .
（第8题）
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9. （2024·芜湖南陵期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'，BC与C'D'相交于点E. 若BC＝8，CE＝3，C'E＝2，则涂色部分的面积为 .
（第9题）
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10. （2024·济南期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿射线BC方向平移，得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别是D，E，F.
（1） 若∠DAC＝60°，求∠DFE的度数.
解：（1） 因为将三角形ABC沿射线BC方向平移，得到三角形DEF，所以AC∥DF. 所以∠ACB＝∠DFE. 因为AD∥BF，所以∠ACB＝∠DAC. 所以∠DFE＝∠DAC＝60°.
（第10题）
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（2） 若BC＝8，在平移过程中，当AD＝3CE时，求AD的长.
解：（2） 因为将三角形ABC沿射线BC方向平移，得到三角形DEF，所以AD＝BE＝CF. 设AD＝x，则CE＝ x，BE＝CF＝x.当点E在点C的左侧时，BE＋CE＝BC，即x＋ x＝8，解得x＝6；当点E在点C的右侧时，BE－CE＝BC，即x－ x＝8，解得x＝12.综上所述，AD的长为6或12.
（第10题）
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11. （核心素养·推理能力）已知一个长为a，宽为b的长方形，如图①，将线段A1A2向右平移1个单位长度到线段B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（阴影部分）；如图②，将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到折线B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）.
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（1） 在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影.
解：（1） 如答案图①所示（画法不唯一）.
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（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝ ，S2＝ ，S3＝ .
ab－b
ab－b
ab－b
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（3） 如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明理由.
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解：（3） 猜想草地的面积仍然是ab－b. 理由：先将“小路”沿着左右两个边界“剪去”，再将左侧的图形向右平移1个单位长度，得到一个新长方形（如答案图②），在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了（a－1），所以草地的面积就是b（a－1）＝ab－b.
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专题特训（九） 平行线中的拐点问题
第10章 相交线、平行线与平移
类型一 单拐点型
1. （2024·蚌埠期末）如图，直线a∥b，三角尺ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A＝30°，∠1＝20°，则∠2的度数为（ D ）
A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
（第1题）
D
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2. （2024·滁州凤阳期末）如图，直线AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是（ D ）
A. ∠1＋∠2－2∠3＝180°
B. ∠2－∠1＝∠3
C. ∠1＋∠2＋∠3＝360°
D. ∠2＋∠3－∠1＝180°
（第2题）
D
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3. 如图，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝35°，则∠E＝ .
（第3题）
95°
4. 如图，AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝ .
（第4题）
46°
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5. 如图①所示为一盏台灯，如图②所示为其侧面示意图.若AB∥EF，∠D＝140°，∠DCB＝77°，则∠E＝ .
（第5题）
117°
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6. （2024·榆林期末）如图，AB∥CD，若∠D＝65°，∠B＝40°，求∠BED的度数.
解：如图，过点E作EF∥AB. 所以∠FEB＝∠B＝40°.因为AB∥CD，所以EF∥CD. 所以∠FED＝∠D＝65°.所以∠BED＝∠FED－∠FEB＝25°.
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类型二 多拐点型
7. （2024·南京期末）如图，AB∥CD，DE⊥EF，FG⊥EF，∠ABG＝150°，∠CDE＝140°，则∠BGF＝ .
（第7题）
70°
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8. ★（核心素养·应用意识）（2024·永城期末）（1） 如图①，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝30°，求∠BPC的度数.
解：（1） 如图①，过点P作PN∥AB. 因为∠B＝120°，所以∠BPN＝180°－∠B＝60°.因为AB∥CD，所以PN∥CD. 又因为∠C＝30°，所以∠CPN＝∠C＝30°.所以∠BPC＝∠BPN＋∠CPN＝90°.
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（2） 如图②，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝70°，∠C＝140°，求∠BPQ的度数.
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解：（2） 如图②，过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥PN∥QM∥CD. 所以∠B＋∠BPN＝180°，∠NPQ＝∠PQM，∠MQC＋∠C＝180°.因为∠B＝125°，∠C＝140°，所以∠BPN＝180°－∠B＝55°，∠MQC＝180°－∠C＝40°.因为∠PQC＝70°，所以∠PQM＝∠PQC－∠MQC＝70°－40°＝30°.所以∠NPQ＝∠PQM＝30°.所以∠BPQ＝∠BPN＋∠NPQ＝85°.
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（3） 如图③，AB∥CD，试问∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7之间的数量关系是什么？请直接写出你的结论.
解：（3） ∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.
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类型三 复合拐点型
9. （核心素养·推理能力）（2024·淮北期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE，EN，MF交于点O.
（1） 若∠AMF＝50°，∠CNE＝40°，分别求∠MEN，∠MFN的度数.
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解：（1） 如图，过点E作EH∥AB. 因为AB∥CD，所以EH∥AB∥CD. 所以∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE. 所以∠MEN＝∠1＋∠2＝∠AME＋∠CNE. 因为ME平分∠AMF，所以∠AME＝
∠AMF. 所以∠MEN＝ ∠AMF＋∠CNE＝ ×50°＋40°＝65°.同理，可得∠MFN＝∠AMF＋ ∠CNE＝50°＋ ×40°＝70°.
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（2） 若图中∠MEN＋60°＝2∠MFN，求∠AMF的度数.
解：（2） 因为∠MEN＝ ∠AMF＋∠CNE，∠MFN＝∠AMF＋ ∠CNE，所以2∠MFN＝2∠AMF＋∠CNE. 所以2∠MFN－∠MEN＝2∠AMF＋∠CNE－ ∠AMF－∠CNE＝ ∠AMF. 因为∠MEN＋60°＝2∠MFN，即2∠MFN－∠MEN＝60°，所以 ∠AMF＝60°.所以∠AMF＝40°.
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解：（3） 与（1）同理，可得∠MON＝∠AMF＋∠CNE. 因为∠MEN＝ ∠AMF＋∠CNE，∠MFN＝∠AMF＋ ∠CNE，所以2∠MEN＝∠AMF＋2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF＋∠CNE. 所以2∠MEN＋2∠MFN＝3（∠AMF＋∠CNE）.所以∠AMF＋∠CNE＝ （∠MEN＋∠MFN）.所以∠MON＝ （∠MEN＋∠MFN）.
（3） 探究∠MEN，∠MFN与∠MON之间的数量关系.
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10. （核心素养·推理能力）（2024·烟台期末）已知直线AB∥CD，P为平面上一点，连接BP，DP.
（1） 如图①，点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BPD＝∠B＋∠D.
解：（1） 如图①，过点P作PM∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥PM. 所以∠B＝∠BPM，∠D＝∠MPD. 所以∠BPD＝∠BPM＋∠MPD＝∠B＋∠D，即∠BPD＝∠B＋∠D.
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（2） 如图②，点P在直线AB，CD之间，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点Q，利用（1）中的结论，写出∠BPD与∠BQD之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠BPD＝2∠BQD. 理由：因为BQ，DQ分别平分∠ABP，∠CDP，所以∠ABP＝2∠ABQ，∠CDP＝2∠CDQ. 由（1）知，∠BPD＝∠ABP＋∠CDP，∠BQD＝∠ABQ＋∠CDQ，所以∠BPD＝2∠ABQ＋2∠CDQ＝2（∠ABQ＋∠CDQ）＝2∠BQD.
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（3） 如图③，点P落在直线AB与CD外，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点Q，（2）中∠BPD与∠BQD之间的数量关系是否仍然成立？请说明理由.
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解：（3） 成立. 理由：如图③，设BP，BQ与CD的交点分别为E，F. 因为AB∥CD，所以∠ABP＝∠CEP. 又因为∠CEP＋∠DEP＝180°，∠DEP＋（∠EDP＋∠BPD）＝180°，所以∠CEP＝∠EDP＋∠BPD. 所以∠BPD＝∠CEP－∠EDP. 所以∠BPD＝∠ABP－∠EDP. 同理，可得∠BQD＝∠ABQ－∠FDQ. 因为BQ，DQ分别平分∠ABP，∠CDP，所以∠ABP＝2∠ABQ，∠EDP＝2∠FDQ. 所以∠BPD＝2∠ABQ－2∠FDQ＝2（∠ABQ－∠FDQ）＝2∠BQD.
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10(共20张PPT)
10.1 相 交 线
第2课时 垂 线
第10章 相交线、平行线与平移
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·合肥庐江期中）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角尺的放法正确的是（ C ）
C
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2. 在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（ A ）
A
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3. （2024·北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC. 若∠AOC＝58°，则∠EOB的度数为（ B ）
A. 29° B. 32° C. 45° D. 58°
（第3题）
B
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4. 如图，由OM⊥a，ON⊥a，可得OM与ON重合，其理由是
.
（第4题）
同一
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
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5. （2023·黄山休宁期中）如图，要把水引到点A处，可过点A引AB⊥CD于点B，然后沿AB开渠，可使所开渠道最短，设计的依据： .
（第5题）
垂线段最短
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6. （2024·西安期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（第6题）
（1） 写出图中∠AOF的余角： .
∠AOC，∠FOE，∠BOD.
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（2） 如果∠EOF＝ ∠AOD，求∠EOF的度数.
解：由（1）可知，∠AOC＝∠EOF，因为∠AOC＋∠AOD＝180°，∠EOF＝ ∠AOD，所以5∠AOC＝180°.所以∠EOF＝∠AOC＝36°.
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7. （2023·合肥庐江期中）如图，AO⊥BO，垂足为O，直线CD经过点O，下列结论正确的是（ B ）
A. ∠1＋∠2＝180° B. ∠1－∠2＝90°
C. ∠1－∠3＝∠2 D. ∠1＋∠2＝90°
（第7题）
B
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8. 如图，∠ACB＝90°，P为直线AB上一动点，连接PC. 若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则线段PC长的最小值是（ B ）
A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3
（第8题）
B
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9. （2024·合肥蜀山期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝25°，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOE，则∠DOF的度数为 .
（第9题）
57.5°
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10. 如图，老师在黑板上画了几条直线，其中AB，CD相交于点O，作∠BOC的平分线OE和CD的垂线OF，量得∠DOE被直线AB分成2∶3的两部分，小颖同学马上就知道∠AOF的度数为 .
（第10题）
45°或 °
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11. （2024·岳阳期末）如图，直线AB和CD相交于点O，过点O作OE⊥CD.
（1） 如图①，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF. 试说明：OE平分∠AOF.
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解：（1） 因为OE⊥OD，所以∠DOE＝90°.所以∠EOF＋∠FOD＝90°.所以2∠EOF＋2∠FOD＝180°.因为将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，所以∠BOD＝∠FOD. 所以∠FOB＝2∠FOD. 所以2∠EOF＝180°－2∠FOD＝180°－∠FOB＝∠AOF. 所以∠AOE＝∠EOF. 所以OE平分∠AOF.
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（2） 如图②，在（1）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG∶∠AOE＝2∶3时，求∠COG的度数.
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解：（2） 因为∠FOG∶∠AOE＝2∶3，所以设∠FOG＝2α，则∠AOE＝∠EOF＝3α.所以∠EOG＝∠EOF－∠FOG＝3α－2α＝α.因为∠EOG＋∠GOD＝90°，∠GOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOG＝∠BOD＝α.所以∠FOD＝∠BOD＝α.因为A，O，B三点在同一条直线上，所以3α＋3α＋α＋α＝180°，解得α＝22.5°.所以∠COG＝∠COE＋∠EOG＝90°＋22.5°＝112.5°.
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12. ★（核心素养·推理能力）在同一平面内，已知一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，结合图形，探索两个角之间的数量关系.
（1） 如图①，当点P在∠1内部时，以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别与∠1的两边互相垂直.量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是 .
∠1＋∠P＝180°
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（2） 如图②，当点P在∠1外部时，以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别与∠1的两边互相垂直.量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是 .
∠1＝∠P
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（3） 若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数.
解：设这两个角的度数分别为x°和（2x－30）°.
由（1）（2）可知，这两个角相等或互补.当这两个角相等时，x＝2x－30，解得x＝30；当这两个角互补时，x＋（2x－30）＝180，解得x＝70，则2x－30＝110.综上所述，这两个角的度数分别为30°，30°或70°，110°.
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