八年级下册北师大版数学第一章 第四节 线段的垂直平分线 教学设计
文档属性
| 名称 | 八年级下册北师大版数学第一章 第四节 线段的垂直平分线 教学设计 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 509.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章 三角形的证明及其应用
第四节 线段的垂直平分线 教学设计
郭大平
一、教学基本信息
- 教材版本：北师大版八年级下册数学
- 课时安排：1课时（45分钟）
- 授课对象：八年级学生
二、教学目标（核心素养导向）
1. 数学抽象：通过观察、操作、猜想，抽象出线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其几何本质。
2. 逻辑推理：能严谨证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理，发展演绎推理能力。
3. 直观想象：通过尺规作图，掌握作线段垂直平分线、三角形高的方法，提升几何直观能力。
4. 数学建模：能运用线段垂直平分线的相关定理解决实际问题，体会数学与生活的联系。
三、教学重难点
- 重点：线段垂直平分线的性质定理与判定定理的证明及应用。
- 难点：理解“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的判定定理，以及尺规作图的原理。
四、教学过程
（一）情境导入（5分钟）
1. 问题引入：
展示生活实例：在一条公路的同侧有两个村庄，现要在公路上修建一个公共汽车站，使车站到两个村庄的距离相等，车站应建在何处？
2. 学生思考：引导学生猜想车站的位置，引出本节课的核心——线段的垂直平分线。
（二）探究新知（20分钟）
1. 线段垂直平分线的性质定理
- 操作猜想：让学生画一条线段AB，作出它的垂直平分线MN，在MN上任取一点P，测量PA和PB的长度，猜想两者的关系。
- 定理证明：
已知：直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上任意一点。
求证：PA=PB。
证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90°。
又∵ AC=BC，PC=PC，∴ △PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA=PB（全等三角形对应边相等）。
- 定理总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2. 线段垂直平分线的判定定理
- 逆命题思考：提出问题“到线段两端点距离相等的点，是否在线段的垂直平分线上？”
- 定理证明：
已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：过P作PC⊥AB于C，在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴ AC=BC，即PC是AB的垂直平分线，点P在AB的垂直平分线上。
- 定理总结：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3. 三角形三边垂直平分线的性质
- 例题探究：在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC。
证明：∵ 点P在AB的垂直平分线上，∴ PA=PB；同理PB=PC，∴ PA=PC，
∴ 点P在AC的垂直平分线上，即三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。
（三）尺规作图（12分钟）
1. 作线段的垂直平分线：
- 步骤：① 分别以A、B为圆心，大于 AB的长度为半径画弧，两弧交于两点；② 过两点作直线，即为AB的垂直平分线。
- 原理：两弧交点到A、B的距离相等，根据判定定理，交点在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线。
2. 过直线外一点作已知直线的垂线：
- 步骤：① 任取一点Q，使Q与P在直线l两旁；② 以P为圆心，PQ为半径画弧，交l于A、B；③ 作AB的垂直平分线m，直线m即为所求。
- 原理：PA=PB，点P在AB的垂直平分线上，故直线m经过P。
3. 作三角形的高：
- 以作△ABC中BC边上的高为例：① 以A为圆心，适当长度为半径画弧，交BC于E、F；② 作EF的垂直平分线，交BC于G，AG即为BC边上的高。
（四）巩固练习（5分钟）
1. 已知AB=AC，OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC。
证明：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上；∵ OB=OC，∴ 点O在BC的垂直平分线上，
∴ 直线AO是BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。
2. 随堂练习：如图，AB是CD的垂直平分线，E、F是AB上的点，求证：∠ECF=∠EDF。
证明：∵ AB是CD的垂直平分线，∴ EC=ED，FC=FD，又EF=EF，
∴ △ECF≌△EDF（SSS），∴ ∠ECF=∠EDF。
（五）课堂小结（3分钟）
1. 回顾线段垂直平分线的性质定理与判定定理。
2. 总结尺规作线段垂直平分线、直线垂线、三角形高的步骤及原理。
3. 强调三角形三边垂直平分线的交点性质。
（六）布置作业（0.5分钟）
1. 必做题：教材习题1.4第1、2题。
2. 选做题：解决导入中的“车站选址”问题，说明理由。
五、板书设计
线段的垂直平分线
1. 性质定理：垂直平分线上的点到两端点距离相等
证明：△PCA≌△PCB（SAS）→ PA=PB
2. 判定定理：到两端点距离相等的点在垂直平分线上
证明：Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）→ AC=BC
3. 三角形三边垂直平分线：交于一点，到三顶点距离相等
4. 尺规作图：
- 作垂直平分线：两弧交点连线
- 过点作垂线：转化为作线段垂直平分线
第四节 线段的垂直平分线 教学设计
郭大平
一、教学基本信息
- 教材版本：北师大版八年级下册数学
- 课时安排：1课时（45分钟）
- 授课对象：八年级学生
二、教学目标（核心素养导向）
1. 数学抽象：通过观察、操作、猜想，抽象出线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其几何本质。
2. 逻辑推理：能严谨证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理，发展演绎推理能力。
3. 直观想象：通过尺规作图，掌握作线段垂直平分线、三角形高的方法，提升几何直观能力。
4. 数学建模：能运用线段垂直平分线的相关定理解决实际问题，体会数学与生活的联系。
三、教学重难点
- 重点：线段垂直平分线的性质定理与判定定理的证明及应用。
- 难点：理解“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的判定定理，以及尺规作图的原理。
四、教学过程
（一）情境导入（5分钟）
1. 问题引入：
展示生活实例：在一条公路的同侧有两个村庄，现要在公路上修建一个公共汽车站，使车站到两个村庄的距离相等，车站应建在何处？
2. 学生思考：引导学生猜想车站的位置，引出本节课的核心——线段的垂直平分线。
（二）探究新知（20分钟）
1. 线段垂直平分线的性质定理
- 操作猜想：让学生画一条线段AB，作出它的垂直平分线MN，在MN上任取一点P，测量PA和PB的长度，猜想两者的关系。
- 定理证明：
已知：直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上任意一点。
求证：PA=PB。
证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90°。
又∵ AC=BC，PC=PC，∴ △PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA=PB（全等三角形对应边相等）。
- 定理总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2. 线段垂直平分线的判定定理
- 逆命题思考：提出问题“到线段两端点距离相等的点，是否在线段的垂直平分线上？”
- 定理证明：
已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：过P作PC⊥AB于C，在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴ AC=BC，即PC是AB的垂直平分线，点P在AB的垂直平分线上。
- 定理总结：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3. 三角形三边垂直平分线的性质
- 例题探究：在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC。
证明：∵ 点P在AB的垂直平分线上，∴ PA=PB；同理PB=PC，∴ PA=PC，
∴ 点P在AC的垂直平分线上，即三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。
（三）尺规作图（12分钟）
1. 作线段的垂直平分线：
- 步骤：① 分别以A、B为圆心，大于 AB的长度为半径画弧，两弧交于两点；② 过两点作直线，即为AB的垂直平分线。
- 原理：两弧交点到A、B的距离相等，根据判定定理，交点在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线。
2. 过直线外一点作已知直线的垂线：
- 步骤：① 任取一点Q，使Q与P在直线l两旁；② 以P为圆心，PQ为半径画弧，交l于A、B；③ 作AB的垂直平分线m，直线m即为所求。
- 原理：PA=PB，点P在AB的垂直平分线上，故直线m经过P。
3. 作三角形的高：
- 以作△ABC中BC边上的高为例：① 以A为圆心，适当长度为半径画弧，交BC于E、F；② 作EF的垂直平分线，交BC于G，AG即为BC边上的高。
（四）巩固练习（5分钟）
1. 已知AB=AC，OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC。
证明：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上；∵ OB=OC，∴ 点O在BC的垂直平分线上，
∴ 直线AO是BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。
2. 随堂练习：如图，AB是CD的垂直平分线，E、F是AB上的点，求证：∠ECF=∠EDF。
证明：∵ AB是CD的垂直平分线，∴ EC=ED，FC=FD，又EF=EF，
∴ △ECF≌△EDF（SSS），∴ ∠ECF=∠EDF。
（五）课堂小结（3分钟）
1. 回顾线段垂直平分线的性质定理与判定定理。
2. 总结尺规作线段垂直平分线、直线垂线、三角形高的步骤及原理。
3. 强调三角形三边垂直平分线的交点性质。
（六）布置作业（0.5分钟）
1. 必做题：教材习题1.4第1、2题。
2. 选做题：解决导入中的“车站选址”问题，说明理由。
五、板书设计
线段的垂直平分线
1. 性质定理：垂直平分线上的点到两端点距离相等
证明：△PCA≌△PCB（SAS）→ PA=PB
2. 判定定理：到两端点距离相等的点在垂直平分线上
证明：Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）→ AC=BC
3. 三角形三边垂直平分线：交于一点，到三顶点距离相等
4. 尺规作图：
- 作垂直平分线：两弧交点连线
- 过点作垂线：转化为作线段垂直平分线
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