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浙教版2024 八年级下册
【浙江专用】八年级下册期中压轴解答题真题汇编试题分析
二、知识点分布
1 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；矩形性质理解；角平分线的性质定理；等边对等角；三线合一；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
2 0.4 全等三角形综合问题；写出直角坐标系中点的坐标；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
3 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
4 0.4 用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
5 0.4 根据旋转的性质求解；三线合一；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
6 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；因式分解法解一元二次方程；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
7 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
8 0.4 动态几何问题(一元二次方程的应用)；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
9 0.4 公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
10 0.4 根据矩形的性质求线段长；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
11 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
12 0.4 全等三角形综合问题；一次函数与几何综合；求一次函数解析式；利用平行四边形的性质求解；中点坐标
13 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
14 0.4 全等三角形综合问题；根据旋转的性质求解；画旋转图形
15 0.4 含30度角的直角三角形；化为最简二次根式；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的性质；利用平行四边形的性质证明；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
16 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
17 0.4 折叠问题；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
18 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题；根据矩形的性质与判定求线段长；证明四边形是菱形；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
19 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
20 0.4 利用平行线间距离解决问题；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
21 0.4 动态几何问题(一元二次方程的应用)；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形八年级数学下册期中考试浙教版2024【浙江专用】
压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)
(2)①证明见解析；②
（1）如图，连接与交于点，根据矩形的性质：，，可得，由得出，可得结论；
（2）①如图，延长交延长线于，证明，得，根据等腰三角形三线合一即可得证；
②根据等腰三角形三线合一性质可得，如图，过点作于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，，，根据角平分线的性质得，证明得，，根据勾股定理得，求出，然后再根据勾股定理计算即可．
（1）解：如图，连接与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数为；
（2）①证明：如图，延长交延长线于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②解：由①知：，，
∴平分，
∴，
如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵平分，，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
解得：，
在中，，
即的值为．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（1）；（2）；（3）平分，理由见解析
（1）作于，如图所示，只要证明，即可解决问题；
（2）在上取，如图所示，证明，即可得到，即点在的角平分线上运动，根据点到直线上点的距离、垂线段最短，则当时，有最小值，过点作，如图所示，则最小值为线段长，由勾股定理求解即可得到答案；
（3）在延长线上取，过作于，如图所示，由于，则只要证明，即可解决问题．
解：作于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标，
故答案为：；
（2）解：在上取，如图所示：
在正方形中，，则，
∵，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
在中，，则，
，，
，
即点在的角平分线上运动，
则当时，有最小值，过点作，如图所示：
则最小值为线段长，
，
，即正方形的边长为，
，
，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
解得，
运动的过程中的最小值为；
（3）结论：平分．
理由如下：
在延长线上取，过作于，如图所示：
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠ADM＝∠FDM，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，，则，
∵，
，
∵，
∴，即平分．
本题考查四边形综合题，涉及图形与坐标、全等三角形的判定和性质、动点最值问题-垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形（一线三垂直等），可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，属于中考压轴题．
3．(1)
(2)①见解析；②；见解析
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）勾股定理求得，进而根据平行四边形的性质，即可求解；
（2）①先证明，进而即可证明；②连结、、，证明，进而证明，得出，，则是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：①∵在中，，
又∵，
∴，，
∴，
∵
∴ ，
∴，
∵在和中，
，
∴，
②连结、、，
∵在中，是的中点 ，
∴，
∵ ，
∴，，，
∵ ，
∴，，，
∴ ，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴．
4．(1)见解析
(2)①；②
（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等；
（2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵点与关于对称，
（2）①，A，三点共线，且点与关于对称，
，
，，
为等腰直角三角形，根据勾股定理可得：
，，
∴
四边形是平行四边形
∵ ，
∴是正方形
，.
②过点作的平行线，交，分别于点E，F；
∵点关于的对称点为点
∴
∵，
∴
∴
由∵
∴四边形为平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴为等腰的边中点，
∴为中点，为中点，
∵
∴
则
∴
∵，
∴，
设，则，
在Rt中，，
解，得
，
本题主要考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理及对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键．
5．(1)
(2)见解析
(3)①；②
（1）根据旋转的性质可得，从而得到，垂直平分，再由，可得，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再结合旋转的性质可得，从而得到，再由，可得到，从而得到，即可求证；
（3）①设，则，可得，再结合旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据，可得，即可求解；②连接交于点M， 根据平行四边形的性质可得，，从而得到，设，，可得，，即可求解．
（1）解：∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，垂直平分，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：①设，则，
∴，
∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合，
∴，
∴，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
②连接交于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合，
∴，
设，，则，．
∴．
故答案为：．时，=_
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质与判定，平行线之间的距离相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)
(2)2
(3)
本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由，可得，根据等边三角形的性质得到的长，再根据，即可得出答案；
（2）过点Q作于H，可求出，则， ，根据平行四边形的面积为，建立方程求解即可；
（3）对点的位置进行分类讨论，可得当时，与重合，利用的直角三角形的性质可得，解得；当点在上，时，可得，解得，据此可得答案．
（1）∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图，过点Q作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，平行四边形的面积为，
∴，即，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
综上，m的值是2；
（3）解：如图3，当时，与重合，
，
∴，
，
∴，
解得；
如图4，当点在上，时，
由旋转的性质可得，
同理可得，
∴，
∴，
∴
解得，
．
7．(1)见解析；
(2)；
(3)．
（1）先利正方形的性质和垂直的性质证得，结合即可证明与全等；
（2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即刻得出结论；
（3）连接并延长交于点P，连接，可证明，所以，或1，又是的中位线，求出的长即可．
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，正方形边长为4，
∴，，
∴，
，
设，
∴，
∴的面积
，
∴，
解得，，
∴，
∴．
（3）如图，连接并延长交于点P，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的中点N，点M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解．
8．(1)
(2)或.
(3)存在为等腰三角形，值为或或.
（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案；
（2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
（1）解：由题意可得，，
∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
（2）当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或.
（3）如图，连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或.
此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键.
9．(1)
(2)存在，或
(3)
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论求解即可；
（3）作，作，得到，进而得到，，证明四边形为矩形，推出，，证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据，列方程进行求解即可．
（1）解：当时，则：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：存在；
∵，，
∴，
当点在线段上时，
∵，
∴，
∴的面积，
整理得，，
解得：；
当点在线段的延长线上时，则：，
∴的面积，
整理得，，
∴或（不合题意，舍去）；
综上：或；
（3）解：如图，作，作，
∵对称，
∴，
∴，，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考查勾股定理，平行四边形的性质，对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
10．(1)①15；②
(2)
（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，记与交于点H，证明是等边三角形，根据勾股定理即可解决问题．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)
(3)，，
（1）由平行四边形的性质得到，再由点的对称性得到，等量代换后，由等腰三角形性质即可得证；
（2）过点作轴于点，如图所示，结合平行四边形性质，从而判定，确定，设点坐标，表示出相关线段长度，即可得到答案；
（3）过点作轴于点，如图所示，设，，则，由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论求解即可得到答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
在中，，，则，
，轴，
，
，
则，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3）解：过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
本题考查一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)或或．
（1）根据一次函数的解析式分别求出与x，y轴的交点，再根据中点坐标公式求出点C的坐标即可；
（2）要想证明三角形全等，需要证明三个条件，通过四边形是平行四边形易得两个条件，再根据一个垂直得到一组角相等，即可解决问题；
（3）根据平行四边形的对边相等，求出点D的坐标，再分类讨论点D在三条边即是在三条直线上，分别把点D的横纵坐标代入直线解析式，求得t值即可；
（1）解：∵直线与坐标轴交于A，B两点，
当时，，当时，，
点A的坐标是，点B的坐标是
∵点C为的中点，
点
故答案为：
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：或或
∵，
∴，
∵点，点，点，
∴，
∴，
∴点，
当点D落在直线上时，则，即，
当点D落在直线上时，
∵点，
∴直线解析式为： ，
∴，
∴，
当点D落在上时，
∵直线解析式为： ，
∴
∴，
综上所述：或或．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判断和性质，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是要能正确的求出点D的坐标．
13．9
先推出当点、、在同一直线上时值最小，求出即可．
如图，分别取，中点E、F，连接，以为边构造，连接，，
∵点E、F分别是，中点，，
，
∴，
当点O、M、P在同一直线上时值最小，
∴最小值为，
∵四边形为边长为6的正方形，
∴，且，
∴，
在中，，
在中，，
则的最小值为9．
本题考查几何变换的综合应用，主要考查正方形的性质、平移的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)线段的最小值为
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由题意画出图形即可；
（2）证明，得出；
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．证明，得出．得出，即可求解．
（1）解：如图即为所求图形．
（2）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
．
（3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，．
，
．
又，，
．
．
点是边的中点，
，．
在中，，
．
即线段的最小值为．
15．(1)证明见解析
(2)①；②
（1）根据平行四边形对边平行和平行线的性质可求出，，再证明是等边三角形；即可证明；
（2）①求出，由等边三角形的性质得到，，则，，据此可得，则，由勾股定理得到，再由勾股定理得到，则；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，设，则，求出，得到，则，进而可得；同理可得，，，则；根据，可推出，再由，可得，据此可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
本题主要考查了平行四边的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知平行四边形的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
16．（1）40；（2）；（3）
本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）由储物位置的底面尺寸判断即可；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可；
（3）根据面积公式进行计算即可．
解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；；
故答案为：40；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，
则，
解得：（舍去），；
则体积为；
（3）由题意可得阴影部分的长为，
储物盒的底面长为，
则需要裁出的正方形为图中③，④两块，
裁出的正方形的边长为，
底面的宽为，
．
答：储物盒的底面积为．
17．(1)见解析
(2)
(3)或或
（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
（1）证明：由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴；
如图，当重合时，记，的交点为，
∵当时，，
∴，而，
∴，
∴当重合时，，
由折叠可得：；
②当时，如图，设与交于点，作，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或或．
本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)①；②
（1）由折叠的性质可得，，，结合平行线的性质得出，从而推出，即可得出结论；
（2）由“”证明得出，即可得解；
（3）①由等腰直角三角形的性质可得，由折叠的性质得出，，即可求解；②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，由面积公式求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，连接，设与交点，
∵，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
19．(1)见解析
(2)
(3)
（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
(3)线段是四边形的等积线
本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离；
（1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可．
（2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到；
（3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线．
（1）解：过作于，过作于，
∵，
∴，，
∵夹在两条平行线间的垂线段相等，
∴，
∵，，
∴，即是的等积线．
（2）解，连接，，过作于，过作于，
∵，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，，
由（2）可得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴线段是四边形的等积线．
21．(1)
(2)或
(3)或
此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．八年级数学下册期中考试浙教版2024【浙江专用】
压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）四边形是矩形，点是边的延长线上一点，连接，，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，点在边的延长线上，若是的中点，连接，，与交于点．
①求证：；
②若，，求的值．
2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）；
（2）求运动的过程中的最小值；
（3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由．
3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，，连结交于点．
(1)如图1所示，，，求的值；
(2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结．
①证明：；
②直接写出的数量关系．
4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，．
(1)求证：．
(2)当，且时．
①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长．
②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）．
5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．
(1)当点D为中点时，线段________．
(2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下：
①若，求的度数；
②连接，当时，=________．
6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在等边中，，点P、Q分别是边上的动点，满足，以为邻边作平行四边形，分别交 于点E，F，设．
(1) （用含m的代数式表示）；
(2)当平行四边形的面积为时，求m的值；
(3)如图2，连接，线段点绕Q点顺时针旋转得到，若点落在的内部（不包括边界）时，则m的取值范围为 ．
7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形边长为4，点E在边上（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为6，求的长；
(3)在（2）的条件下，取，的中点M，N，连接，求的长．
8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
(1)当 时，平分四边形的面积.
(2)当与四边形的某一边平行时，求的值.
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由.
9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，点E是射线上的动点，点F在上，若，以为邻边作平行四边形．
(1)点E在线段上，当时，求出的长度；
(2)当时，是否存在m的值，使得的面积等于面积的，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由；
(3)点G关于E点的对称点为，点刚好落在直线上时，则_____（直接写出答案）．
10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
(1)如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
(2)如图3，当时，连结，若，求的长．
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为．
(1)求证：；
(2)当时，求．
(3)若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标．
12．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平而直角坐标系中，直线： 与坐标轴交于A，B两点，点C为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出点C的坐标为______；
(2)如图2，过点D作轴，过点C作轴．证明： ；
(3)如图3，连接，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程．
14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．
(1)按照题意补全图形．
(2)求证：．
(3)连结，若，求线段的最小值．
15．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，连接；
①若，求的长；
②设，试求k与m满足的关系．
16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
17．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
(1)如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
(2)如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值．
(3)如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当点F恰好落在上时，求的长．
19．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
20．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线．
(1)请利用图1完成例的证明．
(2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由．
21．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
