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专题04 三角形中的证明和计算问题（5大题型）
三角形中的证明与计算是中考几何必考核心内容，考点集中、模型固定、方法清晰，侧重角度推导、全等证明、相似比例、勾股计算与综合推理，复习时抓模型、记结论、规范步骤，即可得高效拿分.
题型一： 三角形中的角度计算中的五个常考模型
●●1. 内角和模型
【典例1】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴．
故选：C．
●●2. 外角模型
【典例2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
●●3.双角平分线模型
【典例3】（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出．
【详解】解：∵是的外角的平分线，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
设交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
●●4.高线 + 角平分线模型
【典例4】（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，由角平分线和垂直的定义可得和的度数，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
●●5. 八字模型 / 飞镖模型
【典例5】已知相交于点．
(1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数；
(2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论．
【详解】（1）解：，，，
，
，，
．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，
．
（2）解：，平分交直线于，
，
，，
．
模型名称解法指导（文字版，可直接复制）1. 内角和模型利用三角形内角和为 180°，已知两个内角，用 180° 连续减去这两个角，直接求出第三个内角。2. 外角模型三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到对应内角直接相加即可求出外角。3. 双角平分线模型三角形两内角平分线相交形成的角，等于 90° 加上顶角的一半，直接代入公式计算。4. 高线＋角平分线模型先由内角和求顶角，再由角平分线求半角，由高线求直角三角形中的锐角，最后作差得到所求角度。5. 八字模型 / 飞镖模型八字模型：对顶三角形中，两组对角之和相等；飞镖模型：凹四边形顶点角等于三个内角之和。
1．如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：A
2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴
∵，
∴，
故选：C．
3．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
4．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么_____度．
【答案】60
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的应用是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点是两个内角平分线的交点，
，
，
，
点是两外角平分线的交点，
，，
，，即，
，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：60．
5．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：
(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；
(2)见解析；
(3)70°
【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；
（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解．
【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）
（2）证明：连接 CD 并延长至 F，
∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，
∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，
∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，
即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；
（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，
∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，
∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，
∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，
∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，
∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，
∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），
∴150°-∠C=2（110°-∠ C），
解得：∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
题型二：三角形全等中的六个常考模型
●●1. 平移型全等
【典例1】（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质求出，根据推出 ，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解： ，
，，，
，
，
，
●●2. 对称型全等
【典例2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明．
【详解】解：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
●●3. 旋转型全等
【典例3】 （2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明，结合，，即可得到结论；
（2）先证明，结合即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
●●4. 一线三等角全等
【典例4】（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形
【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；
（2）运用类比的方法，同样可以证明；
（3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答．
【详解】（1）证明：直线l，直线l，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：成立，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）解：由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键．
●●5. 倍长中线模型
【典例5】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程．
（1）求证：∴；
证明：∵延长到点，使，
在和中（已作），
（______），
（中点定义），
∴（______），
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线．
（1）根据题干已知可得；
（2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案；
（3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案．
【详解】证明：（1）∵延长到点，使，
在和中，（已作），
（对顶角相等），
（中点定义），
∴，
故答案为：对顶角相等，；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
故，
即；
（3）延长交的延长线于点，如图；
∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
又∵，
∴垂直平分，
∴．
●●6. 截长补短模型
【典例6】截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 ．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．
1. 平移型全等由平行或平移得对应边、对应角相等，用 SSS 或 SAS 证明全等，进而推线段或角相等。2. 对称型全等抓住公共边、公共角、角平分线、中线等对称条件，用 SAS、ASA、AAS 证明全等。3. 旋转型全等共顶点等线段，通过公共角加减同一角证夹角相等，用 SAS 证明旋转全等。4. 一线三等角全等一条直线上三个角相等，导角得两组角对应相等，结合一组边相等，用 ASA 或 AAS 证全等。5. 倍长中线模型延长中线使延长线段与原中线相等，构造 SAS 全等，将分散线段集中到同一三角形。6. 截长补短模型遇到线段和差关系，在长边上截取或延长短边补全，再证明三角形全等，转化线段关系。
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，则__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用即可证得；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
2．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可．
【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
3．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，．
(1)求证：；
(2)过点A作于点H，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，证明，即可证明；
（2）根据三角形内角和求出的值，根据角平分线的定义得到，进而得到，计算即可．
【详解】（1）证明：∵平分，点F在射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∴，
∵于点H，
∴．
4．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后三角形全等的判定和性质，可以求得四边形HFOM的面积，从而可以得到五边形FGHMN的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
AE＝AC＝5，∠EAC＝90°，
则△EAC的面积是：（cm2），
即四边形ABCD的面积为12.5cm2，
故答案为：12.5；
（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，
在△GFH和△NFO中，
，
∴△GFH≌△NFO（SAS），
∴FH＝FO，
∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，
∴HM＝OM，
在△HFM和△OFM中，
，
∴△HFM≌△OFM（SSS），
∵△OFM的面积是：cm2，
∴△HFM的面积是12.5cm2，
∴四边形HFOM的面积是25cm2，
∴五边形FGHMN的面积是25cm2．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）13
【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到；
（2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论；
（3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积．
【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，在上截取，，连接，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，，
过点N作于点P，过点E作于点Q，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵
，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
题型三：相似三角形中的四个常考模型
●●1.A 字型相似
【典例1】如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．
【答案】
【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长．
【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC的BC边上的高是3，
∴AM=3，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，
∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，
∴，．
∴．
∴GF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键．
●●2. 8 字型相似
【典例2】（2026·安徽宿州·一模）如图，与交于点，已知，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可知，，根据相似三角形的性质可得：，，把等式两边分别相加可得：，解方程即可求出结果．
【详解】解：，
，，
①，②，
由①+②，得，
即，
解得：．
故选：A．
●●3. 母子型相似（双垂直）
【典例3】如图，在中，D为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．
（1）根据两角对应相等证明；
（2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
●●4. 一线三等角相似
【典例4】【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）
【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，E为的中点，求的长．
【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．
【答案】[尝试探究]（1）详见解析；（2）；[拓展应用]或8
【分析】[尝试探究]（1）由题意可求，，进而可证；（2）由题意知，，由（1）知，则，即，计算求解即可；
[拓展应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立．
【详解】解：[尝试探究]（1）证明：四边形是矩形，
，
．
，
，
，
，
又，
；
（2）为的中点，
，
由（1）知，
，即，
．
[拓展应用]解：∵，，
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∴；
由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；
当时，则，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，此时不成立；
综上所述，的长为或8，
故答案为：或8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
1. A 字型相似由平行得相似，对应边成比例，按 “上比下、上比全” 列比例式求解边长。2. 8 字型相似由平行与对顶角得相似，对应边成比例，注意对应顶点不写反，直接计算。3. 母子型相似（双垂直）直角三角形斜边上的高，形成三个三角形两两相似，用公共角加直角证相似。4. 一线三等角相似一线三等角导角相等，证两角分别相等得相似，再用比例式求边长。
1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，点在边上，且，，过点作，交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例关系得出，根据两直线平行，内错角相等得出，结合对角线相等和相似三角形的判定和性质即可求出的值．
【详解】∵，
∴，
故．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
故．
2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则
∴，
故答案为：．
3．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)过点作交于点，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用两角对应相等证明；
（2）先证，推出，再证，推出，设，则，，根据求出x值，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
．
4．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)线段的长为 ；
(2)当时，求的长；
(3)当点在边上时，求证：；
(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
(4)的长为或.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可；
（3）证明，结合，，从而可得结论；
（4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案.
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴；
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
题型四：勾股定理中的常考题型
●●1. 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据正方形边长得出、对角线；再由折叠性质得，进而算出；最后将的周长转化为，代入数值计算得周长为．
【详解】解：∵已知正方形中，，
∴，
根据勾股定理，对角线
由折叠可知：，
∴，且，
的周长
因为，
所以，
因此周长．
●●2. 勾股定理与网格问题
【典例2】（2026·广东佛山·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】取格点，连接，则三点共线，，那么，则，再由勾股定理以及逆定理可得，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点，连接，
由正方形网格可得，三点共线，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴．
●●3. 勾股定理与最短路径问题
【典例3】（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）
A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米
【答案】D
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接，
最短距离为的长度，
厘米，
最短路程为厘米．
故选：D．
1.直接求边长：确定直角与斜边，用 a2+b2=c2 直接计算。 2.判断三角形形状：先找最长边，验证两短边平方和是否等于最长边平方。 3.折叠问题：利用折叠前后边相等，设未知数列勾股方程求解。 4.立体图形最短路径：将立体图形展开为平面，构造直角三角形计算。 5.面积法求斜高：直角边乘积 = 斜边 × 斜边上的高，直接计算。 6. 网格中求线段长：以线段为斜边构造直角三角形，用勾股定理计算。 7.含特殊角计算：结合 30°、45° 直角三角形三边比例快速求解。 8.综合应用：先证全等或相似得边相等，再用勾股定理求长度。
1．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】解：由折叠得，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在直角三角形中，，
．
2．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理，
先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解.
【详解】解：标注点D，，
根据勾股定理，得，
∴.
故选：D.
3．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．16 B． C．15 D．14
【答案】B
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
∵米，米，
∴米，
∴（米），
∴（米）
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
题型五： 三角形综合证明与计算（中考压轴必考）
【典例1】（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴令，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：①如图所示，，，三点共线，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②如图所示，，，三点共线，
此时，，
∵和都是等腰直角三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上，的长为．
1.先标图，锁定全等、相似、勾股、等腰核心条件。 2. 用导角、导边找相等关系，判定全等或相似。 3.有直角用勾股定理，有边长比用相似。 4.合理作辅助线，把条件集中到同一三角形。 5.步骤规范，先证后算，不跳步。
1.（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论；
（2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答；
（3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可．
【详解】证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
∴，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
故答案为：；；；；；；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
．即．
（3）∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵设长为，则，
∴，解得：
，
∵，
∴当时，有最大值．
故答案为：4，．
2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
【答案】(1)①2；②4
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键．
（1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可；
②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解．
（2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解．
【详解】（1）①如图所示，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
为中点，
、为、的中点，
，
；
故答案为：2．
②连结，
，，
，
又点为的中点，
，，，
，
又，
，
，
．
（2）第一种情况如图所示，，设．则，
，
，
，
过点作于交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
第二种情况：如右图所示，，连接，
易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立；
由（1）可知：，
，
，
又，
．，
可得，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
3．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可；
（2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）∵，即，
∴，，，
作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）设，
由旋转的性质得，则，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，
∴．
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：A．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ．
【详解】解：∵在中，，，
．
是中点，
∴设，则．
∵，
是直角三角形，且，
，
∵，则．在中，根据勾股定理，
∴，
，
，
解得（）．
，
．
故选：．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度．
【答案】40 或60
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：当点D在射线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在射线上，且在点B之外，
∴，即，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在线段上，且在点B之内，
∴，
∴；
故答案为：40 或60．
6．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______．
【答案】/
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键．
由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可．
【详解】连接，过作交的延长线于，
根据题意，，
，
，
，即，解得，
和，M，N分别是的中点，
，
,
，
，
,
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
7．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键：
（1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可；
（2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果．
【详解】（1）证明：是线段的中点，
．
，
．
在和中，
．
（2），是线段的中点，
．
，
．
又，
∴四边形是平行四边形，
．
8．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键．
（1）先说明，再根据即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论．
【详解】（1）证明：，
．
．
在与中，
．
（2）解：，
．
，
．
，
．
9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键：
（1）根据作图可知，结合，即可得证；
（2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：由作图可知，．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得．
∴．
∴，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
∵且，
∴．
∴．
∵，设，则，即．
解得或（舍去）．
∴的长为．
10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证；
（）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可．
【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证；
（2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
12．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；
（2）同（1）思路即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
②解：，理由如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
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专题04 三角形中的证明和计算问题（5大题型）
三角形中的证明与计算是中考几何必考核心内容，考点集中、模型固定、方法清晰，侧重角度推导、全等证明、相似比例、勾股计算与综合推理，复习时抓模型、记结论、规范步骤，即可得高效拿分.
题型一： 三角形中的角度计算中的五个常考模型
●●1. 内角和模型
【典例1】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ）
A． B． C． D．
●●2. 外角模型
【典例2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
●●3.双角平分线模型
【典例3】（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
●●4.高线 + 角平分线模型
【典例4】（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
●●5. 八字模型 / 飞镖模型
【典例5】已知相交于点．
(1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数；
(2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数．
模型名称解法指导（文字版，可直接复制）1. 内角和模型利用三角形内角和为 180°，已知两个内角，用 180° 连续减去这两个角，直接求出第三个内角。2. 外角模型三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到对应内角直接相加即可求出外角。3. 双角平分线模型三角形两内角平分线相交形成的角，等于 90° 加上顶角的一半，直接代入公式计算。4. 高线＋角平分线模型先由内角和求顶角，再由角平分线求半角，由高线求直角三角形中的锐角，最后作差得到所求角度。5. 八字模型 / 飞镖模型八字模型：对顶三角形中，两组对角之和相等；飞镖模型：凹四边形顶点角等于三个内角之和。
1．如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么_____度．
5．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：
(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
题型二：三角形全等中的六个常考模型
●●1. 平移型全等
【典例1】（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
●●2. 对称型全等
【典例2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：．
●●3. 旋转型全等
【典例3】 （2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
●●4. 一线三等角全等
【典例4】（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
●●5. 倍长中线模型
【典例5】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程．
（1）求证：∴；
证明：∵延长到点，使，
在和中（已作），
（______），
（中点定义），
∴（______），
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
●●6. 截长补短模型
【典例6】截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 ．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．
1. 平移型全等由平行或平移得对应边、对应角相等，用 SSS 或 SAS 证明全等，进而推线段或角相等。2. 对称型全等抓住公共边、公共角、角平分线、中线等对称条件，用 SAS、ASA、AAS 证明全等。3. 旋转型全等共顶点等线段，通过公共角加减同一角证夹角相等，用 SAS 证明旋转全等。4. 一线三等角全等一条直线上三个角相等，导角得两组角对应相等，结合一组边相等，用 ASA 或 AAS 证全等。5. 倍长中线模型延长中线使延长线段与原中线相等，构造 SAS 全等，将分散线段集中到同一三角形。6. 截长补短模型遇到线段和差关系，在长边上截取或延长短边补全，再证明三角形全等，转化线段关系。
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，则__________°．
2．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
3．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，．
(1)求证：；
(2)过点A作于点H，求的度数．
4．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．
5．学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
题型三：相似三角形中的四个常考模型
●●1.A 字型相似
【典例1】如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．
●●2. 8 字型相似
【典例2】（2026·安徽宿州·一模）如图，与交于点，已知，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
●●3. 母子型相似（双垂直）
【典例3】如图，在中，D为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
●●4. 一线三等角相似
【典例4】【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）
【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，E为的中点，求的长．
【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．
1. A 字型相似由平行得相似，对应边成比例，按 “上比下、上比全” 列比例式求解边长。2. 8 字型相似由平行与对顶角得相似，对应边成比例，注意对应顶点不写反，直接计算。3. 母子型相似（双垂直）直角三角形斜边上的高，形成三个三角形两两相似，用公共角加直角证相似。4. 一线三等角相似一线三等角导角相等，证两角分别相等得相似，再用比例式求边长。
1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，点在边上，且，，过点作，交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________．
3．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)过点作交于点，若，求的长．
4．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)线段的长为 ；
(2)当时，求的长；
(3)当点在边上时，求证：；
(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
题型四：勾股定理中的常考题型
●●1. 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
●●2. 勾股定理与网格问题
【典例2】（2026·广东佛山·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
●●3. 勾股定理与最短路径问题
【典例3】（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）
A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米
1.直接求边长：确定直角与斜边，用 a2+b2=c2 直接计算。 2.判断三角形形状：先找最长边，验证两短边平方和是否等于最长边平方。 3.折叠问题：利用折叠前后边相等，设未知数列勾股方程求解。 4.立体图形最短路径：将立体图形展开为平面，构造直角三角形计算。 5.面积法求斜高：直角边乘积 = 斜边 × 斜边上的高，直接计算。 6. 网格中求线段长：以线段为斜边构造直角三角形，用勾股定理计算。 7.含特殊角计算：结合 30°、45° 直角三角形三边比例快速求解。 8.综合应用：先证全等或相似得边相等，再用勾股定理求长度。
1．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．16 B． C．15 D．14
题型五： 三角形综合证明与计算（中考压轴必考）
【典例1】（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
1.先标图，锁定全等、相似、勾股、等腰核心条件。 2. 用导角、导边找相等关系，判定全等或相似。 3.有直角用勾股定理，有边长比用相似。 4.合理作辅助线，把条件集中到同一三角形。 5.步骤规范，先证后算，不跳步。
1.（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
3．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度．
6．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______．
7．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
8．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，．
(1)求证：．
(2)求证：．
9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
10．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
12．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
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