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第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
（第2课时）
1．进一步熟练运用平行四边形的性质解决综合问题；
2．理解平行线之间距离的定义，知道其处处相等；
3．能利用性质与距离概念解决实际问题．
1．说一说平行四边形的概念？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2．说一说平行四边形的性质？
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的对角线互相平分．
例1：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证OE＝OF．
证明：在 ABCD中，AB//CD，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
又OA＝OC，
∴△AOE≌△COF．
∴OE＝OF．
议一议：距离是几何中刻画 “远近” 的核心度量。我们已经学习了两种不同的距离模式，请结合图形思考：
点与点的距离：
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离．
如图所示，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD．也就是说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
如图所示，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离．
……
说一说：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离.
任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
例2：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．
求证：∠B＝∠C．
分析：由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明．
你还有其他证明方法吗？
例2：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．
求证：∠B＝∠C．
证明：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF．
又AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF．
∴∠B＝∠C．
【知识技能类练习】必做题：
C
【知识技能类练习】必做题：
12
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
D
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练行四边形的性质
平行线间的距离
平行四边形性质的综合应用
【知识技能类作业】必做题：
C
【知识技能类作业】必做题：
16
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
A
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 21.2.1 平行四边形及其性质 （第2课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．进一步熟练运用平行四边形的性质解决综合问题； 2．理解平行线之间距离的定义，知道其处处相等； 3．能利用性质与距离概念解决实际问题．
重点 综合运用平行四边形的性质解决几何证明问题，理解平行线之间距离的概念及性质．
难点 灵活运用平行四边形性质与平行线之间的距离，解决复杂几何证明与实际应用问题，厘清三种距离的联系与区别．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说平行四边形的概念？ 2．说一说平行四边形的性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究平行四边形性质的应用及平行线之间的距离。 例1：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证OE＝OF． 议一议：距离是几何中刻画 “远近” 的核心度量。我们已经学习了两种不同的距离模式，请结合图形思考： 点与点的距离：连接两点间的线段的________，叫做这两点的距离. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的______________，叫做点到直线的距离． 在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离． 如图所示，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD．也就是说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都_______． 归纳：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_______，叫作这两条平行线之间的距离． 如图所示，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的_____就是平行线a，b之间的距离． 说一说：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 例2：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC． 求证：∠B＝∠C． 分析：由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明． 想一想：你还有其他证明方法吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ） A．16 B．24 C．32 D．40 2．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 3．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 选做题： 4．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证：
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A． B．6 C． D．8 2．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 3．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 选做题： 4．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（ ） A． B．6 C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积．
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分课时教学设计
第五课时《21.2.1 平行四边形及其性质（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级下册四边形中平行四边形这一节的核心应用课时，承接平行四边形的定义与边、角、对角线的基本性质，是对前序知识的深化巩固与综合运用，也是连接平行四边形性质与后续特殊平行四边形、几何证明的关键纽带．本课通过例题探究平行四边形对角线的性质应用，推导并学习平行线之间的距离概念，既强化了学生对平行四边形性质的理解与几何推理能力，又完善了初中几何“距离”的知识体系，实现了从点与点、点到线的距离，到线与线之间距离的认知延伸．通过本节课的学习，学生能进一步掌握“观察—猜想—证明—应用”的几何探究方法，体会转化、数形结合的数学思想，为后续学习矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及梯形、相似三角形等知识奠定坚实基础，在平面几何知识体系中起到承上启下、巩固提升的重要作用．
学习者分析 学生已掌握平行四边形的定义与边、角、对角线的基本性质，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对“距离”的概念有初步认知（点与点、点到直线的距离）．但学生对平行四边形性质的综合应用不够熟练，在复杂图形中难以快速提炼全等三角形等解题模型，对平行线之间距离的概念理解易与点到直线的距离混淆，缺乏对三者联系与区别的系统认知．同时，部分学生在几何证明中存在推理不严谨、步骤不规范的问题，需要教师通过例题引导、对比辨析，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．进一步熟练运用平行四边形的性质解决综合问题； 2．理解平行线之间距离的定义，知道其处处相等； 3．能利用性质与距离概念解决实际问题．
教学重点 综合运用平行四边形的性质解决几何证明问题，理解平行线之间距离的概念及性质．
教学难点 灵活运用平行四边形性质与平行线之间的距离，解决复杂几何证明与实际应用问题，厘清三种距离的联系与区别．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．进一步熟练运用平行四边形的性质解决综合问题； 2．理解平行线之间距离的定义，知道其处处相等； 3．能利用性质与距离概念解决实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说平行四边形的概念？ 答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2．说一说平行四边形的性质？ 答案：平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的对角线互相平分．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾平行四边形的定义及性质，为深化应用性质解决实际问题及探究平行线间的距离做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 例1：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证OE＝OF． 证明：在 ABCD中，AB//CD， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO． 又OA＝OC， ∴△AOE≌△COF． ∴OE＝OF． 议一议：距离是几何中刻画 “远近” 的核心度量。我们已经学习了两种不同的距离模式，请结合图形思考： 点与点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 讲解：在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离． 如图所示，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD．也就是说，夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等． 归纳：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离． 举例：如图所示，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离． 说一说：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 预设：点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离. 任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 例2：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC． 求证：∠B＝∠C． 分析：由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明． 证明：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F． ∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离， ∴AE＝DF． 又AB＝DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF． ∴∠B＝∠C． 追问：你还有其他证明方法吗？学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究并班内交流后认真听老师的讲解和点评活动意图说明： 先通过例1提高学生运用平行四边形的性质解决实际问题的能力，再通过回顾两种距离的概念，引导学生对比辨析、梳理本质，为学习平行线间的距离搭建认知桥梁，深化对几何度量的理解，渗透类比思想，然后通过例2，巩固所学.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.2.1平行四边形及其性质（第2课时）一、平行四边形性质的综合应用 二、平行线间的距离 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ） A．16 B．24 C．32 D．40 答案：C 2．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 答案：12 3．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 解：如图，作于G，于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 选做题： 4．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A． B．6 C． D．8 答案：C 2．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 答案：16 3．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为 ， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 选做题： 4．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（ ） A． B．6 C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 证明：（1）四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； 由（1）知， ， ， ∴．
教学反思 本课通过例题探究与概念辨析，有效巩固了平行四边形的性质，多数学生能掌握平行线之间距离的概念．但部分学生对性质的综合应用不够灵活，在复杂图形中难以快速找到解题思路，对三种距离的联系与区别理解不够透彻．同时，对学困生的推理过程指导不足，导致部分学生证明步骤不规范．后续需增加变式练习，强化性质应用的引导，加强对比辨析，规范推理书写，提升不同层次学生的几何素养．
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