(共17张PPT)
8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形及其内角和
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 过多边形的一个顶点可以作2025条对角线,则这个多边形的边数是( A )
A. 2028 B. 2027 C. 2026 D. 2025
2. 若某多边形的内角和为1440°,则该多边形的边数是( C )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3. 若正多边形中一个内角的度数是150°,则该正多边形的边数是( B )
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
A
C
B
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4. 已知五边形各内角的度数如图所示,则图中x的值为 120 .
5. 正九边形的一个内角的度数为 140° .
120
140°
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6. 如图,五边形ABCDE的内角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4.求∠CAD的度数.
(第6题)
解:∵ 五边形的内角和是(5-2)×180°=540°,且五边形ABCDE的内角都相等,∴ 每个内角的度数为540°÷5=108°.∴ ∠E=∠B=∠BAE=108°.又∵ ∠1=∠2,∠3=∠4,∴ 由三角形的内角和定理可知,∠1=∠2=∠3=∠4=(180°-108°)÷2=36°.∴ ∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°.
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7. 若过某多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成7个三角形,则该多边形是( A )
A. 九边形 B. 十边形
C. 十二边形 D. 十六边形
A
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8. 如图,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,点A、D分别落在点A1、D1处.若∠1+∠2=130°,则∠B+∠C等于( A )
A. 115° B. 130°
C. 135° D. 150°
A
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9. 将正三角形、正方形、正六边形按如图所示的方式摆放,正六边形和正方形的下底边共线,顶点A在边CD上,顶点E在边AB上,顶点D在边EF上.若∠1=10°,则∠2的度数为( D )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
D
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10. 如图,A、B、C、D、E、F是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360 °.
360
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11. 如图,将正五边形纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将纸片折叠,使边AB落在线段AM上,点B的对应点为B',折痕为AF,则∠AFB'的度数为 45°.
45
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12. ★将一个多边形截去一个角,截后形成的多边形的内角和为2520°,求原多边形的边数.
解:设新多边形的边数为n,则(n-2)×180°=2520°,解得n=16.① 若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为15.② 若截去一个角后边数不变,则原多边形边数为16.③ 若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为17.∴ 原多边形的边数为15或16或17.
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13. (核心素养·推理能力)(1) 如图①,在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC、∠BCD,请探究∠P与∠A+∠B之间的数量关系,并说明理由.
解:(1) ∠P= (∠A+∠B).理由:∵ DP、CP分别平分∠ADC、∠BCD, ∴ ∠PDC= ∠ADC,∠PCD= ∠BCD. ∵ 四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,∴ ∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- ∠ADC- ∠BCD
=180°- (∠ADC+∠BCD)=180°- (360°-∠A-∠B)=
(∠A+∠B).
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(2) 如图②,将(1)中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,请探究∠P与∠A+∠B+∠E+∠F之间的数量关系,并说明理由.
解:(2) ∠P= (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.理由:∵ DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD, ∴ ∠PDC= ∠EDC,
∠PCD= ∠BCD. ∵ 六边形的内角和为(6-2)×180°
=720°, ∴ ∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- ∠EDC-
∠BCD=180°- (∠EDC+∠BCD)=180°- (720°-∠A-∠B-∠E-∠F)= (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.
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14. (2024·河北)如图,直线l与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别相交于点M、N,则∠α+∠β等于( B )
A. 115°
B. 120°
C. 135°
D. 144°
(第14题)
B
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15. (核心素养·创新意识)(1) 如图①,在四边形ABCD中,延长BA、CD交于点E,延长AD、BC交于点F. 当∠E=∠F=α时,我们就称四边形ABCD是“完美四边形”,已知在完美四边形ABCD中,∠B=80°.
① 若α=30°,则∠ADC= 140 °.
② 若10°≤α≤35°,则∠ADC的取值范围是 100°≤∠ADC≤150° .
140
100°≤∠ADC≤150°
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(2) 在五边形中,延长任意不相邻的两边(如图②),在相交得到的角中,如果有四个角相等,那么称这个五边形是“完美五边形”.如图③,在五边形ABCDE中,∠BCD=100°,AB∥CD,该五边形是否为“完美五边形” 请说明理由.
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解:五边形ABCDE不是“完美五边形”.理由:如图③,延长CB、EA交于点F,延长BA、DE交于点G,延长CD、AE交于点H,延长BC、ED交于点K. ∵ AB∥CD,∴ 延长五边形ABCDE任意不相邻的两边,只能得出4个角.∴ 假设五边形ABCDE为“完美五边形”,则∠F=∠G=∠H=∠K. ∴ ∠F+∠H=∠G+∠K. ∵ ∠BCD=100°,AB∥CD,∴ ∠GBK=180°-∠BCD=80°,∠F+∠H=180°-100°=80°.∴ ∠G+∠K=180°-80°=100°.∴ ∠F+∠H≠∠G+∠K,这与∠F+∠H=∠G+∠K 矛盾.∴ ∠F、∠H、∠G、∠K 不可能相等,假设不成立.∴ 五边形ABCDE不是“完美五边形”.
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15(共16张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第1课时 认识三角形
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能提升
03
思维拓展
目
录
1. 如图,下列说法错误的是( C )
A. ∠A、∠B、∠ACB是△ABC的内角
B. ∠BCD是△ABC的外角
C. ∠BCD+∠A=180°
D. △ABC的三条边分别是AB、BC、AC
C
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2. 下列图形中,正确画出△ABC中AC边上的高的是( B )
B
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3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠CBE. 有下列说法:① BD是△BCE的角平分线;② ∠1=∠2=∠3;③ BC是△ABE的AE边上的高;④ S△AEB=S△EDB. 其中,错误的是 ② (填序号).
②
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4. 如图,∠BAC<90°,AD⊥BC. 图中一共有多少个三角形 其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个 用符号表示出这些三角形.
(第4题)
解:共有6个三角形:△ABE、△ABC、△ABD、△ADE、△ADC、△AEC. 其中锐角三角形有2个:△ABE、△ABC;直角三角形有3个:△ABD、△ADE、△ADC;钝角三角形有1个:△AEC.
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5. 如图,下列说法中,错误的是( D )
A. DF是△BDF的边
B. 以∠A为内角的三角形有3个
C. 以∠BFC为外角的三角形有2个
D. 以BC为边的三角形有3个
D
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6. 可以用表示不同事物“大致关系”的图示来表示三角形按边分类的结果,如图所示,则图中A可以表示为( D )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
7. 如图,在△ABC中,BC边上的高是( A )
A. AF B. BH
C. CD D. EC
D
A
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8. 如图,线段AD是△ABC的中线,线段BE是△ABD的中线,EF⊥BC于点F. 若S△ABC=12,BD=3,则EF的长为( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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9. 现有若干个三角形,在所有的内角中,有5个直角、3个钝角、25个锐角,则在这些三角形中锐角三角形的个数是 3 .
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10. 如图,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AD为BC边上的中线,DF为△ABD中AB边上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,△ABC的面积为12cm2.求:
(1) △ABD与△ACD的周长的差.
解:(1) ∵ AD为BC边上的中线,∴ BD=CD. ∴ △ABD与△ACD的周长的差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=5-3=2(cm).
(第10题)
(2) △ABD和△ADF的面积.
解:(2) ∵ AD为BC边上的中线,∴ △ABD的面积= ×△ABC的面积=6cm2.∵ DF为△ABD中AB边上的中线,∴ △ADF的面积= ×△ABD的面积=3cm2.
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11. 如图,在△ABC中,AB=16cm,AC=20cm,D是BC的中点,点E在边AC上.
(1) 若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等,求线段AE的长.
解:(1) 由题意,可知△CDE的周长=CE+CD+DE,四边形ABDE的周长=AE+AB+BD+DE. ∵ △CDE的周长与四边形ABDE的周长相等,D为BC的中点,∴ BD=CD,CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE. ∴ CE=AE+AB. ∵ CE=AC-AE,∴ AC-AE=AE+AB,即AE= (AC-AB).∵ AB=16cm,AC=20cm,∴ AE= ×(20-16)=2(cm).∴ 线段AE的长为2cm.
(第11题)
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(2) (易错题)连结BE. 若△ABE的面积与△CDE的面积之间存在2倍关系,求线段AE的长.
解:(2) ∵ D是BC的中点,∴ S△BDE=S△CDE. 若△ABE的面积与△CDE的面积之间存在2倍关系,则可分两种情况进行讨论:① 当S△ABE=2S△CDE时,∵ S△BDE=S△CDE,∴ S△ABE=S△BCE. ∴ AE=CE= AC=10cm.② 当2S△ABE=S△CDE时,同理,可得AE= AC=4cm.综上所述,线段AE的长为10cm或4cm.
(第11题)
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12. ★如图,AE⊥EC于点E,CD⊥AD于点D,AD交EC于点B. 若AB=5,BC=2,CD= ,则AE= .
(第12题)
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13. ★(核心素养·推理能力)如图,在△AMH中,AN、ME、MF分别为△AMH、△AMN、△MHE的中线,且△AMH的面积为80cm2.求:
(1) △AME与△AHE的面积和.
解:(1) ∵ 在△AMH中,AN、ME分别为△AMH、△AMN的中线,△AMH的面积为80cm2,∴ S△AME= S△AMN= × S△AMH
=20cm2,S△AHE= S△AHN= × S△AMH=20cm2.
∴ S△AHE+S△AME=40cm2.
(第13题)
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(2) △MEF的面积.
解:(2) ∵ MF为△MHE的中线,S△MHE=S△AMH-(S△AHE+S△AME)
=40cm2,∴ S△MEF= S△MHE=20cm2.
(第13题)
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专题特训(九) 多边形中常用的思想方法
第8章 三角形
类型一 方程思想
1. 若一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为7∶2,则这个多边形的边数为 9 ,内角和为 1260 °.
2. 一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°,则它的边数是 9 .
3. 在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠A的3倍与∠B的2倍相等,∠B的5倍与∠C的6倍相等,求∠A∶∠B∶∠C∶∠D.
解:设∠A=x,则∠C=180°-x,∠B= x.∴ 5× x=6(180°-x),解得x=80°.
∴ ∠A=80°,∠B=120°,∠C=100°.∴ ∠D=60°.∴ ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶6∶5∶3.
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4. 如图,在△ABC中,∠C=∠ABC= ∠A,BD是边AC上的高,求∠CBD的度数.
(第4题)
解:设∠A=x,则∠C=∠ABC= x.∵ BD是边AC上的高,∴∠ADB=∠CDB=90°.
∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠CBD=90°-∠C=90°- x.∴ 90°-x+90°-
x= x,解得x=45°.∴ ∠CBD=90°-∠C=90°- x=22.5°.
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类型二 转化思想
5. (核心素养·创新意识)如图①,六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为m°,如图②,六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为n°,则m-n= 0 .
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类型三 整体思想
6. 如图,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后,得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°,则∠BGD的度数为( D )
A. 110° B. 100° C. 90° D. 80°
D
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7. 如图,把四边形纸片ABCD的四个顶角分别向内折叠,折叠之后,4个顶点不重合,那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8的度数是 720° .
720°
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8. 如图,△ABC的面积为12,BD=2DC,AE=EC,那么涂色部分的面积是 .
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9. (核心素养·推理能力)如图①,∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角.
(1) 猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系.
解:(1) 猜想:∠1+∠2=∠A+∠C.
∵ ∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,
∴ ∠1+∠2=∠A+∠C.
(2) 如图②,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC的平分线交于点O. 若∠A=60°,∠C=130°,求∠BOD的度数.
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解:(2) ∵ ∠A=60°,∠C=130°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,
∴ ∠ABC+∠ADC=360°-130°-60°=170°.∵ BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC,∴ ∠OBC= ∠ABC,∠ODC= ∠ADC. ∴ ∠OBC+∠ODC= (∠ABC+∠ADC)=85°.∴ ∠BOD=360°-(∠OBC+∠ODC+∠C)=360°-85°-130°=145°.
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(3) 如图③,BO、DO分别是四边形ABCD的外角∠CBE、∠CDF的平分线.请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系: ∠C-∠A=2∠O .
∠C-∠A=2∠O
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类型四 分类讨论思想
10. (易错题)已知周长为22cm的等腰三角形,其中一边长为6cm,则另外两边长分别为 10cm、6cm或8cm、8cm .
11. (易错题)定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为倍角三角形.如果在一个倍角三角形ABC中,∠A=90°,那么其最小的内角的度数为 45°或30° .
10cm、6cm或8cm、8cm
45°或30°
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类型五 从特殊到一般思想
12. (规律探究)(1) 如图①,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O. 若∠A=50°,则∠BOC的度数为 115° .
(2) 如图②,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于点O1、O2.当∠BO2C=2∠A时,求∠A的度数.
115°
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解:(2) ∵ O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点,且靠近点A,∴ ∠O2BC+∠O2CB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A).∴ ∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°- (180°-∠A)=60°+
∠A. 又∵ ∠BO2C=2∠A,∴ 60°+ ∠A=2∠A,解得∠A=45°.
(3) 如图③,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的n(n≥2)等分线分别对应交于点O1、O2、…、On-1.当∠BOn-1C=2∠A时,猜想∠A的度数为 (用含n的代数式表示).
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12(共29张PPT)
第8章复习
第8章 三角形
01
知识体系构建
02
高频考点突破
目
录
03
综合素能提升
考点一 三角形中的重要线段
典例1 如图,在△ABC中,AD为边BC上的高,E为边BC上的一点,连结AE.
(1) 当AE为边BC上的中线时,若AD=5,△ABC的面积为30,求CE的长.
解:∵ AD为边BC上的高,△ABC的面积为30,∴ BC·AD=30.
∴ BC×5=30.∴ BC=12.∵ AE为边BC上的中线,∴ CE= BC=6.
(典例1图)
(2) 当AE为∠BAC的平分线时,若∠C=66°,∠B=34°,求∠DAE的度数.
解:∵ ∠C=66°,∠B=34°,∴ ∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-66°-34°=80°.∵ AE为∠BAC的平分线,∴ ∠CAE= ∠BAC=40°.∵ ∠ADC=90°,∠C=66°,∴ ∠CAD=90°-66°=24°.∴ ∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-24°=16°.
跟踪训练
1. 如图,在△ABC中,AD是中线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.若AB=6cm,AC=4cm,则 = .
考点二 三角形的三边关系
典例2 已知△ABC的三边长分别为a、b、c.
(1) 若a、b、c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状.
解:(1) ∵ (a-b)2+(b-c)2=0,∴ a-b=0,b-c=0.∴ a=b=c.∴ △ABC是正三角形.
(2) 若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
解:(2) ∵ a=5,b=2,∴ 5-2
跟踪训练
2. 已知a、b、c为△ABC的三边长,a、b满足(a-2)2+|b-3|=0,且c为方程|x-6|=3的解,求△ABC的周长并判断△ABC的形状.
解:∵ (a-2)2+|b-3|=0,∴ a-2=0,b-3=0,解得a=2,b=3.∵ c为方程|x-6|=3的解,∴ c-6=±3,解得c=9或3.∵ a、b、c为△ABC的三边长,a+b<9,∴ c=9不合题意,舍去.∴ c=3.∴ △ABC的周长为2+3+3=8.∵ 3=3,∴ △ABC是等腰三角形.
考点三 三角形内外角的性质
典例3 ★在△ABC中,∠ABC=∠C,BD为边AC上的高,∠ABD=30°,求∠C的度数.
解:分两种情况:如图①,当△ABC是锐角三角形时,高BD在△ABC的内部,∵ BD⊥AC, ∴ ∠ADB=90°.
∵ ∠ABD=30°,∴ ∠A=90°-∠ABD=60°.
∴ ∠ABC=∠C= (180°-∠A)=60°.如图②,当△ABC是钝角三角形时,高BD在△ABC的外部,∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB=90°.∵ ∠ABD=30°,∴ ∠DAB=90°-∠ABD=60°.∵ ∠DAB是△ABC的一个外角,∴ ∠DAB=∠ABC+∠C=60°. ∴ ∠ABC=∠C=30°.综上所述,∠C的度数为60°或30°.
跟踪训练
3. 如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACE=40°,BD平分∠ABC,CE⊥AB于点E,则∠ADB的度数为 100° .
(第3题)
100°
典例4 如图,∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E的度数为( B )
(典例4图)
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
B
跟踪训练
4. 如图,∠1=60°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 240° .
240°
考点四 多边形的内角和与外角和
典例5 若一个多边形的内角和的 比它的外角和多90°,求这个多边形的边数.
解:设这个多边形的边数是n.由题意,得 (n-2)×180°-360°=90°,解得n=12.∴ 这个多边形的边数是12.
跟踪训练
5. 若一个多边形的外角和比它的内角和的一半还少180°,则这个多边形的边数是 8 .
8
典例6 如图,在五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是五边形ABCDE的外角,则∠1+∠2+∠3的度数为( B )
(典例6图)
A. 90° B. 180°
C. 210° D. 270°
B
6. 如图,∠A=80°,∠B=70°,则∠1+∠2= 150° .
(第6题)
150°
跟踪训练
考点五 多边形的密铺
典例7 如图所示为某小区花园内用同一种正n边形地砖和正方形地砖铺设的小路的局部示意图,四块正n边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖,则正n边形的内角和为 1080° .
(典例7图)
1080°
7. (核心素养·创新意识)某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形(四个尖角的度数相同)铺成的无缝隙、不重叠的图形,如图所示为该广场地面的一部分,则图中四角星形的尖角∠ABC的度数为 18° .
(第7题)
18°
跟踪训练
1. 如图所示的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是( D )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
D
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2. 如图,在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,BE为△ABC的高,∠C=70°,∠ABC=40°,那么∠3的度数为( C )
A. 60° B. 80°
C. 55° D. 63°
C
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3. 甲、乙两人用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后,使相邻的两个正六边形有公共顶点.设相邻两个正六边形外圈的夹角度数为x,内圈的夹角度数为y,中间会围成一个正n边形,关于n的值,甲认为n=5,乙认为n=3或4,则下列结论正确的是( D )
A. 甲的想法正确
B. 乙的想法正确
C. 甲、乙两人的想法合在一起才正确
D. 甲、乙两人的想法合在一起也不正确
D
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4. 已知一个多边形的内角和与外角和相加的结果是2160°,则这个多边形共有 54 条对角线.
5. 如图,在△ABC中,D、E、F分别是AC、BD、CE的中点,连结AF,△BCE的面积为1,则△ACF的面积为 1 .
54
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6. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I= 540° .
540°
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7. (新情境)如图所示为可调躺椅的示意图,AE与BD的交点为C,且∠CAB、∠CBA、∠E的度数保持不变.为了舒适,需调整∠D的度数,使∠EFD=110°,则∠D的度数应 减少 (填“增加”或“减少”) 10 °.
减
少
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8. 已知△ABC的周长是20,三边长分别为a、b、c.
(1) 若b是最长边的长,求b的取值范围.
解:(1) 依题意,有b≥a,b≥c,又∵ a+c>b,∴ a+b+c≤3b且a+b+c>2b.∴ 2b<20≤3b.
∴ ≤b<10.
(2) 若△ABC是不等边三角形,b是最长边的长,c是最短边的长,且b=3c,a、b、c均为整数,求△ABC的三边长.
解:(2) ∵ ≤b<10,b为整数,∴ b=7、8、9.∵ b=3c,c为整数,∴ b=9,c=3.∴ a=20-b-c=8.
∴ △ABC的三边长为c=3,a=8,b=9.
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9. 已知一个正n边形的内角和是三角形内角和的4倍.
(1) 求n的值.
解:(1) 根据题意,得180°·(n-2)=180°×4,解得n=6.∴ n的值为6.
(2) 求正n边形每个内角的度数.
解:(2) =120°,∴ 正六边形每个内角的度数为120°.
2、2或1、4
(3) 用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面,则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为 2、2或1、4 .
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10. (核心素养·创新意识)如图,A和B分别是两个多边形,阅读A和B的对话,完成下列各小题.
(1) 嘉嘉说:“因为B的边数比A多,所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
解:(1) 嘉嘉的说法不正确.理由:多边形的外角和始终为360°,与多边形的边数无关.
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(2) 设A的边数为n(n>3).
① 若n=7,求x的值.
解:(2) ① 由题意,得180(7+x-2)-180×(7-2)=360,解得x=2.∴ x的值为2.
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② 淇淇说:“无论n取何值,x的值始终不变.”淇淇的说法正确吗 请用列方程的方法说明理由.
解:② 淇淇的说法正确.理由:180(n+x-2)-180(n-2)=360,整理,得180x=360,解得x=2.∴ 无论n取何值,x的值始终不变.
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10(共14张PPT)
专题特训(八) 与三角形的角有关的几何模型
第8章 三角形
类型一 “A字”模型
1. 在△ABC中,请根据题意,探索不同情境中∠1+∠2(或∠1-∠2)与∠A的数量关系.
(1) 如图①,∠A=60°,沿图中虚线DE截去∠A,则∠1+∠2= 240° .
(2) 如图②,将△ADE沿DE翻折后,点A落在点A'处.若∠1+∠2=110°,求∠B+∠C的度数.
240°
解:(2) 如答案图②,连结AA'.
∵ ∠1=∠DAA'+∠DA’A,∠2=∠EAA'+∠EA'A,
∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D. ∵ ∠EAD=∠EA'D,∴ ∠1+∠2=
2∠EAD=110°.∴ ∠EAD=55°.∴ ∠B+∠C=180°-55°=125°.
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(3) 如图③,△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处.若∠1=80°,∠2=28°,则∠A的度数为 26° .
26°
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类型二 “角平分线+高”模型
2. (规律探究)如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°.
(1) 求∠DAE的度数.
解:(1) ∵ ∠B=40°,∠C=70°,∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°.∵ AD平分∠BAC,AE⊥BC,∴ ∠DAC=∠DAB=35°,
∠AEC=90°.∴ ∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°.∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-20°=15°.
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(2) 如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,∠DFE的度数会变化吗 为什么
解:(2) ∠DFE的度数不会变化.由(1),得∠DAB=35°,∵ ∠B=40°,∴ ∠FDE=∠B+
∠DAB=40°+35°=75°.∵ FE⊥BC,
∴ ∠FED=90°.∴ ∠DFE=180°-∠FDE-∠FED=180°-75°-90°=15°.∴ ∠DFE的度数不会变化.
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(3) 若改变∠B和∠C的度数,但保持∠C>∠B,图①中的∠DAE与∠C-∠B的数量关系不会改变,试猜想这个关系,不用证明.
解:(3) ∠DAE= (∠C-∠B).
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类型三 “双角平分线”模型
3. (核心素养·模型观念)(1) 如图①,在△ABC中,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB. 试说明:∠BPC=90°+ ∠A.
解:(1) ∵ BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB, ∴ ∠PBC= ∠ABC,
∠PCB= ∠ACB. ∴ ∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A.
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解:(2) ∵ BM平分∠ABC,CM平分△ABC的外角∠ACD,∴ ∠MBC=
∠ABC,∠ACM= ∠ACD. ∵ ∠ACD是△ABC的外角,∴ ∠ACM=
∠ACD= (∠ABC+∠A)= ∠ABC+ ∠A. ∵ ∠BCM=∠ACB+∠ACM,
∴ ∠M=180°-∠MBC-∠BCM=180°- ∠ABC-(∠ACB+∠ACM)=180°-
∠ABC-∠ACB- ∠ABC- ∠A=180°-∠ACB-∠ABC- ∠A= ∠A.
(2) 如图②,在△ABC中,BM平分∠ABC,CM平分△ABC的外角∠ACD. 试说明:∠M= ∠A.
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(3) 如图③,BN、CN分别平分△ABC的外角∠EBC、∠FCB,则∠N与∠A的数量关系是 ∠N=90°- ∠A .
(4) 如图④,△ABC中的两内角的平分线交于P点,两外角的平分线交于N点,一内角的平分线与一外角的平分线交于M点.设∠BPC=a°,∠M=b°,∠N=c°,则a、b、c之间的关系是 a-c=2b .
∠N=90°- ∠A
a-c=2b
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类型四 “燕尾”模型
4. (1) 如图①,试猜想∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的数量关系,并说明理由.
34
(2) 如图②,把三角尺DOE放置在△ABC上,使三角尺DOE的两条直角边OD、OE恰好经过点B、C. 若∠A=56°,则∠ABO+∠ACO=
34 °.
解:(1) ∠A+∠B+∠C=∠BDC. 理由:如图①,延长BD交AC于点E.
∵ ∠BDC=∠C+∠DEC,∠DEC=∠A+∠B,∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
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(3) 如图③,∠ABC与∠ADC的平分线交于点E. 若∠BCD=124°,∠BED=90°,则∠A=
56 °.
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类型五 “8字”模型
5. (核心素养·模型观念)如图①,线段AB、CD相交于点O,连结AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1) 试说明:∠A+∠C=∠B+∠D.
解:(1) ∵ ∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD,∴ ∠A+∠C=∠B+∠D.
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(2) 如图②,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD、AB分别相交于点M、N.
① 以AC为边的“8字型”有 3 个,以O为交点的“8字型”有 4 个.
② 若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数.
3
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解:(2) ② 以M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP. ∴ 2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP. ∵ AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,∴ ∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP. ∴ 2∠P=∠B+∠C. ∵ ∠B=100°,∠C=120°, ∴ ∠P= (∠B+∠C)= ×(100°+120°)=110°.
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③ 若角平分线中角的关系改为“∠CAP= ∠CAB,∠CDP= ∠CDB”,直接写出∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系.
解：③ 3∠P=∠B+2∠C.
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5(共16张PPT)
8.3 用正多边形铺设地面
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列形状的地砖中,用同一种形状的地砖不能铺满地面的是( D )
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正六边形 D. 正十边形
2. 下列几组多边形组合不能进行平面图形镶嵌的是( D )
A. 正三角形与正方形
B. 正三角形与正六边形
C. 正方形与正八边形
D. 正方形与正六边形
D
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3. 如图,一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成,则n的值为 8 .
(第3题)
4. 有几种边长相同的多边形瓷砖:① 正三角形;② 正方形;③ 正六边形;④ 正五边形;⑤ 正八边形.从中选择三种,可以进行组合镶嵌的是 ①②③ (填序号).
8
①②③
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5. 用同样的正三角形或正方形都可以铺满地面,但用同样的正十二边形或正八边形均不能铺满地面.
(1) 边长相等的正三角形和正十二边形的组合是否可以铺满地面 如果可以,请举例说明;如果不可以,请说明理由.
解:(1) 可以.∵ 正三角形的每个内角的度数是60°,正十二边形的每个内角的度数是 =150°,60°+2×150°=360°,∴ 用边长相等的1个正三角形和2个正十二边形的组合可以铺满地面.
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(2) 边长相等的正方形和正八边形的组合呢
解:(2) 可以.∵ 正方形的每个内角的度数是90°,正八边形的每个内角的度数是 =135°,90°+2×135°=360°,∴ 用边长相等的1个正方形和2个正八边形的组合可以铺满地面.
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6. 用正三角形与正六边形密铺地面.设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形,则m、n满足的关系式为( D )
A. 2m+3n=12 B. m+n=8
C. 2m+n=6 D. m+2n=6
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7. 用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面.已知BC=CD,则“筝形”瓷砖中的∠BCD的度数为( C )
A. 120° B. 135°
C. 144° D. 150°
C
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8. 一个正多边形的每个内角都等于150°,若用这种多边形拼接地板,则需与一种常见的正多边形组合,这种正多边形是正 三角形 .
9. 学校新建的科技馆计划用三种边长相等的正多边形组合铺地板,现在已经选好了正方形、正十二边形两种地板,那么第三个可以选 正六边形或正三角形 地板.
10. (核心素养·几何直观)某房间地面由如图所示的正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成,则∠ABC的度数为 144 °.
三角形
正六边形或正三角形
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11. 如图所示为由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分,则n的值为 12 .
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12. (核心素养·几何直观)某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料(如图①),现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的正三角形,将其移到如图②所示的位置.为了不浪费材料,你能利用它们铺满地面吗 若不能,请说明理由;若能,请你给出自己的一种设计.
解:能.设计方案如答案图所示(答案不唯一).
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13. 有两个多边形,一个多边形记为A,另一个多边形记为B,多边形A的边数是多边形B的边数的2倍.
(1) 若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍,求多边形A和多边形B的边数.
解:(1) 设多边形B的边数为n,则多边形A的边数是2n.∵ 多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍,∴ (2n-2)×180°=3×(n-2)×180°,解得n=4.∴ 2n=2×4=8.∴ 多边形A的边数是8,多边形B的边数是4.
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(2) 在(1)的条件下,利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌(不重叠、无缝隙地密铺)地面,在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖(ab≠0),求a+b的值.
解:(2) ∵ ab≠0,∴ a≠0,b≠0.∵ 正四边形和正八边形的一个内角分别为90°、135°,由题意,得135a+90b=360.∴ 3a+2b=8.∴ a=2,b=1.∴ a+b=2+1=3.
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14. (核心素养·推理能力)某校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成,设这三种多边形的边数分别为x、y、z,则 + + 的值为 .
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15. (核心素养·几何直观)某校研究性学习小组探究平面密铺的问题,其中在探究用两种边长相等的正多边形进行平面密铺时,发现用2个正三角形和2个正六边形(如图①②)或4个正三角形和1个正六边形(如图③)可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形.请你仿照此方法,解决问题:
(1) 若用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺,求x和y的值(x、y是正整数).
解:(1) 易知正三角形的每个内角的度数为60°,正方形的每个内角的度数为90°.根据题意,得60x+90y=360,即2x+3y=12.∴ x=6- y.∵ x、y是正整数,∴
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(2) 按图④中给出的边长相等的正方形和正三角形,画出一种平面密铺后图形的示意图.
解:(2) 画法不唯一,如图所示.
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15(共13张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第4课时 三角形的三边关系
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列长度的各组线段中,能组成一个三角形的是( C )
A. 1cm、2cm、3cm B. 2cm、2cm、4cm
C. 3cm、4cm、5cm D. 3cm、5cm、9cm
2. 如图,为了估计池塘边A、B两点之间的距离,在池塘的一侧选取点P,测得PA=8m,PB=6m,则池塘边A、B两点之间的距离不可能是( D )
A. 8m
B. 10m
C. 12m
D. 14m
(第2题)
C
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3. 把手机放在一个三角形支架上,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的 稳定性 .
4. 等腰三角形的两边长分别为6cm、13cm,其周长为 32 cm.
稳定性
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5. 已知△ABC的三边长为a、b、c.
(1) 若a=2,b=7,c为最长边的长且为整数,求△ABC的周长.
解:(1) ∵ a=2,b=7,∴ 7-2(2) 化简:|a+b-c|-|b-a-c|+|a+b+c|.
解:(2) ∵ △ABC的三边长为a、b、c,∴ a+b>c,b0,b-a-c<0,a+b+c>0.∴ |a+b-c|-|b-a-c|+|a+b+c|=a+b-c+b-a-c+a+b+c=a+3b-c.
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6. 如图,从长为10m的木条两边各截取长为xm的木条.若得到的三根木条能组成三角形,则x的值可以为( C )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 6
7. 长为3、4、4、5的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许拼接,但不允许折断),得到的三角形的最长边的长为( C )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 5
C
C
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9. 已知三角形的三边长分别为2、a-1、4,则|a-3|+|a-7|的结果为 4 .
10. (核心素养·推理能力)若△ABC的三边长分别为5、3、k,且关于y的一元一次方程3(y-1)+2(y+k)=7的解为非正数,则符合条件的所有整数k的和为 18 .
11. (新定义)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形称为“倍长三角形”.若等腰三角形ABC为“倍长三角形”,底边BC=3,则腰AB= 6 .
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8. 一个三角形的三边长分别为x、x+1、x+2,它的周长不超过39,则x的取值范围是 111
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12. 已知三角形的两边长分别为8和10,第三边的长x最小.
(1) 求x的取值范围.
解:(1) 由三角形的三边关系,得10-8(2) 当x为何值时,三角形的周长最大 请求出此时的周长.
解:(2) 当x=8时,三角形的周长最大,此时的周长为8+10+8=26.
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13. ★已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1、x+1、3x-2,求这个等腰三角形的周长.
解:① 当2x-1=x+1时,解得x=2.∴ 2x-1=x+1=3,3x-2=4,即三边长分别为3、3、4.
∵ 3+3>4,∴ 能构成三角形.∴ 周长是3+3+4=10.② 当2x-1=3x-2时,解得x=1.∴ 2x-1=3x-2=1,x+1=2,即三边长分别为1、2、1.∵ 1+1=2,∴ 不能构成三角形.③ 当x+1=3x-2时,解得x= .∴ x+1=3x-2= ,2x-1=2,即三边长分别为2、 、 .∵ 2+ > ,∴ 能构成三角形.∴ 周长是2+ + =7.综上所述,这个等腰三角形的周长是 10或7.
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14. 已知a、b、c是△ABC的三边长.
(1) 若△ABC为等腰三角形,且周长为18,a=4,求b、c的值.
解:(1) 若a是底边长,b=c,则2b+4=18,解得b=7,即b=c=7.∵ 4+7>7,∴ 能构成三角形.若a是腰长,a=b,则2×4+c=18,解得c=10.∵ 4+4<10,∴ 不能构成三角形.∴ b=c=7.
(2) 若b=2a-1,c=a+5,且△ABC的周长不超过20,求当a取得最大值时△ABC的三边长.
解:(2) 由题意,得 即 解得31
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15. (易错题)已知关于x的不等式组 至少有两个整数解,且存在以3、a、6为边的三角形,则整数a的值有 3 个.
16. (新情境)在综合实践活动中,数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究.发现:当k=1时,只有{1,1,1}一种情况,即m=1;当k=2时,有{1,2,2}和{2,2,2}两种情况,即m=2;当k=3时,有{1,3,3},{2,2,3},{2,3,3}和{3,3,3}四种情况,即m=4;….若k=6,则m的值为 12 ;若k=19,则m的值为 100 .
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17. (新定义)若三边均不相等的三角形的三边长a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边的长,c为最短边的长),则称它为“不均衡三角形”.例如:一个三角形的三边长分别为7、5、4,由7-5>5-4,得这个三角形为“不均衡三角形”.
(1) 有下列四组长度的小木棍:① 4cm、2cm、1cm;② 13cm、18cm、9cm;③ 19cm、20cm、19cm;④ 9cm、8cm、6cm.其中,能组成“不均衡三角形”的是 ② (填序号).
②
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(2) 已知“不均衡三角形”三边长分别为2x+2、16、2x-6,求整数x的值.
解:易知2x+2>2x-6.① 若16>2x+2>2x-6,则x<7.由题意,得16-(2x+2)>2x+2-(2x-6),解得x<3.由2x-6>0,得x>3,不合题意,舍去.② 若2x+2>16>2x-6,则716-(2x-6),解得x>9.∴ 92x-6>16,则x>11.由题意,得2x+2-(2x-6)>2x-6-16,解得x<15.∴ 111
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17(共16张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第2课时 三角形的内角和
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能提升
03
思维拓展
目
录
1. 如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,垂足为D,∠C=55°,则∠ABC的度数是( D )
A. 35° B. 55° C. 60° D. 70°
D
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2. 在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∠A= 30° ,按角的特点分类,此三角形是 直角 三角形.
3. 如图,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=75°,∠C=35°,则∠DAE=
20° .
30°
直角
20°
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4. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F.
(1) 若∠CAD=36°,求∠AEF的度数.
解:(1) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ABD+∠BAD=90°.∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠BAD+∠CAD=90°.∴ ∠ABD=∠CAD=36°.∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠ABE= ∠ABC=18°.∴ ∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(第4题)
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(2) 试说明:∠AEF=∠AFE.
解:(2) ∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠CBE.
∵ ∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,∴ ∠AEF=∠BFD.
∵ ∠AFE=∠BFD,∴ ∠AEF=∠AFE.
(第4题)
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5. 具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( D )
A. ∠A=90°-∠B
B. ∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
D. ∠A=∠B=3∠C
6. (新定义)我们定义:若一个三角形的两个内角α与β,满足2α+β=90°,则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”.已知△ABC是“奇妙互余三角形”,∠C>90°,∠A=50°,则∠B的度数为( B )
A. 10° B. 20° C. 25° D. 50°
D
B
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7. 在△ABC中,∠B=∠A+21°,∠C=∠B+42°,则∠A的度数为 32° .
8. 如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF交于点H,HD平分∠BHC,交BC于点D. 若∠BCF=35°,∠A=80°,则∠CDH= 95 °.
32°
95
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9. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条角平分线,AD、BE相交于点P. 已知∠EPD=125°,则∠BAD的度数为 20 °.
20
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10. 如图,DE⊥AB,垂足为E,∠A=48°,∠ACB=64°,则∠D= 22 °.
22
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11. 如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C. 试说明:△ABD是直角三角形.
(第11题)
解:∵ CE⊥AD,∴ ∠CED=90°.∴ ∠C+∠D=90°.∵ ∠A=∠C,∴ ∠A+∠D=90°.
∴ ∠ABD=90°.∴ △ABD是直角三角形.
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12. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC中,∠ABC=65°,∠C=35°,AD是△ABC的角平分线.
(1) 求∠ADC的度数.
解:(1) ∵ ∠ABC=65°,∠C=35°,∴ ∠BAC=80°.又∵ AD是△ABC的角平分线,∴ ∠DAF= ∠BAC=40°.∴ 在△ACD中,∠ADC=180°-40°-35°=105°.
(第12题)
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(2) 过点B作BE⊥AD于点E,BE的延长线交AC于点F. 求∠AFE的度数.
解:(2) ∵ BE⊥AD,∴ ∠AEF=90°.由(1),可得∠EAF=40°,∴ ∠AFE=
180°-40°-90°=50°.
(第12题)
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13. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的度数为(5x-35)°,则x的取值范围是( C )
A. x>7 B. 7C. 714. (易错题)(2024·内江期末)在△ABC中,∠A=60°,高BE、CF所在直线相交于点O,且点O不与点B、C重合,则∠BOC= 120°或60° .
C
120°或60°
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15. (核心素养·模型观念)如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线.
(1) 当∠ABC=60°,∠ACB=70°时,∠D= 115 °,∠P= 65 °.
(2) 当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值是否变化 请说明理由.
(第15题)
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解:当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值不发生变化.理由:∵ BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∴ ∠CBD= ∠ABC,∠BCD= ∠ACB.
∵ ∠D+∠CBD+∠BCD=180°,∴ ∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°- (∠ABC+∠ACB).∵ ∠EBC+∠ABC=180°, ∠FCB+∠ACB=180°,
∴ ∠EBC=180°-∠ABC, ∠FCB=180°-∠ACB.
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∵ BP、CP分别是 ∠EBC、∠FCB的平分线, ∴ ∠PBC= ∠EBC= (180°-∠ABC)=90°- ∠ABC,∠PCB= ∠FCB= (180°-∠ACB)=90°- ∠ACB. ∵ ∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
∴ ∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°- 90°- ∠ABC+90°- ∠ACB = (∠ABC+∠ACB).∴ ∠D+∠P=180°- (∠ABC+∠ACB)+ (∠ABC+∠ACB)=180°.∴ 当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值不发生变化.
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8.2 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
第8章 三角形
01
基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 若正多边形的内角和是1080°,则该正多边形的一个外角度数为( A )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 90°
2. 一个正多边形的每个内角和与它相邻的外角的度数之比都为3∶1,则这个正多边形是( C )
A. 正方形 B. 正六边形
C. 正八边形 D. 正十边形
A
C
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3. 如图,∠1、∠2、∠3、∠4均是五边形ABCDE的外角.如果∠1=∠2=∠3=∠4=70°,那么∠CDE的度数为 100° .
4. 正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n= 12 .
100°
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5. 一个多边形的每个内角都相等,并且每个内角都比与它相邻的外角大100°,求这个多边形的边数.
解:设每个内角度数为x°,则与它相邻的外角度数为180°-x°.根据题意,可得x-(180-x)=100,解得x=140.∴ 每个外角度数为40°.∴ 这个多边形的边数为360÷40=9.
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6. 若一个多边形的外角和是它的内角和的 ,这个多边形是( D )
A. 五边形 B. 六边形
C. 七边形 D. 八边形
7. 若一个多边形的最小的外角是60°,其余外角依次增加20°,则这个多边形的边数为( C )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
D
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8. 如图,在正五边形ABCDE中,BG平分∠ABC,DG平分正五边形的外角∠EDF,则∠G的度数为( B )
A. 45° B. 54° C. 60° D. 64°
B
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9. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J等于( B )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
B
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10. (新情境)如图,大建从A点出发沿直线前进8m到达B点后向左旋转的角度为α,再沿直线前进8m,到达点C后,又向左旋转α角度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,他共走了72m,则每次旋转的角度α为( B )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
B
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11. (2024·吉林一模)若边长为5cm的正多边形的一个外角是72°,则该正多边形的周长为 25 cm.
12. 若一个多边形的内角和比它的外角和多180°,则这个多边形的边数是 5 .
13. 如图,正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上,顶点E在射线ON上,∠AEO-∠DEN=24°,则∠O的度数为 60° .
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60°
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14. 一个多边形的每个内角都相等,并且每个外角的度数都等于和它相邻的内角的度数的 ,求这个多边形的边数及内角和.
解:设这个多边形的每个内角的度数为x,则每个外角的度数为 x.由题意,得x+ x=
180°,解得x=108°.∴ x=72°.∴ 这个多边形的边数为360°÷72°=5,这个多边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
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15. 请根据如图所示的对话回答问题.
(1) 多加的外角是 44 °;这个凸多边形的边数是 13 .
(2) 求这个多边形的内角和及其对角线条数.
44
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解:由(1)知这个凸多边形的边数为13,∴ 内角和为(13-2)×180°=1980°,对角线条数为 =65.
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16. 如图,在七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O. 若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于215°,则∠BOD的度数为( B )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 45°
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17. (核心素养·模型观念)(1) 如图①②,试分别探究∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系.
解:(1) 在图①中,∵ ∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角,∴ ∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
∴ ∠3+∠4=360°-(∠5+∠6).∵ ∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,∴ ∠1+∠2=360°-(∠5+∠6).
∴ ∠1+∠2=∠3+∠4.在图②中,同图①,可得∠1+∠2=∠3+∠4.
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(3) 用你发现的结论解决问题:如图③,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°.求∠E的度数.
解:(3) ∵ ∠B+∠C=240°,∴ ∠MDA+∠NAD=240°.∵ AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线,∴ ∠ADE= ∠MDA,∠DAE=
∠NAD.∴ ∠ADE+∠DAE= (∠MDA+∠NAD)= ×240°=120°.
∴ ∠E=180°-(∠ADE+∠DAE)=180°-120°=60°.
(2) 如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述(1)中的关系式.
解:(2) 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
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17(共16张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第3课时 三角形的外角和
第8章 三角形
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图,在△ABC中,∠A=65°,∠B=35°,那么∠ACD的度数为( B )
A. 70° B. 100° C. 65° D. 35°
2. 如图,∠A、∠1、∠2的大小关系是( B )
A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A
C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠1
B
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3. 如图,线段DG、EM、FN两两相交于B、C、A三点,则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 360° .
360°
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4. 如图,∠BCD是△ABC的一个外角,∠B=50°,∠BCD=110°,CE平分∠ACB,则∠BEC= 95° .
95°
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5. 如图,在△ABC中,AD是高,∠DAC=10°,AE是△ABC的外角∠MAC的平分线,BF平分∠ABC交AE于点F. 若∠ABC=46°,求∠AFB的度数.
(第5题)
解:∵ AD是高,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠BAD=90°-∠ABC=44°.又∵ ∠DAC=10°,∴ ∠BAC=54°.∴ ∠MAC=126°.∵ AE是△ABC的外角∠MAC的平分线,∴ ∠MAE= ∠MAC=63°.∵ BF平分∠ABC,∴ ∠ABF= ∠ABC=23°.∴ ∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°.
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6. 如图,∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是( D )
A. ∠1+∠2=∠3+∠4
B. ∠1+∠2=∠4-∠3
C. ∠1+∠4=∠2+∠3
D. ∠1+∠4=∠2-∠3
D
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7. 如图,将一副三角尺按图中所示的位置摆放,点C在FD的延长线上,C、F分别为直角顶点,且∠A=60°,∠E=45°.若AB∥CF,则∠CBD的度数是( A )
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
8. 已知三角形三个内角度数之比为2∶3∶4,则这个三角形三个外角度数之比为( C )
A. 2∶3∶4 B. 4∶3∶2
C. 7∶6∶5 D. 5∶3∶1
A
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9. 如图,∠A=40°,∠B=55°,∠C=25°,则∠ADC的度数是( B )
A. 115° B. 120°
C. 125° D. 130°
B
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10. 如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线.如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,那么∠P的度数为 30° .
30°
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11. 如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,且BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数.
(第11题)
解:∵ 在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,∴ 设∠A=3x,则∠ABC=4x,∠ACB=5x.∵ 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴ 3x+4x+5x=180°,解得x=15°.∴ ∠A=3x=45°.∵ BD、CE分别是边AC、AB上的高,∴ ∠ADB=90°,∠BEC=90°.∴ 在△ABD中,
∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°.∴∠BHC=∠ABD+
∠BEC=45°+90°=135°.
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12. (核心素养·推理能力)如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,DE∥BH,F是AD上一点,FE的延长线交BH于点G. 试说明:
(1) ∠EGH>∠ADE.
解:(1) ∵ ∠EGH是△FBG的外角,∴ ∠EGH>∠B. ∵ DE∥BH,
∴ ∠B=∠ADE. ∴ ∠EGH>∠ADE.
(第12题)
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(2) ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
解:(2) ∵ ∠BFE是△AFE的外角,∴ ∠BFE=∠A+∠AEF. ∵ ∠EGH是△FBG的外角,∴ ∠EGH=∠B+∠BFE. ∴ ∠EGH=∠B+∠A+∠AEF. 由(1)知,∠B=∠ADE. ∴ ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
(第12题)
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13. 如图,在△ABC中,E和F分别是AC、BC上一点,EF∥AB,CD是△ABC的角平分线,∠MAC是△ABC的外角.若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α、β、γ三者间的数量关系是 α+β=2γ .
α+β=2γ
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14. (核心素养·模型观念)在△ABC中,∠C=80°,D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点,P是射线AB上一动点,记∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1) 如图①,若点P在边AB上,且∠α=50°,则∠1+∠2的度数为 130° .
(2) 如图②,若点P在边AB上运动,则∠α、∠1、∠2之间的数量关系为 ∠1+∠2=80°+∠α .
130°
∠1+∠2=80°+∠α
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(3) 如图③,若点P运动到边AB的延长线上,DP与BC交于点M,则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系 猜想并说明理由.
解:∠1=80°+∠2+∠α.理由:∵ ∠1是△CDM的外角,∴∠1=∠C+∠CMD. 同理,可得∠CMD=∠2+∠α.∴ ∠1=∠C+∠2+∠α,即∠1=80°+∠2+∠α.
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