(共10张PPT)
15.4 零指数幂与负整数指数幂
第2课时 科学记数法
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
目
录
1. 新情境 科技民生 关于某人工智能大模型使用的电子元件中，有一种是我国自主研发并生产制造的28纳米芯片.其中1纳米＝0.000 000 001米，28纳米用科学记数法表示为（ A ）
A. 2.8×10－8米 B. 0.28×10－8米
C. 2.8×10－9米 D. 28×10－7米
A
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2. 人体内一种细胞的直径约为1.56 μm，相当于1.56×10－6 m，则1.56×10－6用小数表示为（ C ）
A. 0.000 156 B. 0.000 015 6
C. 0.000 001 56 D. 0.000 000 156
C
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3. 新考向 传统文化 “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句.据测定，5 000～10 000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05～0.1克，这说明一片雪花是非常轻的.0.05克用科学记数法表示为 5×10－5 千克.
5×10－5
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4. 计算（结果用科学记数法表示）：
（1） （－5×10－3）×（2×10－2）.
解：原式＝（－5×2）×（10－3×10－2）＝－10×10－5＝－1×10－4.
（2） （3×10－4）÷（－2×10－7）－3.
解：原式＝（3×10－4）÷［（－2）－3×1021］＝－24×10－25＝－2.4×10－24.
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5. 某杆状细菌的长和宽分别约为2微米和1微米（1微米＝10－4厘米）.若一只手上有1 000个该杆状细菌，求它们连成一条线的最大长度（结果用科学记数法表示）.
解：由题意，得该杆状细菌的长约为2×10－4厘米.∵ 1 000×2×10－4＝2×10－1（厘米），∴ 它们连成一条线的最大长度约为2×10－1厘米.
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6. 小聪在用科学记数法记录一个较小的数时，小数部分多数了两位，结果错误地记成4.03×10－8，则正确的结果应是（ B ）
A. 4.03×106 B. 4.03×10－6
C. 4.03×1010 D. 4.03×10－10
B
7. 已知某分子的直径约为3.85×10－9米，某花粉的直径约为5×10－4米，用科学记数法表示该分子的直径是该花粉直径的 7.7×10－6 倍.
7.7×10－6
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8. 水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为3.6×10－2 m的小洞.平均每个月小洞的深度增加多少米（结果用科学记数法表示）？
解：3.6×10－2÷40÷12＝0.036÷40÷12＝0.000 075＝7.5×10－5（m），∴ 平均每个月小洞的深度增加7.5×10－5m.
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9. 已知1 μm＝10－6 m，相当于一根头发直径的六十分之一，则一根头发的直径约为多少米？一根头发的横断面的面积约为多少平方米？一般人约有10万根头发，把这些头发捆起来的横断面的面积约为多少平方米（π取3.14）？
解：一根头发的直径约为10－6×60＝6×10－5（m）.一根头发的横断面的面积约为3.14×2＝2.826×10－9（m2）.10万根头发捆起来的横断面的面积约为2.826×10－9×105＝2.826×10－4（m2）.
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专题特训三 列分式方程解生活中的热点问题
第15章 分 式
类型一 行程问题
1. 小王家距上班地点18千米，他乘公交车上班平均每小时行驶的路程比他骑电动车上班平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米.他从家出发到达上班地点，乘公交车所用的时间是骑电动车所用的时间的 .小王骑电动车上班平均每小时行驶 20 千米.
20
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2. 新情境 现实生活 高速铁路列车（以下简称高铁）是人们出行的重要交通工具，已知高铁的平均速度是普通旅客列车（以下简称普客）平均速度的3倍.同样行驶690 km，高铁比普客少用4.6 h.
（1） 求高铁的平均速度.
解：（1） 设高铁的平均速度为x km/h，则普客的平均速度为 x km/h.由题意，得 － ＝4.6，解得x＝300.经检验，x＝300是原分式方程的解，且符合题意.∴ 高铁的平均速度为300 km/h.
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（2） 某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到A市参加当天14：00召开的会议.若高铁全程行驶1 050 km，王老师从A市高铁站到会议地点最多还需要1.5 h，则在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？
解：（2） 1 050÷300＋1.5＝5（h），14－8 ＝5 （h）.∵ 5＜5 ，∴ 在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点.
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类型二 工程问题
3. 某工程队由甲、乙两队组成，承包某市改造工程，规定若干天完成.已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天.若甲、乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，延误2天完成，则规定时间是 28 天.
28
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类型三 营销问题
4. 张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
解：设A型玩具的进价是x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个.由题意，得 － ＝20，解得x＝10.经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意.∴ 1.5x＝15.∴ A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个.
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4(共23张PPT)
第15章整合拔尖
第15章 分 式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 分式有无意义及值为0的条件
典例1 根据表格信息，y可能为（ A ）
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A. B. C. D.
［变式］ 若分式 的值为0，则x－2的值为 －1 .
A
－1
考点二 分式的基本性质
典例2 若分式 中的x和y都缩小到原来的一半，分式的值不变，则A可能是（ A ）
A. 3x＋2y B. 3x＋3
C. 2xy D. 3
［变式］ ★不改变分式 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 .
A
考点三 分式的运算
典例3 （2025 江西）化简： ÷ .
解：原式＝ ＝ ＝ .
［变式］ （2025 绥化）计算：1－ ÷ ＝ － .
－
考点四 分式的化简求值
典例4 易错题 （2025 东营）先化简，再求值： ÷ ，其中a是使不等式 ≤1成立的正整数.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝
＝ .∵ a是使不等式 ≤1成立的正整数，
∴ a≤3且a为正整数.∴ a＝1、2、3.又∵ a－2≠0，（a＋3）（a－3）
≠0，∴ a≠2、3、－3.∴ a＝1.当a＝1时，原式＝ ＝－ .
［变式］ 已知 ＝3，则2－ ÷ ＝ .
考点五 分式方程的解与字母参数的求值问题
典例5 ★已知关于x的分式方程 ＋1＝ .
（1） 当a＝4时，解分式方程.
解：（1） 当a＝4时，分式方程为 ＋1＝ ，方程两边同乘以（x－2），得4x－3＋x－2＝－1，解得x＝ .检验：当x＝ 时，x－2≠0.∴ 原分式方程的解为x＝ .
（2） 若分式方程的解为正数，求a的取值范围.
解：（2） 根据题意，方程两边同乘以（x－2），得ax－3＋x－2＝－1，解得x＝ .∵ 该分式方程的解为正数，∴ ＞0，解得a＞－1.又∵ x≠2，∴ ≠2，解得a≠1.∴ a的取值范围是a＞－1且a≠1.
（3） 若分式方程无解，求a的值.
解：（3） 方程两边同乘以（x－2），得ax－3＋x－2＝－1，整理，得
（a＋1）x＝4.当a＋1＝0，即a＝－1时，整式方程无解，故分式方程
无解；当a＋1≠0，即a≠－1时，∵ 分式方程无解，∴ x＝2.把x＝2代
入（a＋1）x＝4，得a＝1.综上所述，a的值为－1或1.
［变式］ （2025 成都期中）若关于x的分式方程 ＋ ＝2有整数解，则整数m的值的和为 7 .
7
考点六 运用分式方程解决实际问题
典例6 新情境 科技民生 （2025 山西）我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米.根据题意，得 － ＝22，解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.∴ 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米.
［变式］ 某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每千米充电费用比B款燃油汽车平均每千米燃油费用少0.6元.当充电费用和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油汽车的4倍.A款电动汽车平均每千米充电费用为 0.2 元.
0.2
考点七 整数指数幂的运算
典例7 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1） （a－3）2 （ab2）－3.
解：（1） 原式＝a－6 a－3b－6＝a－9b－6＝ .
（2） （2mn2）－2 （m－2n－1）－3.
解：（2） 原式＝ m6n3＝ .
［变式］ 计算： ＝ .（结果不含负整数指数幂）
考点八 用科学记数法表示绝对值较小的数
典例8 研究表明，钢轨的温度每变化1 ℃，每1米钢轨就伸（缩）0.000 011 8米.如果一年中气温上下相差40 ℃，那么100米长的钢轨最长可伸（缩）多少米？（结果用科学记数法表示）
解：由题意得，0.000 011 8×40×100＝1.18×10－5×4×103
＝4.72×10－2（米）.
［变式］ 近年来，科学家研究发现了一种更为奇特的激光———飞秒激光，飞秒也叫毫微微秒，是标衡时间长短的一种计量单位.已知1飞秒＝10－6纳秒，1纳秒＝10－6毫秒，1毫秒＝10－3秒.18飞秒用科学记数法表示为（ B ）
A. 18×10－15秒 B. 1.8×10－14秒
C. 1.8×10－16秒 D. 1.8×10－108秒
B
1. （2025 南充）已知 ＝ ＝ ＝2，则 的值是（ D ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
D
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2. 试卷上一个正确的式子 ÷★＝ 被小颖同学不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的代数式为（ A ）
A. B.
C. D.
A
3. 若分式方程 －4＝ 的根为整数，则整数a的值为（ D ）
A. ±2 B. ±1或±2
C. 1或2 D. ±1
D
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4. 某项工程，甲队单独完成所需天数是乙、丙两队合作完成所需天数的a倍，乙队单独完成所需天数是甲、丙两队合作完成所需天数的b倍，丙队单独完成所需天数是甲、乙两队合作完成所需天数的c倍，则 ＋ ＋ 的值是（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. （2025 长春段考）若分式 的值为3，将x、y都扩大到原来的2倍，则变化后分式的值为 3 .
A
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6. 在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军做了一个数学游戏，小明出了题目：将（m2n－5）2 （－2m2n*）－4的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为 ，则“*”处的数是 －3 .
－3
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7. （2025 河南段考）先化简，再求值： ÷ ，其中x是方程 － ＝0的解.
解： ÷ ＝［ － ］ ＝ ＝ ＝ .解方程 － ＝0，去分母，得2x－（x－3）＝0，解得x＝－3.检验：当x＝－3时，x（x－3）≠0，∴ x＝－3是原方程的解.当x＝－3时，原式＝ ＝ .
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8. （2025 成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的 ，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
（1） 求每个A种挂件的价格.
解：（1） 设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为 x元.∴ ＝ ＋7，解得x＝25.∴ x＝20.经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意.∴ 每个A种挂件的价格为25元.
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（2） 某游客计划用不超过600元购买A、B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
解：（2） 设该游客购买m个A种挂件，则购买（m＋5）个B种挂件.
∴ 25m＋20（m＋5）≤600，解得m≤11 .又∵ m为整数，∴ 该游客最多购买11个A种挂件.
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15.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时 分式方程的应用
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 绥化）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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2. 某地为美化环境，计划种植树木6 000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务.实际每天植树 500 棵.
3. 学校新到一批实验器材需要整理，若张老师一人单独整理需要1 h完成.现在张老师与黄老师共同整理30 min后，张老师因事外出，黄老师又单独整理了30 min才完成任务，则黄老师单独整理这批实验器材需要 120 min.
500
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4. （2025 长春南关段考）长春市到沈阳市的距离约为300千米.小刘开小轿车，小张开大货车，都从长春市去沈阳市.小刘比小张晚出发 小时，最后两车同时到达沈阳市.已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍.求大货车的速度.
解：设大货车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为1.5x千米/时.根据题意，得 － ＝ ，解得x＝70.经检验，x＝70是原分式方程的解且符合题意.∴ 大货车的速度为70千米/时.
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5. 某项工程接到甲、乙两支工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：① 甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；② 乙队单独完成这项工程要比规定的工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.设规定的工期为x天，列出方程 ＋ ＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ A ）
A
A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了这项工程的 D. 甲、乙两队合作完成了这项工程的
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6. 某体育用品商店预测某球队的球服能够畅销，就用3.2万元购入了一批该球队的球服，上市后很快就脱销，该商店又用6.8万元购入第二批该球队的球服，所购数量是第一批购入数量的2倍，但每套的进价贵了10元.如果该商店购入的两批球服售价一样，要使两批球服全部售完后的总利润率为20%，那么每套球服的售价是（ C ）
A. 160元 B. 180元 C. 200元 D. 220元
C
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7. 甲、乙两名同学的家与学校的距离均为3 000 m.他们同时从家出发去学校，甲步行600 m刚好赶上公交车到站，然后乘公交车去学校；乙骑自行车去学校，结果甲比乙早到2 min.若甲步行的速度是乙骑自行车速度的 ，甲所乘公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，则乙骑自行车的速度是（ C ）
A. 600 m/min B. 400 m/min
C. 300 m/min D. 150 m/min
C
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8. （2025 南阳方城段考）某网店用5 000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11 000元第二次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍.试销时该品种草莓的进货价是每千克 5 元，两次共购进草莓 3 000 千克.
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9. 易错题 （2025 南阳卧龙期末）文房四宝之名，起源于南北朝时期，其所指代的“笔、墨、纸、砚”是我国独有的书法绘画工具.为了丰富学生的课后服务活动，某中学计划用4 300元为社团购买A、B两种型号的“文房四宝”若干套，其中购买B型号“文房四宝”花费3 000元，结果A型号的“文房四宝”的购买数量比B型号的“文房四宝”的购买数量少20套.已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%.A、B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
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解：设B型号的“文房四宝”的单价是x元，则A型号的“文房四宝”的单价是（1＋30%）x元.根据题意，得 － ＝20，解得x＝100.经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意.∴ （1＋30%）×100＝130（元）.∴ A型号的“文房四宝”的单价是130元，B型号的“文房四宝”的单价是100元.
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10. 新情境 现实生活 某班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展活动，基地离学校90 km，大巴车8：00从学校出发.苏老师因有事情，8：30从学校驾驶汽车以大巴车速度的1.5倍追赶，追上大巴车后继续前行，结果比大巴车提前15 min到达基地.求：
（1） 大巴车与汽车的速度.
解：（1） 设大巴车的速度是x km/h，则汽车的速度是1.5x km/h.由题意，得 ＝ ＋ ＋ ，解得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.∴ 1.5x＝1.5×40＝60.∴ 大巴车的速度是40 km/h，汽车的速度是60 km/h.
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（2） 苏老师追上大巴车时，与基地的距离.
解：（2） 设苏老师追上大巴车时，与基地的距离为y km.由题意，得 ＋ ＝ ，解得y＝30.∴ 苏老师追上大巴车时，与基地的距离为30 km.
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11. 一人从A地步行出发，匀速向B地走去，同时另一人从B地驾车出发，匀速向A地驶去.两人在途中相遇，驾车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地所用时间的2.5倍，则驾车者的速度与步行者的速度之比是（ B ）
A. 2∶1 B. 3∶1
C. 4∶1 D. 5∶1
B
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12. 某市为了创建生态文明建设城市，对公路旁的绿化带进行全面改造.现有甲、乙两支工程队，甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成；乙工程队单独完成这项工程要比规定工期多用a天.若甲、乙两支工程队先合作b天，剩下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工.
（1） 当a＝6，b＝4时，求这项工程规定工期的天数.
解：（1） 设甲工程队单独完成这项工程需x天，则乙工程队单独完成这项工程需（x＋6）天.由题意，得 ＋ ＝1，解得x＝12.经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意.∴ 这项工程规定工期的天数是12.
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（2） 若a－b＝2，a是偶数，且a＞2，求甲、乙两支工程队单独完成这项工程的天数（用含a的代数式表示）.
解：（2） ∵ a－b＝2，∴ b＝a－2.设甲工程队单独完成这项工程需y天，则乙工程队单独完成这项工程需（y＋a）天.由题意，得 ＋ ＝1，解得y＝ .∵ a是偶数，且a＞2，∴ ＞0.经检验，y＝ 是原分式方程的解，且符合题意.∴ y＋a＝ ＋a＝ .∴ 甲、乙两支工程队单独完成这项工程的天数分别为 ， .
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12(共17张PPT)
15.2 分式的运算
第2课时 分式的加减
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 － 的结果是（ A ）
A. 1 B. x－2y C. D.
2. （2025 天津）计算 ＋ 的结果是（ A ）
A. B. C. D. 1
A
A
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4. 计算 ÷ 的结果是 － .
－
3. 计算 的结果是（ A ）
A. －4 B. 4 C. 2a D. －2a
A
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5. 计算：
（1） ＋ － .
解：原式＝ ＝ .
（2） 易错题 － .
解：原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ .
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（3） ＋ ÷ .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1.
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6. （2025 广安）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝－4.
解：原式＝ ＝ ＝ .当x＝－4 时，原式＝ ＝ .
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7. 已知M＝ ，N＝ ＋ ，则M、N之间的数量关系为（ C ）
A. M＝N B. MN＝1
C. M＋N＝0 D. 无法确定
C
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8. 若代数式 ÷ 的化简结果为2x＋2，则整式M为
（ B ）
A. －x B. x
C. 1－x D. x＋1
9. 若m＋n＝1，则代数式 （m2－n2）的值为（ D ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
B
D
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10. 已知 ＝ ＋ （A、B为实数），则A－B＝ －17 .
11. 整体思想 已知m2＋3m＋1＝0，则 ÷ ＝
－1 .
－17
－1
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12. 计算：
（1） m－1＋ ＋ .
解：原式＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
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（2） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
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（3） ÷ .
解：原式＝ ÷［ －（x－1）］＝ ÷ ＝ ＝－ .
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13. 已知实数a满足a2＝4－a，求代数式 ÷ － 的值.
解： ÷ － ＝ ÷ － ＝ × － ＝ － ＝ － ＝ .∵ a2＝4－a，∴ a2＋a＝4.∴ 原式＝ .
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14. 新考法 新定义题 定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如： ＝ ＝ ＋ ＝1＋ ，则 是“和谐分式”.
（1） 有下列式子：① ；② ；③ ；④ .其中，属于“和谐分式”的是 ①③④ （填序号）.
①③④
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（2） 将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： a－1＋ .
a－1＋
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（3） 应用：先化简 － ÷ ，并求当x取什么整数时，该式的值为整数.
解：原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝2＋ .∵ x为整数，∴ 当x＋1的值取1或－1或2或－2时，分式的值为整数，此时x的值为0或－2或1或－3.又∵ x≠0、1、－1、－2，∴ x＝－3.∴ 当x＝－3时，该式的值为整数.
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14(共18张PPT)
15.1 分式及其基本性质
第1课时 分 式
第15章 分 式
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基础进阶
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03
思维拓展
目
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本册教材思维导图
1. 下列各式中，属于分式的是（ B ）
A. B.
C. D. 3x2y＋1
B
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2. （2025 南阳方城期中）若分式 有意义，则x的取值范围是（ C ）
A. x＝－1 B. x≠0
C. x≠－1 D. x≠1
C
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3. 若分式 的值为0，则x的值为（ A ）
A. 3 B. 3或－3
C. －3 D. 0
4. 某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树m（m＞0）棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10，则实际 小时完成任务（用含m的代数式表示）.
A
5. 新考法 开放题 写出一个含有字母m且m≠2的分式： .（答案不唯一）
（答案不唯一）
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6. 当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） .
解：x≠±3
（2） .
解：x≠±2.
（3） .
解：x≠2且x≠3.
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7. （2025 郑州期末）下列各式中，不论x取何值，分式都有意义的是（ A ）
A. B.
C. D.
8. 如果分式 的值为0，那么x、y应满足的条件是（ C ）
A. x＝1，y≠2 B. x≠1，y＝－2
C. x＝1，y≠－2 D. x≠1，y＝2
A
C
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9.关于分式 ，有下列说法：① 当x＝－1，m＝2时，分式有意义；② 当x＝3时，分式的值一定为0；③ 当x＝1，m＝3时，分式没有意义；④ 当x＝3且m≠3时，分式的值为0.其中，正确的有（ C ）
C
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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10.小林家距离学校a km，平时骑自行车上学需要12 min，某一天，
小林从家出发比平时晚了b（b＜12）min.如果他仍要按平时的时间到校，那么速度应为 km/min.
11. 当分式 的值为整数时，x的整数值为 0或1 .
0或1
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12.（2025 洛阳伊川期末）已知当x＝1时，分式 无意义；当x＝ 4时，分式的值为0，则a＋b的值为 －1 .
13. 当x ＞－ 时， 的值为正数.
－1
＞－
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14.某市对一段全长为1 500米的道路进行改造.原计划每天修x米，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天修的道路比原计划的2-倍还多30米.
（1）修完这段道路实际用了多少天？
解：（1） 由题意可知，修完这段道路实际用了 天.
（2）若x＝135，则修完这段道路实际用了多少天？
解：（2） 当x＝135时， ＝ ＝5，∴ 修完这段道路实际用了5天.
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15. 新考法 开放题 给出下列三个整式：① x＋5；② x－5；③ x2－36.选择其中的两个或三个组成一个分式，使得当x＝5时，分式的值为0，且当x＝－6时，分式没有意义.
解：答案不唯一，如 .
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16. 已知分式 ，则该分式的值能为0吗？请说明理由.
解：不能. 理由：令1－x2＝0，解得x＝1或x＝－1.当x＝1时，（1＋xy）2－（x＋y）2＝0；当x＝－1时，（1＋xy）2－（x＋y）2＝0.
∴ 不论x取1还是－1，该分式的分母都为0.∴ 该分式的值不能为0.
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17. 新考法 探究题 已知按一定规律排列的一列分式依次为－ ， ，－ ， ，….其中，a＞0，b＞0，则第5个分式为 － ，第n个分式为 （－1）n （n为正整数）.
－
（－1）n
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18. 已知分式 .
（1） 当x满足什么条件时，原分式的值是正数？
解：（1） 由题意，得① 或② 不等式组①无解；解不等式组②，得 ＜x＜2.∴ 当 ＜x＜2时，原分式的值是正数.
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（2） 易错题 当x满足什么条件时，原分式的值是负数？
（3） 当x满足什么条件时，原分式的值是非负数？
解：（2） 由题意，得③ 或④ 解不等式组③，得x＜ ；解不等式组④，得x＞2.∴ 当x＜ 或x＞2时，原分式的值是负数.
解：(3)由 题 意,得 ⑤ 或⑥ 不等式组⑤ 无 解;解 不 等 式 组 ⑥,得 x ≤2.∴当 x ≤2时,原分式的值是非负数.
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18(共12张PPT)
专题特训一 分式的化简与求值
第15章 分 式
类型一 化简后直接代入求值
1. （2025 苏州）先化简，再求值： ，其中x
＝－2.
解：原式＝ ＝ ＝ .当x＝－2时，原式＝ ＝2.
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2. （2025 郑州段考）先化简，再求值：（ ＋ ）÷ ，其中a＝－4.
解：原式＝［ ＋ ］ ＝ ＝ .当a＝－4时，原式＝ ＝3.
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3. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝5，y＝3.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .当x＝5，y＝3时，原式＝ ＝ .
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类型二 化简后自选数代入求值
4. 先化简，再求值：1－ ÷ .求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）.
解：原式＝1－ ＝1－ ＝ ＝－ .∵ x≠0，x＋2≠0，x－2≠0，∴ x≠0，x≠±2.∴ x可取±1.当x＝1时，原式＝－ ＝4（答案不唯一）.
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5. （2025 郑州期末）先化简： ÷ － ，再从2、－2、1、－1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值.
解：原式＝ － ＝ － ＝ .
∵ 当x＝±1或2时，原分式无意义，∴ x＝－2.当x＝－2时，原式＝ ＝－ .
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6. 易错题 化简： ÷ ，当a＝－1时，请你选择一个合适的数作为b的值代入求值.
解：原式＝ ＝ ＝ .∵ a≠b，a≠0且a≠－b，∴ 当a＝－1时，取b＝2（b的取值不唯一），则原式＝ ＝1.
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类型三 用整体代入法求值
7. 已知 － ＝3，则代数式 的值是（ D ）
A. － B. － C. D.
8. 已知x2－x－1＝0，则 ÷ 的值是（ A ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
D
A
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9. 先化简，再求值： ÷ ，且a的值满足a2＋2a－8＝0.
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .∵ a2＋2a－8＝0，∴ a2＋
2a＝8.∴ 原式＝ ＝ .
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10. 先化简，再求值： ÷ ＋ ，其中a2－2a－6＝0.
解：原式＝ ÷ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .∵ a2－2a－6＝0，∴ a2＝2a＋6.∴ 原式＝ ＝ ＝2.
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类型四 对有条件的分式化简求值
11. 先化简，再求值： ÷（ ＋ ），其中a、b满足｜2a－b＋2｜＋（a＋b－3）2＝0.
解：原式＝ ÷［ － ］＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ＝ .∵ ｜2a－b＋2｜＋（a＋b－3）2＝0，∴ 解得 ∴ 原式＝ ÷ ＝8.
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12. 先化简，再求值： ÷ ，其中m是两条边的长分别为2和3的三角形的第三条边的长，且m是整数.
解：原式＝ ÷［ ＋ ］＝ ÷ ＝ ＝ .∵ m是两条边的长分别为2和3的三角形的第三条边的长，∴ 3－2＜m＜3＋2，即1＜m＜5.∵ m是整数，∴ m＝2、3、4.∵ m≠0、2、3，∴ m＝4.∴ 原式＝ ＝ .
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12(共17张PPT)
15.1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列等式从左到右变形正确的是（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2. （2025 长春朝阳段考）下列分式是最简分式的为（ C ）
A. B. C. D.
B
C
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3. 在括号内填上适当的整式，使等式成立.
（1） ＝ .
（2） ＝ .
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4. 约分：
（1） .
解：原式＝ .
（2） .
解：原式＝－ .
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（3） .
解：原式＝ ＝ .
（4） .
解：原式＝ ＝ .
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5. 通分：
（1） ， .
解：最简公分母是18a2b2c，∴ ＝ ， ＝ .
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（2） ， ， .
解：最简公分母是－3（a－3）2（a＋3），∴ ＝ ， ＝ ， ＝ .
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6. 易错题 下列各式的变形中，不正确的是（ A ）
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
A
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7. 在对 ， ， 进行通分的过程中，不正确的是（ D ）
A. 最简公分母是（x－2）（x＋3）2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
D
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8. 把分式 的x、y均缩小为原来的 后，分式的值（ D ）
A. 为原分式值的 B. 为原分式值的
C. 不变 D. 为原分式值的10倍
9. 若x为整数，且 的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（ B ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
D
B
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10. 不改变分式 的值，使分子、分母中次数最高项的系数为正数，可以得到 .
11. （2025 长春朝阳模拟）已知x＋2y－1＝0，则代数式 的值为 .
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12. 约分：
（1） .
解：原式＝ ＝3y＋1.
（2） .
解：原式＝ ＝ ＝
＝ .
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（3） .
解：原式＝ ＝
＝－ .
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13. 新考法 开放题 给出下列三个代数式：① a2－4；② a2－2a；③ a2－2a＋4.请从中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式并化简，然后请你自选一个合理的数代入求值.
解：答案不唯一，如选a2－4作为分子，a2－2a作为分母，可得 ＝ ＝ .选a＝3（选择不唯一，只需满足a≠0，a≠2即可）作为合理的数，∴ 原式＝ ＝ .
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14. 新情境 现实生活 某玻璃瓶内装有a cm高的墨水（如图①），将瓶盖盖好后倒立放置（如图②），此时有墨水的部分高为h cm，没有墨水的部分高为b cm，则瓶内墨水的体积占玻璃瓶容积的（不考虑瓶壁的厚度） （ A ）
（第14题）
A. B.
C. D.
A
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15. “约去”指数，如 ＝ ， ＝ .面对这样的约分，认真检验，发现其结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们可 以进行下面的猜想： ＝ （a＞b）.试证明此猜想的正确性［提示：x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）］.
解：∵ ＝
＝
＝
，∴ ＝ （a＞b）是正确的.
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15(共15张PPT)
专题特训二 分式方程中的参数问题
第15章 分 式
类型一 根据分式方程解的定义求参数的值
1. 已知x＝1是关于x的分式方程 ＝ 的解，则a的值为（ D ）
A. －1 B. 1
C. 3 D. －3
D
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2. 已知不等式组
（1） 解上述不等式组.
解：（1） 记 解不等式①，得x＞ ；解不等式②，得x≤2.∴ 不等式组的解集为 ＜x≤2.
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（2） 若不等式组的解集中有一个整数是关于x的方程 ＝ －2的解，求m的值.
解：（2） ∵ ＜x≤2，∴ x的整数值为1和2.∵ x－2≠0，2－x≠0，即x≠2，∴ x＝1.把x＝1代入方程 ＝ －2，得m－2＝0，解得m＝2.
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3. 已知关于x的分式方程 ＝ 与 ＝ 的解相同，求m2－2m的值.
解：解分式方程 ＝ ，得x＝3.经检验，x＝3是该分式方程的解.由题意，将x＝3代入 ＝ ，得 ＝ ，解得m＝ .∴ m2－2m＝2－2× ＝－ .
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类型二 根据分式方程解的特征求参数的值或取值范围
4. （2025 南阳邓州期中）若关于x的分式方程 －3＝ 的解为正数，则实数m的取值范围是（ D ）
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2
C. m＞－6 D. m＞－6且m≠－2
5. 若关于x的方程 －1＝ 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是（ D ）
A. 6 B. 0 C. 1 D. 9
D
D
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6. 若关于x的方程 －3＝ 的解不小于2，求a的取值范围.
解：方程两边同乘以（x－4），得x－3（x－4）＝a，解得x＝ .∵ 方程的解不小于2，且x≠4，∴ 解得a≤8且a≠4.
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7. 若关于x的分式方程 ＋ ＝ 的解大于1，求m的取值范围.
解：方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得（x＋2）＋2（x－2）＝x＋2m，解得x＝m＋1.根据题意，可得m＋1＞1，且m＋1≠2，m＋1≠－2，∴ m＞0且m≠1.
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类型三 根据分式方程有增根求参数的值
8. 若关于x的分式方程 ＋5＝ 有增根，则m的值为（ C ）
A. 1 B. 3
C. 4 D. 5
9. 若关于x的分式方程 ＝ －3有增根，则增根为 x＝2 ，a的值为 1 .
C
x＝2
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10. ★已知关于x的分式方程 － ＝ .
（1） 当m＝3时，求分式方程的解.
解：（1） 把m＝3代入原分式方程，得 － ＝ .方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得3x＋2（x＋2）＝3（x－2），解得x＝－5.经检验，x＝－5是原分式方程的解.∴ 当m＝3时，分式方程的解为x＝－5.
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（2） 若这个关于x的分式方程会产生增根，求m的值.
解：（2） 方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得mx＋2（x＋2）＝3（x－2）. 整理，得（1－m）x＝10.∵ 分式方程会产生增根，∴ （x＋2）（x－2）＝0，即x＝2或x＝－2.把x＝2代入整式方程，得（1－m）×2＝10，解得m＝－4；把x＝－2代入整式方程，得（1－m）×（－2）＝10，解得m＝6.综上所述，m的值为－4或6.
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类型四 根据分式方程有解求参数的取值范围
11. 已知关于x的分式方程 － ＝1.
（1） 当m＝－1时，请判断这个方程是否有解，并说明理由.
解：（1） 这个方程无解. 理由：当m＝－1时，方程变为 － ＝1，去分母，得x2－x－2＋2x＝x2＋x.整理，得－2＝0，显然不成立.∴ 当m＝－1时，这个方程无解.
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（2） 若这个分式方程有解，求m的取值范围.
解：（2） 将 － ＝1化为整式方程，得2（m＋1）x＝m－1.
∵ 这个分式方程有解，∴ m＋1≠0，即m≠－1.又∵ 当x＝0或x＝－1，即m＝1或m＝－ 时，这个分式方程无解，∴ m的取值范围是m≠±1且m≠－ .
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类型五 根据分式方程无解求参数的值
12. 若关于x的分式方程 ＋ ＝1无解，则m的值为（ A ）
A. 6或2 B. 2
C. 6 D. －6或2
13. 如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么实数m的值是（ C ）
A. 1 B. －1
C. 1或－1 D. 0
A
C
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14. 已知关于x的分式方程 － ＝1＋ 无解，求a的值.
解：方程两边同乘以x（x－1），得x（x－a）－3（x－1）＝x（x－1）＋a.整理，得（a＋2）x＝3－a.当a＋2＝0，即a＝－2时，该整式方程无解；当a＋2≠0时，x＝ .由题意，得x（x－1）＝0，即x＝0或x＝1.∴ ＝0或 ＝1，解得a＝3或a＝ .综上所述，a的值为－2或3或 .
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14(共15张PPT)
15.2 分式的运算
第1课时 分式的乘除
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算 的结果是（ D ）
A. B. C. xy D.
2. （2025 晋城泽州段考）化简 ÷ 的结果是（ D ）
A. B. C. D. －
D
D
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3. 计算：
（1） （2025 南阳桐柏段考） ＝ .
（2） （2025 洛阳新安期中）3÷2＝ － .
－
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4. 计算：
（1） .
解：原式＝ ＝ .
（2） ÷ .
解：原式＝ ＝ .
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5. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝－2，y＝ .
解：原式＝ ＝ .当x＝－2，y＝ 时，原式＝ ＝ .
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6. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，出现错误的是（ D ）
A. 乙 B. 甲和丁
C. 乙和丙 D. 乙和丁
（第6题）
D
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7. ★关于式子 ÷ ，下列说法正确的是（ A ）
A. 当x＝3时，其值为0
B. 当x＝－3时，其值为2
C. 当0＜x＜3时，其值为正数
D. 当x＜0且x≠－3时，其值为负数
A
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8. 化简下列式子，结果不为整式的是（ C ）
A.
B. ÷
C. ÷
D. ÷
9. 已知a m2的无纺布能做10b个口罩，5a m2的无纺布能做b条无菌床单，则1条无菌床单的用料是1个口罩的 50 倍.
C
50
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10. 新考法 新定义题 对于a、b，我们定义两种运算：a△b＝ ，a*b＝ ，则m△n÷2（m*n）＝ .
11. 如果M是一个代数式，且 ÷ M＝3a＋3b，那么M＝ .
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12. 计算：
（1） 2 3÷2.
解：原式＝ ÷ ＝－ ＝－
＝－ .
（2） 2÷（x＋y）2 3.
解：原式＝ ＝ .
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13. 已知x＝2 026－π，求代数式 ÷ 的值.佳佳说：“老师，这道题中的x＝2 026－π是多余的.”佳佳的说法正确吗？请说明理由.
解：佳佳的说法正确.理由：原式＝ ＝1，∵ 结果是与x无关的常数，∴ 这道题中的x＝2 026－π是多余的.
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14. 若a＞0，M＝ ，N＝ ，则M与N的大小关系为 M＜ N （用“＜”连接）.
M＜N
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15. 新情境 现实生活 A玉米试验田是边长为a m（a＞1）的正方形减去边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分；B玉米试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田都收获了500 kg的玉米.
（1） 哪块玉米试验田的单位面积产量高？
解：（1） A玉米试验田的面积是（a2－1）m2，单位面积产量是 kg；B玉米试验田的面积是（a－1）2 m2，单位面积产量是 kg.∵ a2－1－（a－1）2＝2（a－1），a＞1，∴ 2（a－1）＞0，即a2－1＞（a－1）2.∴ ＜ ，即B玉米试验田的单位面积产量高.
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（2） 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（2） ÷ ＝ × ＝ ＝ ，∴ 高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍.
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15(共13张PPT)
15.4 零指数幂与负整数指数幂
第1课时 零指数幂与负整数指数幂
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 长春期中）下列计算结果正确的是（ A ）
A. （－2）0＝1 B. （－2）0＝－1
C. （－2）0＝0 D. （－2）－1＝2
2. 计算3－2＋（3.14－π）0的结果是（ D ）
A. －5 B. 10 C. 7 D.
3. 计算（a3b）－2的结果是（ A ）
A. B. a6b2 C. D. －2a3b
A
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4. 若（x－1）－1＋（x－2）0有意义，则x的取值范围是 x≠1且x≠2 .
x≠1且
x≠2
5. 计算：
（1） －2－（－2 026）0＋23.
解：原式＝4－1＋8＝11.
（2） －22÷（π－3）0＋－3＋（－1）－2.
解：原式＝－4÷1＋23＋1＝－4＋8＋1＝5.
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6. 计算下面各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1） （a－2）2 （ab3）－2.
解：原式＝a－4 a－2b－6＝a－6b－6＝ .
（2） （2mn2）－3 （m－1n－2）－4.
解：原式＝ m4n8＝ .
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7. 若a＝－0.32，b＝－3－2，c＝－2，d＝0，则（ D ）
A. a＜b＜c＜d B. c＜a＜d＜b
C. a＜b＜d＜c D. b＜a＜d＜c
8. 下列计算结果为－9a6b－4的是（ D ）
A. （－3ab－2）2 B. －（3a4b－2）2
C. －（3a4b－6）2 D. －（3a3b－2）2
D
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9. 下列计算中，正确的是（ D ）
A. a＋a－1＝0 B. （－a＋b）－1＝a－b
C. a （3a）－1＝3 D. 1÷－1＝
10. 若0没有意义，则x－2的值为 4 .
11. 若2x－1 2x＋2＝16，则x的值为 －1 .
12. 已知xm＝3，yn＝2，则（x2myn）－1的值为 .
D
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13. 计算：
（1） （－2）3÷（π－3.14）0－－2×－1.
解：原式＝－8÷1－9×（－2）＝－8－（－18）＝－8＋18＝10.
（2） －22＋－2＋（π－ ）0＋ .
解：原式＝－4＋9＋1－5＝1.
（3） －2×3－1＋（ －2 026）0÷－1.
解：原式＝ × ＋1× ＝ ＋ ＝ .
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14. 计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：
（1） －3÷－2.
解：原式＝－ x－3y－3÷ ＝ xy3＝－ xy3.
（2） （3m2n－2）2 （－4mn－3）－3.
解：原式＝9m4n－4 （－ m－3n9）＝－ mn5.
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（3） －2÷ .
解：原式＝ x－2y－2÷ ＝ y－2＝ .
（4） 2 ÷－4.
解：原式＝ ＝ .
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15. 已知10－2α＝3，10－β＝－ ，求106α＋2β的值.
解：∵ 10－2α＝ ＝3，10－β＝ ＝－ ，∴ 102α＝ ，10β＝－5.
∴ 106α＋2β＝106α×102β＝（102α）3×（10β）2＝3×（－5）2＝ ×25＝ .
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16. 新考法 阅读理解题 阅读理解：
已知a＋a－1＝3，求a2＋a－2的值.
解：∵ a＋a－1＝3，
∴ （a＋a－1）2＝a2＋a－2＋2＝9.
∴ a2＋a－2＝7.
根据上面的结论和解题思路，求：
（1） a4＋a－4的值.
解：（1） ∵ a2＋a－2＝7，∴ （a2＋a－2）2＝a4＋a－4＋2＝49.∴ a4＋
a－4＝47.
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（2） a－a－1的值.
解：（2） ∵ （a＋a－1）2＝9，∴ （a－a－1）2＝（a＋a－1）2－4
＝9－4＝5.∴ a－a－1＝± .
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16(共18张PPT)
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 分式方程及其解法
第15章 分 式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 泉州期中）有下列方程：① ＝1；② ＝2；③ ＝ ；④ ＋ ＝5.其中，是分式方程的有（ D ）
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②③④
D
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2. （2024 济宁）解方程1－ ＝－ 时，去分母变形正确的是（ A ）
A. 2－6x＋2＝－5 B. 6x－2－2＝－5
C. 2－6x－1＝5 D. 6x－2＋1＝5
A
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3. 若 －2与 互为相反数，则x的值为（ B ）
A. B.
C. D.
B
4. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝0的解为x＝4，则常数a的值为 10 .
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5. 解方程：
（1） （2025 浙江） － ＝0.
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3（x－1）－（x＋1）＝0，解得x＝2.检验：把x＝2代入（x＋1）（x－1），得3×1≠0.∴ x＝2是原方程的解.
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（2） 易错题 －1＝ .
解：方程两边同乘以（x＋2） （x－2），得x（x＋2）－（x＋2） （x－2）＝3，即x2＋2x－x2＋4＝3，解得x＝－ .检验：把x＝－ 代入（x＋2）（x－2），得 ≠0.∴ x＝－ 是原方程的解.
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（3） ＋ ＝1.
解：原方程可化为 － ＝1，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得（x＋1）2－4＝（x＋1）（x－1），解得x＝1.检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0.∴ x＝1是原分式方程的增根，舍去.∴ 原分式方程无解.
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6. 按照如图所示的流程，若输出的M＝－6，则输入的m的值为 （ C ）
A. 3 B. 1 C. 0 D. －1
（第6题）
C
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7. 已知am＝2，an＝3，t＝a3m＋2n，则关于x的方程 － ＝ 的解是（ B ）
A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝
8. （2025 洛阳新安段考）关于x的方程 ＋2＝ 的解是正数，则a的取值范围是（ D ）
A. a＞－11 B. a＞－5
C. a＞－5且a≠－1 D. a＞－11且a≠
B
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9. 若方程 ＋1＝ 的解使关于x的不等式（2－a）x－3＞0成立，则a的取值范围是 a＜－1 .
a＜－1
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10. 是否存在实数x，使得代数式 － 与1＋ 的值相等？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在. 理由：令 － ＝1＋ .方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得（x－2）2－16＝（x＋2）（x－2）＋4（x＋2），解得x＝－2.检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－2）＝0.∴ x＝－2是原方程的增根，舍去.∴ 原方程无解.∴ 不存在实数x，使得代数式 － 与1＋ 的值相等.
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11. 小华完成一道关于解分式方程的题目，由于印刷问题，方程 ＋3＝ 中有一个数“？”看不清楚.
（1） 他把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这道关于分式方程的题目.
解：（1） 由题意，得 ＋3＝ .方程两边同乘以（x－2），得5＋3（x－2）＝－1，解得x＝0.检验：把x＝0代入x－2，得0－2＝－2≠0.∴ x＝0是原分式方程的解.
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（2） 小华的妈妈说：“我看到答案是‘x＝2是原分式方程的增根，原分式方程无解’.”请你求出原分式方程中“？”代表的数.
解：（2） 设“？”代表的数是m，则方程为 ＋3＝ .方程两边同乘以（x－2），得m＋3（x－2）＝－1.∵ x＝2是原分式方程的增根，
∴ 把x＝2代入m＋3（x－2）＝－1，解得m＝－1.∴ 原分式方程中“？”代表的数是－1.
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12. 某同学解关于x的分式方程 ＋6＝ ，去分母时由于常数6漏乘了公分母，最后解得x＝－1，
求原分式方程的正确解.
解：由题意，得x＝－1是方程x－3＋6＝m的解，即－1－3＋6＝m.
∴ m＝2.∴ 原方程为 ＋6＝ .方程两边同乘以（x－2），得x－3＋6（x－2）＝2，解得x＝ .经检验，x＝ 是原分式方程的解.∴ 原分式方程的正确解为x＝ .
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13. 新考法 阅读理解题 观察下列解分式方程的过程，并回答问题.
解方程： ＋ ＝ ＋ .
解： － ＝ － ①，
＝ ②，
＝ ③，
∴ x2－6x＋8＝x2－4x＋3④.
∴ x＝ .
经检验，x＝ 是原分式方程的解.
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（1） 得到①式的方法是 移项 ；得到②式的具体方法是 方程两边的分式先分别通分，再相减 ；得到③式的具体方法是 方程两边都除以（－2x＋10） ；得到④式的根据是 分式的值相等，分子相等（不为0），则分母相等 .
移项
方程两边
的分式先分别通分，再相减
方程两边都除
以（－2x＋10）
分式的值相等，分子相等
（不为0），则分母相等
（2） 上述过程正确吗？如果不正确，那么从哪一步开始出现错误？错误的原因是什么？
解：（2） 不正确.由②式推得③式的过程出现错误.错误的原因是没有考虑－2x＋10的值可能为0的情况.
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（3） 请给出正确的解答过程.
解：（3） 原方程可化为 － ＝ － ，即 ＝ .当－2x＋10＝0时，x＝5.经检验，x＝5是原分式方程的解.当－2x＋10≠0时， ＝ ，即x2－6x＋8＝x2－4x＋3，解得x＝ .经检验，x＝ 是原分式方程的解.∴ 原分式方程的解为x＝5或x＝ .
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