(共14张PPT)
17.2 平行四边形的判定
第4课时 三角形的中位线
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 新乡延津期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD的中点，连结EF. 已知BC＝8，则EF的长为（ A ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
（第1题）
A
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2. （2024 广安）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ D ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
（第2题）
D
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB的中点.已知BC＝10，则OE的长为 5 .
（第3题）
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4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF. 求证：四边形DBCF是平行四边形.
（第4题）
解：∵ D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC，BC＝2DE. ∵ EF＝DE，∴ DF＝2DE. ∴ DF＝BC. ∴ 四边形DBCF是平行四边形.
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5. （2025 安阳段考）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连结MN，若AB＝6，BC＝10，则MN的长为（ D ）
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
（第5题）
D
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6. 如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（ D ）
A. 2∶1 B. 3∶2
C. 5∶3 D. 3∶1
（第6题）
D
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7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点.若AB＝8，AD＝6，则EF长的最大值为 5 .
（第7题）
5
8. 如图，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝7，CE＝1.5，连结DE并延长至点F，使得EF＝DE，连结BF，则BF的长为 4 .
（第8题）
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9. 如图，在△ABC 中，D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G、F分别为BH、CH的中点.
（1） 求证：四边形DEFG为平行四边形.
解：（1） ∵ D、E分别为AB、AC的中点，G、F分别为BH、CH的中点，∴ DE∥BC，DE＝ BC，GF∥BC，
GF＝ BC. ∴ DE∥GF，DE＝GF.
∴ 四边形DEFG为平行四边形.
（第9题）
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（2） DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度.
（第9题）
解：（2） ∵ 四边形DEFG为平行四边形，∴ DG＝EF＝2.∵ DG⊥BH，∴ ∠DGB＝90°.∴ BG＝ ＝ ＝ ，即线段BG的长度为 .
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10. ★如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于点G、H. 求证：∠AHF＝∠BGF.
（第10题）
解：如图，连结AC，取AC的中点M，连结ME、MF. ∵ E是CD的中点，M是AC的中点，F是AB的中点，∴ EM∥AD，EM＝ AD，FM∥BC，FM＝ BC. ∴ ∠MEF＝∠AHF，∠MFE＝∠BGF.
又∵ AD＝BC，∴ EM＝FM.
∴ ∠MEF＝∠MFE. ∴ ∠AHF
＝∠BGF.
（第10题答案）
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11. 新考法 探究题 （1） 如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC分别相交于点M、N. 求证：FG＝ （AB＋BC＋AC）.
解：（1） ∵ AF⊥BD，∴ ∠AFB＝∠MFB＝90°.∵ BD是△ABC的外角平分线，∴ ∠ABF＝∠MBF. 在△ABF和△MBF中， ∴ △ABF≌△MBF. ∴ AB
＝MB，AF＝MF. 同理，可得AC＝CN，AG＝NG.
∴ FG是△AMN的中位线.∴ FG＝ MN＝ （MB＋BC＋CN）＝ （AB＋BC＋AC）.
（第11题）
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（2） 若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图②），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
（第11题）
解：（2） FG＝ （AB＋AC－BC）.如图，延长AG、AF，与直线BC分别相交于点M、N. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABF＝∠NBF.
∵ AF⊥BD，∴ ∠AFB＝∠NFB＝90°.∵ BF＝BF，
∴ △ABF≌△NBF. ∴ AB＝NB，AF＝NF. 同理，可得AC＝CM，AG＝MG. ∴ FG是△AMN的中位线.
∴ FG＝ MN. ∴ MN＝2FG. ∴ BC＝
BN＋CM－MN＝AB＋AC－2FG.
∴ FG＝ （AB＋AC－BC）.
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11(共15张PPT)
17.1 平行四边形的性质
第3课时 平行四边形的性质的综合应用
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF的度数为（ B ）
A. 71° B. 61° C. 29° D. 51°
（第1题）
B
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2. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，△ABO的周长比△BOC的周长小1，则 ABCD的周长是（ C ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
（第2题）
C
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3. 如图，E是 ABCD的边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠D＝70°，则∠F＝ 40 °.
（第3题）
40
4. 如图，若 ABCD的周长为72 cm，过点D分别作边AB、BC上的高DE、DF，且DE＝8 cm，DF＝10 cm，则 ABCD的面积为 160 cm2.
（第4题）
160
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5. 如图，在 ABCD的边AB、CD上截取AF、CE，使得AF＝CE，连结EF，M、N是线段EF上的两点，且FN＝EM，连结AN、CM.
（1） 求证：△AFN≌△CEM.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD∥AB. ∴ ∠AFN＝∠CEM. 在△AFN和△CEM中，
∴ △AFN≌△CEM.
（第5题）
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（2） 若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数.
（第5题）
解：（2） 由（1），得△AFN≌△CEM，∴ ∠NAF＝∠MCE. ∵ ∠CMF＝∠CEM＋∠MCE，∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，∴ ∠MCE＝35°.∴ ∠NAF＝35°.
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6. 如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，有下列条件：① AE＝CF；② BE＝DF；③ BF＝DE；④ ∠1＝∠2.从中任选一个，能使△ABE≌△CDF的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第6题）
C
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7. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等的三角形共有（ C ）
A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对
（第7题）
C
8. 如图， ABCD的周长为18，对角线AC和BD相交于点O，AC⊥BC，若AC＝3，则S△AOD＝ 3 .
（第8题）
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9. 如图，在 ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连结DM、MC，则直线DM与MC有何位置关系？请说明理由.
解：DM⊥MC. 理由：如图.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC，AB∥DC. ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵ M为AB的中点，∴ AM＝BM＝ AB. 又∵ AB＝2AD，∴ AD＝AM＝BM＝BC. ∴ ∠5＝∠2，∠6＝∠4.∴ ∠1＝∠5，∠3＝∠6.∵ AD∥BC，∴ ∠ADC＋∠BCD＝180°.
∴ 2（∠1＋∠3）＝180°，即∠1＋∠3＝90°.
∴ ∠DMC＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，即DM⊥MC.
（第9题）
（第9题答案）
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10. 如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交BC、AD于点E、F.
（1） 求证：DF＝BE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC.
∴ ∠OAF＝∠OCE. ∵ O是AC的中点，∴ AO＝CO. 在△AOF和△COE中， ∴ △AOF≌△COE. ∴ AF＝CE.
∴ AD－AF＝BC－CE. ∴ DF＝BE.
（第10题）
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（2） 若AC、EF将 ABCD分成的四个部分的面积相等，指出点E的位置，并说明理由.
（第10题）
解：（2） 当点E与点B重合时，AC、EF将 ABCD分成的四个部分的面积相等. 理由：连结BD. 易得B、O、D三点共线.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∵ 等底同高的三角形的面积相等，∴ S△AOB＝S△AOD. 同理，可得S△AOB＝S△COB，S△AOD＝S△COD. ∴ S△AOB＝S△COB＝S△AOD＝S△COD. ∴ 当点E与点B重合时，
AC、EF将 ABCD分成的四个部分的面积相等.
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11. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是边BC上的一点，以AD为边作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.
（1） 求∠ADE的度数（用含α的式子表示）.
解：（1） 在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，∴ ∠ABC＝∠ACB＝α.∴ ∠BAC＝180°－2α.∵ ∠DAE＋∠BAC＝180°，∴ ∠DAE＝2α.∵ AE＝AD，∴ ∠ADE＝ （180°－∠DAE）＝90°－α.
（第11题）
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（2） 以AB、AE为边作 ABFE.
① 如图②，若点F恰好落在边DE上，求证：BD＝CD.
解：（2） ① ∵ 四边形ABFE为平行四边形，∴ AB∥DE. ∴ ∠EDC＝∠ABC＝α.由（1）知，∠ADE＝90°－α，∴ ∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°－α＋α＝90°，即AD⊥BC. 又∵ AB＝AC，∴ BD＝CD.
（第11题）
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② 如图③，若点F恰好落在边BC上，求证：BD＝CF.
（第11题）
解：② ∵ AB＝AC，∠ABC＝α，∴ ∠ACB＝∠ABC＝α.∵ 四边形ABFE为平行四边形，点F在边BC上，∴ AE∥BC，AE＝BF.
∴ ∠EAC＝∠ACB＝α.由（1）知，∠DAE＝2α，∴ ∠DAC＝∠DAE－∠EAC＝α.∴ ∠DAC＝∠ACB. ∴ AD＝CD. ∵ AD＝AE，AE＝BF，∴ BF＝CD. ∴ BF－DF＝CD－DF. ∴ BD＝CF.
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11(共16张PPT)
17.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列给出了四边形ABCD中的∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ C ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 2∶2∶3∶3
C. 2∶3∶2∶3 D. 2∶3∶3∶2
C
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2. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，添加下列条件后，不一定能判定四边形AECF是平行四边形的为（ D ）
A. BE＝DF B. AE∥CF
C. AF＝EC D. AE＝EC
（第2题）
D
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3. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，且AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，则图中有 6 个平行四边形.
（第3题）
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4. 如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB＝AE，CD＝DE，且CD∥AE，F是边AE上一点，∠ABF＝∠DAE，连结CF、AC、DF. 求证：AC与DF互相平分.
（第4题）
解：∵ AB＝AE，∴ ∠ABE＝∠AEB. 同理，∠DEC＝∠DCE.
∵ AE∥CD，∴ ∠AEB＝∠DCE. ∴ ∠ABE＝∠DEC. ∴ AB∥DE.
∴ ∠BAF＝∠AED. ∵ AB＝AE，∠ABF＝∠DAE，
∴ △ABF≌△EAD. ∴ AF＝ED. ∴ AF＝CD.
∵ AE∥CD，∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∴ AC与DF互相平分.
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5. 如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点处，点C的对应点F在BC的延长线上，连结AD，AC与DE相交于点O. 下列结论一定正确的是（ D ）
A. ∠B＝∠F B. AC⊥DE
C. BC＝DF D. AC、DE互相平分
（第5题）
D
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6. 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，EC∥AB，EC＝BD. 下列结论中，不一定成立的是（ D ）
A. 四边形BCED是平行四边形
B. 四边形ADCE是平行四边形
C. AC与DE互相平分
D. ∠CAE＝∠BCD
（第6题）
D
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7. 如图，直线EF与 ABCD的对角线AC平行，分别交DA、CB的延长线于点E、F，直线HG∥AC，分别交CD、BA的延长线于点G、H，则EF与HG之间的关系是 EF綊HG（或EF＝HG，EF∥HG） .
（第7题）
EF綊HG（或EF＝HG， EF∥HG）
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8. 新考向 数学文化 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图（如图①）的启发，编写了下面这道题，请你来解一解.如图②，将 ABCD的边DA、AB、BC、CD分别延长至点E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE. 求证：四边形EFGH为平行四边形.
（第8题）
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，∠BCD＝∠BAD. ∵ ∠FAE＝180°－∠BAD，∠HCG＝180°－∠BCD，∴ ∠FAE＝∠HCG. ∵ BF＝DH，AB＝CD，∴ AB＋BF＝CD＋DH. ∴ AF＝CH. 又∵ AE＝CG，∠FAE＝∠HCG，∴ △FAE≌△HCG. ∴ EF＝GH. 同理，可得EH＝GF. ∴ 四边形EFGH为平行四边形.
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9. ★如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，BM⊥AC，DN⊥AC，E、F、M、N是垂足，连结EN、NF、FM、ME. 求证：ME＝FN.
（第9题）
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAM＝∠DCN. 又∵ BM⊥AC，DN⊥AC，
∴ ∠AMB＝∠CND＝90°.在△ABM和△CDN中， ∴ △ABM≌△CDN. ∴ AM＝CN. 又∵ OA＝OC，∴ OA－AM＝OC－CN. ∴ OM＝ON. 同理，可证△ABE≌△CDF. ∴ BE＝DF.
又∵ OB＝OD，∴ OB－BE＝OD－DF. ∴ OE＝OF. ∴ 四边形MENF是平行四边形.∴ ME＝FN.
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10. 新考法 探究题 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝5，E、F为直线BD上的两个动点（点E、
F始终在 ABCD的外部），连结AE、CE、CF、AF.
（1） 若DE＝ OD，BF＝ OB.
① 求证：四边形AFCE是平行四边形.
解：（1） ① ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ DE＝ OD，BF＝ OB，∴ DE＝BF. ∴ OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形.
（第10题）
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② 若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长.
解： ② ∵ 在 ABCD中，AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠BCA. ∵ CA平分∠BCD，∴ ∠BCA＝∠DCA. ∴ ∠DCA＝∠DAC. ∴ AD＝CD.
∵ OA＝OC，∴ OE⊥AC. ∴ OE垂直平分AC. ∴ AE＝CE. ∵ ∠AEC＝60°，∴ △ACE是等边三角形.∴ AE＝CE＝AC＝2OA＝10.∴ 四边形AFCE的周长为2（AE＋CE）＝40.
（第10题）
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（2） 若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE是平行四边形吗？请写出结论并说明理由.若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论.
（第10题）
解：（2） 当DE＝ OD，BF＝ OB时，四边形AFCE是平行四边形. 理由：∵ DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，∴ DE＝BF. ∴ OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形.当DE＝ OD，BF＝ OB时，四边形AFCE是平行四边形.
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10(共15张PPT)
17.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 周口川汇期末）如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是（ C ）
A. ∠B＝∠A B. AD＝BC
C. AB＝DC D. ∠B＋∠C＝180°
（第1题）
C
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2. 如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加的一个条件是（ C ）
A. AB∥CD B. ∠BAC＝∠DCA
C. ∠1＝∠2 D. ∠B＝∠1
（第2题）
C
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3. 如图，在△ABC中，以点A为圆心、BC长为半径作弧，再以点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD、CD. 若∠B＝65°，则∠D的度数为 65° .
（第3题）
65°
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4. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
（第4题）
解：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，∴ ∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴ Rt△ABD≌Rt△CDB. ∴ AB＝CD. 又∵ AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
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5. 在四边形ABCD中，有下列条件：① AB∥CD；② AD∥BC；③ AB＝CD；④ AD＝BC. 从中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ B ）
A. 3种 B. 4种
C. 5种 D. 6种
B
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6. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，连结OE，则图中平行四边形的个数为（ D ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
（第6题）
D
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7. 如图，在△ABC中，D、F分别是AB、AC上的点，且DF∥BC. E是射线DF上的一点，再添加下列一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是 （ D ）
A. ∠ADE＝∠E B. ∠B＝∠E
C. DE＝BC D. BD＝CE
（第7题）
D
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12
8. 分类讨论思想 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.已知点E、F同时出发，设运动时间为t s.当t＝ 2或6 时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
（第8题）
2或6
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9. （2025 鹤壁期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F为对角线BD上的两点，BE＝DF，CE＝AF. 连结AE、CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
（第9题）
解：∵ BE＝DF，∴ BE＋EF＝DF＋EF. ∴ BF＝DE. 在△ABF和△CDE中， ∴ △ABF≌△CDE. ∴ ∠ABF＝∠CDE.
∴ AB∥CD. ∵ AB＝CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
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10. ★如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连结AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，使得AD＝BC，连结CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
（第10题）
解：∵ FE⊥AC，∴ ∠FEA＝∠FEC＝90°.∵ ∠FAC＝45°，∴ 易得△AEF是等腰直角三角形.∴ AE＝FE，∠AFE＝∠FAE＝45°.在Rt△AEB和Rt△FEC中， ∴ Rt△AEB≌Rt△FEC. ∴ BE＝CE. ∴ ∠CBE＝∠BCE＝45°.∵ AD⊥AF，
∴ ∠FAD＝90°.∴ ∠CAD＝∠FAD－∠FAE＝45°.
∴ ∠CAD＝∠BCE＝45°.∴ AD∥BC. 又∵ AD＝BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
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11. 如图，五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，AC＝1，则BD必定满足（ A ）
A. 0＜BD＜2 B. BD＝2
C. BD＞2 D. 以上情况均有可能
A
（第11题）
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12. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形.
（1） 求证：四边形AEFD是平行四边形.
解：（1） ∵ △ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，∴ DB＝AB＝AD，EC＝AC＝AE，BF＝BC＝FC，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝∠BCF＝60°.∴ ∠DBF＝∠ABC＝60°－∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°－∠ACF. 在△DBF和△ABC中， ∴ △DBF≌△ABC. ∴ DF＝AC. ∴ DF＝AE.在△EFC和△ABC中， ∴ △EFC≌△ABC. ∴ EF＝
AB. ∴ EF＝AD. ∴ 四边形AEFD是平行四边形.
（第12题）
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（2） 求∠DFE的度数.
（第12题）
解：（2） ∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴ AB2＋AC2＝32＋42＝25，BC2＝52＝25.∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∵ △ABD、△ACE是等边三角形，∴ ∠BAD＝∠CAE＝60°.∴ ∠DAE＝360°－∠BAD－∠CAE－∠BAC＝150°.∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ ∠DFE＝∠DAE＝150°.
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12(共18张PPT)
第17章整合拔尖
第17章 平行四边形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 平行四边形的性质
典例1 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，过点C作CF⊥BE，交BE于点F.
（1） 求证：BF＝EF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠E. ∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE.
∴ ∠CBE＝∠E. ∴ BC＝CE. ∵ CF⊥BE，
∴ BF＝EF.
（典例1图）
（2） 若AB＝8，DE＝4，求 ABCD的周长.
（典例1图）
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝8.∴ CE＝CD＋DE＝8＋4＝12.由（1），得BC＝CE＝12.∴ ABCD 的周长为2（AB＋BC）＝2×（8＋12）＝40.
［变式］ ★如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ABCD的周长是100 cm，△AOB与△BOC的周长之和是122 cm，且AC∶BD＝2∶1，求AC和BD的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD. ∴ AB＋BC＝100÷2＝50（cm）.∵ △AOB与△BOC的周长之和是122 cm，∴ OA＋OB＋AB＋OB＋OC＋BC＝122 cm，即AC＋BD＝122－50＝72（cm）.又∵ AC∶BD＝2∶1，
∴ AC＝48 cm，BD＝24 cm.
考点二 平行四边形的判定
典例2 （2025 平顶山郏县期末）如图，在四边形ABCD中，M、N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM. 若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形.
（典例2图）
解：连结AC交BD于点O. ∵ AM∥CN，AN∥CM，∴ 四边形AMCN是平行四边形.∴ OM＝ON，OA＝OC. ∵ BM＝DN，∴ OM＋BM＝ON＋DN，即OB＝OD. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
［变式］ 如图，在 ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连结AF、CE. 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∴ ∠ABD＝∠CDB. ∵ AM⊥BC，CN⊥AD，∴ ∠AMB＝∠CND＝90°.∵ ∠BAM＝90°－∠ABC，∠DCN＝90°－∠ADC，∴ ∠BAM＝∠DCN. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE＝CF，∠AEB＝∠CFD. ∴ 180°－∠AEB＝180°－∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE. ∴ AE∥CF. 又∵ AE＝CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
考点三 三角形的中位线
典例3 如图，在△ABC中，中线BE、CD交于点O，F、G分别是OB、OC的中点.连结DF、FG、EG、DE. 试判断DF与EG的关系，并说明理由.
（典例3图）
解：DF EG. 理由：∵ BE、CD都是△ABC的中线，∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC. ∵ F、G分别是OB、OC的中点，∴ FG∥BC，FG＝ BC. ∴ DE∥FG且DE＝FG. ∴ 四边形DEGF是平行四边形.∴ DF EG.
∥
＝
∥
＝
［变式］ 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F
分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝136°，则∠EFP＝
22 °.
22
1. 如图，E为 ABCD的边BC上一点，连结AC、AE，AB＝BE，AE＝EC. 若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ B ）
A. 80° B. 81° C. 82° D. 83°
（第1题）
B
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2. 如图，等边三角形ABC的周长为12，P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作PD、PE、PF，且PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，则PD＋PE＋PF的值为（ C ）
A. 12 B. 8 C. 4 D. 3
（第2题）
C
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3. 如图， ABCD的周长为8，对角线AC、BD交于点M，延长AB到点E，使BE＝BC，BN⊥EC于点N，连结MN，则MN＝ 2 .
（第3题）
2
4. 如图，AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，S△DCE＝6，
则S四边形ABCD＝ 20 .
（第4题）
20
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5. ★如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE、EH、HF、FG、GH. 求证：GH与BD互相平分.
（第5题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD.
∴ ∠GBE＝∠HDF. 又∵ AG＝CH，∴ AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH. 又∵ BE＝DF，∴ △GBE≌△HDF. ∴ GE＝HF，∠GEB＝∠HFD. ∴ ∠GEF＝∠HFE. ∴ GE∥HF.
∴ 四边形GEHF是平行四边形.∴ GH与EF互相平分.
又∵ BE＝DF，∴ GH与BD互相平分.
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6. 如图，在 ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9.点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ. 设点P运动的时间为t秒（t＞0）.
（1） AE的长是 12 .
12
（第6题）
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（2） 用含t的代数式表示PE的长.
解：（2） ∵ BE＝9，BC＝27，∴ 当点P运动到点E时，t＝ ＝3，当点P运动到点C时，t＝ ＝9.① 当0＜t≤3时，PE＝BE－BP＝9－3t.② 当3＜t≤9时，PE＝BP－BE＝3t－9.∴ PE＝
（第6题）
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（3） 设△QPE的面积为S，求S关于t的函数表达式.
解：（3） 由题意，点P与点E不重合.当0＜t＜3时，S＝ PE AE＝ （9－3t） 12＝－18t＋54；当3＜t≤9时，S＝ PE AE＝ （3t－9） 12＝18t－54，∴ S关于t的函数表达式为
S＝
（第6题）
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（4） 当以E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（第6题）
解：（4） 由题意，点P与点E不重合.① 当四边形PEDQ为平行四边形时，0＜t＜3，PE＝DQ，∴ 9－3t＝2t，解得t＝ .② 当四边形EPDQ为平行四边形时，3＜t≤9，EP＝DQ，∴ 3t－9＝2t，解得t＝9.综上所述，当t的值为 或9时，以E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
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6(共13张PPT)
17.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不一定能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ C ）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. AB∥DC，AD＝BC
D. OA＝OC，OB＝OD
C
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（第1题）
2. 如图，AD为△ABC的中线，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，连结BE. 下列说法中，错误的是（ D ）
A. △ABD≌△ECD
B. 四边形ABEC为平行四边形
C. DA＝DE
D. CE＝CA
（第2题）
D
3. 在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，OA＝OC，BD＝16，则当OB＝ 8 时，四边形ABCD是平行四边形.
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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在线段OA、OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
（第4题）
解：在△BEO和△DFO中， ∴ △BEO≌△DFO. ∴ OE＝OF. ∵ AE＝CF，∴ AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC.
∵ OB＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
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5. 下列四边形中分别标注了部分数据，由所标数据，不能判定四边形为平行四边形的是（ C ）
A. B. C. D.
C
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6. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点.给出下列四个条件：① OE＝OF；② DE＝BF；③ ∠ADE＝∠BCF；④ ∠ABE＝∠CDF. 其中，不能判定四边形DEBF是平行四边形的为（ B ）
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
（第6题）
B
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7. 新考法 探究题 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝20 cm.点E从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点F从点C出发以2 cm/s的速度向点A运动.出发后，在点E与点F相遇前，四边形DEBF 不会 （填“会”或“不会”）成为平行四边形.
（第7题）
不会
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8. 如图，G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连结AD、DC、BD. 设AC和BD交于点O. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
（第8题）
解：∵ GE∥BH交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，
∴ GD∥BH，BG∥HD. ∴ 四边形GBHD是平行四边形.∴ GO＝HO，BO＝DO. ∵ G、H是△ABC的边AC的三等分点，∴ AG＝HC. ∴ AG＋GO＝HC＋HO，即AO＝CO. ∴ 四边形ABCD
是平行四边形.
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9. 如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连结BE、DE、BF、DF. 若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且BE⊥AC，求四边形ABCD的面积.
（第9题）
解：连结BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD，OA＝OC. ∵ AE＝CF，∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴ 四边形BFDE是平行四边形.∵ AE＝CF，EF＝2AE＝2，∴ 易得AE＝CF＝OE＝OF＝1，AC＝4，CE＝3.∵ ∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴ ∠CBE＝∠ACB＝45°.∴ BE＝CE＝3.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ S ABCD＝2S△ABC＝2× AC BE
＝4×3＝12.
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10. ★如图①，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点O，与AB、CD分别相交于点G、H，连结EG、FG、FH、EH.
（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，AD∥BC.
∴ ∠EAO＝∠FCO. 在△OAE和△OCF中，
∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF. 同理，可得
OG＝OH. ∴ 四边形EGFH是平行四边形.
（第10题）
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（2） 如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD本身除外），并简要说明理由.
（第10题）
（2） 与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形为 GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH. 理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB∥CD. ∵ EF∥AB，GH∥BC，
∴ EF∥AB∥CD，AD∥BC∥GH. ∴ 四边形AGHD、四边形GBCH、四边形ABFE、四边形EFCD均为平行
四边形.
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由（1），得四边形EGFH是平行四边形，OE＝OF，OG＝OH. ∴ 易得 AGHD、 GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH的面积均为 ABCD面积的 .∴ 与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形为 GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH.
（第10题）
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17.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ B ）
A. AC＝BD B. OA＝OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD
（第1题）
B
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2. （2025 长春德惠期中）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB＝8 cm，AD＝10 cm，△AOD与△AOB的周长差为（ C ）
A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm
（第2题）
C
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3. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E. 若AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为 .
（第3题）
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4. （2025 洛阳洛宁期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM＝DN.
（第4题）
解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AO＝CO，BO＝DO. ∵ AM＝CN，∴ AO－AM＝CO－CN，即MO＝NO. 在△BOM和△DON中， ∴ △BOM≌△DON. ∴ BM＝DN.
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5. 已知平行四边形的一条边的长为14，下列各组数中，能分别作为两条对角线长的是（ C ）
A. 10、16 B. 12、16
C. 20、22 D. 10、40
C
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6. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝10，则CD的长为 （ C ）
A. B. 8
C. 4 D. 2
（第6题）
C
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7. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. 若BD、AC的和为18 cm，CD∶DA＝2∶3，△AOB的周长为13 cm，则BC的长为（ A ）
A. 6 cm B. 9 cm
C. 3 cm D. 12 cm
（第7题）
A
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8. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD、BC于点M、N. 若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积为 24 .
（第8题）
24
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9. 如图，O是 ABCD的对角线的交点，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，连结BE. 若∠DBC＝20°，则∠EBD＝ 20° .
（第9题）
20°
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10. 如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，BD⊥AD，AD＝4， ABCD的面积为24，求BD、AC的长.
（第10题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD， ABCD的面积为24，∴ AD BD＝24，OD＝ BD，OA＝ AC. ∵ AD＝4，∴ BD＝24÷AD＝6.∴ OD＝ BD＝3.在Rt△ADO中，OA＝ ＝5.∴ AC＝2OA＝10.
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11. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且CE＝AF. 试判断BE与DF之间的关系，并说明理由.
（第11题）
解：BE∥DF且BE＝DF. 理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ CE＝AF，∴ CE－OC＝AF－OA. ∴ OE＝OF. 在△BEO和△DFO中， ∴ △BEO≌△DFO. ∴ ∠E＝∠F，BE＝DF. ∴ BE∥DF. 综上所述，BE∥DF且BE＝DF.
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12. ★【感知】 如图①，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边AD、BC于点E、F，易证：OE＝OF（不用证明）.
【探究】 如图②，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边BA、DC的延长线于点E、F. 求证：OE＝OF.
（第12题）
解：【探究】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，OA＝OC. ∴ ∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF.
∴ OE＝OF.
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【应用】 如图③，连结图②中的DE、BF，其他条件不变.若AB＝2AE，△AOE的面积为1，求四边形BEDF的面积.
（第12题）
解：【应用】 ∵ AB＝2AE，S△AOE＝1，∴ 易得S△AOB＝2S△AOE＝2.
∴ S△BOE＝S△AOE＋S△AOB＝3.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∴ 易得S△EOD＝S△BOE＝3.∴ S△DEB＝S△EOD＋S△BOE＝6.
∵ △AOE≌△COF，∴ S△COF＝S△AOE＝1.
同理，易得S△DFB＝6.∴ S四边形BEDF＝S△DEB
＋S△DFB＝12.
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17.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
第17章 平行四边形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025 开封杞县期末）如图，在 ABCD中，若∠B＋∠D＝110°，则∠A的度数为（ C ）
A. 110° B. 115°
C. 125° D. 130°
（第1题）
C
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2. （2025 驻马店驿城期末）如图，在 ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是12 cm，则 ABCD的周长是（ A ）
A. 16 cm B. 18 cm
C. 20 cm D. 24 cm
（第2题）
A
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3. （2025 安阳期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ A ）
A. 15 B. 11 C. 20 D. 52
（第3题）
4. 在 ABCD中，∠C∶∠D＝5∶4，则∠B＝ 80° ，∠A＝ 100° .
5. 如图，直线 l1∥l2，BC＝3 cm，S△ABC＝3 cm2，则△A1BC的高是 2 cm.
A
80°
100°
2
（第5题）
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6. 如图，O为 ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F. 求证：DE＝BF. 是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC. ∵ O为对角线AC的中点，∴ AO＝CO. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ AE＝CF. ∴ AD－AE＝BC－CF. ∴ DE＝BF.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴
∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC. ∵ O为对角线AC的中点，∴ AO
＝CO. 在△AOE和△COF中，
∴ △AOE≌△COF. ∴ AE＝CF. ∴ AD－AE＝BC－CF. ∴ DE＝BF.
（第6题）
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7. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在边AC上，以CB、CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（ D ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
（第7题）
D
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8. 如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE. 若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（ B ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
（第8题）
B
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9. 如图，在 ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为F，则∠AEC的度数是 100° .
（第9题）
100°
10. 如图，直线l1∥l2，BE∥DF，AB∥CD. 给出下列四个结论：① BE＝DF；② S四边形ABDC＝S四边形EBDF；③ AB＝CD；④ S△ABE＝S△CDF. 其中，正确的有 ①②③④ （填
序号）.
（第10题）
①②③④
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11. ★如图，在 ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，连结BE.
（1） 求证：FB＝AD.
解：（1） ∵ E为AD的中点，∴ DE＝AE. ∵ 四边形ABCD是
平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝DC，AD＝BC. ∴ ∠EDC＝
∠EAF. 在△DEC和△AEF中，
∴ △DEC≌△AEF. ∴ DC＝AF. ∴ AF＝AB.
∴ FB＝2AB. ∵ AD＝2AB，∴ FB＝AD.
（第11题）
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（2） 若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数.
（第11题）
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DA∥CB. ∴ ∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC. ∵ AD
＝2AB，DE＝AE，∴ AE＝AB. ∴ ∠AEB＝∠ABE.
∴ ∠EBC＝∠ABE＝35°.
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12. 如图，在 ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q. 如果S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，那么四边形EPFQ的面积为 41 cm2.
（第12题）
41
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13. 如图，点E在 ABCD的内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1） 求证：△BCE≌△ADF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD，BC∥AD.
∴ ∠ABC＋∠BAD＝180°.∵ AF∥BE，∴ ∠EBA＋∠BAF＝180°.
∴ ∠ABC＋∠BAD＝∠EBA＋∠BAF. ∴ 易得∠CBE＝∠DAF. 同理，可得∠BCE＝∠ADF. 在△BCE和△ADF中，
∴ △BCE≌△ADF.
（第13题）
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（2） 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值.
（第13题）
解：（2） ∵ 点E在 ABCD的内部，∴ 易得S△BCE＋S△ADE＝ S ABCD. 由（1），知△BCE≌△ADF，∴ S△BCE＝S△ADF. ∴ S四边形AEDF＝S△ADF＋S△ADE
＝S△BCE＋S△ADE＝ S ABCD. ∵ ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴ T＝ S. ∴ ＝ ＝2.
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13(共7张PPT)
专题特训八 平行四边形的性质与判定的常见应用
第17章 平行四边形
类型一 利用性质进行计算
1. 将△ABC和 DEFG按如图所示的方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上.若BE＝DE，CF＝GF，则∠A的度数为（ B ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 60°
（第1题）
B
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2. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在的直线翻折到其原来所在的平面内.若点B的对应点为B′，连结DB′，则DB′的长为 .
（第2题）
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类型二 根据判定方法判定平行四边形
3. （2025 鹤壁淇滨期末）如图，以 ABCD的边AB、CD为边，作等边三角形ABE和等边三角形CDF，连结DE、BF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
（第3题）
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB. ∵ △ABE和△CDF是等边三角形，∴ BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°.∴ ∠DAB－∠BAE＝∠DCB－∠DCF，即∠DAE＝∠FCB. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF.
又∵ BE＝DF，∴ 四边形BFDE是平行四边形.
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类型三 综合性质与判定判断线段间的关系
4. 如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，∠EAC＝FCA，
AE＝CF，BE＝DF. 试判断CB与AD之间的关系，并说明理由.
（第4题）
解：CB AD. 理由：∵ ∠EAC＝∠FCA，∴ AE∥CF. 又∵ AE＝CF，∴ 四边形AFCE是平行四边形.∴ OA＝OC，OE＝OF. 又∵ BE＝DF，∴ BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD.
又∵ OA＝OC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ CB AD.
＝
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＝
//
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5. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，点M在AB上，点N在CD上，且BM＝DN，连结MN、EF. 求证：EF与MN互相平分.
（第5题答案）
（第5题答案）
解：如图，连结ME、EN、NF、FM. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D. ∵ AE⊥BC，CF⊥AD，∴ 由平行线之间的距离处处相等，得AE＝CF. 在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴ Rt△ABE≌Rt△CDF. ∴ BE＝DF.
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如图，连结ME、EN、NF、FM. ∵ 四边形ABCD是∴ AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE. 在△BEM和△DFN中， ∴ △BEM≌△DFN. ∴ ME＝NF. ∵ AB＝CD，BM＝DN，∴ AB－BM＝CD－DN，即AM＝CN. 在△AMF和△CNE中，
∴ △AMF≌△CNE. ∴ MF＝NE. 又∵ ME＝NF，
∴ 四边形MENF是平行四边形.∴ EF与MN互相平分.
（第5题答案）
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