江西抚州市十三校联合体2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性数学作业试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西抚州市十三校联合体2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性数学作业试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-02 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
江西抚州市十三校联合体2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性数学作业试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是化学中常用的几种实验仪器，其中主视图和左视图不同的是（）
A. 广口瓶 B. 圆底瓶
C. 蒸馏烧瓶 D. 锥形瓶
2.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.在函数y=中，自变量x的取值范围是 ()
A. x>3 B. x≥3 C. x>4 D. x≥3且x≠4
4.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE=2，AD=5，则 ABCD的周长为（ ）
A. 9
B. 14
C. 16
D. 18
5.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解： ．
8.“学习强国”学习平台是立足全体党员、面向全社会的优质平台，该平台实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，一位平台爱好者的学习积分为76500分，76500用科学记数法表示为 ．
9.已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则 ．
10.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则依题意可列方程： ．
11.关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是 ．
12.如图，菱形中，，，E为的中点，点P在边上（不与A、D重合），当的长为偶数时，的长为 ．
三、计算题：本大题共5小题，共6分，共30分。
13.完成下列各题：
(1) 计算：；
(2) 化简：．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D．求证：四边形AECD是矩形．
15.“九三阅兵”后，某班图书角准备添置一些关于国防类的图书，小贤家与小艺家都有“战斗机”“坦克”“导弹”三个系列的相关图书，需要他们各自从家中带一本相关图书放置在班级图书角，学期结束后再带回家．为确定他们各自所带图书，小艺制作了背面完全相同，正面写着“战斗机”“坦克”和“导弹”的三张卡片．
(1) 若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是 ．A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
(2) 若小贤随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小艺再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一系列的相关图书的概率．
16.如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图．
(1) 在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形．
(2) 在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使．
17.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm,图1中BC的长是门条长的，AB.CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于、两点且点C的坐标为，点的坐标为．
(1) 直接写出一次函数的表达式；
(2) 根据图象，直接写出当自变量取何值时，；
(3) 求的面积．
19.为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识
了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图
根据图中信息回答下列问题．
(1) 本次被调查的学生共有 人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是 ；
(2) 补全频数分布直方图和折线统计图；
(3) 若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果 ；（填“明显”或“不明显”）
(4) 若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人．
20.定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”．
(1) 若直线是抛物线的“最美直线”，求的值；
(2) 平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 ，图2是其侧面示意图．
已知支架 长为 米，且垂直于地面 ，悬托架 米，点 固定在伞面上，且伞面直径 是 的4倍．当伞面完全张开时，点 始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄 沿着 移动，以保证太阳光线与 始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点 ．
(1) 任务1： 某一时刻测得 米，
①请直接写出 ________；
②请求出此时影子 的长度；
(2) 任务2： 这天14点，小明坐在离支架3米处的 点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
22.
(1) 【课本再现】如图①，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，B．图中的PA与PB，与有什么关系？请说明理由．
(2) 【知识应用】如图②，PN，PD，DE分别与相切于点A，B，C，且，连接OD，OP，延长PO交于点M，交DE于点E，过点M作交PN于点N．
①求证：MN是的切线；
②当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23.【感知】新定义：如图1，在四边形 中，若在四边形内部存在一点 ，连接 ， ， ， ，满足 ，且 ，则称四边形 为“蝴蝶四边形”，其中点 为“蝶心”， 为“蝶比”．
(1) 如图2，正方形 （填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为 ．
(2) 【探究】
如图3，在四边形 中， ，取线段 中点为点 ，延长 交线段 于点 ，若满足 ，请判断四边形 是否是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．
(3) 【拓展】
如图4，四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ， ，过点 作 交 于点 ，延长 交 于点 ．
①“蝴蝶四边形” 的蝶比为___________．（用含 的代数式表示）
②求证：点 是线段 的中点．
③请直接写出 的值为___________．（用含 的代数式表示）
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.D
7.
8.
9.2026
10.
11.
12.或或
13.【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．
14.证明：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=∠BAC，
∵AD平分∠FAC，
∴∠DAC=∠FAC，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠BAC+∠FAC=（∠BAC+∠FAC）=×180°=90°，
又∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴四边形AECD是矩形．
15.【小题1】
【小题2】
解：将抽中“战斗机”“坦克”“导弹”系列的图书分别记为．
根据题意，画树状图如下：
由图可知，所有可能出现的结果有9种，且出现的可能性相等，其中，小贤和小艺同学恰好抽中同一系列相关图书的结果共有3种，
（两人恰好抽中同一系列的相关图书）．
16.【小题1】
解：如图①所示，即为所求，
【小题2】
解：如图②所示，
由勾股定理可得，，
∴由图可知，根据平行线分线段成比例可得，，
由（1）可知，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴，
∴即为所求图形．
17.解：设胸腹高为x cm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的长度为（5x-10）cm,，AB=CD=xcm,头部高为xcm,尾部高为2x cm,这只风筝的骨架的总高为4x cm,
由AD=AB+BC+CD，
可得，
解得：x=20；
所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm,
答：这只风筝的骨架的总高为80cm.
18.【小题1】
解：将点代入反比例函数，得，
∴点的坐标为，
将点，代入得，，
解得，
∴一次函数表达式为：；
【小题2】
解：由图象可知，当或时，；
【小题3】
解：将，代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
19.【小题1】
400
10
【小题2】
解：根据题意可得听讲座后组的人数为人，
故补全频数分布直方图和折线统计图如图：
【小题3】
明显
【小题4】
解：（人）．
答：听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生约减少了400人．
20.【小题1】
解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵直线是抛物线的“最美直线”，
∴，
解得；
【小题2】
解：把代入直线，得，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，
∵直线是抛物线的“最美直线”，
∴直线经过点，
∴，
∵抛物线与轴的交点为，
∴，
∴，
将代入，得，
即，
解得或，
当时，；
当时，；
∴抛物线的函数表达式为或，即或．
21.【小题1】
解： 悬托架 米，点 固定在伞面上，且伞面直径 是 的4倍，
（米），
如图，过 作 于 ，而 ，
故答案为： ;
②如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
由条件可知 米，
在 中， ，
又 ，
解得： 米，
此时影子 的长度为 米；
【小题2】
小明会被照射到．理由如下：
如图，过点 作 交 于点
由条件可知 ，
由条件可知 是等边三角形，
米，
.
米，
米，
当 时， 米，
小明刚好被照射到时离 点的距离为 ，
小明会被照射到.
22.【小题1】
解：．理由如下：
如图①，连接和．
和是⊙O的两条切线，
．
又
，
．
【小题2】
①证明：，，分别与相切于点A，B，C，
∴，分别平分．
又，
，
，即．
又，．
又 MN经过半径OM的外端点M，
MN是的切线．
②如图②，连接OB，则．
，
，
，
，
．
综上所述，的半径是，图中阴影部分的面积是．
23.【小题1】
是
1
【小题2】
四边形 是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下，
如图，延长 到点 ，使得 ，连接
∵线段 中点为点 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
∴
∴
∴四边形 是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”；
【小题3】
①∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ， ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ；
②如图；延长 作 交于点 ；
∴
∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ，过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴
∴ ，
∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，
∴
∴
∴
∴
∴点 是线段 的中点
③∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
第1页，共1页
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是化学中常用的几种实验仪器，其中主视图和左视图不同的是（）
A. 广口瓶 B. 圆底瓶
C. 蒸馏烧瓶 D. 锥形瓶
2.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.在函数y=中，自变量x的取值范围是 ()
A. x>3 B. x≥3 C. x>4 D. x≥3且x≠4
4.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE=2，AD=5，则 ABCD的周长为（ ）
A. 9
B. 14
C. 16
D. 18
5.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解： ．
8.“学习强国”学习平台是立足全体党员、面向全社会的优质平台，该平台实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，一位平台爱好者的学习积分为76500分，76500用科学记数法表示为 ．
9.已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则 ．
10.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则依题意可列方程： ．
11.关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是 ．
12.如图，菱形中，，，E为的中点，点P在边上（不与A、D重合），当的长为偶数时，的长为 ．
三、计算题：本大题共5小题，共6分，共30分。
13.完成下列各题：
(1) 计算：；
(2) 化简：．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D．求证：四边形AECD是矩形．
15.“九三阅兵”后，某班图书角准备添置一些关于国防类的图书，小贤家与小艺家都有“战斗机”“坦克”“导弹”三个系列的相关图书，需要他们各自从家中带一本相关图书放置在班级图书角，学期结束后再带回家．为确定他们各自所带图书，小艺制作了背面完全相同，正面写着“战斗机”“坦克”和“导弹”的三张卡片．
(1) 若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是 ．A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
(2) 若小贤随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小艺再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一系列的相关图书的概率．
16.如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图．
(1) 在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形．
(2) 在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使．
17.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm,图1中BC的长是门条长的，AB.CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于、两点且点C的坐标为，点的坐标为．
(1) 直接写出一次函数的表达式；
(2) 根据图象，直接写出当自变量取何值时，；
(3) 求的面积．
19.为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识
了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图
根据图中信息回答下列问题．
(1) 本次被调查的学生共有 人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是 ；
(2) 补全频数分布直方图和折线统计图；
(3) 若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果 ；（填“明显”或“不明显”）
(4) 若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人．
20.定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”．
(1) 若直线是抛物线的“最美直线”，求的值；
(2) 平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 ，图2是其侧面示意图．
已知支架 长为 米，且垂直于地面 ，悬托架 米，点 固定在伞面上，且伞面直径 是 的4倍．当伞面完全张开时，点 始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄 沿着 移动，以保证太阳光线与 始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点 ．
(1) 任务1： 某一时刻测得 米，
①请直接写出 ________；
②请求出此时影子 的长度；
(2) 任务2： 这天14点，小明坐在离支架3米处的 点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
22.
(1) 【课本再现】如图①，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，B．图中的PA与PB，与有什么关系？请说明理由．
(2) 【知识应用】如图②，PN，PD，DE分别与相切于点A，B，C，且，连接OD，OP，延长PO交于点M，交DE于点E，过点M作交PN于点N．
①求证：MN是的切线；
②当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23.【感知】新定义：如图1，在四边形 中，若在四边形内部存在一点 ，连接 ， ， ， ，满足 ，且 ，则称四边形 为“蝴蝶四边形”，其中点 为“蝶心”， 为“蝶比”．
(1) 如图2，正方形 （填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为 ．
(2) 【探究】
如图3，在四边形 中， ，取线段 中点为点 ，延长 交线段 于点 ，若满足 ，请判断四边形 是否是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．
(3) 【拓展】
如图4，四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ， ，过点 作 交 于点 ，延长 交 于点 ．
①“蝴蝶四边形” 的蝶比为___________．（用含 的代数式表示）
②求证：点 是线段 的中点．
③请直接写出 的值为___________．（用含 的代数式表示）
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.D
7.
8.
9.2026
10.
11.
12.或或
13.【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．
14.证明：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=∠BAC，
∵AD平分∠FAC，
∴∠DAC=∠FAC，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠BAC+∠FAC=（∠BAC+∠FAC）=×180°=90°，
又∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴四边形AECD是矩形．
15.【小题1】
【小题2】
解：将抽中“战斗机”“坦克”“导弹”系列的图书分别记为．
根据题意，画树状图如下：
由图可知，所有可能出现的结果有9种，且出现的可能性相等，其中，小贤和小艺同学恰好抽中同一系列相关图书的结果共有3种，
（两人恰好抽中同一系列的相关图书）．
16.【小题1】
解：如图①所示，即为所求，
【小题2】
解：如图②所示，
由勾股定理可得，，
∴由图可知，根据平行线分线段成比例可得，，
由（1）可知，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴，
∴即为所求图形．
17.解：设胸腹高为x cm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的长度为（5x-10）cm,，AB=CD=xcm,头部高为xcm,尾部高为2x cm,这只风筝的骨架的总高为4x cm,
由AD=AB+BC+CD，
可得，
解得：x=20；
所以这只风筝的骨架的总高4x=80cm,
答：这只风筝的骨架的总高为80cm.
18.【小题1】
解：将点代入反比例函数，得，
∴点的坐标为，
将点，代入得，，
解得，
∴一次函数表达式为：；
【小题2】
解：由图象可知，当或时，；
【小题3】
解：将，代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
19.【小题1】
400
10
【小题2】
解：根据题意可得听讲座后组的人数为人，
故补全频数分布直方图和折线统计图如图：
【小题3】
明显
【小题4】
解：（人）．
答：听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生约减少了400人．
20.【小题1】
解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵直线是抛物线的“最美直线”，
∴，
解得；
【小题2】
解：把代入直线，得，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，
∵直线是抛物线的“最美直线”，
∴直线经过点，
∴，
∵抛物线与轴的交点为，
∴，
∴，
将代入，得，
即，
解得或，
当时，；
当时，；
∴抛物线的函数表达式为或，即或．
21.【小题1】
解： 悬托架 米，点 固定在伞面上，且伞面直径 是 的4倍，
（米），
如图，过 作 于 ，而 ，
故答案为： ;
②如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
由条件可知 米，
在 中， ，
又 ，
解得： 米，
此时影子 的长度为 米；
【小题2】
小明会被照射到．理由如下：
如图，过点 作 交 于点
由条件可知 ，
由条件可知 是等边三角形，
米，
.
米，
米，
当 时， 米，
小明刚好被照射到时离 点的距离为 ，
小明会被照射到.
22.【小题1】
解：．理由如下：
如图①，连接和．
和是⊙O的两条切线，
．
又
，
．
【小题2】
①证明：，，分别与相切于点A，B，C，
∴，分别平分．
又，
，
，即．
又，．
又 MN经过半径OM的外端点M，
MN是的切线．
②如图②，连接OB，则．
，
，
，
，
．
综上所述，的半径是，图中阴影部分的面积是．
23.【小题1】
是
1
【小题2】
四边形 是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下，
如图，延长 到点 ，使得 ，连接
∵线段 中点为点 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
∴
∴
∴四边形 是以点 为“蝶心”的“蝴蝶四边形”；
【小题3】
①∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ， ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ；
②如图；延长 作 交于点 ；
∴
∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，其中 ，过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴
∴ ，
∵四边形 是“蝴蝶四边形”，点 为“蝶心”，
∴
∴
∴
∴
∴点 是线段 的中点
③∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
第1页，共1页
同课章节目录