(共14张PPT)
5.1 从实际问题到方程
第5章 一元一次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. (2024·宿迁)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何 这段话的意思如下:用绳量井深,把绳折成三等份来量,井外余绳四尺,把绳折成四等份来量,井外余绳一尺.绳长、井深各几尺 若设绳长为x尺,则可列方程为( A )
A. x-4= x-1
B. x+4= x-1
C. x-4= x+1
D. x+4= x+1
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2. 下列方程的解是x=-4的为( D )
A. 2(2x+6)+2=-(8-10)
B. 3(2x-1)=3x+1
C. 5x-20=0
D. 2(2x-1)-2(4x+3)=8
D
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3. 在一次美化校园活动中,先安排32人去拔草,18人去植树,后又增派22人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的2倍.若设支援拔草的有x人,则可列方程为 32+x=2(18+22-x) ,采用尝试检验法可确定x的值为 16 .
4. 将周长为26cm的长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个正方形.
(1) 设长方形的长为x cm,则可列关于x的方程为 x-1=13-x+2 .
(2) 说明x=8是(1)中所列方程的解,而x=10不是它的解.
解:(2) 当x=8时,左边=8-1=7,右边=13-8+2=7,左边=右边,∴ x=8是(1)中所列方程的解.
当x=10时,左边=10-1=9,右边=13-10+2=5,左边≠右边,∴ x=10不是(1)中所列方程的解.
32+x=2(18+22-x)
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x-1=13-x+2
13-y-1=y+2
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(3) 设长方形的宽是y cm,则可列关于y的方程为 13-y-1=y+2 .
5. 方程-3(★-9)=5x-1,★处被盖住了一个数.已知方程的解是x=5,则★处的数是
( A )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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6. 已知父亲和女儿现在的年龄之和是57岁,10年后,女儿的年龄是父亲年龄的 .设父亲现在的年龄为x岁,则可列方程为( C )
A. x= (57-x+10)
B. x+10= (57-x+10)
C. 57-x+10= (x+10)
D. 57-x+10= x
C
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7. 有m辆客车及n个人.若每辆客车乘40人,则还有10人不能上车;若每辆客车乘43人,则只有1人不能上车.有下列四个等式:① 40m-10=43m-1;② = ;③ = ;④ 40m+10=43m+1.其中,正确的是 ③④ (填序号).
③④
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8. 检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解,并写出检验过程.
(1) 2x+5=10x-3(x=1).
解:当x=1时,左边=2×1+5=7,右边=10×1-3=10-3=7,∴ 左边=右边.∴ x=1是此方程的解.
(2) 2(x-1)- (x+1)=3(x+1)- (x-1)(x=0).
解:当x=0时,左边=2×(0-1)- ×(0+1)=-2- =- ,右边=3×(0+1)- ×(0-1)=3+ = ,
∴ 左边≠右边.∴ x=0不是此方程的解.
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9. 根据下列问题,设未知数,列出方程:
(1) 有甲、乙两桶油,总质量为20kg(不计桶的质量),甲桶内存放的油的质量是乙桶内油的质量的3倍,甲、乙两桶油的质量分别为多少
解:(1) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲桶内油的质量为(20-x)kg.根据题意,得20-x=3x.
(2) 有甲、乙两桶油,总质量为20kg(不计桶的质量),甲桶油用了8kg,乙桶油用了一半,这时两桶油共剩9kg,原来甲、乙两桶内的油的质量分别为多少
解:(2) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲桶内油的质量为(20-x)kg.根据题意,
得20-x-8+ x=9.
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(3) 有甲、乙两桶油,甲桶内存放的油的质量是乙桶内油的质量的2倍,现从甲桶中倒8kg油至乙桶,倒完后甲桶内油的质量还比乙桶内的油多13kg,原来甲、乙两桶内的油的质量分别为多少
解:(3) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲桶内油的质量为2xkg.根据题意,得2x-8=x+8+13.
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10. (数学文化)有这样一个问题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问人数、金价各几何 其大意如下:假设合伙买金,每人出400钱,还剩余3400钱;每人出300钱,还剩余100钱.问人数、金价各是多少
(1) 设有x人,请根据题意列出方程.
解:(1) 400x-3400=300x-100.
(2) 在x=30,x=33,x=35中,哪一个是(1)中所列方程的解
解:(2) x=33是(1)中所列方程的解.
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11. (核心素养·应用意识)甲仓库有水泥100吨,乙仓库有水泥80吨,要全部运到A、B两工地.已知A工地需要水泥70吨,B工地需要水泥110吨,甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨,乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨.若本次运送水泥的总运费需要25900元,求甲仓库运到A工地的水泥的质量(不要求算出结果).
(1) 设甲仓库运到A工地的水泥的质量为x吨,请在下表中用x表示出其他未知量.
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仓 库 甲 乙
运到A工地的 水泥的质量/吨 x 70-x
运到B工地的 水泥的质量/吨 100-x x+10
(2) 用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为 (-10x+15 000) 元(写出化简后的结果).
(3) 请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程.
解:140x+150(100-x)+200(70-x)+80(x+10)=25900.
70-x
100-x
(-10x+15 000)
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11(共15张PPT)
5.3 实践与探索
第2课时 实践与探索(2)
第5章 一元一次方程
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 在促销活动中,将一款洗衣机按照20%的利润定价.按八折出售,结果亏损了128元,这款洗衣机的进价是( B )
A. 3840元 B. 3200元
C. 3072元 D. 2560元
B
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2. 学校田径小组原有女生的人数占田径小组总人数的 ,后来又选出6名女生参加田径小组,这样女生就占现在田径小组总人数的 ,现在田径小组女生有 16 名.
3. 老王把5000元按一年期定期储蓄存入银行.到期支取时实得本利和为5065元,则一年期定期储蓄的年利率为 1.3% .
16
1.3%
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4. 某商场用3200元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的 还少10,甲、乙两种商品的进价如下表:
商 品 甲 乙
进价/(元/件) 20 30
求该商场购进甲、乙两种商品各多少件.
解:设该商场购进甲种商品x件,则购进乙种商品 件.根据题意,得20x+
30( x-10) =3200,解得x=100.经检验,符合题意.∴ x-10= ×100-10=40.∴ 该商场购进甲种商品100件、乙种商品40件.
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5. 一个角的余角比它的补角的 还小40°,这个角的度数是( B )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
B
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6. ★学校准备购买一些足球,原计划购买30个,每个80元,商家表示:如果多购,可以优惠.结果学校实际购买了40个,而商家获得了同样多的利润,已知每个足球的成本价为50元.设每个足球减价x元,则可得到( A )
A. 30×(80-50)=40×(80-50-x)
B. 40×(80-50)=30×(80-50-x)
C. x=5
D. 学校实际支出的钱和原计划一样
A
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7. 七年级某班为了开展活动,购买了一些体育用品,有15个毽球和6根跳绳,共用去69元,其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的3倍还贵0.5元,则跳绳的单价为 6.5元 .
8. 为大力发展现代农业,某省连续多年用整合的各项相关资金设立了农田建设补助专项资金,用于支持高标准农田建设.若该省2023年下达的农田建设补助专项资金为14.5亿元,与2022年相比,增长率为16%,则该省2023年下达的农田建设补助专项资金比2022年增加了 2 亿元.
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9. (2024·北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A、B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A、B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A、B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.
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解:这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.理由:设该汽车的A类物质排放量原为x mg/km,则该汽车的B类物质排放量原为(92-x)mg/km.根据题意,得(1-50%)x+(1-75%)×(92-x)=40,解得x=68.经检验,符合题意.∴ 这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为(1-50%)×68=34(mg/km).∵ “标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,34<35,∴ 这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
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10. (核心素养·应用意识)某个体商户在网上进购某品牌A、B两款羽绒服来销售.若购进3件A款羽绒服和4件B款羽绒服,则需支付2400元;若购进1件A款羽绒服和1件B款羽绒服,则需支付700元.
(1) 求A、B两款羽绒服在网上每件的售价分别是多少元.
解:(1) 设A款羽绒服在网上每件的售价是x元,则B款羽绒服在网上每件的售价是(700-x)元.根据题意,得3x+4(700-x)=2400,解得x=400.经检验,符合题意.∴ 700-x=700-400=300.∴ A款羽绒服在网上每件的售价是400元,B款羽绒服在网上每件的售价是300元.
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(2) 个体商户把网上购买的A、B两款羽绒服各10件,均按每件600元进行销售,销售一段时间后,把剩下的羽绒服按六折销售完.若总获利为3800元,求个体商户打折销售的羽绒服是多少件.
解:(2) 设个体商户打折销售的羽绒服是m件.根据题意,得600(20-m)+600×0.6m-(400×10+300×10)=3800,解得m=5.经检验,符合题意.∴ 个体商户打折销售的羽绒服是5件.
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11. 七年级(2)班有60人,其中参加数学小组的人数占全班的 ,参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少 ,并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 多2,则同时参加两个小组的人数是 12 .
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12. (核心素养·应用意识)商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,现商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.
(1) 当每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标
解:(1) 设每件衬衫降价x元.由题意,得(120-80)×400+(500-400)(120-x-80)=
80×500×45%,解得x=20.经检验,符合题意.∴ 当每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
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(2) 在(1)的条件下,某公司给员工发福利,在该商场促销前购买了20件该品牌的衬衫发给员工,后因为有新员工加入,又要购买5件该衬衫,购买这5件衬衫时恰好赶上该商场开展促销活动,求该公司购买这25件衬衫的平均价格.
解:(2) 由题意,可得[20×120+5×(120-20)]÷25=116(元).∴ 该公司购买这25件衬衫的平均价格是116元.
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12(共12张PPT)
5.3 实践与探索
第3课时 实践与探索(3)
第5章 一元一次方程
01
基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 一项工程,甲单独完成需要9天,乙单独完成需要12天,丙单独完成需要15天.若甲、丙先合作3天后,甲因故离开,由乙接替甲的工作,则要完成这项工程的 还需要( A )
A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天
2. 某市出租车收费标准是起步价8元(即行驶距离不超过3km,收8元车费),超过3km,每增加1km收1.6元(不足1km按1km计).小梅从家出发到图书馆,路程为x km,出租车车费为24元,则x的值可能是( B )
A. 10 B. 13 C. 16 D. 18
A
B
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3. 一名旅客携带了30kg行李乘飞机.已知旅客最多可免费携带20kg行李,超出部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票.若该旅客此次机票与行李票共花了920元,则他的飞机票价是 800 元.
800
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4. (开放题)某校七年级学生步行到郊外春游,七年级(1)班的学生组成前队,速度为4km/h,七年级(2)班的学生组成后队,速度为6km/h.前队出发1h后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,已知联络员骑车的速度为12km/h.请你根据上述条件提出一个问题,并解答.
解:答案不唯一,如当后队追上前队时,求联络员骑行的路程.设后队追上前队需要x h.根据题意,得6x=4(x+1),解得x=2.经检验,符合题意.此时12×2=24(km).∴ 当后队追上前队时,联络员骑行的路程是24km.
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5. 若9名工人14天完成了一件工作的 ,由于任务的需要,又增加了若干名工人参与任务,剩下的工作又用了4天完成,则需要增加的工人人数是( C )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
6. 整理一批图书,由一个人做要30h完成.现计划由一部分人先做1h,然后增加6人与他们一起做3h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,应先安排 3 人工作.
7. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,匀速沿同一平直公路相向而行.甲骑车,乙步行,两人在出发2.5h后相遇,相遇后0.5h甲到达B地.若相遇后乙又走了20km才到达A、B两地的中点,则乙的速度为 4 km/h.
C
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8. 制造一批零件,按计划18天可以完成它的 .如果工作4天后,工作效率提高了 ,那么完成这批零件的一半,一共需要 23 天.
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9. 有两支长度相同的蜡烛,一支能燃烧4h,另一支能燃烧3h.某次停电,同时点燃这两支蜡烛,来电后,在吹灭时,发现其中一支蜡烛的长度是另一支蜡烛长度的一半,求停电的时间.
解:将蜡烛的长度看成1.由题意,得每小时两支蜡烛分别燃烧总长的 、 .设停电时间为xh.根据题意,得1- x=2×( 1- x) ,解得x=2.4.经检验,符合题意.∴ 停电的时间为2.4h.
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10. 某检测站要在规定的时间内检测一批产品,原计划每天检测30件产品,则在规定的时间内只能检测完总数的 ,现在每天实际检测50件,结果不仅比原计划提前了1天完成任务,还可以多检测25件.
(1) 规定时间是多少天
解:(1) 设规定时间是x天.由题意,可得50(x-1)-25= ×30x,解得x=6.经检验,符合题意.
∴ 规定时间是6天.
(2) 这批产品共有多少件
解:(2) 这批产品共有50×(6-1)-25=225(件).
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11. A、B两地相距150km,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行匀速行驶.已知甲的速度是乙的2倍,1h后两人相距30km,则甲的速度为 80或120 km/h.
80或120
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12. (核心素养·应用意识)小明以60m/min的速度步行去图书馆,5min后爸爸发现他忘了带图书证,爸爸立即骑自行车以300m/min的速度去追小明,并且在途中追上了他.
(1) 爸爸追上小明用了多长时间
解:(1) 设爸爸追上小明用了xmin.根据题意,得60(x+5)=300x,解得x= .经检验,符合题意.∴ 爸爸追上小明用了 min.
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(2) 爸爸追上小明后,小明搭爸爸的自行车去图书馆,结果比只步行提前了10min到.若爸爸追上小明后的骑行速度为240m/min,求小明家离图书馆的距离.
解:(2) 设小明家离图书馆的距离为ym.由(1),知爸爸追上小明时离家的距离为300× =375(m).根据题意,得 -5- - =10,解得y=1175.经检验,符合题意.∴ 小明家离图书馆的距离为1175m.
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12(共14张PPT)
5.3 实践与探索
第1课时 实践与探索(1)
第5章 一元一次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 一个长方形的周长为26cm,这个长方形的长减少2cm、宽增加3cm就可以变成一个正方形.设该长方形的长为xcm,可列方程为( D )
A. x+2=13-x-3 B. x+2=26-x-3
C. x-2=26-x+3 D. x-2=13-x+3
2. 某轧钢厂要把一种底面直径为6cm、长为1m的圆柱形钢锭轧制成外径为3cm、内径为1cm的无缝钢管(外径、内径均指直径).若不计加工过程中的损耗,则这种无缝钢管的长度是( C )
A. 2m B. 3m C. 4.5m D. 5m
D
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3. 如图,把一张圆形纸片沿半径剪成若干等份,拼成一个近似的长方形.这个长方形的长比宽多8.56cm,圆的周长约是 25.12 cm,圆的面积约是 50.24 cm2(π取3.14).
4. 在一个长为20cm、宽为10cm、高为8cm的长方体水槽中装满水,然后全部倒入底面积为25cm2的圆柱形容器中(水不会溢出),求圆柱形容器中水的高度.
解:设圆柱形容器中水的高度为xcm.根据题意,得25x=20×10×8,解得x=64.经检验,符合题意.∴ 圆柱形容器中水的高度为64cm.
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5. 有两个正方形,大正方形的边长比小正方形的边长长3cm,大正方形的周长是小正方形周长的2倍,则这两个正方形的面积分别为( C )
A. 4cm2和1cm2 B. 16cm2和1cm2
C. 36cm2和9cm2 D. 8cm2和1cm2
C
1
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3
4
5
6
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8
9
10
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12
6. 如图,一个棱长为10cm的立方块固定在一个长、宽、高分别为20cm、20cm、30cm的长方体容器的底部,现将一个直径为20cm、高为20cm的圆柱形容器盛满水倒入长方体容器内,则长方体容器内水面的高度约为(不计耗损,π取3)( B )
A. 15cm
B. 17.5cm
C. 22.5cm
D. 30cm
B
1
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5
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12
7. 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量(按瓶计算)的比为2∶5,某厂每天生产这种消毒液22.5t,这些消毒液应该分装大瓶 20000 瓶和小瓶 50000 瓶.
8. 如图,水平地面上有个内部装水的长方体箱子,箱内有一个与底面垂直的隔板,且隔板左右两侧的水面高度分别为40cm、50cm,现将隔板抽出.若过程中箱内的水量未改变,且不计箱子及隔板厚度,则根据图中的数据,隔板抽出后水面静止时,箱内的水面高度为 44.5 cm.
20000
50000
44.5
1
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3
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12
9. (核心素养·创新意识)一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙,墙长14m,其他三边需要用竹篱笆围成.现有长为35m的竹篱笆,小王打算用它围成上述养鸡场,其中长比宽多5m;小赵也打算用它围成上述养鸡场,其中长比宽多2m.谁的设计符合实际 按照他的设计,养鸡场的面积是多少
解:小赵的设计符合实际.根据小王的设计,可以设宽为xm,则长为(x+5)m.根据题意,得2x+(x+5)=35,解得x=10.∴ 小王设计的养鸡场的长为10+5=15(cm).∵ 墙的长度只有14m,∴ 小王的设计不符合实际.根据小赵的设计,可以设宽为ym,长为(y+2)m.根据题意,得2y+(y+2)=35,解得y=11.∴ 小赵设计的养鸡场的长为11+2=13(m).∴ 小赵的设计符合实际,此时养鸡场的面积为11×13=143(m2).综上所述,小赵的设计符合实际,其面积为143m2.
1
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10. 如图,现有A、B两个圆柱形容器,B容器的底面积为Scm2,高为18cm,A容器的底面积是B容器底面积的2倍,容器内水的高度为10cm.
(1) 若把A容器内的水全部倒入B容器中,则水 会 (“会”或“不会”)溢出.
(2) 若(1)中的水会溢出,则当B容器中水倒满时,求A容器中剩余水的高度;若(1)中的水不会溢出,求此时B容器内水面的高度.
解:(2) 设A容器中剩余水的高度为x cm.根据题意,得2Sx+18S=20S,且S>0,解得x=1.经检验,符合题意.∴ A容器中剩余水的高度为1cm.
(第10题)
会
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
(3) 在倒水的过程中,当两个容器中水面高度相同时,求此时容器内水面的高度.
解:(3) 设此时容器内水面的高度为y cm.根据题意,得2Sy+Sy=20S,且S>0,解得y= .经检验,符合题意.∴ 此时容器内水面的高度为 cm.
(第10题)
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12
11. 有一玻璃密封器皿(如图①),测得其底面直径为20cm,高为20cm,现内装溶液若干.如图②放置时,测得液面高10cm;如图③放置时,测得液面高16cm.则该玻璃密封器皿的总容量为 1400π cm3(结果保留π).
1400π
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11
12
12. (核心素养·应用意识)如图,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为1∶2∶1,用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通(即管子底端离容器底5cm),现三个容器中,只有甲容器中有水,水的高度为1cm.若每分钟同时向乙容器和丙容器注入相同量的水,开始注水1min,乙容器中的水的高度为 cm.
(1) 开始注水1min,丙容器中的水的高度为 cm.
(2) 开始注水后多少分钟,甲容器与乙容器中的水的高度之差是0.5cm
(第12题)
1
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12
解:设开始注水后t min,甲容器与乙容器中的水的高度之差是0.5cm.分三种情况讨论:① 当乙容器中的水的高度比甲容器中的水的高度低0.5cm时,1- t=0.5,解得t= .经检验,符合题意.② 当甲容器中的水的高度比乙容器中的水的高度低0.5cm,且甲容器中水的高度仍为1cm时, t-1=0.5,解得t= .∵ × =6(cm),6>5,∴ 此时丙容器已向乙容器溢水.∴ t= 不合题意.∵ 5÷ = (min),∴ 当t= 时,乙容器中的水的高度为 × = (cm),即开始注水后 min,丙容器中的水到达管子底端,乙容器中的水的高度为 cm.∴ +2× -1=0.5,解得t= .经检验,符合题意.
1
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③ 当甲容器中的水的高度比乙容器中的水的高度低0.5cm,乙容器中的水到达管子底端,甲容器中的水的高度上升时,∵ 乙容器中的水到达管子底端的时间为 +
÷ ÷2= (min),∴ 5-1-2× =0.5,解得t= .经检验,符合题意.综上所述,开始注水后 min或 min或 min,甲容器与乙容器中的水的高度之差是0.5cm.
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12(共11张PPT)
5.2 解一元一次方程
第4课时 解含分母的一元一次方程
第5章 一元一次方程
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 方程 =1- 去分母后正确的结果是( A )
A. 2(x-2)=6-(2x-1)
B. 2(x-2)=1-(2x-1)
C. x-2=6-(2x-1)
D. x-2=1-(2x-1)
2. 某练习册中有方程如下: -x=-1,“■”处在印刷时被墨盖住了.已知方程的解为x=-2.5,则“■”处的数为( B )
A. 7 B. 5 C. 2.5 D. -5
A
B
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15
3. 若方程3(x+1)=2+x的解与关于x的方程 =2(x+3)的解互为倒数,则k的值为 0 .
0
1
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3
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15
4. ★解下列方程:
(1) - =1.
解:去分母,得3(y-3)-5(y-4)=15.去括号,得3y-9-5y+20=15.移项,得3y-5y=15+9-20.合并同类项,得-2y=4.系数化为1,得y=-2.
(2) - =1- .
解:去分母,得2(m-1)-3(4-3m)=12-(1-2m).去括号,得2m-2-12+9m=12-1+2m.移项,得2m+9m-2m=2+12+12-1.合并同类项,得9m=25.系数化为1,得m= .
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5. 小明解方程 -1= 的步骤如下:① 方程两边都乘以6,得3(x+1)-1=2(x-2);② 去括号,得3x+3-1=2x-2;③ 移项,得3x-2x=-2-3+1;④ 合并同类项,得x=-4.其中,开始出错的一步是( A )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6. 若当x=1时,ax3+bx+1的值是2,则关于x的方程 + = 的解是( C )
A. x= B. x=-
C. x=1 D. x=-1
A
C
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15
7. 如果关于x的方程 = 与 =2|m|-x的解相同,那么m的值是( D )
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
8. 代数式 与代数式3-2x的和为4,则x= -1 .
9. 我们称使 + = 成立的一对数m、n为“好朋友数对”,记为(m,n).如:当m=n=0时,等式成立,记为(0,0).若(3,a)是“好朋友数对”,则a的值为 - .
10. 在有理数范围内定义新运算“*”,其规则为a*b=- ,等式的右侧为通常的混合运算,则方程 -(4*x)=0中x的值为 -9.5 .
11. (核心素养·推理能力)已知关于x的方程 -1= 的解是正整数,且a为整数,则a的值为 2 .
D
-1
-
-9.5
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12. 解下列方程:
(1) - = -1.
解:去分母,得4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12.去括号,得8x-4-10x-1=6x+3-12.移项、合并同类项,得-8x=-4.系数化为1,得x= .
(2) = + .
解:原方程化为 = + ,即15x-50= + .去分母,得30x-100=
15x+50+1.移项,得30x-15x=50+1+100.合并同类项,得15x=151.系数化为1,得x= .
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13. 小方解方程 = -1,在去分母时,方程右边的-1忘记乘以6,因此求得的解为x=2.试求a的值,并求出方程的正确解.
解:按照小方的方法去分母,得2(2x-1)=3(x+a)-1.把x=2代入2(2x-1)=3(x+a)-1,得2×(2×2-1)=3(2+a)-1,解得a= .把a= 代入原方程,得 = -1.去分母,得
2(2x-1)=3 x+ -6.去括号,得4x-2=3x+1-6.移项、合并同类项,得x=-3.
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14. 已知关于x的方程 = 的解比关于x的方程3a-x= +3的解小3,则a的值为 - .
-
1
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15. (易错题)已知关于x的方程 =1+ 中,a、b、k为常数.
(1) 若方程的解与k的值都是最大的负整数,求2a-b的值.
∵ 方程的解与k的值都是最大的负整数,∴ x=-1,k=-1.把x=-1,k=-1代入①,得5+2a-b-6=0,∴ 2a-b=1.
(2) 若无论k为何值,方程的解总是x=1,求a+ b的值.
∵ 无论k为何值,方程的解总是x=1,∴ 把x=1代入①,得4k-1+2a+bk-6=0.当k=0时,-1+2a-6=0,解得a= .当k=1时,4-1+2a+b-6=0,解得b=-4.经检验,当a= ,b=-4时,①的解总是x=1.∴ a+ b= + ×(-4)= - =3.
解:方程两边同时乘以6,得 4kx+2a=6+x-bk.∴ (4k-1)x+2a+bk-6=0①.
解:方程两边同时乘以6,得 4kx+2a=6+x-bk.∴ (4k-1)x+2a+bk-6=0①.
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15(共11张PPT)
专题特训(一) 构造一元一次方程解题
第5章 一元一次方程
类型一 利用一元一次方程的定义构造
1. 已知(m-2)x|m-1|+3=0是关于x的一元一次方程,则m的值为( A )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 0或2
2. 已知(m-3)x|m|-2+6=0是关于x的一元一次方程.
(1) 求m的值.
解:(1) ∵ (m-3)+6=0是关于x的一元一次方程,∴ |m|-2=1且m-3≠0,解得m=-3.
(2) 若|y-m|=3,求y的值.
解:(2) 把m=-3代入|y-m|=3,得|y+3|=3,∴ y+3=3或y+3=-3,解得y=0或y=-6.
A
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3. 已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程.
(1) 求m的值及方程的解.
解:(1) ∵ 方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程,∴ 3m-4=0且-(5-3m)≠0,解得m= .把m= 代入原方程,得-x- =- ,解得x=- .
(2) 若n满足关系式 + =n-4,求n的值.
解:(2) 把m= 代入 + =n-4,得 + =n-4,解得n= .
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类型二 利用方程解的定义构造
4. 小明同学在做作业时,发现自己不小心用墨水将方程x+3=-2(x-★)-12中的一个常数弄污了(用★表示),询问老师后,老师告诉他,这个方程的解是x=-3,则这个被弄污的常数★是( C )
A. -12 B. 12 C. 3 D. -3
C
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5. 已知方程2(x-1)=3(x+2)的解是x=m-5.
(1) m的值为 -3 .
(2) 求关于x的方程 = 的解.
解:将m=-3代入,可得 = ,∴ 6|x+3|-8(x+1)=-15.① 当x≥-3时,6x+18-8x-8=-15,解得x= .∴ 方程的解为x= .② 当x<-3时,-6x-18-8x-8=-15,解得x=- .此时x>-3,故不符合题意.综上所述,方程的解为x= .
-3
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类型三 利用代数式间的数量关系构造
6. 已知单项式-7a2x+1b5与ax+3b5的和仍为单项式.
(1) 求x的值.
解:(1) ∵ 单项式-7a2x+1b5与ax+3b5的和仍为单项式,∴ 2x+1=x+3,解得x=2.
(2) 若x的值是关于x的方程5a+14=2+x的解,求整式a3-3|a|+23的值.
解:(2) ∵ x的值是关于x的方程5a+14=2+x的解,∴ 5a+14=2+2,解得a=-2.∴ a3-3|a|+23=-8-3×2+8=-6.
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7. 已知代数式 与 .
(1) 当x为何值时,这两个代数式的值相等
解:(1) 由题意,得 = .去分母,得3x=4(2-x).去括号,得3x=8-4x.移项,得3x+4x=8.合并同类项,得7x=8.系数化为1,得x= .
(2) 当x为何值时,代数式 的值比 的值大2
解:(2) 由题意,得 - =2.去分母,得3x-4(2-x)=24.去括号,得3x-8+4x=24.移项,得3x+4x=24+8.合并同类项,得7x=32.系数化为1,得x= .
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(3) 是否存在x,使得这两个代数式的值互为相反数 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
解:(3) 存在.由题意,得 + =0.去分母,得3x+4(2-x)=0.去括号,得3x+8-4x=0.移项,得3x-4x=-8.合并同类项,得-x=-8.系数化为1,得x=8.∴ 存在x,使得这两个代数式的值互为相反数,此时x=8.
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类型四 利用新定义或程序构造
8. 已知a、b为有理数,定义一种运算“※”:a※b=2a-3b,等式的右侧为通常的混合运算.若(5x-3)※(1-3x)=29,则x的值为 2 .
9. 按如图所示的程序进行计算,经过3次输入,最后输出的数是10,求最初输入的数.
解:设最初输入的数是x.由题意,知4[4(4x-6)-6]-6=10.去括号、移项、合并同类项,得64x=136.系数化为1,得x= .经检验,符合题意.∴ 最初输入的数是 .
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类型五 利用两方程解的关系构造
10. 已知方程2-3(x+1)=0的解与关于x的方程 -2=2x的解互为倒数,求k的值.
解:解方程2-3(x+1)=0,得x=- .∵ 方程2-3(x+1)=0的解与关于x的方程 -2=2x的解互为倒数,∴ 关于x的方程 -2=2x的解是x=-3.把x=-3代入方程 -2=2x,得 -2=-6,解得k=-5.
11. ★如果方程 -8=- 的解与关于x的方程4x-(3a+1)=6x-2a+1的解相同,求a的值.
解:由 -8=- ,解得x=10.把x=10代入方程4x-(3a+1)=6x-2a+1,得40-3a-1=60-2a+1,解得a=-22.
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12
12. 已知关于x的方程2x-a=1与关于x的方程 = -a的解的和为 ,求a的值.
解:由2x-a=1,得x= .由 = -a,得x= .∴ + = ,解得a=-3.
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12(共12张PPT)
5.2 解一元一次方程
第3课时 解含括号的一元一次方程
第5章 一元一次方程
01
基础进阶
02
思维拓展
目
录
02
素能攀升
1. 下列方程是一元一次方程的为( D )
A. 2x+3y=1 B. x2+3x-1=0
C. 3x- =3 D. 6x-5=4x+3
2. 设p=2x-1,q=4-3x,则当5p-6q=7时,x的值应为( B )
A. B. C. - D. -
3. 已知x=3是关于x的方程4x-3(a-x)=6x-7(a-x)的解,则a的值为 .
D
B
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15
4. 解方程:
(1) 3(2x-1)-2(1-x)=0.
解:去括号,得6x-3-2+2x=0.移项,得6x+2x=3+2.合并同类项,得8x=5.系数化为1,得x= .
(2) 2026(x-2)-3(1-x)=2024x+5.
解:去括号,得2026x-4052-3+3x=2024x+5.移项,得2026x+3x-2024x=5+4052+3.合并同类项,得5x=4060.系数化为1,得x=812.
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13
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15
5. (易错题)已知方程(m-2)x|m|-1+3=5是关于x的一元一次方程,则m的值是( C )
A. ±2 B. 2
C. -2 D. 无法确定
6. 小虎在解关于x的方程1-x=-2(x-2a)时,误将等号右边的-2a看成了+2a,其他的解题过程均正确,从而得到方程的解为x=-5,则原方程的解为( B )
A. x=2 B. x=3
C. x=4 D. x=5
C
B
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15
7. 如果-2(x-1)与4-3(x-1)互为相反数,那么x的值为( D )
A. B. - C. - D.
8. 已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足2 -1=0,则m的值为( D )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
9. 若方程3(2x-1)=2-3x的解与关于x的方程6-2k=2(x+3)的解相同,则k的值为 - .
10. 用“※”定义新运算:a※b=ab2+2ab-b,如:1※3=1×32+2×1×3-3=12.若(x-1)※4=44,则x的值为 3 .
D
D
-
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15
11. 解方程:5(3-2x)-4(5+3x)=2(20-18x)-17.
小明同学的解法如下:
去括号,得15-10x-20+12x=40-36x-17.
移项,得-10x+12x+36x=40-17-15-20.
合并同类项,得38x=-12.
系数化为1,得x=- .
上述解法是否有错误 若有,请指出错误原因,并写出正确的解法.
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解:有错误.错误原因:① 去等式左边的第二个括号时,符号出现错误,括号前是“-”,去括号时括号内各项都要变号.② 移项时,20前面的符号出现错误.正确的解法:去括号,得15-10x-20-12x=40-36x-17.移项,得-10x-12x+36x=40-17-15+20.合并同类项,得14x=28.系数化为1,得x=2.
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12. (核心素养·运算能力)解下列方程:
(1) =2x+1.
解:去括号,得x-4-4=2x+1.移项、合并同类项,得-x=9.系数化为1,得x=-9.
(2) 2x- = (x-1).
解:去括号,得2x- x+ x- = x- .移项、合并同类项,得 x=- .系数化为1,得x=- .
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13. 如果方程2(x-4)-48=-3(x+2)的解与关于x的方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解互为相反数,求2a2-a的值.
解:解方程2(x-4)-48=-3(x+2),得x=10.∵ 方程2(x-4)-48=-3(x+2)的解与关于x的方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解互为相反数,∴ 方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解为x=-10.把x=-10代入,得-40-(3a+1)=-60+2a-1,解得a=4.∴ 2a2-a=2×42-4=2×16-4=32-4=28.
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14. 在等式2×(1-□)-3×□=15的□中分别填入一个数,使这两个数满足下列条件,并列式解答:
(1) 互为相反数.
解:(1) 设第一个数为a,则第二个数为-a.由题意,得2×(1-a)-3×(-a)=15,解得a=13.
∴ -a=-13.∴ 第一个数为13,第二个数为-13.
(2) 和为6.
解:(2) 设第一个数为b,则第二个数为6-b.由题意,得2×(1-b)-3×(6-b)=15,解得b=31.
∴ 6-b=6-31=-25.∴ 第一个数为31,第二个数为-25.
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15. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,那么称这两个方程为“美好方程”.例如:方程2x-1=3和x+1=0为“美好方程”.
(1) 方程4x-(x+5)=1与方程-2(y+1)=1+y是“美好方程”吗 请说明理由.
解:(1) 方程4x-(x+5)=1与方程-2(y+1)=1+y是“美好方程”.理由:由4x-(x+5)=1,解得x=2;由-2(y+1)=1+y,解得y=-1.∵ -1+2=1,∴ 方程4x-(x+5)=1与方程-2(y+1)=1+y是“美好方程”.
(2) 若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为n,求n的值.
解:(2) ∵ “美好方程”的两个解的和为1,其中一个解为n,∴ 另一个方程的解为1-n.
∵ 两个解的差为8,∴ 1-n-n=8或n-(1-n)=8.∴ n=- 或n= .
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5.2 解一元一次方程
第1课时 等式的基本性质与方程的简单变形
第5章 一元一次方程
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02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 下列变形不一定正确的是( D )
A. 若a=b,m≠0,则 =
B. 若a=b,则a2=b2
C. 若a=b,则a+2c=b+2c
D. 若ac=bc,则a=b
D
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2. 下列方程变形过程正确的是( B )
A. 由5x=3,得x=
B. 由 x=0,得x=0
C. 由x+5=1,得x=5-1
D. 由x+3=6,得x=6+3
B
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3. 设“ ”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体,如图,前两架天平保持平衡.如果要使第三架天平也平衡,那么“ ”处应放“ ”的个数为( D )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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4. 已知5a+8b=3b+10,则利用等式的性质,可求得a+b的值是 2 .
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5. ★能否由等式(2m+5)x=3m-n得到x= 为什么 反过来,能否由等式x= 得到(2m+5)x=3m-n 为什么
解:由等式(2m+5)x=3m-n不一定能得到x= .对于等式(2m+5)x=3m-n,由等式的基本性质2,等式两边同时除以2m+5,当2m+5=0时,不能得到x= ;当2m+5≠0时,能得到x= .∴ 由等式(2m+5)x=3m-n不一定能得到x= .由等式x= 能得到(2m+5)x=3m-n.对于等式x= ,由等式的基本性质2,等式两边同时乘以2m+5,可得(2m+5)x=3m-n.∴ 由等式x= 能得到(2m+5)x=3m-n.
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6. 运用等式的性质,下列变形正确的是( D )
A. 若a+c=c-b,则a=b
B. 若a2=3a,则a=3
C. 若2a=2b-c,则a=b-c
D. 若 = ,则a=b
7. 下列方程中,与方程2x-3=x+2的解相同的是( B )
A. 2x-1=x B. x-3=2
C. 3x=x+5 D. x+3=2
D
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8. 由等式(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2),得等式m-1=2m+3,则应满足的条件是( B )
A. n>-2 B. n≠-2
C. n<-2 D. m≠1
9. 已知等式3m=4n+2,则下列等式中,不一定成立的是( A )
A. 3= + B. 3m+2=4n+4
C. 3m-2=4n D. m= n+
10. 如图,两个天平都平衡,则6个球体的质量等于 10 个正方体的质量.
B
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11. 在等式3a-5=2a+6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a=11,则这个多项式为 2a-5 .
12. (易错题)有下列变形:① 若x=y,则x-4=y-4;② 若 = ,则-2a=-2b;③ 若-x=-y,则 = ;④ 若|a|=|b|,则|a|c=|b|c;⑤ 若ax=ay,则x=y;⑥ 若 = ,则x=y.其中,正确的是 ①②④⑥ (填序号).
13. ★已知(2a+2)2+|-3b+6|=0,则方程ax=b的解为x= -2 .
2a-5
①②
④⑥
-2
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14. ★解下列方程:
(1) 8+x=-5.
解:移项,得x=-5-8.合并同类项,得x=-13.
(2) 3x-4=11.
解:移项,得3x=11+4.合并同类项,得3x=15.系数化为1,得x=5.
(3) - x-5=4.
解:移项,得- x=4+5.合并同类项,得- x=9.系数化为1,得x=-27.
(4) 3x-6=-31-2x.
解:移项,得3x+2x=-31+6.合并同类项,得5x=-25.系数化为1,得x=-5.
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15. 已知方程ax-2=x的解是x=1,求关于y的方程(2-a)y=4a-2的解.
解:把x=1代入方程ax-2=x,得a-2=1.两边都加上2,得a=3.将a=3代入方程(2-a)y=4a-2,得-y=4×3-2,即-y=10.两边都乘以-1,得y=-10.
16. 王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x=5(m-3),小明说:“x=5.”小刚说:“不一定,当x≠5时,这个等式也可能成立.”你认为他俩的说法正确吗 用等式的性质说明理由.
解:小明的说法错误,小刚的说法正确.理由:当m-3=0时,x为任意数,当m-3≠0时,x=5.
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17. 已知3m2-2n+3=9,则 m2- n+3 ·(6m2-4n+3)的值为 75 .
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(1) 若t=2k=2,则c与a的等量关系是 c=4a .
(2) 若c-2a=3t,求a+ c的值(用含k、t的代数式表示).
解:∵ a+ b=k,b+ c=t,∴ 2a=2k-b,c=2t-2b.∵ c-2a=3t,∴ 2t-2b-2k+b=3t.∴ b=
-2k-t.∴ a+ c= (2a+c)= (2k-b+2t-2b)= (2k+2t-3b)= [2k+2t-3(-2k-t)]=
(2k+2t+6k+3t)= (8k+5t)=4k+ t.
c=4a
18. (核心素养·推理能力)已知a+ b=k, b+ c=t.
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5.2 解一元一次方程
第2课时 利用等式的基本性质解方程
第5章 一元一次方程
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思维拓展
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1. 代数式2x-1与4-3x的值互为相反数,则x的值为( B )
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
2. 关于x的方程2x-kx+1=5x-2的解为x=-1,则k的值为( C )
A. 10 B. -4 C. -6 D. -8
3. 当m= - 时,式子3+m与式子-2m+1的值相等.
4. 若单项式-m2n3x-5与 n4x-3m2是同类项,则x= -2 .
B
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5. 解下列方程:
(1) 7+10x=-12x-5+3x.
解:移项,得10x+12x-3x=-5-7.合并同类项,得19x=-12.系数化为1,得x=- .
(2) x- =2x+2- x.
解:移项,得x-2x+ x=2+ .合并同类项,得 x= .系数化为1,得x=5.
(3) x-1+ x=6- x+1.
解:移项,得x+ x+ x=6+1+1.合并同类项,得 x=8.系数化为1,得x= .
(4) -5x+6+7x=1+2x-3+8x.
解:移项,得-5x+7x-2x-8x=1-3-6.合并同类项,得-8x=-8.系数化为1,得x=1.
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6. 当x=4时,式子5x+5b-10与bx+4的值相等,则b的值为( A )
A. -6 B. -7
C. 6 D. 7
7. 已知M=- x+1,N= x-5,且M+N=20,则x的值为( B )
A. -30 B. -48
C. 48 D. 30
8. (新定义)定义新运算“ ”,规定a b= a+3b,等式的右侧为通常的混合运算.若3x
(-1)=6 4,则x= 12 .
A
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9. 定义一种新运算: =ad-bc,例如: =1×4-2×3=4-6=-2.已知 =
-16x,则x的值为 -8 .
10. 已知关于x的方程2x+3=x+k与x-3=5k.若这两个方程的解的和为6,则k的值为 1 .
11. 当m= - 时,方程5x+4=4x-3的解和关于x的方程2x+2-m=2m-4的解相同.
-8
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12. 解方程:
(1) -8x=3- x.
解:移项,得-8x+ x=3- .合并同类项,得- x= .系数化为1,得x=- .
(2) 7x-2.5x+3×6=1.5x-15×4-3x.
解:移项,得7x-2.5x-1.5x+3x=-60-18.合并同类项,得6x=-78.系数化为1,得x=-13.
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13. 已知 +m=my-m.
(1) 当m=4时,求y的值.
解:(1) 把m=4代入 +m=my-m,得 +4=4y-4.移项,得 -4y=-4-4.合并同类项,得
- y=-8.系数化为1,得y= .
(2) 当y=4时,求m的值.
解:(2) 把y=4代入 +m=my-m,得2+m=4m-m.移项,得m-4m+m=-2.合并同类项,得-2m=-2.系数化为1,得m=1.
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14. 定义新运算“*”:a*b=a2+2ab,例如:3*2=32+2×3×2=21.
(1) 若(-3)*x=3,求x的值.
解:(1) ∵ (-3)*x=3,∴ (-3)2+2×(-3)x=3.∴ 9-6x=3.移项,得-6x=3-9.合并同类项,得
-6x=-6.系数化为1,得x=1.
(2) 若(-5)*x=-5x+5,求x的值.
解:(2) ∵ (-5)*x=-5x+5,∴ (-5)2+2×(-5)x=-5x+5.∴ 25-10x=-5x+5.移项,得
-10x+5x=5-25.合并同类项,得-5x=-20.系数化为1,得x=4.
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15. 某同学在解关于x的方程3a=2x+15时,在移项过程中2x没有改变符号,得到的方程的解为x=3,求a的值及原方程的解.
解:由题意,得x=3是关于x的方程2x=15-3a的解.∴ 2×3=15-3a,解得a=3.把a=3代入原方程,得3×3=2x+15,∴ 2x=-6,解得x=-3.∴ a的值是3,原方程的解是x=-3.
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16. 小明在解方程3a-2x=11(x是未知数)时,误将-2x看成了+2x,得到的解为x=-2,请聪明的你帮小明算一算,方程的正确解为( B )
A. x=1 B. x=2
C. x=0 D. x=-3
B
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17. (易错题)对于两个不相等的有理数a、b,我们规定符号min{a,b}表示a、b两数中较小的数,例如min{2,-3}=-3.按照这个规定,方程min{x,-x}=-3x-12的解为 x=-3 .
18. (新定义)如果两个方程的解相差1,那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”.例如:方程x-3=0是方程x-2=0的“后移方程”.
(1) 请判断方程2x+3=0是否为方程2x+5=0的“后移方程”: 是 (填“是”或“否”).
(2) 若关于x的方程3x+m+n=0是关于x的方程3x+m=0的“后移方程”,求n的值.
解:解方程3x+m+n=0,得x= .解方程3x+m=0,得x=- .∵ 关于x的方程3x+m+n=0是关于x的方程3x+m=0的“后移方程”,∴ - =1.∴ - =1.
∴ n=-3.
x=-3
是
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5.2 解一元一次方程
第5课时 一元一次方程的简单应用
第5章 一元一次方程
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03
思维拓展
目
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1. 在“垃圾分类”活动中,实践组有23人,宣传组有16人.应从宣传组调多少人到实践组,才能使实践组的人数是宣传组的两倍 设从宣传组调x人到实践组,则可列方程为( D )
A. 23-x=2×16+x
B. 23+x=2×16-x
C. 23-x=2(16+x)
D. 23+x=2(16-x)
D
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2. 某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均参赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,在这次足球赛中,育才中学远大足球队只输了一场球,共得17分,则该足球队胜的场数为( B )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
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3. 某班男、女人数之比为4∶3.若调走8名女生,则男生人数刚好是女生人数的2倍.这个班的学生人数为 56 .
4. 已知某桥的长为600m.若一列火车通过该桥,火车从开始上桥到过完桥共用了30s,整列火车完全在桥上的时间为20s,则火车的长为 120 m.
5. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔记本6本,共用了62元.已知她买的大笔记本每本的价格比小笔记本每本的价格贵3元,求该文具店这种大笔记本每本的价格.
解:设该文具店这种大笔记本每本的价格是x元,则小笔记本每本的价格是(x-3)元.根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8.经检验,符合题意.∴ 该文具店这种大笔记本每本的价格为8元.
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6. 某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆,小型汽车的停车费为4元/辆.现在该停车场有中、小型汽车共50辆,停车费共230元,则中型汽车有( C )
A. 13辆 B. 14辆
C. 15辆 D. 16辆
7. 有这样一则故事:驴和骡子一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的.驴抱怨负担太重,骡子说:“你抱怨什么 如果你给我一袋,那么我所负担的是你的两倍;如果我给你一袋,那么我们才恰好驮的一样多!”驴所驮货物的袋数是( A )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
C
A
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8. 已知甲、乙、丙三人每人都有一些钱,其中甲的钱数是乙的2倍,乙比丙多1元,丙比甲少11元,则三人共有( D )
A. 30元 B. 33元 C. 36元 D. 39元
9. A、B两地相距450km,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为120km/h,乙车的速度为80km/h,经过th两车相距50km,则t的值为( A )
A. 2或2.5 B. 2或10
C. 10或12.5 D. 2或12.5
D
A
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10. (数学文化)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何 ”其大意如下:有一名女子很会织布,每日的织布量加倍增长,5日共织布5尺,问:每日各织布多少尺 根据此题中的已知条件,可求得该女子第一天织布 尺.
11. 一艘轮船从甲地顺流开往乙地,所用时间比从乙地原路逆流开往甲地少1.5h.已知轮船在静水中的速度为18km/h,水流速度为2km/h,则甲、乙两地之间的路程为 120km .
120km
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12. (2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.
解:设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根据题意,得 + =1,解得x=2.经检验,符合题意.∴ 这次小峰打扫了2h.
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13. 甲、乙两个旅行团同时去某地旅游,乙旅行团比甲旅行团多4人,两个旅行团的人数之和是两个旅行团的人数之差的16倍.
(1) 甲、乙两个旅行团分别有多少人
解:(1) 设甲旅行团有x人,则乙旅行团有(x+4)人.根据题意,得x+x+4=4×16,解得x=30.经检验,符合题意.∴ x+4=30+4=34.∴ 甲旅行团有30人,乙旅行团有34人.
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(2) 已知某景点的成人票价格为每张80元,儿童票价格为每张40元,并且乙旅行团中儿童的人数恰好比甲旅行团中儿童人数的2倍少2.若甲、乙两个旅行团在此景点所花的门票费用相同,则甲、乙两个旅行团中分别有儿童多少人
解:(2) 设甲旅行团中有儿童y人,则乙旅行团中有儿童(2y-2)人.∴ 甲旅行团中有成人(30-y)人,乙旅行团中有成人[34-(2y-2)]人.根据题意,得40y+80(30-y)=40(2y-2)+
80[34-(2y-2)],解得y=10.经检验,符合题意.∴ 2y-2=2×10-2=18.∴ 甲旅行团中有儿童10人,乙旅行团中有儿童18人.
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14. 已知儿子12岁那年,父亲的年龄是37岁.
(1) 多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍
解:(1) 设x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍.由题意,得37+x=2(12+x),解得x=13.经检验,符合题意.∴ 13年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍.
(2) 几年后父亲的年龄能否是儿子年龄的6倍 如果能,请算出结果;如果不能,请说明理由.
解:(2) 不能.理由:设y年后父亲的年龄是儿子年龄的6倍.由题意,得37+y=6(12+y),解得y=-7.∵ y=-7不合题意,∴ 几年后父亲的年龄不能是儿子年龄的6倍.
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15. (核心素养·应用意识)如图,现有两条乡村公路AB、BC,AB的长为1600m,BC的长为1800m,一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶;另一人骑自行车从B处以4m/s的速度匀速沿公路BC向C处行驶,并且两人同时出发.
(1) 经过多少秒摩托车追上自行车
解:(1) 设经过x s摩托车追上自行车.由题意,得20x=1600+4x,解得x=100.经检验,符合题意.∴ 经过100s摩托车追上自行车.
(第15题)
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(2) 两人均在行驶途中时,经过多少秒两人在行进路线上相距160m
解:(2) 设经过y s两人在行进路线上相距160m.
(1600+1800)÷20=170(s).当摩托车还差160m追上自行车时,20y=1600+4y-160,解得y=90<170,符合题意;当摩托车超过自行车160m时,20y=160+4y+1600,解得y=110<170,符合题意.综上所述,经过90s或110s两人在行进路线上相距160m.
(第15题)
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专题特训(二) 一元一次方程应用中的设元技巧与热点题型
第5章 一元一次方程
类型一 直接法设未知数
1. 某校七年级(1)班的学生开展分小组学习竞赛活动.原来每个小组8人,后来重新分组,每个小组6人,这样比原来增加2个小组,则七年级(1)班的学生共有( C )
A. 24人 B. 30人 C. 48人 D. 50人
2. 工厂生产零件,原计划每天生产50个,实际每天生产了60个,提前3天完成任务,则该工厂共生产零件 900 个.
3. 某环保队有甲、乙、丙三人,现计划在A地植树1000棵,在B地植树1250棵,甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵.甲在A地,乙在B地,丙在A与B两地之间来回帮忙,同时开始,同时结束,丙在A地植树 300 棵.
C
900
300
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4. 在一次体育测试中,小红进行女子800m测试时,先以3m/s的平均速度跑了大部分路程,之后以5.5m/s的平均速度逐渐冲刺到达终点,成绩为3min30s.求小红在冲刺阶段的时间.
解:3min30s=210s.设小红在冲刺阶段花了xs,则小红以3m/s的平均速度跑了(210-x)s.由题意,得3(210-x)+5.5x=800,解得x=68.经检验,符合题意.∴ 小红在冲刺阶段花了68s.
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类型二 间接法设未知数
5. 文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.”小华说:“那就多买一个吧,谢谢!”根据两人的对话可知,小华结账时实际付了( C )
A. 540元 B. 522元
C. 486元 D. 469元
6. 某校组织师生春游,若单独租用45座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用60座客车,则可以少租1辆,且余30个空座位.该校参加春游的人数为( B )
A. 180 B. 270 C. 360 D. 450
7. 某学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60,则这个方阵共有学生 256 人.
C
B
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8. (新情境)如图所示的展示牌上整齐地贴着许多相同的长方形卡片,它们之间露出了三块正方形空白(阴影部分).小明想要配三张正方形图片来填补空白.若长方形卡片的宽为12cm,则要配的正方形图片的边长为多少
(第8题)
解:设长方形卡片的长为x cm.根据图和题意,得5x=3(x+12),解得 x=18.经检验,符合题意.∴ 要配的正方形图片的边长为18-12=6(cm).
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类型三 整体法设未知数
9. ★一个六位数,其最左边一位的数字是1.若把这个数字移到最右边,则所得的六位数就是原数的3倍.原数为 142857 .
142857
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类型四 情景信息问题
10. 如图,根据图中信息,解决问题.
(1) 购买6根跳绳需 150 元,购买12根跳绳需 240 元.
(2) 小红比小明多购买2根,付款时小红反而比小明少付5元,你认为有这种可能吗 若有,求出小红购买的跳绳的根数;若没有,请说明理由.
150
240
解:有这种可能.由题意可知,小红购买的跳绳超过10根,小明购买的跳绳不足10根.设小红购买的跳绳的根数为x,则小明购买的跳绳的根数为x-2.根据题意,得25×0.8x=25(x-2)-5,解得x=11.经检验,符合题意.∴ x-2=9.∵ 11>10>9,∴ 有这种可能,小红购买的跳绳的根数为11.
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类型五 方案决策问题
11. (核心素养·应用意识)某种海产品,若直接销售,则每吨可获利润1200元;若粗加工后销售,则每吨可获利润5000元;若精加工后销售,则每吨可获利润7500元.某公司现有这种海产品100t,该公司的生产能力如下:如果进行粗加工,那么每天可加工15t;如果进行精加工,那么每天可加工5t,但两种加工方式不能同时进行.受各种条件限制,公司必须在10天内(含10天)将这批海产品全部销售或加工完毕,为此该公司设计了三种方案:
方案一:全部进行粗加工;
方案二:尽可能多地进行精加工,没有来得及进行精加工的直接销售;
方案三:将一部分进行精加工,其余的进行粗加工,并恰好10天完成.
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三种方案中,获利最多的是哪种方案 请说明理由.
解:获利最多的是方案三.理由:方案一:可获利润为5000×100=500000(元).方案二:10天可精加工5×10=50(t).∴ 还有50t需要直接销售.∴ 可获利润为7500×50+1200×50=435000(元).方案三:设将xt海产品进行精加工,则将(100-x)t进行粗加工.由题意,得 + =10,解得x=25.经检验,符合题意.∴ 可获利润为7500×25+5000×(100-25)=562500(元).∵ 562500>500000>435000,∴ 获利最多的是方案三.
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12. (核心素养·应用意识)甲和乙两家超市相同商品的标价相同,在新年即将到来之际,两家超市分别推出如下促销活动:
甲超市:全场均按八五折优惠.
乙超市:购物不超过200元时,不给予优惠;超过200元而不超过500元时,一律打八八折;超过500元时,其中的500元优惠12%,超过500元的部分打八折.
(1) 当购物总额是多少时,甲、乙两家超市实际付款相同
解:(1) 设当购物总额是x元时,甲、乙两家超市实际付款相同.根据题意,易得x>500.
∴ 85%x=500×(1-12%)+80%·(x-500),解得x=800.经检验,符合题意.∴ 当购物总额是800元时,甲、乙两家超市实际付款相同.
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(2) 某顾客在乙超市购物实际付款490元,该顾客的选择划算吗 请说明理由.
解:(2) 该顾客的选择不划算.理由:设该顾客在乙超市购物的原标价为y元.∵ 500×(1-12%)=440(元),440<490,∴ y>500.根据题意,得440+80%·(y-500)=490,解得y=562.5.若在甲超市购买,则实际付款562.5×85%=478.125(元).∵ 478.125<490,∴ 该顾客的选择不划算.
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12(共25张PPT)
第5章复习
第5章 一元一次方程
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 方程的解
典例1 下列说法正确的是( C )
A. y=2是方程y+2=0的解
B. x=0.0001是方程200x=2的解
C. t=3是方程|t|-3=0的解
D. x=1是方程 =-2x+1的解
C
跟踪训练
1. 下列方程中,解是x=0的为( C )
A. 4x-2=2 B. 6x-8=8x-4
C. 5x+7=7-2x D. =
C
考点二 等式的基本性质
典例2 设x=y,则下列结论不正确的是( C )
A. x+c=y+c B. xc=yc
C. = D. 1-3x=1-3y
跟踪训练
2. ★给出下列等式:① 若a=b,则3(a+1)=3(b+1);② 若-2a=-3,则a= ;③ 若 = (c≠0),则a=b;④ 若a=b,则 = .其中,正确的是 ①③④ (填序号).
C
①③④
考点三 一元一次方程的解法
典例3 解下列方程:
(1) 2(x-2)-6(x-1)=3(1-x).
解:去括号,得2x-4-6x+6=3-3x.移项,得2x-6x+3x=3+4-6.合并同类项,得-x=1.系数化为1,得x=-1.
(2) - =1+ .
解:去分母,得3x-(5x+11)=6+2(2x-4).去括号,得3x-5x-11=6+4x-8.移项,得
3x-5x-4x=11+6-8.合并同类项,得-6x=9.系数化为1,得x=- .
跟踪训练
3. (核心素养·运算能力)解方程:
(1) 2x-(x+10)+ =6x+3+ .
解:去分母,得8x-4(x+10)+2(x+1)=24x+12+(2-x).去括号,得8x-4x-40+2x+2=24x+12+2-x.移项、合并同类项,得-17x=52.系数化为1,得x=- .
(2) +8x= +4.
解:方程可化为 +8x= +4.去分母,得9(30x-15)+144x=2(20x-10)+72.去括号,得270x-135+144x=40x-20+72.移项,得270x+144x-40x=-20+72+135.合并同类项,得374x=187.系数化为1,得x= .
考点四 根据定义新运算构造方程解题
典例4 我们规定两种新运算“*”和“Δ”,其规则为a*b=ab+a-b,aΔb= ,等式的右侧均为通常的混合运算,则关于x的方程5Δ(3*x)=3的解是 x=-2 .
跟踪训练
4. 规定新运算:a b=a(b+1),a*b= ,等式的右侧均为通常的混合运算.若2 x+(x+1)*x=10,则4x-5的值为 5 .
x=-2
5
考点五 根据两个方程的解的关系求字母的值
典例5 ★(核心素养·推理能力)已知关于x的方程3[x-2(x- )] =4x与方程 - =1有相同的解,则a的值为 ,这个解为 .
跟踪训练
5. 已知方程2(a-1)-3(a+1)=0的解与关于x的方程 -3k-2=2x的解互为相反数,则k的值为
- .
-
考点六 一元一次方程的应用
典例6 甲队原有68名工人,乙队原有44名工人,现又有42名工人调往这两队,为了使乙队的人数是甲队人数的 ,应调往甲、乙两队各多少名工人
解:设应调往甲队x名工人,则调往乙队(42-x)名工人.根据题意,得 (68+x)=44+(42-x),解得x=20.经检验,符合题意.∴ 42-x=22.∴ 应调往甲队20名工人,调往乙队22名工人.
跟踪训练
6. 某校七年级(2)班的学生在进行劳动前需要分成x组.若每组分配11人,则余下1人;若每组分配12人,则有一组少4人;若每组分配7人,则该班可分成 8 组.
8
考点七 情境信息题
典例7 某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋的标价为每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话(如图),并解决问题:
(1) 小明原计划购买文具袋多少个
解:(1) 设小明原计划购买文具袋x个,则实际购买了(x+1)个.由题意,得10(x+1)×0.85=10x-17,解得x=17.经检验,符合题意.∴ 小明原计划购买文具袋17个.
(2) 学校决定,再购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,其中钢笔的标价为每支8元,签字笔的标价为每支6元.经过沟通,这次老板给予八折优惠,合计272元.小明购买了钢笔和签字笔各多少支
解:(2) 设小明购买了钢笔y支,则购买了签字笔(50-y)支.由题意,得[8y+6(50-y)]×0.8=272,
解得y=20.经检验,符合题意.∴ 50-y=30.∴ 小明购买了钢笔20支,签字笔30支.
跟踪训练
7. “五一”期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,如图所示为购票时,小明与他爸爸的对话.根据图中的信息,解决问题:
(1) 小明他们一共去了几名成人,几名学生
解:(1) 设去了x名成人,则去了(12-x)名学生.根据题意,得40x+50%×40(12-x)=400,解得x=8.经检验,符合题意.∴ 12-x=4.∴ 小明他们一共去了8名成人,4名学生.
(2) 请你帮小明算一算,用哪种方式购票更省钱
解:(2) 若按团体票购票,则需16×40×0.6=384(元).
∵ 384<400,∴ 按团体票购票更省钱.
1. 若关于x的一元一次方程1- = 的解是x=2,则a的值是( B )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
2. (易错题)有下列说法:① 若ab=ac,则b=c;② x=±3都是方程x2=9的解;③ 若
(m-3) -4m=0是关于x的一元一次方程,则m=±3;④ 若关于x的方程(a-2)x=3有整数解,则整数a=3.其中,不正确的个数是( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
C
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3. 某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元,其中一件盈利60%,另一件亏损20%,则在这次买卖中该商店( B )
A. 不盈不亏 B. 盈利20元
C. 盈利10元 D. 亏损20元
4. 20名学生需要组装一种仪器,仪器由3个A部件和2个B部件组成.在规定时间内,每名学生可以组装好10个A部件或20个B部件.在规定时间内,最多可以组装好仪器的套数为( A )
A. 50 B. 60 C. 100 D. 150
B
A
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5. (易错题)已知方程 -2=x-1与关于x的方程x+m=3的解的绝对值相等,则m的值为 5或1 .
6. 如图,有一块长为5cm、宽为2cm的长方形纸板和一块长为4cm、宽为1cm的长方形纸板,将这两块纸板与一块正方形及另两块长方形纸板拼成一个大正方形,则大正方形的面积为 36 cm2.
5或1
36
(第6题)
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7. (新定义)若有a、b两个数满足关系式:a+b=ab-1,则称a、b为“共生数对”,记作(a,b).例如:当2、3满足2+3=2×3-1时,(2,3)是“共生数对”.若(-x,4)是“共生数对”,则x= - .
-
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8. (核心素养·推理能力)在练习解方程时,作业上有一个方程“ y- =1+ ”中的 没印清,小华问老师,老师只是说:“ 是一个有理数,该方程的解是y=5.”请你求出原方程中 的值.
解:∵ 该方程的解是y=5,∴ 将y=5代入,得 ×5- =1+ ,解得 =5.∴ 原方程中 的值为5.
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9. 已知关于x的方程 x-a= x-1的解比关于x的方程2[x-2(4-2a)]= (x+a)的解小2,求a的值.
解:∵ x-a= x-1,∴ x=6a-6.∵ 2[x-2(4-2a)]= (x+a),∴ x= -5a.∵ 关于x的方程
x-a= x-1的解比关于x的方程2[x-2(4-2a)]= (x+a)的解小2,∴ 6a-6+2= -5a,解得a= .
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10. (核心素养·应用意识)乐乐家离学校2800m,某天他以80m/min的速度去学校,5min后妈妈发现他忘了带数学书,就立即以180m/min的速度去追乐乐,并且在途中追上了他.
(1) 妈妈追上乐乐用了多长时间
解:(1) 设妈妈追上乐乐用了xmin.根据题意,得180x=80x+80×5,解得x=4.经检验,符合题意.∴ 妈妈追上乐乐用了4min.
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(2) 放学后乐乐仍以80m/min的速度回家,10min后,小力以280m/min的速度从学校出发骑自行车回家,乐乐家和小力家是邻居(两家之间的距离忽略不计,两人路上互不等待,两人到家后不再外出),则小力出发多长时间,两人相距300m
解:(2) 设小力出发后ymin,两人相距300m.分情况讨论:① 当小力在乐乐后面300m处时,280y=80y+80×10-300,解得y=2.5.经检验,符合题意.② 当小力在乐乐前面300m处时,280y=80y+80×10+300或80(y+10)=2800-300,解得y=5.5或y=21.25.经检验,符合题意.综上所述,小力出发2.5min或5.5min或21.25min,两人相距300m.
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