2025-2026学年山东省日照市东港区北京路中学九年级（下）开学数学试卷(含简略答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年山东省日照市东港区北京路中学九年级（下）开学数学试卷(含简略答案) |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 391.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年山东省日照市东港区北京路中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.下列纹样是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.韦伯望远镜通过高红移观测，发现了宇宙诞生后近三亿年左右的最遥远星系，刷新了人类对早期宇宙的认知.其光线自宇宙诞生后约3亿年发出，穿越了约135亿年，如今才被我们“看见”，数据“135亿”用科学记数法表示为（ ）
A. 1.35×1010 B. 13.5×109 C. 1.35×109 D. 2.8×108
3.下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. a2 a3=a6 C. （-a2）3=a6 D. a3÷a2=a
4.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，△ABC和△DEF关于点O位似，若DO：AO=2：1，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A. 24
B. 16
C. 12
D. 8
6.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据条件可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
7.下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A. 图象在第一、三象限
B. 点（-1，-6）在反比例函数的图象上
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 若点A（-2，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2
8.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+m2=0的两实数根为x1，x2，若x1+x2=7，则m的值为（ ）
A. -3 B. 3 C. 或 D.
9.如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（ ）
A.
B.
C.
D.
10.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培.通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率p低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率p.通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v（单位：L）近似地满足二次函数关系p=av2+bv+c（a,b,c为常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A. 3.5L B. 3.75L C. 4L D. 4.25L
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解a3b-9ab= .
12.若有意义，则实数x的取值范围为 ．
13.若（3x+2y-19）2+|2x+y-11|=0，则x+y的平方根是 .
14.设x1、x2是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则（x1-1）（x2-1）的值为 .
15.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 .
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，且CD=1，过B点作BE⊥AB交⊙O于点E，若∠BCE=45°，则BE的最小值为 .
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
（1）求不等式组：的所有整数解；
（2）先化简，再求值：，其中x=-4.
18.(本小题9分)
为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A.红色故事分享会”“B.校园绿植养护”“C.篮球友谊赛”“D.绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）.
（1）小云选择的活动为“B.校园绿植养护”的概率为______；
（2）请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于A（a,6）、B（-6，1）两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b-≥0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D.若点C横坐标为-4，求△BOD的面积.
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若，求线段BE的长.
21.(本小题9分)
2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合.机器人为了完美地转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距.图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB=45°，胳膊AB=40cm,OB=30cm,旋转的手绢近似圆形，半径OC=25cm,OC与手臂OB保持垂直.肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）.
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm.在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm.问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
22.(本小题9分)
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2.
（1）当x1=2，且b+c=-6时，
①求b,c的值；
②当-2≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1=3x2，求证：.
23.(本小题18分)
小强在学习《图形的相似》这章时，对“直角三角形中，作斜边上的高构造相似”这一基本图形产生了浓厚的兴趣，并对这一基本图形进行了“再创造”.
【初步探究】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，求证：BC2=BD BA；
（2）在图1的条件下，延长CB至点E，如图2，使得BE=BC，连接DE、AE，求证：∠BED=∠BAE；
【尝试应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，CD⊥AB.以点B为圆心，BC为半径画圆，点M为⊙B上一动点，连接DM、AM，在点M运动过程中，的比值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】ab（a+3）（a-3）
12.【答案】x≥-1
13.【答案】
14.【答案】-2021
15.【答案】m＞-3且m≠-1
16.【答案】
17.【答案】-1，0，1 x+3；-1
18.【答案】 （2）
19.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（-6，1），
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为，
把点A（a,6）代入反比例函数得，，
解得a=-1，
∴点A的坐标为（-1，6），
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A（-1，6）、B（-6，1）两点，
∴，解得 ，
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）-6≤x≤-1；
（3）∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
解得：y=-4+7=3，
∴C（-4，3），
当y=3时，代入，得，
解得：x=-2，
∴D（-2，3），
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（-6，1），D（-2，3），
∴DE=3，BF=1，EF=-2-（-6）=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3，
∴S△BOD=S梯形BFED=（DE+BF）EF=×（3+1）×4=8．
20.【答案】∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB
21.【答案】解：（1）∵∠ANB=90°，∠NAB=45°，
∴∠ABN=45°，
∴，
∴∠OBD=66.4°，
∴∠ABO=180°-45°-66.4°=68.6°；
（2）在规定范围内，理由：
过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC=90°，
∵∠BOC=90°，∠OBD=66.4°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=90°-66.4°=23.6°，
∴∠COE=90°-∠BOD=90°-23.6°=66.4°，
∴CE=OC sin∠COE≈25×0.92=23（cm）,
∵∠NAB=45°，AB=40cm,
∴，
∴此时手绢端点C与舞者距离为100-（28.28+12+23）≈36.7（cm）,
∵安全距离范围为30 40cm,
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
22.【答案】（1）解：①当x1=2，则抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c=-6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、-8；
②y=x2+2x-8=（x+1）2-9，
当-2＜t＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y=（x+1）2-9=-8，当x=t时，y=t2+2t-8，
则-8-t2-2t+8=4，
方程无解；
当t＞-1时，y的最小值为-9，最大值为t2+2t-8，
则t2+2t-8-（-9）=4，
解得：t=-3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1=3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=-b,
∴3x2+x2=-b,
∴x2=-b,
∴（-b）2+b （-b）+c=0，
∴c=b2，
∴b-c=b-b2=-（b-4）2+3≤3，
∴．
23.【答案】证明：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BDC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
即BC2=BD BA 证明：由（1）知BC2=BD BA，
又∵BE=BC，
∴BE2=BD BA，即．，
∵∠EBD=∠ABE，
∴△BDE∽△BEA，
∴∠BED=∠BAE 的比值是定值，定值为
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.下列纹样是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.韦伯望远镜通过高红移观测，发现了宇宙诞生后近三亿年左右的最遥远星系，刷新了人类对早期宇宙的认知.其光线自宇宙诞生后约3亿年发出，穿越了约135亿年，如今才被我们“看见”，数据“135亿”用科学记数法表示为（ ）
A. 1.35×1010 B. 13.5×109 C. 1.35×109 D. 2.8×108
3.下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. a2 a3=a6 C. （-a2）3=a6 D. a3÷a2=a
4.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，△ABC和△DEF关于点O位似，若DO：AO=2：1，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A. 24
B. 16
C. 12
D. 8
6.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据条件可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
7.下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A. 图象在第一、三象限
B. 点（-1，-6）在反比例函数的图象上
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 若点A（-2，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2
8.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+m2=0的两实数根为x1，x2，若x1+x2=7，则m的值为（ ）
A. -3 B. 3 C. 或 D.
9.如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（ ）
A.
B.
C.
D.
10.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培.通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率p低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率p.通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v（单位：L）近似地满足二次函数关系p=av2+bv+c（a,b,c为常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A. 3.5L B. 3.75L C. 4L D. 4.25L
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解a3b-9ab= .
12.若有意义，则实数x的取值范围为 ．
13.若（3x+2y-19）2+|2x+y-11|=0，则x+y的平方根是 .
14.设x1、x2是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则（x1-1）（x2-1）的值为 .
15.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 .
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，且CD=1，过B点作BE⊥AB交⊙O于点E，若∠BCE=45°，则BE的最小值为 .
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
（1）求不等式组：的所有整数解；
（2）先化简，再求值：，其中x=-4.
18.(本小题9分)
为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A.红色故事分享会”“B.校园绿植养护”“C.篮球友谊赛”“D.绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）.
（1）小云选择的活动为“B.校园绿植养护”的概率为______；
（2）请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于A（a,6）、B（-6，1）两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b-≥0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D.若点C横坐标为-4，求△BOD的面积.
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若，求线段BE的长.
21.(本小题9分)
2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合.机器人为了完美地转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距.图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB=45°，胳膊AB=40cm,OB=30cm,旋转的手绢近似圆形，半径OC=25cm,OC与手臂OB保持垂直.肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）.
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm.在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm.问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
22.(本小题9分)
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2.
（1）当x1=2，且b+c=-6时，
①求b,c的值；
②当-2≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1=3x2，求证：.
23.(本小题18分)
小强在学习《图形的相似》这章时，对“直角三角形中，作斜边上的高构造相似”这一基本图形产生了浓厚的兴趣，并对这一基本图形进行了“再创造”.
【初步探究】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，求证：BC2=BD BA；
（2）在图1的条件下，延长CB至点E，如图2，使得BE=BC，连接DE、AE，求证：∠BED=∠BAE；
【尝试应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，CD⊥AB.以点B为圆心，BC为半径画圆，点M为⊙B上一动点，连接DM、AM，在点M运动过程中，的比值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】ab（a+3）（a-3）
12.【答案】x≥-1
13.【答案】
14.【答案】-2021
15.【答案】m＞-3且m≠-1
16.【答案】
17.【答案】-1，0，1 x+3；-1
18.【答案】 （2）
19.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（-6，1），
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为，
把点A（a,6）代入反比例函数得，，
解得a=-1，
∴点A的坐标为（-1，6），
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A（-1，6）、B（-6，1）两点，
∴，解得 ，
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）-6≤x≤-1；
（3）∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
解得：y=-4+7=3，
∴C（-4，3），
当y=3时，代入，得，
解得：x=-2，
∴D（-2，3），
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（-6，1），D（-2，3），
∴DE=3，BF=1，EF=-2-（-6）=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3，
∴S△BOD=S梯形BFED=（DE+BF）EF=×（3+1）×4=8．
20.【答案】∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB
21.【答案】解：（1）∵∠ANB=90°，∠NAB=45°，
∴∠ABN=45°，
∴，
∴∠OBD=66.4°，
∴∠ABO=180°-45°-66.4°=68.6°；
（2）在规定范围内，理由：
过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC=90°，
∵∠BOC=90°，∠OBD=66.4°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=90°-66.4°=23.6°，
∴∠COE=90°-∠BOD=90°-23.6°=66.4°，
∴CE=OC sin∠COE≈25×0.92=23（cm）,
∵∠NAB=45°，AB=40cm,
∴，
∴此时手绢端点C与舞者距离为100-（28.28+12+23）≈36.7（cm）,
∵安全距离范围为30 40cm,
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
22.【答案】（1）解：①当x1=2，则抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c=-6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、-8；
②y=x2+2x-8=（x+1）2-9，
当-2＜t＜-1时，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y=（x+1）2-9=-8，当x=t时，y=t2+2t-8，
则-8-t2-2t+8=4，
方程无解；
当t＞-1时，y的最小值为-9，最大值为t2+2t-8，
则t2+2t-8-（-9）=4，
解得：t=-3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1=3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=-b,
∴3x2+x2=-b,
∴x2=-b,
∴（-b）2+b （-b）+c=0，
∴c=b2，
∴b-c=b-b2=-（b-4）2+3≤3，
∴．
23.【答案】证明：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BDC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
即BC2=BD BA 证明：由（1）知BC2=BD BA，
又∵BE=BC，
∴BE2=BD BA，即．，
∵∠EBD=∠ABE，
∴△BDE∽△BEA，
∴∠BED=∠BAE 的比值是定值，定值为
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