(共17张PPT)
9.1 轴对称
第2课时 轴对称的再认识
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 在线段、角、等腰三角形、长方形这4种图形中,轴对称图形有( D )
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
2. 如图所示的图形是轴对称图形,某同学在图中画出了4条直线:l1、l2、l3、l4,其中是新图形的对称轴的为( A )
A. 直线l1 B. 直线l2
C. 直线l3 D. 直线l4
D
A
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3. (2024·天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E、F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为( B )
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
B
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4. 我国传统木质结构房屋的窗子常用各种图案装饰.如图所示为一种常见的图案,这个图案有 2 条对称轴.
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5. 如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,连结BE,则直线l是BE的 垂直平分线 ;连结AD,则AD与BE的位置关系是 平行 (填“平行”或“垂直”).
垂直平分线
平行
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6. 如图,每个图形是否关于某条直线成轴对称 若是,请画出这条直线.
解:是.直线如图所示.
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7. 如图所示的方格纸中有点A、B、P1、P2、P3、P4.若A、B两点关于过某点的直线对称,则这个点是( C )
A. P1 B. P2 C. P3 D. P4
C
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8. 如图,△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,P为MN上任意一点(点P不在AA1上).下列结论中,错误的是( D )
A. AP=A1P
B. △ABC与△A1B1C1的面积相等
C. MN垂直平分AA1
D. 直线AB、A1B1的交点不一定在MN上
D
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9. 将一张正方形纸片按如图①②所示的步骤沿虚线对折两次,然后沿图③中的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是( A )
10. 某正多边形的每个内角的度数都是144°,则该正多边形的对称轴有 10 条.
A
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11. 在如图所示的图形中,可以用没有刻度的直尺画出对称轴的是 ①②③④ (填序号).
①②③④
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12. 如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°.
(1) 按要求尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
① 作线段AB的垂直平分线,交AB于点F,交BC于点D.
② 连结AD,作∠CAD的平分线,交CD于点E.
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解:(1) ① 如图,FD即为所求.
② 如图,AE即为所求.
(第12题答案)
(2) 求∠DAE的度数.
解:(2) 在△ABC中,∵ ∠B=40°,∠C=50°,∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=90°.
∵ DF是AB的垂直平分线,∴ △ADF与△BDF关于直线DF对称.
∴ ∠DAB=∠B=40°.∴ ∠DAC=∠BAC-∠DAB=50°.∵ AE平分∠DAC,
∴ ∠DAE= ∠DAC=25°.
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13. (规律探究)如图所示的图形都是正多边形,请通过观察或折纸的方法进行探究,完成表格并解决问题.
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正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 … n
对称轴的条数 3 4 5 6 7 8 … n
通过以上探究,你能得到什么结论
解:结论:正n边形有n条对称轴,其对称轴是各边的垂直平分线或内角的平分线所在的直线.
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n
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14. (核心素养·创新意识)(2024·绥化)如图,∠AOB=50°,P为∠AOB内部一点,M、N为射线OA、射线OB上的两个动点.当△PMN的周长最小时,∠MPN= 80° .
80°
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15. 如图所示为由两个正三角形构成的图形.请你改变其中的一个正三角形的位置,使它与另一个正三角形组成轴对称图形,并且组成的图形有尽可能多的对称轴.画出组成的图形,它有几条对称轴 画出所有的对称轴.
解:当小正三角形在大正三角形的内部,且顶点的连线经过同一点时,对称轴最多.组成的图形如答案图所示.该图形有3条对称轴.对称轴如答案图所示.
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15(共7张PPT)
专题特训(十三) 尺规作图
第9章 轴对称、平移与旋转
类型一 利用尺规作图痕迹作判断
1. 观察下列尺规作图痕迹,其中所作线段AD为△ABC的中线的是( C )
C
1
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类型二 三角形与尺规作图
2. 如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=110°.
(1) 用尺规作图作出下列图形(不写出作法,保留作图痕迹):
① 边BC上的高AD.
② ∠BAC的平分线AE.
解:(1) ① 如图,AD即为所求.② 如图,AE即为所求.
(2) 由(1)中的作图,可知∠DAE的度数为 35° .
35°
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类型三 图形变换与尺规作图
3. 如图,平移线段AB,使点A移动到点A'的位置.
(1) 尺规作图,保留作图痕迹.
解:(1) 如图所示.
(2) 作图的依据是 一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点所连的线段平行且相等 .
一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点所连的线段
平行且相等
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5
4. 如图,线段AB能通过旋转使线段AB,与线段CD重合,请你利用尺规作图确定旋转中心,并写出旋转方法(不写作法,保留作图痕迹).
解:答案不唯一,如图所示.点P为旋转中心,线段AB绕点P顺时针旋转与线段CD重合.
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5. 如图,在△ABC中,点A在直线l外,点B、C都在直线l上.
(1) 作出△ABC关于直线l成轴对称的△A1BC(不写作法,保留作图痕迹).
解:(1) 如图,△A1BC即为所求.
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(2) 如果点A2与点A关于某点成中心对称,请作出这个对称中心O,并作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2(不写作法,保留作图痕迹).
解:(2) 如图,点O、△A2B2C2即为所求.
1
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5(共18张PPT)
9.5 图形的全等
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是( D )
D
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2. 有下列说法:① 能够完全重合的两个三角形是全等三角形;② 通过旋转得到的两个图形全等,全等的两个图形旋转后一定能重合;③ 大小相同的两个图形是全等图形;④ 一个图形经过平移、翻折、旋转后,得到的图形一定与原图形全等.其中,正确的有( C )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
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3. 如图所示为两个全等的五边形,AB=8,AE=5,DE=11,HI=12,IJ=10,∠D=90°,∠G=115°,点B与点H、点D与点J分别是对应顶点,则e= 11 ,β= 115° .
11
115°
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4. 如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=20°,∠BAE=90°,则∠EAC= 40° .
40°
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5. 如图,点D、A、E、B在同一条直线上,△ABC≌△DEF,AB=7,AE=2,则AD的长是 5 .
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6. ★如图,A、D、E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1) 试说明:BD=CE+DE.
解:(1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE. ∴ BD=AE=AD+DE=CE+DE.
(第6题)
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(2) 当∠BAC满足什么条件时,BD∥CE 请说明理由.
解:(2) 当∠BAC=90°时,BD∥CE. 理由:∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠BAD+∠CAE=90°.∵ △BAD≌△ACE,∴ ∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠E.
∴ ∠BAD+∠ABD=90°.∴ ∠ADB=90°.
∴ ∠BDE=∠E=90°.∴ BD∥CE.
(第6题)
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7. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD、BE交于点F,△ADC≌△BDF. 若BD=4,CD=2,则△ABC的面积为( C )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 8
C
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8. 如图,△ABC≌△EDC,∠A=∠E=30°,∠D=50°,且点D、C、A在同一条直线上,则△ABC经过 旋转 变换后可与△EDC重合,∠BCE的度数为 20° .
9. 已知△ABC的周长为15,△DEF的三边长分别为3、3x-2、2x-1.若这两个三角形全等,则x= 3 .
旋转
20°
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10. 如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交AD于点F,交DE于点G,∠E=115°,∠B=28°,
∠DAC=50°,则∠DGF= 87° .
87°
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11. (核心素养·创新意识)如图①,把4×4的正方形网格图分割成两个全等图形,请你在图②~⑤中,沿着虚线再画出四种不同的分法.
解:答案不唯一,如图②③④⑤所示.
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12. (核心素养·推理能力)如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折形成的.若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,求∠α的度数.
(第12题)
解:设∠1=28x,则∠2=5x,∠3=3x.∴ 28x+5x+3x=180°,解得x=5°.∴ ∠1=140°,∠2=25°,∠3=15°.由折叠的性质,可知△ABE≌△ADC≌△ABC,∴ ∠2=∠EBA=25°,∠3=∠ACD=15°.
∴ ∠EBC=50°,∠BCD=30°.∴ ∠α=∠EBC+∠BCD=80°.
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13. (易错题)如图,在长方形ABCD中,AB=6cm,BC=10cm,点P以4cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动.若以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等,则a的值为 4或 .
4或
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14. (核心素养·推理能力)如图,△ADC≌△AFB,∠DAB=20°,DA∥BF,DC、BF交于点E,∠FEC=110°.
(1) 求∠FAC的度数.
解:(1) ∵ △ADC≌△AFB,∴ ∠DAC=∠FAB. ∴ ∠DAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.
∴ ∠DAB=∠FAC. ∵ ∠DAB=20°,∴ ∠FAC=20°.
(第14题)
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(2) 试说明:AF∥DC.
解:(2) ∵ DA∥BF,∴ ∠DAF+∠F=180°.∵ △ADC≌△AFB,∴ ∠D=∠F.
∴ ∠DAF+∠D=180°.∴ AF∥DC.
(第14题)
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(3) 求∠BAC的度数.
解:(3) ∵ AF∥DC,∴ ∠F=∠FEC=110°.∵ AD∥BF,∴ ∠DAF+∠F=180°.
∴ ∠DAF=180°-110°=70°.∴ ∠BAC=∠DAF-∠FAC-∠DAB=70°-20°-20°=30°.
(第14题)
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14(共18张PPT)
9.1 轴对称
第3课时 作轴对称图形
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列是同学们画的△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C',其中正确的是( B )
B
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2. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是( B )
A. 过已知点作一条直线与已知直线相交
B. 过已知点作一条直线与已知直线垂直
C. 过已知点作一条直线与已知直线平行
D. 无法确定
B
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3. 如图,C、E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE长为半径画弧交直线l于A、B两点,再分别以点A、B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连结CA、CB、CD,则下列结论不一定正确的是( C )
A. CA=CB
B. CD⊥直线l
C. △ABC是直角三角形
D. 点A、B关于直线CD对称
C
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4. 如图,有一个英语单词(只画出了部分),四个字母都关于直线l对称,则这个英语单词的意思是 书 .
书
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5. 在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1) 以直线m为对称轴,作四边形ABCD的对称图形.
解:(1) 如图,四边形A'B'C'D'即为所求.
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(2) 求四边形ABCD的面积.
解:(2) = ×4×1+ ×4×3=8.
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6. 如图,直线l外不重合的两点A、B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法如下:① 作点B关于直线l的对称点B';② 连结AB'与直线l相交于点C,则C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间,线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
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7. 如图,△ABC的顶点位于正方形网格的格点上,与△ABC成轴对称且顶点都在格点上的三角形(不包括△ABC本身)一共有 3 个.
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8. 在3×3的正方形网格中,A、B均为格点.
(1) 在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M、N均为格点.
解:(1) 答案不唯一,如图①,线段MN即为所求.
(2) 在图②中,画以AB为底边的等腰△ABC,且C为格点.
解:(2) 如图②,△ABC即为所求.
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(3) 在图③中,画一个四边形ABDE,使其为轴对称图形,且D、E均为格点.
解:(3) 如图③,四边形ABDE即为所求.
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9. 如图所示为直线l和△ABC.
(1) 画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'.
解:(1) △A'B'C'如图所示.
(第9题答案)
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(2) 观察AC与A'C'的交点,BC与B'C'的交点,你有什么发现 分别延长AB与A'B',你又有什么发现 由此你能得出什么结论
解:(2) 观察可以发现,AC与A'C'的交点,BC与B'C'的交点都在对称轴(直线l)上.如图,分别延长AB与A'B',发现它们的交点也在对称轴(直线l)上.由此可以得出结论,关于某条直线对称的两个图形,其对应线段所在的直线若相交,则交点一定在对称轴上.
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10. (易错题)如图是由三个小正方形组成的图形,要在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形,共有几种补法
解:如答案图,共有4种补法.
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11. (核心素养·几何直观)如图.
(1) 作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'.
解:(1) 如图所示.
(第11题答案)
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(2) 若△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,作出直线EF.
解:(2) 如图所示.
(第11题答案)
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(3) 直线MN与EF相交于点O. 直接写出∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的关系.
解:(3) ∠BOB″=2α.
(第11题答案)
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专题特训(十二) 根据图形变换的特征进行计算
第9章 轴对称、平移与旋转
类型一 根据轴对称的特征计算
1. 如图,∠A=90°,E为BC上一点,点A、E关于BD对称,点B、C关于DE对称,则∠C的度数为( B )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 45°
B
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2. 如图所示为纸飞机的示意图,在折纸的过程中,△ABC与△ADE能够重合.如果∠BAC=25°,∠B=65°,那么∠DEA的度数为 90° .
90°
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3. 如图,南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD,他先将纸片沿EF折叠,再将折叠后的纸片沿GH折叠,使得GD'与A'B'重合,展开纸片后测量发现∠BFE=60°,则∠DGH= 15° .
15°
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4. (核心素养·推理能力)如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1) 若ED=15,BF=9,求EF的长.
解:(1) ∵ △ABC和△ADE关于直线MN对称,ED=15,BF=9,
∴ EF=CF,BF=DF=9,ED=CB=15.∴ EF=ED-DF=15-9=6.
(第4题)
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(2) 若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数.
解:(2) ∵ △ABC和△ADE关于直线MN对称,
∴ ∠AED=∠ACB=65°.∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°.∵ ∠BAE=16°,∴ ∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°.∵ 线段AE与AC关于直线MN对称,∴ ∠EAN=∠CAN= ∠EAC= ×64°=32°.∴ ∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48°.
∴ ∠BFN=∠ABC+∠BAN=35°+48°=83°.
(第4题)
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(3) 连结BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
解:(3) BD∥EC. 理由:∵ △ABC和△ADE关于直线MN对称,
∴ MN⊥EC,MN⊥BD. ∴ BD∥EC.
(第4题)
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类型二 利用平移特征计算
5. 如图,△DAF沿直线AD平移得到△CDE,CE、AF的延长线交于点B. 若∠AFD=111°,则∠CED的度数为( B )
A. 69° B. 111° C. 112° D. 113°
B
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6. 如图,AB=4cm,BC=5cm,AC=2cm,将△ABC沿BC方向平移acm(0
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7. (易错题)如图,在△ABC中,BC=4cm,将△ABC以0.2cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,得到△DEF,设移动时间为ts.
(1) 若∠ADE=60°,求∠B的度数.
解:(1) ∵ △ABC沿BC所在直线向右平移,得到△DEF,
∴ ∠B=∠DEF,AD∥BF. ∴ ∠DEF=∠ADE=60°.∴ ∠B=60°.
(第7题)
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(2) 当EC=1cm时,求t的值.
解:(2) 由题意,得BE=0.2tcm.当E点在线段BC上时,BE+CE=BC.
∴ 0.2t+1=4,解得t=15.当E点在BC的延长线上时,BE=BC+CE.
∴ 0.2t=4+1,解得t=25.综上所述,t的值为15或25.
(第7题)
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类型三 根据旋转及中心对称的特征计算
8. 如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AED,AD与BC交于点F,∠D=36°,则∠AFC的度数为( A )
A. 84° B. 80° C. 60° D. 90°
A
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9. 如图所示的图案可以看成是由大写字母A绕中心连续旋转得到的,则每次至少旋转 60° .
60°
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10. 如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AG为△ABC的高.若CE=5,AG=2,则S△DEC= 5 .
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类型四 根据全等的特征计算
11. 如图,△ABC≌△A'B'C',边B'C'经过点A且平分∠BAC,交BC于点D. 若∠B=26°,∠CDB'=94°,则∠C'的度数为( A )
A. 34°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
(第11题)
A
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12. 如图,△ABC≌△DBE,点D在边AC上,BC与DE相交于点P,∠ABE=162°,∠CBD=36°.
(1) 求∠CBE的度数.
解:(1) ∵ ∠ABE=162°,∠CBD=36°,∴ ∠ABD+∠CBE=126°.
∵ △ABC≌△DBE,∴ ∠ABC=∠DBE. ∴ ∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD.
∴ ∠ABD=∠CBE. ∴ ∠CBE= ×126°=63°.
(第12题)
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(2) 若AD=DC=5,BC=8,求△CDP与△BEP的周长之和.
解:(2) ∵ △ABC≌△DBE,∴ DE=AC=AD+DC=10,BE=BC=8.∴ △CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE
=DC+DE+BC+BE=5+10+8+8=31.
(第12题)
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12(共18张PPT)
专题特训(十一) 与图形变换有关的作图问题
第9章 轴对称、平移与旋转
类型一 画轴对称图形的对称轴
1. 观察如图所示的图案,它们都是轴对称图形,画出它们的对称轴(用虚线表示).
解:如图所示.
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类型二 轴对称作图
2. 如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点三角形ABC(三角形的顶点都在格点上).
(1) 在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1相对应).
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解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求.
(第2题答案)
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(2) 在直线l上找一点P,使得PA+PB最小.
解:(2) 如图,点P即为所求.
(第2题答案)
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(3) 在(2)的条件下,若点P到AC的距离为d1,到A1C1的距离为d2,请直接写出d1与d2的大小关系.
解:(3) d1=d2.
(第2题答案)
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类型三 平移作图
3. 如图,将△ABC平移,使点B移到点B'的位置.画出平移后得到的△A'B'C'.
(第3题答案)
解:如图所示.
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4. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位,△ABC的三个顶点都在格点上,点M也在格点上.用无刻度的直尺在网格内按要求完成作图并回答问题:
(1) 过点M作线段MN,MN∥BC,MN=BC.
解:(1) 如图①(或如图②),线段MN即为所求.
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解:(2) ① △A'B'C'如图③所示.
(2) 将△ABC先向左平移2个单位,再向上平移2个单位得到△A'B'C'.
① 在图中作出△A'B'C'.
② 在平移过程中,线段AB扫过的面积为 6 .
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类型四 旋转作图
5. 如图,把△ABC绕着点C顺时针旋转后,顶点A旋转到点D处.作出△ACB旋转后的△DCE,并指出旋转中心和旋转角(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图,△DCE即为所求.根据旋转的性质,可得旋转中心是点C,旋转角是∠ACD(或∠BCE).
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6. 如图,△DEF是△ABC绕着点P旋转得到的,点A、B、C的对应点分别是D、E、F,请利用尺规作图确定点P的位置,并简要说明作图步骤.
(第6题答案)
解:如图,点P即为所求.连结AD和BE,并分别作这两条线段的垂直平分线,它们的交点就是旋转中心P的位置.
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类型五 中心对称作图
7. (核心素养·几何直观)(1) 如图①,在正方形格纸中画出线段AB关于点O成中心对称的图形.
解:(1) 如图①,线段A'B'即为所求.
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(2) 如图②,AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
解:(2) 如图②,△CDE即为所求.
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解:(3) 如图③,四边形A'B'C'D'即为所求.
(3) 如图③,已知四边形ABCD和点P,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称.
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类型六 利用图形变换设计图案
8. (核心素养·创新意识)小兵同学家买了新房,准备装修地面,为节约开支,购买了两种质量相同、颜色不同的残缺地砖,现已加工成如图①所示的等腰直角三角形,小兵同学设计了如图②所示的四种图案.
(1) 你喜欢哪种图案 请简述该图案的形成过程.
解:(1) 答案不唯一,如最喜欢题图②中最左边的图案.该图案可以利用轴对称得到左上角图形,进而向右平移一个单位得到右上角图形,再向下平移一个单位,再向左平移一个单位即可得出.
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(2) 请你利用平移、旋转、轴对称等知识再设计一种与上述不同的图案.
解:(2) 答案不唯一,如图所示.
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9. (核心素养·创新意识)现有如图①所示的两种瓷砖,请从这两种瓷砖中各选2块,拼成一个新的正方形地板图案,使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形(如图②).
(1) 分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法,使其中有一个是轴对称图形,不是中心对称图形,另一个是中心对称图形,不是轴对称图形.
解:答案不唯一,如(1) 如图③,是轴对称图形而不是中心对称图形.如图④,是中心对称图形而不是轴对称图形.
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(2) 分别在图⑤、图⑥、图⑦中各设计一个拼铺图案,使这三个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形,且互不相同(三个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到,则视为相同图案).
解:答案不唯一,如(2) 如图⑤⑥⑦所示.
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9(共17张PPT)
9.1 轴对称
第4课时 设计轴对称图案
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的,其中属于轴对称图形的是( C )
C
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2. 我国古典花窗图案丰富多样,极具观赏价值.下列古典花窗图案中,不属于轴对称图形的是( B )
3. 在如图所示的方格纸中,有两个小正方形已被涂色,再将图中其余的一个小正方形涂色,使整个图案构成一个轴对称图形,则涂法共有 5 种.
(第3题)
B
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4. 如图所示为由小正方形组成的“7”字形图,请你用不同的方法分别在图中再画一个小正方形,使它们成为轴对称图形.
解:如图①②③所示.
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5. 如图,要在一块长方形空地上修建一个花坛,要求花坛图案为轴对称图形,则设计符合要求的有( A )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
A
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6. 剪纸是我国的民间艺术,剪纸的方法很多,如图所示为其中的一种剪纸方法:先将纸多次折叠,然后剪出图形,再展开,即可得到图案.下列四个图案中,不能用上述方法剪出的是( C )
C
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7. 下列利用两条线段、两个圆、两个等腰三角形设计的图案中,不属于轴对称图形的是( D )
D
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8. ★(核心素养·几何直观)如图所示的钻石形网格(由边长都为1的小等边三角形组成)中已经有3个小等边三角形被涂色.如果再将图中其余的小等边三角形中的1个涂色,使涂色部分构成一个轴对称图形,那么满足题意的涂法有 3 种.
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9. (核心素养·创新意识)如图①所示为由两个圆、两个三角形和两条线段构成的轴对称图形.你还能用图①中的基本图形构造出其他图形吗 请在图②中画出一个与之不同的图形,并写出贴切的解说词.
解:能.画法及解说词不唯一,如图②所示.
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10. 如图①所示为一个窗格图案,该窗格图案是以图②为基本图形经过变换得到的,请根据要求用圆规和直尺画图.
(1) 图③是图②放大后的一部分,请根据虚线给出的画图提示将图③补充完整.
解:(1) 如图③所示.
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(2) 在图④的正方形中,用弧和线段设计一个轴对称图形(可延伸到正方形外).
解:(2) 设计的轴对称图形不唯一,如图④所示.
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11. (易错题)在如图的方格纸上画有2条线段.若再画1条线段,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,则这条线段的画法有 4 种.
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12. (核心素养·创新意识)某班围棋兴趣小组的同学在一次活动中,用25枚棋子摆成了如图所示的图形.甲、乙两人发现该图形具有以下性质(图中用“ ”表示去掉的棋子).
甲:这是一个轴对称图形,且有4条对称轴.
乙:这是一个轴对称图形,且每条对称轴都经过5枚棋子.
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(1) 请在图①中去掉4枚棋子,使所得图形仅保留甲所发现的性质.
解:(1) 答案不唯一,如图①所示.
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(2) 请在图②中去掉4枚棋子,使所得图形仅保留乙所发现的性质.
解:(2) 答案不唯一,如图②所示.
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(3) 请在图③中去掉若干枚棋子(枚数大于0且小于10),使所得图形具有甲、乙两人所发现的所有性质.
解:(3) 如图③所示.
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12(共19张PPT)
9.3 旋转
第1课时 图形的旋转
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 有下列现象:① 地下水位逐年下降;② 传送带的移动;③ 方向盘的转动;④ 钟摆的运动;⑤ 荡秋千运动.其中,属于旋转的有( B )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是( C )
B
C
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13
3. 如图,将△ABC绕点O按逆时针方向旋转到△DEF的位置,则旋转中心及旋转角分别是( D )
A. 点B,∠ABC
B. 点O,∠AOF
C. 点B,∠DOE
D. 点O,∠AOD
(第3题)
D
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4. 如图,△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到△COD,OA⊥OC.
(1) 旋转中心是什么 旋转角是什么 旋转角的度数是多少
解:(1) 旋转中心是点O,旋转角是∠AOC. ∵ OA⊥OC,∴ ∠AOC=90°.
∴ 旋转角的度数是90°.
(第4题)
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(2) 指出线段AB的对应线段,∠A、∠B的对应角.
解:(2) 线段AB的对应线段为CD. ∠A、∠B的对应角分别为∠C、∠D.
(第4题)
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5. 如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=75°.将△ABC绕点C旋转,得到△DEC,点A的对应点D在BC的延长线上,则旋转方向和旋转角的度数分别为( D )
A. 逆时针,30° B. 逆时针,105°
C. 顺时针,30° D. 顺时针,105°
D
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6. 如图,△ABC和△DEC都是直角三角形,其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的.下列说法中,错误的是( D )
A. 旋转中心是点C
B. 旋转角度是90°或270°
C. 既可以逆时针旋转,也可以顺时针旋转
D. 旋转中心是点B,旋转角是∠ABC
D
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7. 在如图所示的方格纸中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则旋转角的度数是 90° .
90°
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8. 如图,在正方形网格中,图①经过 平移 变换可以得到图②;图③是由图②经过旋转变换得到的,其旋转中心是点 A (填“A”或“B”或“C”).
平移
A
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9. (新情境)如图①,教室里有一只倒地的装垃圾的簸箕,BC与地面的夹角为50°,∠C=25°,小贤同学将它扶起平放在地面上(如图②,点C的位置不动),则簸箕柄AB绕点C转动的角度为 105° .
105°
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10. 如图,在△ABC中,AD是中线,△ACD旋转后与△EBD重合.
(1) 旋转中心是哪一点
解:(1) ∵ △ACD经旋转后到达△EBD,它们的公共顶点为D,∴ 旋转中心是点D.
(第10题)
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(2) 旋转角的度数是多少
解:(2) 线段AC旋转后,对应边是EB,∠ADE就是旋转角,是180°.
(第10题)
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(3) 如果M是AC的中点,那么经过上述旋转后,点M旋转到了什么位置
解:(3) ∵ AC、EB是对应边,∴ AC的中点M旋转后就是BE的中点.∴ 点M旋转到了BE的中点处.
(第10题)
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11. ★如图,M是DC的中点.如果正方形CDEF按顺时针方向旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有几个 请说明不同的旋转中心对应的旋转角的度数.
(第11题)
解:可以作为旋转中心的点为C、M、D,共3个.将正方形CDEF绕点C顺时针旋转270°后能与正方形ABCD重合.将正方形CDEF绕点D顺时针旋转90°后能与正方形ABCD重合.将正方形CDEF绕点M旋转180°后能与正方形ABCD重合.
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12. ★(核心素养·几何直观)如图,将长方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转到长方形AB'C'D'的位置,旋转角为∠DAD'(0°<∠DAD'<90°).如果∠1=114°,那么∠DAD’=
24° .
24°
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13. (核心素养·推理能力)将两块三角尺按如图①所示的方式摆放,固定三角尺ABC,将三角尺CDE绕点C按顺时针方向旋转,其中∠A=45°,∠D=30°,设旋转角度为α(0°<α<180°).
(1) 如图②,当DE∥AC时,求α的值.
解:(1) ∵ DE∥AC,∴ ∠ACD=∠D=30°.又∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°,即α=60°.
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(2) 如图③,当DE∥AB时,AB与CE相交于点F,求α的值.
解:(2) ∵ DE∥AB,∴ ∠CFA=∠E=90°-30°=60°.
又∵ ∠CFA=∠B+∠BCE,∴ ∠BCE=15°.
∴ ∠BCD=∠ECD+∠BCE=105°,即α=105°.
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(3) 如图④,当0°<α<90°时,连结AE,直线AB与DE相交于点F,试探究∠1+∠2+∠3的度数是否改变.若不改变,请求出其度数;若改变,请说明理由.
解:(3) 不改变.
∵ ∠ACD+∠CAB=∠D+∠AFD,∠CAB=45°,∠D=30°,∴ ∠AFD-∠ACD=15°.又∵ ∠1+∠2=∠AFD,∠3=90°-∠ACD,
∴ ∠1+∠2+∠3=∠AFD+90°-∠ACD=90°+15°=105°.
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13(共17张PPT)
9.2 平移
第1课时 图形的平移
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列生活中的现象,属于平移的是( D )
A. 投影片的文字经投影变换到屏幕
B. 汽车刮雨器的运动
C. 坐在秋千上人的运动
D. 抽屉的拉开
D
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2. 下列图形中,可以由一个基础图形通过平移变换得到的是( B )
B
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3. 如图,△ABC经过一次平移到△DFE的位置.
(1) 点C的对应点是点 E ,∠D的对应角是 ∠A ,线段BC的对应线段是线段 FE .
(2) 如果连结CE,那么平移的方向就是 点C到点E 的方向,平移的距离就是 线段CE 的长度.
E
∠A
FE
点C到点E
线段
CE
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4. 如图,每个小正方形的边长为1,且正方形的顶点称为格点,网格中有一艘小船.若小船平移滑动(先向右平移,再向上平移),平移后的船身部分已画出(船身顶点都在格点上).
(1) 请在网格中补全平移后的船帆.
解:(1) 如图所示.
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(3) 求平移后的小船的面积.
解:(3) ∵ 3+2×3- ×1×3- ×1×1- ×2×2=5,∴ 平移后的小船的面积为5.
(2) 图中小船平移的总路程为 6 .
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5. 将四根火柴棒摆成如图所示的字“口”,平移此字“口”中的火柴棒后,能变成的字是( C )
(第5题)
C
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6. (易错题)如图,嘉淇同学在6×6的方格纸上将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形的顶点在方格纸的格点上,则使平移前、后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 5 个.
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7. 如图,若将△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达点A'处,连结A'B,则线段A'B与线段AC的关系是 线段A'B与线段AC相互垂直平分 .
线段A'B与线段AC相互垂直平分
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8. 在如图所示的网格(每个小网格正方形的边长为1个单位)中有小金鱼,小金鱼沿某路线平移,当A点移动到A'点时,请在图中画出平移后的小金鱼,并描述一种小金鱼平移的可能路线.
解:如图所示.路线不唯一,如小金鱼先向左移动8个单位,再向下移动4个单位后就得到平移后的小金鱼.
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9. 如图,在正方形网格中有一个格点三角形ABC(△ABC的各顶点都在格点上).
(1) 画出△ABC中AB边上的高CD.
解:(1) 如图,CD即为所求.
(第9题答案)
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(2) 将△ABC先向上平移3格,再向右平移4格,画出平移后的△A'B'C'.
解:(2) 如图,△A'B'C'即为所求.
(第9题答案)
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(3) 在图中画出一个锐角格点三角形ABP,使得其面积等于△ABC的面积,满足条件的点P有多少个
解:(3) 如图,△ABP即为所求.由图,可得满足条件的点P有4个.
(第9题答案)
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10. 如图所示为七个边长均为1的等边三角形,分别用①~⑦表示.从④⑤⑥⑦组成的图形中取出一个三角形,使剩下的图形经过一次平移后,能与①②③组成的图形拼成一个正六边形.你取出的是哪个三角形 写出平移的方向和平移的距离.
解:取出的是⑦,将④⑤⑥向上平移1个单位(如答案图).
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11. 如图,如果把图中任意一条线段沿方格线平移1格称为“1步”,那么要通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形,最少需要( B )
A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
B
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12. (核心素养·几何直观)如图,在方格纸中,每个小方格的边长均为1,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上,将△ABC平移,要求:① 使点P落在平移后的三角形内部;② 平移后的三角形的顶点在方格的顶点上.请你在图甲和图乙中画出符合上述要求的两个不同示意图,并写出平移的方法.
解:答案不唯一,如图所示.图甲:先向右平移4个单位,再向上平移1个单位.图乙:先向右平移3个单位,再向上平移1个单位.
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12(共15张PPT)
9.3 旋转
第3课时 旋转对称图形
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列四个交通标志图中,属于旋转对称图形的是( D )
2. 下列图形中,是旋转对称图形,但不是轴对称图形的是( B )
D
B
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3. 如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合.如果每个叶片的面积为4cm2,∠AOB=120°,那么图中涂色部分的面积之和为 4 cm2.
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4. 如图所示的图案是由一个基本图形(其中的一个花瓣)绕中心至少经过 4 次旋转得到的,每一次旋转的度数为 72° .
4
72°
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5. 在如图所示的网格图中有一个四边形和两个三角形.
(1) 请你把图补充成旋转对称图形.
解:(1) 如图所示.
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(2) 将(1)中所画的与原图形看成一个整体图形,这个图形是轴对称图形吗 若是,请写出这个整体图形的对称轴的条数.这个整体图形至少旋转多少度后才能与自身重合
解:(2) 是轴对称图形,对称轴的条数为4,这个整体图形至少旋转90°后才能与自身重合.
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6. 下列图形中,绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是( D )
D
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7. 下列图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合,其中旋转角最小的
是( D )
D
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8. 下列图案绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是( A )
A
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9. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案,如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心,顺时针旋转4次形成的,每一次旋转的角度均为α,则α的值至少为 72° .
72°
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10. 如图,正方形ABCD与正方形EFGH的边长相等.有下列说法:① 这个图案可以看成是由正方形ABCD绕点O旋转45°前、后的图形共同组成的;② 这个图案可以看成是由△ABC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°前、后的图形共同组成的;③ 这个图案可以看成是由△BOC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°前、后的图形共同组成的.其中,正确的是 ①②③ (填序号).
①②③
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11. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分,请你运用旋转变换的方法,在方格纸上将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°,并画出它变换后的图形,你会得到一个美丽的图形,快来试一试吧!
解:如图所示.
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12. ★(核心素养·几何直观)如图,在△ABC中,以点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A'B'C的位置,其中A'、B'分别是点A、B的对应点,且点B'在AB边上,按照上述方法旋转△A'B'C,…,这样共旋转四次恰好构成一个旋转对称图形,则∠BCB'的度数为 72° ,∠A'B'B的度数为 108° .
72°
108°
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13. 如图,正方形ABCD的边长为2,以各边中点为圆心,1为半径依次作四分之一圆,将正方形分成四个部分.
(1) 这个图形 是 旋转对称图形(填“是”或“不是”);若是,则旋转中心是点 O ,最小旋转角的度数是 90° .
(2) 求图形OBC的周长和面积.
(第13题)
是
O
90°
解:图形OBC的周长=BC+ ×2π=2+π,面积= S正方形ABCD= ×2×2=1.
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13(共18张PPT)
9.1 轴对称
第1课时 生活中的轴对称
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是( C )
2. 下列选项中,左边的数字与右边的数字成轴对称的是( C )
C
C
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13
3. 下列轴对称图形中,对称轴的数量小于3条的是( D )
D
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4. 如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.
(1) 指出△ABC与△ADE的对称点.
解:(1) 点A和点A是对称点,点B、D是对称点,点C、E是对称点.
(第4题)
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13
(2) 指出△ABC与△ADE中对应的线段和角.
解:(2) 对应的线段有AB和AD,AC和AE,BC和DE. 对应的角有∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E.
(第4题)
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(3) 在不添加字母和线段的情况下,图中还有能成轴对称的两个三角形吗
解:(3) 有.△AFC与△AFE,△ABF与△ADF都关于直线MN成轴对称.
(第4题)
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5. 如图,在正六边形P1P2P3P4P5P6中,连结P1P5和P3P5.若要使得到的图形不是轴对称图形,则可以连结( B )
A. P1P3 B. P1P4
C. P2P5 D. P4P6
B
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13
6. 如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的点,连结PA、PB. 下列判断不一定正确的是( D )
A. AM=BM B. ∠ANM=∠BNM
C. ∠MAP=∠MBP D. AP=BN
D
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13
7. (核心素养·几何直观)(2024·玉林模拟)如图所示为三位同学的折纸示意图,则AD依次是△ABC的( A )
A. 角平分线、高、中线
B. 高、中线、角平分线
C. 中线、角平分线、高
D. 角平分线、中线、高
A
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8. 如图,先将一张长方形的纸对折,用笔尖在上面扎出字母“B”,再把它铺平,得到的图形是 ③ (填序号).
③
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13
9. 在△ABC中,将∠B、∠C按如图所示的方式折叠,点B、C均落在边BC上的点Q处,线段MN、EF为折痕.若∠A=94°,则∠MQE= 94° .
94°
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10. 如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称.
(1) 若∠A=30°,∠B'=40°,则∠C的度数为 110° .
(2) 若AC=5,BC=3,则A'B'长的取值范围是 2110°
21
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11. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC中,直线l分别交AB、BC于点E、F,点B关于直线l的对称点D在边BC上,且AD⊥DE.
(1) 若AB=8,AD=4,求△ADE的周长.
解:(1) ∵ 点B关于直线l的对称点为D,∴ DE=BE.
∴ C△ADE=AD+DE+AE=AD+BE+AE=AB+AD=4+8=12.
(第11题)
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(2) 若∠B=31°,求∠DAE的度数.
解:(2) ∵ 点B关于直线l的对称点为D,∴ ∠EDB=∠B=31°.
∴ ∠DEB=180°-∠EDB-∠B=180°-31°-31°=118°.∵ AD⊥DE,
∴ ∠ADE=90°.∴ ∠DAE=∠DEB-∠ADE=118°-90°=28°.
(第11题)
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12. 如图,在△ABC中,∠A=32°,∠B=36°,D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B'.当B'D∥AC时,∠BCD的度数为 38° .
38°
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13
13. (核心素养·推理能力)如图,O为△ABC内一点,OB=3,P、R分别为点O关于直线AB、BC的对称点,连结PR.
(1) 当∠ABC的度数为多少时,PR=6 请说明理由.
解:(1) 当∠ABC=90°时,PR=6.理由:连结PB、RB. ∵ P、R分别为点O关于直线AB、BC的对称点,∴ PB=OB=3,RB=OB=3,
∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO. ∵ ∠ABC=90°,∴ ∠ABP+∠CBR=
∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°. ∴ ∠ABP+∠CBR+∠ABO+∠CBO
=180°.∴ P、B、R三点共线.∴ PR=PB+RB=6.
(第13题)
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13
(2) 当∠ABC不是(1)中的度数时,PR的长是小于6还是大于6 请说明理由.
解:(2) PR的长小于6.理由:当∠ABC≠90°时,P、B、R三点不在同一条直线上.∴ PB+RB>PR. ∵ PB+RB=6,∴ PR<6.
(第13题)
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13(共20张PPT)
9.4 中心对称
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. (2024·泰安)在如图所示的图形中,中心对称图形的个数是( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 在如图所示的四组图形中,成中心对称的有( C )
A. 1组 B. 2组
C. 3组 D. 4组
C
C
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13
3. 图①和图②中所有的小正方形都相同.若将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,则这个位置是 ③ (填序号).
③
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7
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13
4. (1) 如图①,两个三角形成中心对称,请确定其对称中心.
解:(1) 如图①,点D即为对称中心.
(2) 分别画出图②③中与△ABC关于点O成中心对称的图形.
解:(2) 如图②③,△BEF、△PQN即为所求.
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13
5. (2024·辽宁)纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( B )
B
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13
6. 如图,若甲、乙两图关于点O成中心对称,则图乙中不符合题意的一块是( C )
C
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13
7. 如图,△ABC与△DEF成中心对称,点O是对称中心,则下列结论不正确的是( B )
A. A、D是对应点 B. ∠ACB=∠DEF
C. BO=EO D. AB∥DE
B
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13
8. (易错题)如图,在正方形网格中,已有三个小正方形被涂色.若再把一个小正方形涂色.使四个涂色的小正方形构成的图案是中心对称图形,则不同的涂法有 3 种.
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13
9. 如图,将△ABC绕其中一个顶点按顺时针方向连续旋转n1°、n2°、n3°后得到的三角形和△ABC的对称关系是 关于旋转中心成中心对称 .
关于旋转中心成中心对称
1
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4
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6
7
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9
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13
10. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1) 画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求作.
(第10题答案)
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(2) 画出△ABC关于点P的中心对称图形△A2B2C2.
解:(2) 如图,△A2B2C2即为所求作.
(第10题答案)
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(3) △A1B1C1与△A2B2C2组成的图形 是 (填“是”或“否”)轴对称图形.如果是轴对称图形,请画出对称轴.
解:(3) 对称轴如图所示.
(第10题答案)
是
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11. (核心素养·几何直观)如图,方格纸中有三个格点A、B、C,画出符合下列要求的四边形,使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.
(1) 在图①中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形.
图①所示.
(2) 在图②中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形.
图②所示.
(2)解:答案不唯一,如
(1)解:答案不唯一,如
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(3) 在图③中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
(3)解:答案不唯一,如
图③所示.
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12. (核心素养·创新意识)阅读材料:对于中心对称图形,过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分,如图①.
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解:如图②所示.
尝试应用:将图②分成面积相等的两部分(不写作法,保留作图痕迹).
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13. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.画出一个三角形,使其与△ACD关于点D成中心对称.
(1) 写出与AC相等的线段.
解:如图,△BDA‘即为所求.
（1） A'B.
(第13题答案)
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(2) △ABC中AB与AC的和与中线AD长的两倍之间有何大小关系 请说明理由.
（2）解：AB+AC>2AD. 理由:∵ AC=A'B,AD=A'D,
∴ AB+AC=AB+A'B>AA'.∵ AA'=2AD,∴ AB+AC>2AD.
(第13题答案)
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(3) 若AB=5,AC=3,则线段AD的取值范围是多少
（3）解： 由三角形的三边关系,可知AB-A'B<2AD(第13题答案)
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13(共15张PPT)
专题特训(十) 最短路径问题
第9章 轴对称、平移与旋转
类型一 两点一线型
1. (核心素养·应用意识)(1) 如图①,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站P,向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站P的位置,使铺设管道的路线最短.
解:(1) 如图①,点P即为所求.
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(2) 如图②,如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域,试确定燃气站P的位置,使铺设管道的路线最短.
解:(2) 如图②,点P即为所求.
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2. 如图,C、D是∠AOB边上的两点.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1) 作∠AOB的平分线OM,并作出点C关于OM对称的点E.
解:(1) 如图,OM、点E即为所求.
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(2) 在OM上作点P,使得点P到点C、D的距离之和最小.
解:(2) 如图,点P即为所求.
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3. 如图,P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点,在BC上找一点M,使△PQM的周长最短(不写作法).
解:如图,点M即为所求.
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类型二 两线一点型
4. 如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA、OB上各取一点P1、P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1、P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.
解:如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连结EF交OA于点P1,交OB于点P2,连结PP1、PP2,点P1、P2即为所求.
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5. 如图,在△ABC的边AB上有一点P.
(1) 能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N,使得△PMN的周长最短 若能,请画出点M、N;若不能,请说明理由.
解:(1) 能.如图,点M、N即为所求.
(第5题答案)
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(2) 若∠ACB=40°,在(1)的条件下,求出∠MPN的度数.
解:(2) ∵ ∠ACB=40°,∴ ∠CMN+∠CNM=180°-40°=140°.根据对称的性质,可知∠AMP'=∠AMP,
∠BNP″=∠PNB. ∵ ∠CMN=∠AMP’,∠CNM=∠BNP″, ∴ ∠AMP'+∠AMP+∠BNP″+∠PNB=280°.∴ ∠PMN+
∠PNM=180°×2-280°=80°.∴ ∠MPN=180°-(∠PMN+∠PNM)=100°.
(第5题答案)
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类型三 两线两点型
6. 如图,点P、Q在锐角∠AOB内,分别在OA、OB上作点M、N,使PM+MN+NQ最小.
解:如图所示.
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7. (核心素养·应用意识)如图,李伯从A处赶了几只羊到草地l1放羊,然后赶羊到小河l2饮水,之后再回到B处的家,假设李伯赶羊走的都是直路,请你为他设计一条最短的路线,标明放羊与饮水的位置.
解:如图,AC-CD-DB是最短的路线,放羊的位置为点C处,饮水的位置为点D处.
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8. 如图,在∠POQ内部有两点M、N,∠MOP=∠NOQ.
(1) 画图并简要说明画法:在射线OP上取一点A,使点A到点M和点N的距离之和最小;在射线OQ上取一点B,使点B到点M和点N的距离之和最小.
解:(1) 如图所示.画法:作点M关于射线OP的对称点M',连结M'N交OP于点A. 作点N关于射线OQ的对称点N',连结N'M交OQ于点B.
(第8题答案)
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(2) 直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系.
解:(2) AM+AN=BM+BN.
(第8题答案)
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9. (核心素养·应用意识)如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到B地,要求指出最短路径.
同学甲:“牧马人从A地出发,把马牵到草地与河边的交汇处N点,牧马又饮水,然后回到B地.”
同学乙:“作A点关于直线MN对称的A'点,再作B点关于直线l对称的B'点,连结A'B'交直线MN于Q点,交直线l于P点,连结AQ、BP,则路径A→Q→P→B为最短路径.”
你认为哪位同学指出的最短路径正确 画出图形,并说明理由.
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解:同学乙指出的最短路径正确.理由:如图,在直线MN上任意选一点Q1,在直线l上任意选一点P1,连结AQ1、A'Q1、BP1、B'P1、P1Q1.由轴对称性质,易得AQ1=A’Q1,BP1=B'P1.∵ A'Q1+P1Q1+B'P1≥A'B‘=
A'Q+QP+PB',∴ AQ1+P1Q1+BP1≥A'B'.∵ A'B'=A'Q+PQ+B'P=AQ+PQ+BP,∴ 路径A→Q→P→B为最短路径.
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9(共16张PPT)
9.3 旋转
第2课时 旋转的特征
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图,△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转得到的.下列说法不一定正确的是
( D )
A. ∠COF=∠BOE
B. ∠OAC=∠ODF
C. OC=OF
D. BC=DF
D
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2. 如图,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',此时点B'恰在边AC上.若AB=2,AC'=5,则B'C的长为( B )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
B
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3. (2024·无锡改编)如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时,∠BAC'的度数为 70° .
70°
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4. 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点),按要求画出下列图形(不写画法,保留作图痕迹).
(1) 将△ABC向下平移4格后得△A1B1C1.
解:(1) 如图所示.
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(2) 再将△A1B1C1绕点O按逆时针旋转90°得△A2B2C2.
解:(2) 如图所示.
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5. 如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A'CB'.若AC⊥A'B',则∠A的度数为( C )
A. 43° B. 45°
C. 47° D. 50°
C
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6. (2024·天津)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A、B的对应点分别为D、E,延长BA交DE于点F. 下列结论一定正确的是( D )
A. ∠ACB=∠ACD
B. AC∥DE
C. AB=EF
D. BF⊥CE
D
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7. 如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°.将△AOB绕点O按顺时针方向旋转75°得到△A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1的度数为 50° .
50°
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8. 如图,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△EBD,点D落在AB的延长线上,△ABC的边BC恰好平分∠EBD,BE与AC的交点为P.
(1) 求旋转角∠CBD的度数.
解:(1) ∵ 将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△EBD,
∴ ∠ABC=∠EBD. ∴ 易得∠ABE=∠CBD. ∵ BC平分∠EBD,
∴ ∠EBC=∠CBD. ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC. 又∵ ∠CBD+∠ABE+
∠EBC=180°, ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC=60°.
(第8题)
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(2) 试说明:∠APB>∠A.
解:(2) ∵ ∠APB=∠PBC+∠C=60°+∠C,∠A=∠CBD-∠C=60°-∠C,
∴ ∠APB>∠A.
(第8题)
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9. 如图,网格中有一个四边形ABCD,其中∠BCD=90°,CD=CB.
(1) 画出四边形ABCD绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的图形.
解:(1) 如图,四边形AB1C1D1即为所求.
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(2) 求出旋转后得到的图形的面积.
解:(2) 四边形AB1C1D1的面积为3×4- ×1×3- ×1×3=9.
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10. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C',则有下列结论:① BC=B'C';② AC∥C'B';③ C'B'⊥BB';④ ∠ABB'=∠ACC'.其中,正确的是 ①②④ (填序号).
①②④
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11. (核心素养·推理能力)如图,小明在钝角三角形ABC的外侧画了两个等腰直角三角形,其中∠ACB是钝角,∠ACD=∠BCE=90°,AC=CD,EC=BC,连结AE、BD. 试猜想线段AE和BD之间的关系,并说明理由.
(第11题答案)
解:AE=BD,AE⊥BD. 理由:∵ ∠ACD=∠BCE=90°,∴ ∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.又∵ AC=DC,EC=BC,∴ △ACE绕点C按顺时针方向旋转90°可得到△DCB. ∴ AE=BD,∠CAE=∠CDB. 如图,设AE与BD交于点F. ∵ ∠CAD+∠CDA=90°,∴ ∠CAD-∠CAE+∠CDA+∠CDB=90°,即∠FAD+∠FDA=90°.∴ ∠AFD=90°,即AE⊥BD. 综上所述,AE=BD,AE⊥BD.
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11(共30张PPT)
第9章复习
第9章 轴对称、平移与旋转
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 轴对称图形与中心对称图形的识别
典例1 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( B )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
B
1. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( C )
C
跟踪训练
考点二 图形变换特征
典例2 如图,△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称,AO的延长线交BC于点D. 若∠BOD=46°,∠C=20°,则∠ADC的度数为 72° .
(典例2图)
72°
2. 如图,六边形ABCDEF是轴对称图形,CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD的度数为 300° .
300°
跟踪训练
典例3 如图,将Rt△ABC沿BC方向平移3cm得到Rt△DEF,DE交AC于点H. 若AB=6cm,BC=9cm,DH=2cm,则图中涂色部分的面积为 15 cm2.
15
3. 如图,将长为5cm、宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm,再向下平移1cm,得到长方形A'B'C'D',则涂色部分的面积为 18 cm2.
18
跟踪训练
典例4 如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE. 若∠E=70°,AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为( D )
A. 65° B. 70°
C. 75° D. 80°
D
4. 如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,求∠ACB'的度数.
(第4题)
解:∵ ∠A=27°,∠B=40°,∴ ∠ACA'=∠A+∠B=67°.∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,∴ ∠BCB'=∠ACA'=67°.∴ ∠ACB'=180°-67°-67°=46°.
跟踪训练
典例5 如图,△ABC和△EDF关于点O对称,则下列结论一定正确的是( D )
A. AO=BO
B. 点A关于点O的对称点是D
C. BO=EO
D. 点D 在BO的延长线上
D
5. 如图,△AOB与△DOC成中心对称,△AOB的面积是6,AB=3,则△DOC中的边CD上的高是 4 .
(第5题)
4
跟踪训练
考点三 全等三角形
典例6 如图,△ABF≌△CDE.
(1) 若∠B=30°,∠DCF=40°,求∠EFC的度数.
解:(1) ∵ △ABF≌△CDE,∴ ∠B=∠D=30°.∴ ∠EFC=∠DCF+∠D=70°.
(典例6图)
解:(2) ∵ △ABF≌△CDE,∴ BF=DE. ∴ BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
∵ BD=10,EF=2,∴ BE=(10-2)÷2=4.∴ BF=BE+EF=6.
(2) 若BD=10,EF=2,求BF的长.
跟踪训练
6. (2024·成都)如图,△ABC≌△CDE. 若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 100° .
100°
考点四 与图形变换有关的作图
典例7 ★如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,点O和△ABC的顶点都在网格线的交点上.
(1) 将△ABC先向上平移2个单位,再向右平移5个单位,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求.
(2) 以点O为旋转中心,将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.
解:(2) 如图,△A2B2C2即为所求.
跟踪训练
7. 如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点),直线l也经过格点.
(1) 画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'.
解:(1) 如图,△A'B'C'即为所求.
(2) 将线段AB绕点A'按顺时针方向旋转90°得到线段DE,画出线段DE.
解:(2) 如图,线段DE即为所求.
考点五 图案设计
典例8 (核心素养·创新意识)如图①~④所示为一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通过平移、对称或旋转变换,设计四个精美图案,使其满足:① 既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;② 所作图案用涂色标识,且涂色部分的面积为4.
解:答案不唯一,只要满足题目两个条件即可,如图①~④所示.
跟踪训练
8. (核心素养·创新意识)小明家最近买了一种如图①所示的瓷砖.请你用4块如图①所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板,使拼铺的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形,请在图②③中各画出一种拼法.
解:答案不唯一,如图②③所示.
1. 如图,在△ABC中,D、E、F三点分别在AB、BC、AC上,且四边形BEFD是以DE为对称轴的轴对称图形,四边形CFDE是以FE为对称轴的轴对称图形.若∠C=40°,则∠DFE的度数是( D )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
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2. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3cm,AC=4cm.把△ABC沿直线BC的方向向右平移2.5cm得到△DEF,连结AE、AD. 有下列结论:① AC∥DF;② AD∥CF;③ CF=3cm;④ DE⊥AC. 其中,正确的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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3. 如图,将△ABC绕A点逆时针旋转60°得到△ADE,连结CD. 若∠CDE=90°,则∠BCD的度数是 150° .
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4. 如图,△ABE≌△DBC,点A、B、C在一条直线上,∠E=20°,∠DBC=130°,则∠1的度数为 110° .
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5. 如图,射线AD平分∠BAC.
(1) 作出BC的垂直平分线,交AD于点P,交BC于点Q,交AB于点R(不写作法,保留作图痕迹).
解:(1) 如图所示.
(第5题答案)
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(2) 若∠B=30°,∠C=50°,求∠DPQ的度数.
解:(2) ∵ ∠B=30°,∠C=50°,∴ ∠BAC=180°-30°-50°=100°.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠CAD= ∠BAC=50°.
∴ ∠ADC=180°-50°-50°=80°.∴ ∠PDQ=∠ADC=80°.
∵ QR垂直平分BC,∴ ∠PQD=90°.∴ ∠DPQ=90°-80°=10°.
(第5题答案)
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6. 如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA的延长线上一点,AF= AB,连结BE、DF.
(1) 在图中,通过平移、翻折、旋转中的哪种方法,可以使△ABE与△ADF重合
解:(1) 将△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°后可与△ADF重合.
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(2) 图中线段BE与DF之间有怎样的关系 为什么
解:(2) BE=DF,BE⊥DF. 如图,延长BE交DF于点G. 由(1),知△ABE≌△ADF. ∴ BE=DF,∠EBA=∠FDA. 在正方形ABCD中,∠DAB=90°,∴ ∠F+∠FDA=∠DAB=90°.∴ ∠F+∠EBA=90°.
∴ ∠FGB=180°-(∠F+∠EBA)=90°,即BE⊥DF. 综上所述,BE=DF,BE⊥DF.
(第6题答案)
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6(共17张PPT)
9.2 平移
第2课时 平移的特征
第9章 轴对称、平移与旋转
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图,四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的.若AD=5,∠B=70°,则( B )
A. FG=5,∠G=70° B. EH=5,∠F=70°
C. EF=5,∠F=70° D. EF=5,∠E=70°
B
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2. 如图,将△ABC沿AB方向平移,得到△BDE. 若∠1=55°,∠2=35°,则∠ADE的度数为( C )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
C
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3. (2024·东营)如图,将△DEF沿FE方向平移3个单位得到△ABC. 若△DEF的周长为24,则四边形ABFD的周长为 30 .
30
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4. 如图,网格中每个小正方形的边长都是1,图中“鱼”的顶点都在格点上.把“鱼”先向右平移5 格,再向下平移1格,画出平移后的图形,并求出平移后的“鱼”的面积.
解:如图所示.平移后的“鱼”的面积为 ×3×4+ ×3×2+ ×2×2=11.
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5. 如图,平移正六边形ABCDEF到六边形A'B'C'D'E'F'的位置,其中点C'与点D重合,点A'与点F重合.若AB=3,则下列结论错误的是( C )
A. E'F'=3 B. ∠B'=120°
C. ∠B'DE=70° D. B'F∥DE
C
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6. 如图,∠1=68°,直线a平移后得到直线b,则∠2-∠3的度数为( D )
A. 78° B. 132° C. 118° D. 112°
D
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7. 如图,在Rt△ABC中,AC=60,BC=80,AB=100,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行或在BC上,则这5个小直角三角形的周长和为 240 .
8. (易错题)在△ABC中,BC=6cm,将△ABC以2cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF,设平移时间为ts.如果要使AD=2CE成立,那么t的值为 2或.
240
2或6
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9. ★如图,△ABC的周长为14cm.将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C',连结BB'、CC',则五边形A'B'BCC'的周长为 18 cm.
18
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10. 平移△ABC,使得△ABC的边AB移动到DE的位置,BC移动到EF的位置.如图所示为小明的作业,他的作法完全正确,可由于不小心,一些墨汁污染了作业本.请你设法帮小明补全平移前、后的图形.
解:如图所示.
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11. 如图,在直线l上摆放着两个大小相同的直角三角形,它们中较大锐角的度数为60°.将△ECD沿直线l向左平移到△E'C'D'的位置,使点E落在边AB上的点E'处,P为AC与E'D'的交点.
(1) 画出平移得到的△E'C'D'.
解:(1) 如图所示.
(第11题答案)
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(2) 求∠CPD'的度数.
解:(2) 由题意,得∠CED=60°.由平移的性质,知DE∥D'E'.
∴ ∠CPD'=∠CED=60°.
(第11题答案)
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(3) 试判断AB与E'D'的位置关系,并说明理由.
解:(3) AB⊥E'D'.理由:由平移的性质,知CE∥C'E',∠CED=∠C'E'D'=60°.∴ ∠BE'C'=∠A=30°.
∴ ∠BE'D'=∠BE'C'+∠C'E'D'=90°.∴ AB⊥E'D'.
(第11题答案)
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12. (易错题)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB是锐角,将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF(平移后点A、B、C的对应点分别是D、E、F),连结CD. 在整个平移过程中,当∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系时,∠ACD= 15°或30°或90° .
15°或30°或90°
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13. (核心素养·应用意识)如图,三个图形都是长为50m,宽为30m的长方形草地,且小路的宽都是1m.
(1) 如图①,涂色部分为1m宽的小路(FF1=1m),长方形除去涂色部分后剩余部分为草地,则草地的面积为 1470m2 .
(2) 如图②,有两条宽均为1m的小路(图中涂色部分),求草地的面积.
1470m2
解:(2) 小路往AB、AD边平移,直到小路与草地的边重合,则草地的面积为(50-1)×(30-1)=1421(m2).
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(3) 如图③,非涂色部分为1m宽的小路,沿着小路的中间从入口E处走到出口F处,所走的路线(图中虚线)长为 108m .
108m
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