全等三角形的有关证明（提高篇）
关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等
直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！
直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。
例一：图1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？
[分析]：此图形可看作绕O点旋转得到，由垂直得到一组直角，
把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。
[变形1]：请说明△BCE是直角三角形。
（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）
解：易得△AOB≌△COD （此过程较简单，略过不描述）
∴ ∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
又 ∠OAB=∠DAE（对顶角相等）
而在Rt△AOB中，∠OAB+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴ ∠DAE+∠D=90°（等量代换）
∴ 在△ADE中，∠DEA=180°（∠DAE+∠D）=90°（三角形内角和定理）
∴ ∠BEC=90°（补角性质）
故△BCE是直角三角形
[变形2]：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，
连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．
[分析]：此图中要说明AF⊥BE，与上题中△BCE是直角三角形是一样的意思，
只需要说明∠BFD=90°即可
[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结CD． （彩图为提示）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：CD⊥BE
[变形4]、如图2，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，
问△BHD≌△ACD，为什么？
[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），
一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！
[变形5]：如图3， 已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。
[变形6]：如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗 请说明理由。
例二：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE， ∠ABC=∠CDE=90°，
问BD=AB+ED吗
[分析] ：
（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；
（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；
（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：
如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。
解答过程：得到△ABC≌CDE之后，可得到BC=DE，AB=CD
∴ BC+CD=DE+AB（等式性质）
即：BD=AB+DE
[变形1]：如图7， 如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。
[注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）
位置关系（垂直，平行之类）
[变形2]：（2008 泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：DE=BF
[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
[变形3]：如图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，
如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
[分析] ：说明相等的边所在的三角形全等，
题中“AB=AC”，发现：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，
所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9）
于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，
再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。
解：由题意可得：在Rt△ABD中，∠1+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
又∵ ∠BAC=90°（已知）， 即∠1+∠CAE=90°
∴ ∠ABD=∠CAE（等角的余角相等）
故在△ABD与△CAE中，
∠BDA=∠AEC=90°（垂直定义）
∠ABD=∠CAE（已求）
AB=AC（已知）
∴ △ABD≌△CAE（AAS）
∴ AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等）
∴ DE=AEAD=73=4
[变形4]：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。
等腰三角形、等边三角形的全等问题：
[必备知识]：
如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。
例三：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？
[分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，
分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，
∴ 题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，
加上所求的“BD=CE”，你会发现BD在△ABD中，CE在△ACE中，
这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB在△ABD中，AC在△ACE中，它们是一组对应边；
“AD=AE”可以理解为：AD在△ABD中，AE在△ACE中，它们是一组对应边；
所以只需要说明它们的夹角相等即可。
关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”
解： ∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD（等式性质）
即： ∠BAD=∠CAE
∴ 在△ABD与△ACE中，
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAE（已求）
AD=AE
∴ △ABD≌△ACE（SAS）
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）
[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，
请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？
[分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等，
此题是两组角相等，那么该如何做呢
[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。
[分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在△ABD的一边，CE看成△ACE的一边，自然就得到了证明的方向。
解：∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴ AB=AC， AD=AE ∠BAC=∠DAE=60°
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD（等式性质）
即： ∠BAD=∠CAE
[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等
这里仅以图17进行说明
解：∵ △ABC与△ADE是等边三角形，
∴ AB=AC， AD=AE
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC∠CAD=∠DAE∠CAD【仅这步有差别】
即：∠BAD=∠BAD=∠CAE
∴ 在△ABD与△ACE中，
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAE（已求）
AD=AE
∴ △ABD≌△ACE（SAS）
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）
图16，图18的类型，请同学们自己去完成
[变形4]：（2008 怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：；
[分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60°换成直角了，思路一样
例四： 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.
求证：AN平分∠BAC.
[分析]：要说明AN平分∠BAC，必须说明两角相等，∴可以说明△AMN≌△CAN，
而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）
结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL定理得到全等。
[变形1]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度数
图1
图17
2
1
图4
接下来的过程与例三完全一致，不予描述！
图9
图8
1
图6
图5
D
B
F
E
M
C
A
图3
D
H
E
C
B
图2
1
1
图12
D
E
C
图11
图10
A
图18
图16
图15
2
图13
图14
图2
图7
图1
2
B
F
A
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- 1 -全等三角形的有关证明
关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等
题一：如图，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？
[变形1]：请说明△BCE是直角三角形。
[变形2]：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，
连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．
[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结CD．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：CD⊥BE
[变形4]、如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，
问△BHD≌△ACD，为什么？
[变形5]：如图， 已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。
[变形6]：如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗 请说明理由。
题二：如图，已知，AC⊥CE，AC=CE， ∠ABC=∠CDE=90°，
问BD=AB+ED吗
[变形1]：如图， 如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。
[变形2]：（2008 泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：DE=BF
[变形3]：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，
如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
[变形4]：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。
等腰三角形、等边三角形的全等问题：
例三：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？
[变形1]：如图，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，
请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？
[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。
[变形3]：如图，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等
[变形4]：（2008 怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：；
题四： 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.
求证：AN平分∠BAC.
[变形1]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度数
A
F
B
C
E
D
图2
图1
A
B
C
E
H
D
A
C
M
E
F
B
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图12
图11
图10
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