(共13张PPT)
专题特训(三) 解二元一次方程组的技巧
第6章 一次方程组
类型一 整体代入法
1. 解下列方程组:
(1)
解:记 把①代入②,得2y+3×3=11,解得y=1.把y=1代入①,得x-1=3,解得x=4.∴ 原方程组的解是
1
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5
(2)
解:记 由①,得2x-3y=2③.把③代入②,得 +2y=9,解得y=4.把y=4代入①,得2x-12=2,解得x=7.∴ 原方程组的解是
1
2
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5
类型二 整体加减法
2. 解下列方程组:
(1)
解:记 ①+②,得122x+122y=366,即x+y=3.②-①,得8x-8y=8,即x-y=1.由 解得 ∴ 方程组的解为
1
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(2)
解:记 ①+②,得10000x+10000y=50000,即x+y=5.①-②,得6718x-6718y=6718,即x-y=1.由 解得 ∴ 方程组的解为
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5
类型三 换元法
3. 解下列方程组:
(1)
解:记 由②,可设x=7k,y=9k.代入①,得14k-27k=26,解得k=-2.∴ x=
-14,y=-18.∴ 原方程组的解是
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(2)
解:设 =m, =n,则原方程组可化为 解得 ∴ =1, =2.∴ 解得 ∴ 原方程组的解为
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(3)
解:设 =m, =n,则原方程组可化为 解得 ∴ =0, =-3.∴ 解得 ∴ 原方程组的解为
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5
4. (核心素养·创新意识)小丽在解方程组 时,采用了一种“平均值换元法”,解法如下:
由①,可设2x=6+6t,3y=6-6t,即x=3+3t,y=2-2t.
代入②,得7(3+3t)-17(2-2t)=97,解得t=2.
∴ x=3+3×2=9,y=2-2×2=-2.
∴ 原方程组的解为
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5
请模仿小丽的“平均值换元法”解方程组:
解:记 由①,可设5x=35+35m,7y=35-35m,即x=7+7m,y=5-5m.代入②,得7(7+7m)+3(5-5m)=166,解得m=3.∴ x=7+7×3=28,y=5-5×3=-10.∴ 原方程组的解为
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类型四 消常数项法
5. (核心素养·创新意识)阅读材料,解决问题:
解方程组:
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解:原方程组可化为
将两个方程相减,得 - =0,即 = .
把 = 代入②,得 - = ,解得y= .
∴ x= .
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∴ 方程组的解是
以上解方程组的方法称为消常数项法,请用上面的方法解方程组:
解:记 ②×2-①,得-x-2y=0,即x=-2y③.把③代入①,得-14y-8y=22,解得y=-1.把y=-1代入③,得x=2.∴ 方程组的解为
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5(共18张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第2课时 运用加减法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 用加减法将方程组 中的未知数x消去后,得到的方程是( D )
A. 2y=6 B. 8y=16
C. -2y=6 D. -8y=16
D
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2. 解方程组 给出下列解法:① 消去y,得6x=4;② 消去x,得-4y=-12;③ 消去y,得6x=-12;④ 消去x,得-4y=4.其中,正确的是( D )
A. ②④ B. ①②
C. ②③ D. ③④
D
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3. 已知x、y满足方程组 则x+y的值为 1 .
4. 如果 和 都是方程mx+ny=-5的解,那么m= -5 ,n= -5 .
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-5
-5
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5. 用加减法解方程组:
(1)
解:记 ②-①,得8y=-8,解得y=-1.把y=-1代入①,得2x-5×(-1)=7,解得x=1.∴ 方程组的解是
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(2)
解:记 ①×3,得6x+9y=36③.②×2,得6x+8y=34④.③-④,得y=2.把y=2代入①,得2x+6=12,解得x=3.∴ 方程组的解是
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(3)
解:方程组可化为 ①×2,得8x-2y=10③.③+②,得11x=22,解得x=2.把x=2代入①,得4×2-y=5,解得y=3.∴ 方程组的解是
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6. 已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 则a、b的值分别为( B )
A. 1、2 B. 2、1 C. 2、3 D. 3、2
B
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7. 在解二元一次方程组 时,若①-②可直接消去未知数y,则m和n满足( C )
A. m=n B. mn=1
C. m+n=0 D. m+n=1
8. (新定义)对于x、y定义一种新运算“*”:x*y=ax+by,其中a、b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,则计算1*2的结果为( C )
A. 2 B. -2
C. 13 D. 1
C
C
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9. 已知方程组 则(x+y)(x-y)的值为 -2 .
10. 如果关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+2y=9+m,那么m的值是 -1 .
-2
-1
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11. ★(核心素养·运算能力)用加减消元法解下列方程组:
(1)
解:方程组可化为 ①×2,得6x-4y=-40③.②×3,得6x+45y=9④.④-③,得49y=49,解得y=1.把y=1代入④,得6x+45=9,解得x=-6.∴ 原方程组的解是
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(2)
解:方程组可化为 ①×5,得25x-5y=180③.②+③,得26x=208,解得x=8.把x=8代入②,得8+5y=28,解得y=4.∴ 原方程组的解是
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12. 已知关于x、y的方程组 与方程组 的解相同,求(2a+b)2026的值.
解:由题意,得 解得 将 分别代入ax-by=-4,
bx+ay=-8,得 解得 ∴ (2a+b)2026=(2×1-3)2026=(-1)2026=1.
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13. (核心素养·创新意识)已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 m、n满足二元一次方程组 则m+2n的值为( A )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
A
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14. (新定义)关于x、y的二元一次方程组,若方程组的解x、y满足|x-y|=1,则方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1) 方程组 的解x与y是否具有“邻好关系” 请说明理由.
解:(1) 具有“邻好关系”.理由:解 得 ∴ |x-y|=1.∴ 方程组的解x与y具有“邻好关系”.
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(2) 若方程组 的解x与y具有“邻好关系”,求m的值.
解:(2) 记 ①+②,得6x=6m+6,解得x=m+1.把x=m+1代入①,得2m+2-y=6,解得y=2m-4.∴ 原方程组的解为 ∵ x与y具有“邻好关系”,
∴ |x-y|=|m+1-2m+4|=|-m+5|=1.∴ 5-m=±1.∴ m=6或m=4.
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解:(3) 具有“邻好关系”.∵ 2y-x=5,∴ x=2y-5.记 ①+②,得(2+a)y=12.
∵ a、y均为正整数,∴ 或 或 或 当 时,x=2y-5=3.当 时,x=2y-5=1.当 时,x=2y-5=-1,不符合题意,舍去.当 时,x=2y-5=-3,不符合题意,舍去.∵ 只有当a=1时,|x-y|=1,∴ a的值为1,方程组的解
为
(3) 已知关于x、y的方程组 中的a、x、y都是正整数,则该方程组的解x与y是否具有“邻好关系” 若具有,请求出a的值及方程组的解;若不具有,请说明理由.
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14(共14张PPT)
专题特训(四) “含字母系数”的二元一次方程(组)的综合应用
第6章 一次方程组
类型一 与二元一次方程的定义结合
1. 已知x2m-n-2+4ym+n+1=6为关于x、y的二元一次方程,则m、n的值分别为( A )
A. 1、-1 B. -1、1
C. 、- D. - 、
2. 如果4xa+2b-5-2y3a-b-3=8为关于x、y的二元一次方程,那么a+b的值为 4 .
A
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类型二 与二元一次方程(组)的解结合
3. 已知 是方程3mx-2y=9的解,则m= 5 .
4. 若 是二元一次方程组 的解,则x+2y= 3 .
5. 已知方程2x+(1+m)y=-1与nx-y=1有一组相同的解 求(-m-n)2027的值.
解:把 代入方程2x+(1+m)y=-1,得-4+1+m=-1,解得m=2.把 代入方程nx-y=1,得-2n-1=1,解得n=-1.∴ (-m-n)2027=[-2-(-1)]2027=(-1)2027=-1.
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类型三 与方程组的错解结合
6. (核心素养·推理能力)已知 是一个被墨水污染的方程组.圆圆说:“这个方程组的解是 而我由于看错了第二个方程中的x的系数,求出的解是 ”请根据以上信息,把方程组复原出来.
解:设▲=a,●=b,■=c.∵ 这个方程组的解是 ∴ ∴ c=-2.∵ 看错了第二个方程中的x的系数,求出的解是 ∴ -2a+b=1.∴ 解得 ∴ 原方程组为
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类型四 与方程组的有相同解结合
7. (1) 解二元一次方程组:
解:(1) 记 ①-②,得5y=-5,解得y=-1.把y=-1代入①,得x-2=4,解得x=6.
∴ 原方程组的解为
(2) 若关于x、y的方程组 与(1)中的方程组有相同的解,求a+b的值.
解:(2) 把 代入 得 解得 ∴ a+b=2.
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8. ★若关于x、y的二元一次方程组 与 有公共的解,求:
(1) x、y的值.
解:(1) ∵ 关于x、y的二元一次方程组 与 有公共的解,∴ 的解即为两个方程组的公共解,解得
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(2) a2+b2-2ab的值.
解:(2) 把 代入 得 解得
∴ a2+b2-2ab=4.
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类型五 方程组的解与特定关系结合
9. 已知方程组 的解能使等式4x-3y=7成立,则m2-2x+1= 63 .
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10. 若关于x、y的方程组 的解满足 试求这个方程组的解及a、b的值.
解:将 代入 得
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解得 解 得 ∴ 原方程组的解为
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11. 已知关于x、y的方程组
(1) 若方程组的解满足2x-3y=1,求m的值.
解:(1) 记 ∵ 2x-3y=1,∴ 3y=2x-1③.将③代入①,得x+2x-1=7,解得x= .将③代入②,得x-2x+1+mx+3=0,即(m-1)x+4=0.将x= 代入,得
(m-1)+4=0,解得m=- .
(2) 无论m取何值,方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解,求出这个方程的公共解.
解:(2) ∵ 无论m取何值,x-3y+mx+3=0总有一个公共解,∴ x=0.∴ -3y+3=0,解得y=1.∴ 方程的公共解为
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(3) 若方程组有整数解,求整数m的值.
解:(3) 记 ①+②,得(2+m)x+3=7,解得x= .将x= 代入①,得 +3y=7,解得y= .∵ 方程组有整数解,
∴ 2+m=±1,2+m=±2,2+m=±4.∴ m=-1或-3或0或-4或2或-6.当m=-1时,y=1,符合题意;当m=-3时,y= ,不符合题意;当m=0时,y= ,不符合题意;当m=-4时,y=3,符合题意;当m=2时,y=2,符合题意;当m=-6时,y= ,不符合题意.综上所述,m的值为-1或-4或2.
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类型六 与新定义结合
12. 当m、n都是有理数,且满足2m-n=6时,称 是“和谐数对”.
(1) 判断(2,-4)是否为“和谐数对”.
解:(1) 根据题意,得 解得 ∴ 2m-n=16≠6.∴ (2,-4)不是“和谐数对”.
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(2) 已知关于x、y的方程组
当a为何值时,(x,y)是“和谐数对”
解:(2) 记 ①+②,得2x=2a+6,解得x=a+3.把x=a+3代入①,得a+3+y=6,解得y=3-a.由题意,得 解得 ∴ 2m-n=2a+8-4+2a=6,解得a= .∴ 当a= 时,(x,y)是“和谐数对”.
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12(共19张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第3课时 选择适当的方法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列方程组 的解法中,不正确的是( C )
A. 代入法消去a,由②,得a=b+2
B. 代入法消去b,由①,得b=7-2a
C. 加减法消去a,由①-②×2,得2b=3
D. 加减法消去b,由①+②,得3a=9
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2. 用加减法解方程组 下列变形正确的是( C )
A. B.
C. D.
C
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3. 若方程组 的解也是二元一次方程5x-my=-11的一组解,则m的值为 7 .
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4. 解方程组:
(1)
解:记 把①代入②,得3×9+2x=33,解得x=3.把x=3代入①,得3+y=9,解得y=6.∴ 方程组的解为
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(2)
解:整理,得 由①,得x=5y-3③.把③代入②,得5(5y-3)-11y=-1,解得y=1.把y=1代入x=5y-3,得x=5-3=2.∴ 方程组的解是
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5. 已知方程组 则x与y的关系是( C )
A. 4x+2y=5 B. 2x-2y=5
C. x+y=1 D. 5x+7y=5
6. 已知 是二元一次方程组 的解,则2m-n的值是( A )
A. 4 B. 2 C. -2 D. -4
C
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7. 若关于x、y的方程组 的解中x比y的相反数大2,则k的值为( C )
A. -3 B. -2 C. -1 D. 1
8. 甲、乙两人共同解关于x、y的方程组 甲正确地解得 乙看错了方程②中的系数c,解得 则(a+b+c)2的值为( B )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
C
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9. (核心素养·推理能力)解关于x、y的方程组 可以用①×3-②,消去未知数x,也可以用①+②×4消去未知数y,则a、b的值分别为
( C )
A. 1、-2 B. -1、-2
C. 1、2 D. -1、2
C
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10. 若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+2y=11-3m,则m的值是 -3 .
11. 已知x、y满足(2x-3y-1)2+|x-2y+2|=0,求2x- y的值.
解:∵ (2x-3y-1)2+|x-2y+2|=0,∴ 由②,得x=2y-2③.把③代入①,得2(2y-2)-3y=1,解得y=5.把y=5代入③,得x=2×5-2=8.∴ 方程组的解是 ∴ 2x-
y=16-12=4.
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12. ★(核心素养·运算能力)解方程组:
(1)
解:整理,得 ①-②,得4y=28,解得y=7.把y=7代入①,得3x-7=8,解得x=5.∴ 方程组的解为
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(2)
解:整理,得 ①+②,得6x=18,解得x=3.②-①,得4y=2,解得y= .∴ 方程组的解为
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13. (核心素养·运算能力)已知关于x、y的方程组 其中a是常数.
(1) 当a=2时,求该方程组的解.
解:(1) ∵ a=2,∴ 原方程组为 ①×3+②,得5x=25,解得x=5.将x=5代入①,得5-y=5,解得y=0.∴ 方程组的解为
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(2) 当x=y时,求该方程组的解.
解:(2) ∵ x=y,∴ 2a+1=0,解得a=- .把x=y,a=- 代入2x+3y=9a-8,得5x=- -8,解得x=- .
∴ y=- .∴ 方程组的解为
(3) 若该方程组的解也是方程x-6y=2的一组解,求a的值.
解:(3) 记 ①×3-②,得x-6y=-3a+11.又∵ x-6y=2,∴ -3a+11=2,解得a=3.
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14. (易错题)已知 m为正整数,关于x、y的二元一次方程组 有整数解,则m2的值为( A )
A. 4 B. 49
C. 4或49 D. 1或49
A
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15. (核心素养·创新意识)阅读材料,解决问题:
解方程组:
解:①-②,得2x+2y=2,即x+y=1③.
③×16,得16x+16y=16④.
②-④,得x=-1.
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把x=-1代入③,得-1+y=1,解得y=2.
∴ 原方程组的解是
(1) 仿照上面的解法解方程组:
解:(1) ②-①,得2x+2y=2,即x+y=1③.③×2 027,得2 027x+2 027y=2 027④.②-④,得x=-1.把x=-1代入③,得-1+y=1,解得y=2.∴ 原方程组的解为
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(2) 猜测关于x、y的方程组 (a≠b)的解,并利用方程组的解加以验证.
解:(2) 方程组的解为 把 代入(a+2)x+(a+1)y=a,得左边=a,左边=右边.把 代入(b+2)x+(b+1)y=b,得左边=b,左边=右边.∴ 是方程组的解.
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15(共12张PPT)
专题特训(五) 列方程组解应用题的常见策略
第6章 一次方程组
类型一 直接根据条件找出等量关系
1. 小岩打算购买气球装扮活动会场,气球的种类有爱心和笑脸两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置的需要,购买时以一束(4个气球)为单位,第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为 ( B )
A. 19元 B. 18元 C. 16元 D. 15元
B
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2. (数学文化)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,则余三,问人数、羊价各几何 ”其大意如下:“今有人合伙买羊,若每人出5钱,则还差45钱;若每人出7钱,则还多3钱,问合伙人数、羊价各是多少 ”此问题中羊价为 165 钱.
165
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3. 为拓宽学生视野,某中学组织七年级师生开展研学活动,现有甲、乙两种客车,原计划租用甲种45座客车若干辆,但剩余15人没有座位;若租用同样数量的乙种60座客车,则空余出三辆车,且其余客车恰好坐满.求参加此次研学活动的师生人数.
解:设参加此次研学活动的师生人数为x,原计划租用甲种45座客车y辆.根据题意,得 解得 ∴ 参加此次研学活动的师生人数为600.
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类型二 由表格获取等量关系或列表格分析等量关系
4. 某元宵生产商家受原料保质期影响,在购买元宵的主要原料糯米粉和黄油时分三次购买,每次购买价格不变,前两次购进原料价格和质量如下表:
第一次 第二次
糯米粉的质量/千克 10 12
黄油的质量/千克 2 3
总金额/元 310 405
若第三次购进糯米粉20千克、黄油5千克,则第三次购买的总金额为 675 元.
675
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5. 某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到甲地和乙地,收费标准及实际收费如下表:
收费标准
目的地 起步价/元 超过1千克的
部分/(元/千克)
甲地 a b
乙地 a+3 b+4
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目的地 质量/千克 费用/元
甲地 2 9
乙地 3 22
根据表格中的信息,求a、b的值.
解:由题意,得 解得
实际收费
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6. 某地区2022年进出口总额为520亿元,2023年进出口总额比2022年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%(进出口总额=进口额+出口额).
(1) 设2022年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x、y的代数式填表:
年 份 进口额/ 亿元 出口额/ 亿元 进出口
总额/亿元
2022 x y 520
2023 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y
1.25x+1.3y
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(2) 已知2023年进出口总额比2022年增加了140亿元,则2023年进口额和出口额分别为多少亿元
解:由题意,得 解得
∴ 1.25x=400,1.3y=260.∴ 2023年进口额为400亿元,出口额为260亿元.
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类型三 由图获取等量关系或画示意图分析等量关系
7. (数学文化)数学上的“九宫图”是一个3×3的表格,每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等,也称为三阶幻方.如图所示为一个满足条件的三阶幻方的一部分,则x+y的值为 17 .
(第7题)
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8. (核心素养·应用意识)在400m环形跑道上,甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动.若反向而行,则出发后40s两人第一次相遇;若同向而行,则出发后200s甲第一次追上乙.
(1) 求甲、乙两人的速度.
解:(1) 设甲的速度为xm/s,乙的速度为ym/s.根据题意,得 解得 ∴ 甲的速度为6m/s,乙的速度为4m/s.
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(2) 若甲、乙两人同向而行,丙也在跑道上匀速前行,且与甲、乙两人的方向一致,出发后20s甲追上丙,出发后100s乙追上丙,则出发时,丙在甲、乙前方多少米 丙的速度是多少
解:(2) 设丙在甲、乙前方am,丙的速度是bm/s.根据题意,得 解得 ∴ 丙在甲、乙前方50m,丙的速度是3.5m/s.
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8(共18张PPT)
6.3 三元一次方程组及其解法
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列方程组中,是三元一次方程组的为( D )
A. B.
C. D.
D
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2. 解方程组 时,要使解法较为简便,应先消去 y .
3. 三元一次方程组 消去未知数z后,得到的二元一次方程组是 答案不唯一,如 .
4. 已知 = = ,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值为 -15 .
y
答案不唯一,如
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5. 解下列方程组:
(1)
解:记 将①③代入②,得2x+2x-4+x-5=1,解得x=2.将x=2代入①,得y=4-4=0.将x=2代入③,得z=2-5=-3.∴ 原方程组的解为
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(2)
解:记 ①+②,得5x+2y=16④.②+③,得3x+4y=18⑤.④×2-⑤,得7x=14,解得x=2.将x=2代入④,得10+2y=16,解得y=3.将x=2,y=3代入③,得2+3+z=6,解得z=1.∴ 原方程组的解为
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6. 若 是三元一次方程组 的解,则a+b+c的值为( A )
A. B. 6 C. 9 D. 18
7. 若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0成立,则a的值为( A )
A. 0 B. - C. D. -8
A
A
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8. (新定义)若对于有理数x和y,定义新运算“△”:x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常数,例如:3△2=3a+2b+c.已知1△1=0,4△2=3,9△(-3)=28,则5△7的值为 -10 .
9. 已知有理数x、y、z满足|x-z-2|+|3x-6y-7|+(3y+3z-4)2=0,则xyz的值为 1 .
10. 小明去商店购买盒子.若A、B、C三种型号的盒子各买1个,则需花费9元;若购买3个A型盒子、2个B型盒子、1个C型盒子,则需花费16元.1个C型盒子比1个A型盒子贵 2 元.
-10
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11. ★解方程组:
(1)
解:记 ③×3-①,得4y-3z=8.③×2-②,得5y-4z=10.
∴ 解得
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将 代入③,得x+4-0=3,即x=-1.∴ 原方程组的解为
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(2)
解:记 ②×2-③,得5x+27z=34④.联立①④,得 解得 将 代入②,得15+y+5=18,解得y=-2.∴ 原方程组的解为
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12. 已知代数式ax2+bx+c,当x=1和x=-3时,它的值都为5;当x=-1时,它的值为1.
(1) 求a、b、c的值.
解:(1) 由题意,得 解得
(2) 当x=-2时,求代数式ax2+bx+c的值.
解:(2) 由(1),得ax2+bx+c=x2+2x+2.当x=-2时,x2+2x+2=(-2)2+2×(-2)+2=2.
∴ 当x=-2时,代数式ax2+bx+c的值为2.
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13. 甲、乙、丙三个小组共植树50棵,乙组植树的棵数是甲、丙两组植树的棵数之和的 ,甲组植树的棵数恰是乙、丙两组植树的棵数之和.甲、乙、丙三组分别植树多少棵
解:设甲组植树x棵,乙组植树y棵,丙组植树z棵.根据题意,得 解得 ∴ 甲组植树25棵,乙组植树10棵,丙组植树15棵.
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14. 由方程组 可得x∶y∶z等于( C )
A. 1∶(-2)∶1 B. 1∶(-2)∶(-1)
C. 1∶2∶1 D. 1∶2∶(-1)
C
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15. (核心素养·应用意识)某部队需将120吨物资运往驻地.现有甲、乙、丙三种车供选择,每辆车的运载量和运费如下表(每辆车均满载):
车 型 甲 乙 丙
每辆运载量/吨 5 8 10
每辆运费/元 400 500 600
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(1) 若全部物资都用甲、乙两种车来运送,需运费8200元,则分别需要甲、乙两种车各几辆
解:(1) 设需要甲车x辆,乙车y辆.由题意,得 解得
∴ 需要甲车8辆,乙车10辆.
(2) 为了节约运费,该部队可以调用甲、乙、丙三种车参与运送.已知它们的总辆数为16,则有哪几种运送方案
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解:(2) 设需要甲车x辆,乙车y辆,丙车z辆.由题意,得 消去z,得5x+2y=40.∴ x=8- y.∵ x、y是非负整数,且x≤16,y≤16,∴
∵ z是非负整数,∴ ∴ 有三种运送方案:① 调用甲车8
辆,乙车0辆,丙车8辆;② 调用甲车6辆,乙车5辆,丙车5辆;③ 调用甲车4辆,乙车10辆,丙车2辆.
=8,
=0,
=6,
=5,
=4,
=10,
=2,
=15.
=4,
=10,
=2.
=8,
=0,
=8,
=5,
=5,
=4,
=10,
=2.
=6,
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(3) 在(2)的条件下,哪种运送方案的运费最少 最少运费是多少元
解:(3) 运送方案①的运费是400×8+600×8=8000(元);运送方案②的运费是400×6+500×5+600×5=7900(元);运送方案③的运费是400×4+500×10+600×2=
7800(元).∵ 8000>7900>7800,∴ 调用甲车4辆,乙车10辆,丙车2辆的运送方案的运费最少,最少运费是7800元.
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15(共26张PPT)
第6章复习
第6章 一次方程组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 二元一次方程(组)的有关概念
典例1 如果4xa+b-3y3a+2b-4=2是关于x、y的二元一次方程,那么2a+3b的值为( A )
A. 0 B. -3
C. 3 D. 6
跟踪训练
若方程组 是关于x、y的二元一次方程组,则ab的值是
-1 .
A
-1
考点二 一次方程组的解法
典例2 (核心素养·运算能力)解方程组:
(1)
解:记 由①,得y=4x-9③.把③代入②,得 + =2,解得x= .把x= 代入③,得y= -9= .∴ 原方程组的解为
(2)
解:记 把②代入①,得x=3.把x=3代入①③,得 解得 ∴ 原方程组的解为
跟踪训练
2. 解方程组:
(1)
解:整理,得 ①×2+②,得15y=11,解得y= .把y= 代入①,得
-x+ =4,解得x= .∴ 原方程组的解为
解:记 ①+②,得4a+5c=13④.④-③,得6c=6,解得c=1.将c=1代入③,得4a-1=7,解得a=2.将a=2,c=1代入②,得6+2b+1=1,解得b=-3.∴ 原方程组的解为
(2)
考点三 一次方程组的解的应用
典例3 已知关于x、y的二元一次方程组 和 的解相同,则(3a+b)2025的值为 -1 .
跟踪训练
3. 已知关于x、y的方程组 的解满足x+y=3,则k的值为 5 .
-1
5
考点四 一次方程组的实际应用
典例4 (2024·安徽三模)某公司销售A、B两种设备,第一季度共卖出2200台.第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多6%,卖出B种设备的数量比第一季度少5%,两种设备的总销量增加了110台.第一季度两种设备各卖出多少台
解:设第一季度A种设备卖出x台,B种设备卖出y台.∴ 第二季度A种设备卖出(1+6%)x=1.06x(台),B种设备卖出(1-5%)y=0.95y(台).由题意,得 解得 ∴ 第一季度A种设备卖出2000台,B种设备卖出200台.
4. 某服装厂生产一种运动服,已知3m2的布料可做上衣2件或裤子3条,1件上衣和1条裤子为1套.现计划用800m2的布料生产这种运动服,则应分别用多少布料生产上衣和裤子,才能使其恰好配套 共能生产多少套
解:设用xm2的布料生产上衣,ym2的布料生产裤子.根据题意,得 解得 ∴ 共能生产运动服480÷3×2=320(套).∴ 应用480m2的布料生产上衣,320m2的布料生产裤子,才能使其恰好配套,共能生产320套.
跟踪训练
1. (2024·河北一模)在解方程组 时,甲认为要消掉x,所以①×(-4)+
②×3;乙认为要消掉y,所以①×(-5)-②×2.下列判断正确的是( A )
A. 甲、乙两人的想法都可行
B. 甲、乙两人的想法都不可行
C. 甲的想法可行,乙的想法不可行
D. 甲的想法不可行,乙的想法可行
A
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2. 若关于x、y的方程组 的解满足x-y=-4,则k的值为( B )
A. -1 B. 1 C. 0 D. 2
B
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3. (易错题)已知关于x、y的方程组 则下列结论中,不正确的是( D )
A. 不论k 取什么有理数,x+3y的值始终不变
B. 存在有理数k,使得x+y=0
C. 当y-x=-1时,k=1
D. 当k=0时,方程组的解也是方程x-2y=-3的解
D
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4. 已知2x+y+z=-1,3y-z=-1,3x+2y+3z=-5,则xyz= 2 .
5. (核心素养·创新意识)已知关于x、y的方程组 的解为 则关于x、y的方程组 的解为 .
6. 某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售,且每盒方形礼盒的价格相同,每盒圆形礼盒的价格相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒,但他身上的钱还差240元.若改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒,则他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒,则他身上的钱会剩下 600 元.
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7. (核心素养·运算能力)解方程组:
(1)
解:记 ①×2+②,得9x=27,解得x=3.将x=3代入①,得6-y=6,解得y=0.∴ 原方程组的解为
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解:记 由②,得3(x-3)-4(y-3)=1,即3x-4y=-2③.①+③,得4x=12,解得x=3.将x=3代入①,得3+4y=14,解得y= .∴ 原方程组的解为
(2)
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8. 某同学在解关于x、y的方程组 时,本应解出 由于看错了系数c,而得到 求a+b-c的值.
=3,
= 2,
= 2,
=2
解:把 分别代入ax+by=2,得 解得 将 代入cx-7y=8,得3c+14=8,解得c=-2.∴ a+b-c=4+5+2=11.
=3,
= 2,
= 2,
=2
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9. 已知关于x、y的方程组
(1) 若x=y,求a的值.
解:(1) 若x=y,则2a+1=0,解得a=- .
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(2) 若方程组的解也是方程x-5y=3的一组解,求(a-4)2035的值.
解:(2) 记 ①×2,得2x-2y=4a+2③.②-③,得5y=5a-10,解得y=a-2.把y=a-2代入①,得x-a+2=2a+1,解得x=3a-1.∴ 方程组的解是 把 代入方程x-5y=3,得3a-1-5(a-2)=3,解得a=3.∴ (a-4)2035=(3-4)2035=(-1)2035=-1.
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10. (新情境)如图所示为某工厂生产的镂空铝板雕花造型,造型由A(绣球花)、B(祥云)两种图案组合而成.因制作工艺不同,A、B两种图案的成本不同.造型1的成本为64元,造型2的成本为42元,则造型3的成本为多少元
解:设每个A种图案的成本为x元,每个B种图案的成本为y元.根据题意,得 ①-②,得x+y=22.∴ 造型3的成本为22元.
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11. (核心素养·应用意识)(2024·常德期末)某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营,已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105名;用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110名.
(1) 每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生
解:(1) 设每辆小客车能坐a名学生,每辆大客车能坐b名学生.由题意,得 解得 ∴ 每辆小客车能坐20名学生,每辆大客车能坐45名学生.
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(2) 该校计划租用小客车x辆,大客车y辆,一次送完,且恰好每辆车都坐满.
① 请设计出所有的租车方案.
解:(2) ① 由题意,得20x+45y=340.∴ x= =17- .∵ x、y都是非负整数,
∴ 或 ∴ 一共有2种租车方案:
方案一:租用17辆小客车,0辆大客车;方案二:租用8辆小客车,4辆大客车.
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② 若小客车每辆需租金4000元,大客车每辆需租金8000元,请选出最省钱的租车方案,并求出最少租金.
② 方案一的费用为4000×17=68000(元).方案二的费用为4000×8+4×8000=
64000(元).∵ 68000>64000,∴ 最省钱的方案是租用8辆小客车,4辆大客车,最少租金为64000元.
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11(共16张PPT)
6.1 二元一次方程组和它的解
第6章 一次方程组
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列方程是二元一次方程的为( D )
A. 3x=5 B. 3x2=y-2
C. y+ =-5 D. 2x-5y=0
D
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2. (2024·南充)《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思如下:如果每间客房住7位客人,那么有7位无房可住;如果每间客房住9位客人,那么就空出1间客房.设有客房x间,客人y位,则可列方程组为( D )
A. B.
C. D.
D
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3. 给出下列三组数:① ② ③ 其中, ①③ 是方程3x+y=8的解; ②③ 是方程2x-y=7的解; ③ 是二元一次方程组 的解(填序号).
4. 已知 是关于x、y的方程ax+by=3的一组解,求2a+4b-1的值.
解:将 代入方程ax+by=3,得a+2b=3.∴ 2a+4b-1=2(a+2b)-1=2×3-1=5.
①③
②③
③
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5. 如果方程组 的解为 那么被“ ”“ ”遮住的两个数分别为( C )
A. 3、10 B. 4、10
C. 10、4 D. 10、3
6. 25名学生分成若干小组进行小组互助学习,每小组只有2名或3名学生,则分组方案有( A )
A. 4种 B. 3种
C. 2种 D. 1种
C
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7. (易错题)如果方程3x|m|+(m+1)y=6是关于x、y的二元一次方程,那么m的值为 1 .
8. 若 是由两个关于x、y的二元一次方程组成的方程组,则ab= 0 .
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9. 小华从家里到学校的路由一段平路和一段下坡路组成.如果他始终保持平路每分钟走60m,下坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m的速度,那么他从家里到学校需要10min,从学校到家里需要15min.设平路有x m,下坡路有y m.根据题意,可列方程组为 .
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10. 解答下列问题:
(1) 二元一次方程2x-y=4的解有多少组 请写出三组.
=0,
= 4,
=2,
=0,
=3,
=2.
解:(1) 有无数组.答案不唯一,如
(2) 二元一次方程x+y=5的解有多少组 请写出三组.
=1,
=4,
=2,
=3,
=3,
=2.
解:(2) 有无数组.答案不唯一,如
=0,
= 4,
=2,
=0,
=3,
=2.
=1,
=4,
=2,
=3,
=3,
=2.
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=0,
= 4,
=2,
=0,
=3,
=2.
=1,
=4,
=3,
=2.
(3) 直接写出一组x、y的值,使这组值同时满足方程2x-y=4和x+y=5.
解:(3)
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(4) 根据上述探究,请直接写出二元一次方程组 的解和该方程组的解有多少组.
解:(4) 该方程组的解有1组.
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11. (核心素养·应用意识)某综合实践活动小组去A、B两超市调查去年和今年“五一”期间的销售额.如图所示为调查后小敏与其他两名同学进行交流的情景.根据他们的对话回答问题.
(1) 若设A、B两超市去年“五一”期间的销售额分别为x万元、y万元,请列出符合题意的方程组.
解:(1)
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解:(2)
(2) 若设A、B两超市今年“五一”期间的销售额分别为m万元、n万元,请列出符合题意的方程组.
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12. (核心素养·创新意识)已知方程组 的解为 现给出另一个方程组 则它的解为( A )
A
A. B.
C. D.
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13. 某校有378人去春游,若乘坐大客车,则每辆可坐54人,每辆车的租金为1000元;若乘坐中巴车,则每辆车可坐36人,每辆车的租金为650元.为了能使每个人都能上车且各车正好坐满,则需要大客车、中巴车各几辆 请写出所有可能的租车方案,并找出租金最少的一种.
解:设需要大客车x辆,中巴车y辆.根据题意,得54x+36y=378,∴ y= = .
∵ x、y为自然数,∴ 21-3x为偶数.∴ x为奇数.当x=1时,y=9,租金为1000×1+
650×9=6850(元).当 x=3 时,y=6,租金为1000×3+650×6=6900(元).当x=5时,y=3,租金为1000×5+650×3=6950(元).当x=7时,y=0,租金为1000×7+650×0=7000(元).
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∵ 6850<6900<6950<7000,∴ 有4种租车方案:租1辆大客车,9辆中巴车;租3辆大客车,6辆中巴车;租5辆大客车,3辆中巴车;租7辆大客车.其中租金最少的是租1辆大客车,9辆中巴车.
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6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 运用代入法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 用代入法解方程组 下列各式正确的是( B )
A. 3(1-2y)+5y=2
B. 3(1+2y)+5y=2
C. 3-2y+5y=2
D. 1-3×2y+5y=2
B
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2. 二元一次方程组 的解是( C )
A. B.
C. D.
C
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3. 已知二元一次方程-3x+4y=-1,用含x的代数式表示y,则 y= .
4. 二元一次方程x=5+y和3x+4y=1的公共解是 .
y=
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5. 用代入法解下列方程组:
(1)
解:记 把①代入②,得2y-y=6,解得y=6.把y=6代入①,得x=2×6=12.∴ 原方程组的解为
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(2)
解:记 由①,得y=3x-2③.把③代入②,得9x+8(3x-2)=17,解得x=1.把x=1代入③,得y=3-2=1.∴ 原方程组的解为
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(3)
解:记 由①,得y=3-2x③.把③代入②,得5x-3(2x+3-2x)=1,解得x=2.把x=2代入③,得y=3-2×2=-1.∴ 原方程组的解为
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6. 下列用代入法解方程组 的步骤中,最简单的是( D )
A. 由①,得x= ③,把③代入②
B. 由①,得y=3x-2③,把③代入②
C. 由②,得y= ③,把③代入①
D. 把②整体代入①,得11-2y-y=2
D
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7. 若-3x7ym-3n与2x2m+3ny2是同类项,则m、n的值分别是( A )
A. 3、 B. 3、-
C. -3、 D. -3、-
8. 若a+2b=8,3a+2b=12,则a+b的值为( B )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
9. 若关于x、y的方程组 的解也是二元一次方程2x-3y=11的解,则m的值为 3 .
A
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10. 小明认为 为关于x、y的方程ax+by=10的解,小惠认为
为关于x、y的方程ax+by=10的解.若他们的想法都正确,则a= 10 ,b= 10 .
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11. 解下列方程组:
(1)
解:整理,得 由①,得x=-7+3y③.把③代入②,得2(-7+3y)-5y=-6,解得y=8.把y=8代入③,得x=-7+3×8=17.∴ 原方程组的解为
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(2)
解:整理,得 把①代入②,得2(6y-1)-y=9,解得y=1.把y=1代入①,得x=6×1-1=5.∴ 原方程组的解为
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12. 已知|a+2b+3|+(3a-b-5)2=0,求(3a+2b)2025的值.
解:∵ |a+2b+3|+(3a-b-5)2=0,∴ 解得 ∴ (3a+2b)2025=-1.
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13. (核心素养·推理能力)甲、乙两人同时解方程组 甲正确解得 乙因为抄错c的值,解得 则a+b+c= 7 .
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14. (核心素养·创新意识)阅读材料,解决问题:
小军在解方程组 时,采用了一种“整体代换”的解法.
解:由②变形,得4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③.
把①代入③,得2×3+y=5,解得y=-1.
将y=-1代入①,得2x-5=3,解得x=4.
∴ 原方程组的解为
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(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组
解:(1) 由②变形,得9x-6y+2y=19,即3(3x-2y)+2y=19③.把①代入③,得3×5+2y=19,解得y=2.把y=2代入①,得3x-4=5,解得x=3.∴ 原方程组的解为
(2) 若x、y满足 求xy的值.
解:(2) 由①变形,得3(x2+4y2)-2xy=47③.由②变形,得2(x2+4y2)+xy=36,即x2+4y2=18- ④.把④代入③,得3× ( 18-) -2xy=47.∴ xy=2.
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6.4 实践与探索
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 某家具厂生产桌椅,每块板材可做桌子1张或椅子3把,现计划用100块这种板材生产一批桌椅(不考虑板材的损耗).设用x块板材做桌子,用y块板材做椅子,使得恰好配套(1张桌子配2把椅子),则下列方程组正确的是( C )
A. B.
C. D.
C
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2. 如图,周长为68cm的长方形ABCD被分成7个形状、大小完全相同的小长方形,则长方形ABCD的面积为 280cm2 .
280cm2
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3. (2024·河北期末)如图,长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形,则图中涂色部分的面积是 67 cm2.
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4. (2024·安徽)某村有部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植A、B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表:
农作物 每公顷所需 人数 每公顷所需
投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24名,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,则A、B两种农作物的种植面积分别为多少公顷
解:设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷.根据题意,得 解得 ∴ A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.
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5. 现有一把无刻度的直尺和四张相同的长方形纸片.已知长方形纸片的长是宽的2倍,将长方形纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上,则直尺的长为( D )
A. 18cm B. 17cm
C. 16cm D. 15cm
D
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6. 塑料凳子轻便实用,在人们生活中随处可见,如图,3个塑料凳子叠放在一起的高度为55cm,5个塑料凳子叠放在一起的高度为65cm.10个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度是 90 cm.
90
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7. 某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米,超过3千米的部分按每千米另收费.甲说:“我乘这种出租车走了9千米,付了14元.”乙说:“我乘这种出租车走了21千米,付了32元.”这种出租车的起步价是多少元 超过3千米后,每千米的车费是多少元
解:设这种出租车的起步价是x元,超过3千米后每千米收费y元.根据题意,得 解得 ∴ 这种出租车的起步价是5元,超过3千米后每千米收费1.5元.
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8. 用如图①所示的长方形纸板和正方形纸板做侧面和底面,做成如图②所示的横式和竖式两种无盖纸盒.
(1) 仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板.若两种纸板恰好用完,则两种纸盒各做多少个
解:(1) 设横式纸盒做x个,竖式纸盒做y个.根据题意,得 解得 ∴ 横式纸盒做20个,竖式纸盒做60个.
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(2) 若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板,要使两种纸板恰好用完,则a+b应满足什么条件 请说明理由.
解:(2) a+b是5的正整数倍.理由:设横式纸盒做m个,竖式纸盒做n个.根据题意,得
∴ a+b=5(m+n).又∵ m、n均为正整数,∴ a+b是5的正整数倍.
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9. (核心素养·应用意识)出租车是一种便捷的出行工具,某地的计价规则如下表:
计费项目 里程费 时长费 远途费
价 格 2元/千米 0.4元/分 1元/千米
注: ① 车费=里程费+时长费+远途费.
② 里程费按乘车的实际里程计算;时长费按乘车的实际时间计算;远途费的收费标准为乘车7千米以内(含7千米)不收费,若超过7千米,则超出的部分每千米加收1元.
(1) 若小林乘车9千米,耗时30分钟,则车费是 32 元.
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(2) 小王与小林各自乘坐出租车,乘车里程共15千米,其中小王乘车里程少于7千米,乘车时间比小林多10分钟.若下车时所付车费相同,两人共支付43.2元,求小王的乘车里程和乘车时间.
解:∵ 下车时所付车费相同,两人共支付43.2元,∴ 小王和小林分别支付43.2÷2=21.6(元).设小王的乘车里程为x千米,乘车时间为y分钟.由题意,得
解得 ∴ 小王的乘车里程为6.8千米,乘车时间为20分钟.
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9(共12张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第4课时 二元一次方程组的简单应用
第6章 一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有大、小两种货车,2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨,5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨,则每辆小货车一次可运货( B )
A. 2吨 B. 2.5吨 C. 3吨 D. 3.5吨
2. 学校文艺部组织部分文艺积极分子观看演出,共购得8张甲票、4张乙票,总计花费112元.已知每张甲票比每张乙票贵2元,则甲票、乙票的票价分别是( A )
A. 10元/张、8元/张
B. 8元/张、10元/张
C. 12元/张、10元/张
D. 10元/张、12元/张
B
A
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3. 某旅行社组织200人到A地和B地旅游,到A地旅游的人数比到B地旅游的人数的2倍少1,则到A地旅游的有 133 人,到B地旅游的有 67 人.
4. (2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解:设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.由题意,得 解得 ∴ 白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36.
133
67
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5. 某校七年级学生开展活动,参加者的人数是未参加者的3倍.若参加者的人数减少12,未参加的人数增加6,则参加者的人数是未参加者的2倍.该校七年级学生的人数为( C )
A. 72 B. 80
C. 96 D. 100
C
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6. 某商场购进商品后,加价40%作为售价.现该商场开展促销活动,决定由顾客抽奖确定折扣.某顾客购买甲、乙两件商品,分别抽到七折和九折的折扣,共付款399元.已知两件商品原售价之和为490元,则甲、乙两件商品的进价分别为( D )
A. 200元、150元 B. 210元、280元
C. 280元、210元 D. 150元、200元
7. 运输360t化肥,装载了6节火车车厢和15辆汽车;运输440t化肥,装载了8节火车车厢和10辆汽车.10节火车车厢和20辆汽车能运输化肥( D )
A. 720t B. 860t
C. 1100t D. 580t
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8. (数学文化)有这样一道题:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱四十八,乙得甲太半而亦钱四十八.甲、乙持钱各几何 其大意如下:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有48钱.如果乙得到甲所有钱的 ,那么乙也共有48钱.甲、乙两人各带了多少钱 由题意可知,甲带了 36 钱,乙带了 24 钱.
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9. 甲、乙两人共同做一批零件,原计划两人合作,11天可以完成,结果两人合作7天后,乙另有任务,剩下的由甲单独做.如果按原来的工作效率,那么还需7天才能完成.为了能如期完成任务,甲把工作效率提高了80%,这样不仅如期完成了任务,还多做了4个零件.原计划做零件多少个
解:设甲原来每天做零件x个,乙原来每天做零件y个,则原计划做零件11(x+y)个.∴ 甲工作效率提高后共做零件(11-7)×(1+80%)x=7.2x(个).根据题意,得 解得 ∴ 11(x+y)=11×(20+15)=385.∴ 原计划做零件385个.
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10. 某校计划购买一批篮球.已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元,购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元.
(1) 求A、B两种品牌的篮球每个的价格.
解:(1) 设A品牌的篮球每个的价格为x元,B品牌的篮球每个的价格为y元.由题意,得 解得 ∴ A品牌的篮球每个的价格为40元,B品牌的篮球每个的价格为100元.
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(2) 该校打算购买20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球,正逢商场开展打折促销活动,其中A品牌打八折,B品牌打九折.求打折后学校购买篮球节省的费用.
解:(2) 40×(1-0.8)×20+100×(1-0.9)×3=190(元).∴ 打折后学校购买篮球节省的费用为190元.
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11. 用1块A型钢板可生产4件甲种产品和1件乙种产品;用1块B型钢板可生产3件甲种产品和2件乙种产品.若要生产甲种产品37件,乙种产品18件,则恰好需要用A、B两种型号的钢板共 11 块.
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12. (核心素养·应用意识)每年的5月20日是中国学生营养日,营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物.小明根据专家的建议为自己搭配了一份400克的营养早餐,蛋白质总含量占10%,包括一个谷物面包,一个鸡蛋和一盒牛奶.他查阅了相关资料,蛋白质含量占比如下表:
食 物 谷物面包 鸡蛋 牛奶
蛋白质含量占比 14% 13% 7%
其中一个鸡蛋60克.小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克
解:设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克,牛奶y克.根据题意,得小明这份营养早餐中需要蛋白质400×10%=40(克).∴ 解得 ∴ 小明这份营养早餐中需要谷物面包120克,牛奶220克.
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