四川成都市棕北中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

四川成都市棕北中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
学校：___________ 班级：______________ 姓名：_____________
一．单选题
1．的相反数是（ ）
A． B．7 C． D．
2．据国内产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．1
6．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，∠2=70°，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二．填空题
9．分解因式：a3－a=___________
10．某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________．
11．某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______．
12．如图，四边形内接于，为的直径．若，，则________．
13．醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
14．若，则代数式的值为________．
15．已知、是一元二次方程的两个实数根．则代数式的值为________．
16．如图，点A的坐标为，其中．过点A作的垂线交过点A的反比例函数的图象于点B，若，则k的值为________．
17．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”，若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）直接写出双曲线上的一对“对偶点”为________．
（2）若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为________．
18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接．若，，则的值为______．
三．解答题
19．解下列各题
(1)计算：；
(2)解不等式组，并写出它的所有整数解．
20．内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
(1)表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______度．
(2)若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
(3)现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21．如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：）
22．如图，在四边形中，，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，分别求和的长．
23．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
24．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值．若不存在，请说明理由．
26．在菱形中，对角线交于点O，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的值．②在点E的移动过程中，求的最小值．
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四川成都市棕北中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
参考答案：
1．B
解：的相反数是．
故选：B．
2．D
解：．
3．D
解：A．，错误．
B．，错误．
C．与不是同类项，无法合并，结果应为，错误．
D．根据平方差公式，，正确．
故选：D．
4．B
解：设红球有个，则袋子中总球数为个，
∵ 搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴ 根据概率公式可得 ，
交叉相乘得 ，
展开得 ，
移项合并同类项得 ，
解得 ，经检验符合题意；
∴ 红球的个数为4.
5．D
解：∵ ，
∴ 原式.
6．A
解：∵，，
∴，
，
∴；
故选：A．
7．A
解：根据题意可得：平分，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A.
8．C
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
9．
解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
10．71
解：数据中，71出现的次数最多，所以这组数据的众数为71；
故答案为：71．
11．1.2
解：设h关于ρ的函数解析式为，
将，代入解析式，得，
∴h关于ρ的函数解析式为，
将代入，得，
解得：，
即乙液体的密度为，
故答案为：1.2．
12．/度
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故答案为：．
13．20
解：第种分子模型中，氢原子个数为：，
第种分子模型中，氢原子个数为：，
第种分子模型中，氢原子个数为：，
第种分子模型中，氢原子个数为：，
，
第种分子模型中，氢原子个数为个，
当时，．
故答案为：．
14．5
解：∵，
又∵，
∴，
∴当时，
原式=．
故答案为：．
15．
解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
16．
解：如图，过点作轴于点，延长，过点作于点，
∵点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为，
∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴，
化简整理得：，
解得，
∵，
∴，
∴.
17． ，
（1）解：，
，，
，，
对于，令，则，即点在上，
则其“对偶点”为．
（2）解：设函数的图像上两点，是“对偶点”，则根据题意满足，，，即，，
同时，两点在函数图像上，则，，
可得，
可得，即，
代入整理得，
则此关于的一元二次方程必有实数根，
，
当，可得，
将代入可得，
将，代入可得，
由，可知不符合题意，舍去；
当，可得．
综上，的取值范围为．
18．
解：由旋转可得，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∵，
∴，，
过作于点，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，即，
∴，，
∴，
过作交的延长线于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)7
(2)，所有整数解有：
（1）解：
；
（2）解：，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
∴所有整数解有：．
20．(1)12，60
(2)600
(3)
（1）解：抽取的人数：（人），
则，
成绩等级为D的扇形圆心角：，
故答案为：12，60；
（2）解：（人），
答：成绩等级为A的学生大约有人；
（3）解：画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙两人同时被选中的结果数有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率是．
21．乙楼的高为
解：如图，
由题意得，四边形为矩形，，，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
答：乙楼的高为．
22．(1)证明见解析
(2)，
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵以为直径的经过点D，
∴，
∴，
∴，即，
∵为的半径，且，
∴为的切线；
（2）解：过点D作交于点F，如图，
∵，即，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
在中，，解得，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，即，
在中，，解得，
∴，
∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，，．
23．(1)，
(2)①，②
（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则
，解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则，；
（2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
则，
那么，点；
②一次函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵点，
∴，
∵，
∴点M与点K重合，，
∴点，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴，解得，或，
∵D的横坐标大于1，
∴，
∴，
故点．
24．(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
(2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
25．(1)抛物线解析式为
(2)或
(3)存在，当点Q的坐标为时，的最小值为
（1）解：∵抛物线关于直线对称，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
把代入得，，
∴，
∴抛物线解析式为．
（2）解：∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点，
∴设，，
∵将线段绕点P逆时针旋转，点B的对应点为点D，
∴，，
当点在轴上方时，
∵，关于对称轴对称，
∴，
∴当时，符合题意，此时点与点重合，，
∵，对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，过点作对称轴于点，则：，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，（舍去），
∴；
综上所述，点的坐标为或．
（3）解：存在．
在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当与重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵当与重合时，取得最小值，即时，取得最小值，
∴，
综上所述，当点Q的坐标为时，的最小值为．
26．(1)
(2)①②
（1）解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴由勾股定理得，
∴；
（2）解：①如图2，连接交于点，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
根据翻折的性质得，
∴，
∴，
∴，
解得，
由勾股定理得；
②如图3所示，过点作于点，过点作于点，
由①得，
∵，
∴
，
∵，
∴要使的值最小，则要最大，即使的值最小，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，且，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点与点重合时，有最小值，最小值为，
∴此时，，
∴．
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