(共15张PPT)
第八章 实 数
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数的概念及大小比较
1. (2024·丰台区期末)下列实数是无理数的是 ( )
A. 0.0101 B. C. D.
2. (教材P54练习第1题变式)(2023·朝阳区期末)下列说法正确的是 ( )
A. 无理数都是无限小数
B. 无限小数都是无理数
C. 带根号的数都是无理数
D. 所有有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的所有点都表示有理数
C
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A
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3. (2024·海淀区期中)如图,下列无理数中,被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是 ( )
A. - B. C. D. -
4. (2024·西城区段考)在同一条数轴上分别用点表示实数-2.5,0,-,
|-4.5|,则其中最左边的点表示的实数是 ( )
A. -2.5 B. 0 C. - D. |-4.5|
B
C
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5. 已知实数-,0.16,,2π,,,其中,无理数是 .
6. (2024·海淀区期中)请写出一个大于2且小于3的无理数:
.
,2π,
答案不唯一,
如
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7. (教材P54练习第2题变式)把下列各数分别填在相应的集合中:
-,,,,3.14159265,-|-|,-4.,1.103030030003….
(1) 有理数集合:{ …};
(2) 无理数集合:{ …};
(3) 正实数集合:{ …};
(4) 负实数集合:{ …}.
-,3.14159265,-|-|,-4.
,,,1.103030030003…
,,,3.14159265,1.103030030003…
-,-|-|,-4.
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8. 下列说法正确的是 ( )
A. 实数分为正实数和负实数
B. 是有理数
C. 是有理数
D. 是无理数
9. 若
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
D
A
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10. (2024·海淀区期末)如图,正方形ABCD的面积为3,顶点A在数轴上,且点A表示的数为1,数轴上有一点E在点A的左侧,若AD=AE,则点E表示的数为 ( )
A. 1-
B. -1
C. -
D. 0
A
第10题
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11. 下列对无理数-π在数轴上的对应点的位置的描述中,正确的是 ( )
A. 在表示-4的点的左边
B. 在表示-3的点的右边
C. 与原点的距离小于3
D. 与原点的距离大于3
12. 在数轴上,与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 .
D
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13. (2024·西城区期中)比较大小:
6;
-3;
-1 .
14. 规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如:=0,[3.14]=3.按此规定,[+]的值为 .
<
>
>
3
解析:∵ 3<+<4,∴ [+]的值为3.
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15. 把下列各数分别填在相应的集合中:
,-3,,||,-,-,3+,0.3,.
(1) 整数集合:{ …};
(2) 无理数集合:{ …};
(3) 负实数集合:{ …}.
-3,||
,,-,-,3+,
-3,,-,-
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16. (教材P54练习第3题变式)请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来,再把下列各数用“>”连接起来.
,-1.5,-,-π,0.4,.
A:-π E:- B:-1.5 D:0.4 F: C:
>>0.4>-1.5>->-π
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17. [阅读理解]
∵ <<,即2<<3,
∴ 的整数部分为2,小数部分为-2.
∴ 1<-1<2.
∴ -1的整数部分为1.
∴ -1的小数部分为-2.
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[解决问题]
已知a是-3的整数部分,b是-3的小数部分,求:
(1) a,b的值;
(2) (-a)3+(b+4)2的平方根.
(1) ∵ <<,∴ 4<<5.∴ 1<-3<2.∴ a=1,b=-4
(2) (-a)3+(b+4)2=(-1)3+(-4+4)2=-1+17=16.∴ (-a)3+(b+4)2的平方根是±4
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17(共20张PPT)
第八章 实 数
第八章总结提升
考点一 算术平方根、平方根
1. (-7)2的算术平方根是 ( )
A. 7 B. -7 C. ±7 D.
2. (2024·海淀区段考)下列各数中没有平方根的是 ( )
A. (-9)2 B.
C. -|-49| D. 0
A
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C
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3. 有下列说法或运算:① -8是64的平方根;② -=-(-8)=8;③ =
-=-2;④ ±=±(-8)=±8.其中,正确的有 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. (2023·海淀区期中)如图,将两个边长为3的小正方形裁剪并拼成一个大正方形,则大正方形的边长最接近的整数是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
B
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5. (2024·西城区期中)已知|x+2|+=0,则(x+y)2024的值为 .
6. (2023·朝阳区期中)一个边长为a的正方形与一个长为18、宽为8的长方形的面积相等,则a= .
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7. 求下面各式中x的值:
(1) 7x2-343=0;
(2) (3x+2)2-4=28.
(1) x=±7
(2) x=2或x=-
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考点二 立方根
8. 下列说法中,正确的是 ( )
A. -4没有立方根 B. 1的立方根是±1
C. 的立方根是 D. -5的立方根是
9. 若a是(-3)2的平方根,则的值为 ( )
A. -3 B.
C. 或- D. 3和-3
D
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10. 计算:= .
11. 如图,将两个正方体摞在一起(点A,B,C在同一条直线上),大正方体的体积为1331cm3,小正方体的体积为125cm3,则最高点A与最低点C之间的距离是 cm.
-
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第11题
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12. 求下面各式中x的值:
(1) 8x3+729=0;
(2) (3x+1)3+=-1.
(1) x=-
(2) x=-
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考点三 实数
13. -的相反数是 ( )
A. B. C. D. -
14. 下列无理数中,位于7和8中间的是 ( )
A. B. 2 C. D. 8
15. 比较大小: (填“>”“<”或“=”).
B
B
<
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16. 求下列各式的值:
(1) -22+-+|1-|;
(2) -(2-6);
(3) ++.
(1) +1
(2) 5
(3) -15
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17. 一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-1和-a+2.化简:2|a+|+|x-2|-|3a+x|.
由题意,得(2a-1)+(-a+2)=0,解得a=-1.∴ x=(2a-1)2=(-3)2=9.∴ 原式=2×|-1
+|+|9-2|-|3×(-1)+9|=2-2+9-2-6=1
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18. (2023·西城区段考)有下列说法:① 一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根;② 64的平方根是±8,立方根是±4;③ ±表示非负数a的平方根,表示a的立方根;④ -一定是负数.其中,正确的是 ( )
A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ①④
19. (2024·西城区期中)在同一条数轴上分别用点表示实数-1.5,0,-,|-4|,则其中最左边的点表示的实数是 ( )
A. - B. 0 C. -1.5 D. |-4|
A
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20. (2024·海淀区期中)如图,下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是 ( )
A. 0 B. -1 C. D. π
B
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21. (2024·东城区期中)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“美学”.如图,的值接近黄金比,则黄金比(参考数据:2.12=4.41,
2.22=4.84,2.32=5.29,2.42=5.76) ( )
A. 在0.50到0.55之间
B. 在0.55到0.60之间
C. 在0.60到0.65之间
D. 在0.65到0.70之间
22. 大于-而小于的所有整数的和是 .
C
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第21题
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23. 小娟估算一个无理数的大小时,不慎将墨水瓶打翻,现只知道被开方数是260,估算的结果在6和7之间,则根指数应为 .
24. 有一个正方体集装箱,容积为64m3,现准备将其改造扩充,以便放置更多的货物,则其棱长增加 m,才能使容积达到512m3.
25. 对于任意两个不相等的实数a,b,定义一种新运算:a※b=.例如:3※
2==.计算:2※8= .
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26. 实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,化简:|c|-+
-.
由数轴,可知b<-1+a+b-b+c+b=a+b
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27. 已知a-1的平方根是±2,b+2是-27的立方根,c是的整数部分.
(1) 求a+b+c的值;
(2) 若x是的小数部分,求x-+10的平方根.
(1) 根据题意,得a-1=(±2)2=4,b+2==-3,∴ a=5,b=-5.∵ <<
,∴ 3<<4.∴ c=3.∴ a+b+c=5-5+3=3
(2) ∵ 3<<4,∴ x=-3.∴ x-+10=-3-+10=7.∴ x-+
10的平方根是±
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28. (2023·东城区期末)一个数值转换器如图所示.
(1) 当输入的x值为16时,输出的y值是 ;
(2) 若输入有效的x值后,始终输不出y值,则所有满足要求的x的值为 ;
(3) 若输出的y值是,请直接写出两个满足要求的x的值.
0,1
(3) 答案不唯一,如5,25
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28(共13张PPT)
第八章 实 数
阶段训练(8.1~8.2)
一、 选择题
1. (2024·朝阳区段考)下列说法中,正确的是 ( )
A. (-2)3的立方根是-2 B. 0.4的算术平方根是0.2
C. 的立方根是4 D. 16的平方根是4
2. (2024·大兴区期中)下列结论正确的是 ( )
A. 8的立方根是± B. -没有立方根
C. 算术平方根等于它本身的数是0 D. =-
A
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D
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3. (2024·门头沟区段考)下列各式中,正确的是 ( )
A. ±=±3 B. (-)2=9
C. =-3 D. =-2
4. 已知一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a,则这个正数的立方根是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A
A
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5. (2024·海淀区期中)大、中、小三个正方形摆放如图所示,若大正方形的面积为5,小正方形的面积为1,则正方形ABCD的边长可能是 ( )
A. 1 B. C. D. 3
B
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6. (2023·西城区段考)已知≈0.3604,≈-36.04,则框里的数可能是 ( )
A. -46800 B. -4680
C. -46.8 D. -4.68
A
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二、 填空题
7. 的平方根为 .
8. 若3x+16的立方根是4,则2x+4的平方根是 .
9. 已知2a-1的平方根是±3,则7+4a的立方根是 .
10. 当a=-时,的倒数是 .
11. 若x,y,z满足+(y-3)2+|z+6|=0,则xyz的算术平方根是 .
±
±6
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12. 在一个长、宽、高分别为8cm,4cm,2cm的长方体容器中装满水,将容器中的水全部倒入一个正方体容器中,恰好倒满(两容器的厚度忽略不计),则此正方体容器的棱长是 cm.
13. (2024·朝阳区段考)物体自由下落的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系为h=4.9t2.在一次实验中,一个物体从490m高的建筑物顶端自由落下,到达地面需要的时间为 s.
14. 已知非负数的算术平方根为非负数,即≥0,当a=0时,取得最小值,则+100的最小值是 ,此时m与n的关系是 .
4
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100
互为相反数
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三、 解答题
15. 求下面各式中x的值:
(1) 16x2-81=0;
(2) (x-1)3+4=.
(1) x=±
(2) x=-
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16. 计算:
(1) +-|1-|; (2) ;
(3) -+.
(1)
(2) 24
(3) 9
1
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17. 若3a+1的平方根为±4,=2,求:
(1) 5a+2b的立方根;
(2) 的算术平方根.
(1) ∵ 3a+1的平方根为±4,=2,∴ 3a+1=16,2b+6=8,解得a=5,b=1.
∴ 5a+2b=27.∴ 5a+2b的立方根为3
(2) ∵ a=5,b=1,∴ =.∴ 的算术平方根为
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18. (2023·海淀区期中)如图,用两张边长为cm的小正方形纸片沿对角线裁剪拼成一张大正方形纸片.
(1) 大正方形纸片的边长是 cm.
(2) 若将此大正方形纸片的局部沿边的方向剪掉,能否剩下一张长、宽之比为3∶2且面积为12cm2的长方形纸片 若能,求出剩下的长方形纸片的长和宽;若不能,请说明理由.
(2) 不能 理由:设长方形纸片的长为3xcm,宽为
2xcm,则2x·3x=12,∴ x2=2.∵ x>0,∴ x=.∵ 3x
=3>4,∴ 不能使剩下的长方形纸片的长、宽
之比为3∶2,且面积为12cm2.
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19. 我们知道当a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,小明得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1) 小明得出的结论是否成立 若成立,请给出证明;若不成立,请举出一个反例.
(2) 若与互为相反数,求1-的值.
(1) 小明得出的结论成立 ∵ a+b=0,∴ b=-a.∴ b3=(-a)3=-a3.∴ a3+b3=a3-a3=0,即若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数
(2) 由(1),知1-2x+3x-5=0,解得x=4.∴ 1-=1-2=-1
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19(共13张PPT)
第八章 实 数
8.2 立 方 根
1. (2024·西城区段考)-8的立方根是 ( )
A. 2 B. -2
C. 4 D. -4
2. 下列说法正确的是 ( )
A. 一个正数有两个立方根,它们的和为0
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数没有平方根,那么它一定没有立方根
D. 一个数的立方根与这个数同号
B
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D
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3. (教材P49练习第1题变式)有下列四个说法:① 0.1的立方根是0.001;
② 的立方根是-3;③ -的立方根是-0.5;④ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中,正确的是 ( )
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
4. 若x满足=,则x的值为 ( )
A. 1 B. 0
C. 0或1 D. 0或±1
C
C
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5. (1) -是 的立方根;
(2) 的平方根是 .
6. (教材P50练习第3题变式)如果两个连续的整数a,b满足a<-
±
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7. (教材P49例1变式)求下列各数的立方根:
(1) (-5)3; (2) 1331;
(3) -0.064; (4) .
(1) -5
(2) 11
(3) -0.4
(4)
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8. (教材P50例2变式)求下列各式的值:
(1) ±; (2) -;
(3) ; (4) .
(1) ±0.9
(2) -
(3)
(4) -0.04
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9. 若a2=4,b3=(-1)3,则a+b的值是 ( )
A. 1 B. -3
C. 1或-3 D. -1或3
10. 已知=x-1,则x2-x的值为 ( )
A. 0或1 B. 0或2
C. 0或6 D. 0,2或6
C
B
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11. (教材P50探究变式)(2023·大兴区期末)如果≈1.333,≈2.872,那么约等于 ( )
A. 28.72 B. 0.2872 C. 13.33 D. 0.1333
12. (教材P51习题8.2第3题变式)比较大小(填“>”“<”或“=”):
(1) 3; (2) .
13. (2023·海淀区段考)如果x2=64,那么= .
14. (2023·海淀区期中)将一个体积为343cm3的正方体木块锯成8个同样
大小的小正方体木块,则每个小正方体木块的表面积是 cm2.
C
>
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±2
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15. 求下面各式中x的值:
(1) (2023·朝阳区段考)64x3+125=0;
(2) (2024·西城区期中)(x+2)3-9=0.
(1) x=-
(2) x=1
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16. (2024·西城区期中)已知+|y-2|=0,且与互为相反数.
(1) 求y-x的平方根;
(2) 若3z+2y的算术平方根为A,5x-y的立方根为B,求A+B的值.
(1) ∵ +|y-2|=0,∴ x=-5,y=2.∴ y-x=2-(-5)=7.∴ y-x的平方根为±
(2) ∵ 与互为相反数,∴ 1-2z+3z-5=0,解得z=4.∴ 3z+2y=3
×4+2×2=16.∴ 3z+2y的算术平方根A=4.∵ 5x-y=5×(-5)-2=-27,∴ 5x-y的立方根B=-3.∴ A+B=4+(-3)=1
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17. (2024·西城区期中)阅读材料:
善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程,找到了求较大数的立方根的一种方法:13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=
729.
(1) 小明是这样求出493039的立方根的:他先估计493039的立方根的个位上的数字,由上面各式他猜想出493039的立方根的个位上的数字为 .又由703<493039<803,猜想出493039的立方根的十位上的数字为 ,从而得到493039的立方根.
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(2) 请你根据(1)中小明的探究方法,求-238328和0.571787的立方根.
(2) 由于238328的个位数字是8,由题意,可知238328的立方根的个位数字是2.∵ 603=216000,703=343000,而216000<238328<343000,∴ 238328的立方根的十位数字是6.∴ =-62.由于571787的个位数字是7,由题意,可知571787的立方根的个位数字是3.∵ 803=512000,903=729000,而512000<571787<729000,∴ 571787的立方根的十位数字是8.∴ =0.83.综上所述,-238328的立方根为-62,0.571787的立方根为0.83
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17(共13张PPT)
第八章 实 数
8.1 平 方 根
第2课时 算术平方根
1. (2024·怀柔区期末)9的算术平方根为 ( )
A. 3 B. ±3 C. -3 D. 81
2. (教材P46习题8.1第3题变式)下列说法正确的是 ( )
A. 表示25的算术平方根
B. -表示2的算术平方根
C. 2的算术平方根记作±
D. 2是的算术平方根
A
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A
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3. (2024·西城区段考)下列式子中正确的是 ( )
A. =±3 B. =-2 C. =-4 D. =2
4. (2024·西城区期中)一个数的平方根与这个数的算术平方根相等,这个数是 ( )
A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或0
5. 若3x-4为225的算术平方根,则x的值为 .
6. (教材P44练习第3题变式)若直角三角形两直角边的长之比为3∶4,面积为24,则较长直角边的长为 .
D
C
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7. (教材P42例3变式)求下列各数的算术平方根:
(1) 196; (2) 0.64;
(3) 1; (4) 0.
(1) 14
(2) 0.8
(3)
(4) 0
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8. (教材P44练习第2题变式)求下列各式的值:
(1) ; (2) -;
(3) ±; (4) .
(1)
(2) -0.9
(3) ±
(4) 9
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9. (2024·朝阳区三模)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且n<A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
10. (2024·西城区段考)如图,将长为4、宽为2的长方形沿虚线剪开,拼成一个与长方形的面积相等的正方形,则该正方形的边长最接近整数 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
C
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11. (2023·东城区期末)请同学们观察下表:
已知≈1.436,≈4.540,则约等于 ( )
A. 14.36 B. 143.6 C. 45.40 D. 454.0
12. 两个连续自然数,前一个数的算术平方根是x,则后一个数的算术平方根是 ( )
A. x+1 B. x2+1 C. D.
n 0.04 4 400 40000 …
0.2 2 20 200 …
B
D
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13. 用“>”或“<”填空:
(1) 3 ;
(2) - -4;
(3) .
14. 如图,在3×3的方格纸中,有一个正方形ABCD,这个正方形
的边长是 .
15. 邻居张爷爷家有一个正方形花圃,面积为289m2,张爷爷要在花圃的四周围上栅栏,则至少需要栅栏 m.
>
>
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16. (2023·海淀区段考)把如图①所示的长方形分割成A,B两个小长方形,现将小长方形B的一边与A重合,另一边对齐恰好组成如图②所示的大正方形(空余部分C是正方形).若拼接后的大正方形的面积为5,则图①中原长方形的周长为 .
4
解析:设小长方形B的长为a,宽为b.∵ C是正方形,∴ C的边长为a,大正方形的边长为a+b.∵ 大正方形的面积为5,∴ a+b=.∴ 题图①中原长方形的周长为(a+b+a+b)×2=4(a+b)=4×=4.
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17. 求下列各式的值:
(1) ; (2) --;
(3) .
(1) 15
(2) -0.3
(3)
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18. (教材P46练习第3题变式)(2024·朝阳区期中)有一张面积为400cm2的正方形纸片.
(1) 该正方形纸片的边长为 cm;
(2) 小明想沿着边的方向,裁出一张面积为360cm2的长方形纸片,使它的长、宽之比为4∶3,他不知道能否裁得出来,聪明的你帮他想想,他能裁得出来吗
20
(2) 不能裁出来 设长方形纸片的长为4xcm,则宽为3xcm.由题意,得4x·3x=360.∴ x2=30.∵ x>0,∴ x=.∴ 长方形纸片的长为4cm.∵ 4>20,∴ 不能裁出来
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18(共12张PPT)
第八章 实 数
8.1 平 方 根
第1课时 平 方 根
1. (2023·西城区期中)121的平方根是±11的数学表达式为 ( )
A. =11 B. =±11 C. ±=±11 D. ±=11
2. (2024·海淀区段考)下列各数中没有平方根的是 ( )
A. (-3)2 B. 0 C. D. -63
3. (1) 1.21的平方根是 ;
(2) 的平方根是 .
4. (2024·海淀区期中)若x2=16,则x= .
C
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D
±1.1
±
±4
5. (教材P40例1变式)求下列各数的平方根:
(1) 196; (2) 0.16;
(3) ; (4) 2.
(1) ±14
(2) ±0.4
(3) ±
(4) ±
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6. 有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的大正方形,则该大正方形的边长应为多少
设该大正方形的边长为xcm.由题意,得x2=11×11+15×5=196.∵ x>0,∴ x
=14.∴ 该大正方形的边长应为14cm
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7. 的平方根是 ( )
A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3
8. (教材P41练习第1题变式)下列说法正确的是 ( )
A. 是0.5的一个平方根
B. 正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0
C. 72的平方根是7
D. 负数有一个平方根
D
B
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9. (2023·丰台区期中)已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+3和2a-15,则这个正数是 .
10. 若x+1是16的一个平方根,则x的值为 .
11. 若(m-1)2+|n+9|=0,则-mn的平方根为 .
49
3或-5
±3
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12. 求下列各式的值:
(1) ±; (2) -;
(3) ; (4) ±.
(1) ±30
(2) -1.3
(3)
(4) ±11
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13. (教材P42练习第3题变式)求下列各式中x的值:
(1) 2x2-=0;
(2) (2023·大兴区期中)=4;
(3) (2024·大兴区期中)4(x-1)2=100.
(1) x=±
(2) x=-或x=
(3) x=6或x=-4
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14. (2024·海淀区期中)已知正数x的平方根分别为a和a+b.
(1) 当b=6时,x的值为 ;
(2) 若a2x+(a+b)2x=8,求x的值.
(2) ∵ 正数x的平方根分别是a和a+b,∴ (a+b)2=x,a2=x.∵ a2x+(a+b)2x=8,
∴ x2+x2=8.∴ x2=4.∵ x>0,∴ x=2
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15. 为了促进全民健身活动的开展,改善居民的生活质量,某居民小区决定在一块面积为905m2的正方形空地上建一个篮球场.已知篮球场的面积是420m2,长是宽的倍,篮球场的四周必须留出不少于1m宽的空地.能否按规定在这块空地上建一个篮球场
设篮球场的宽为xm,则长为xm.由题意,得x·x=420.∴ x2=225.∵ x>0,
∴ x=15.∴ (x+2)2=900.∵ 900<905,∴ 能按规定在这块空地上建一个篮球场
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15(共7张PPT)
第八章 实 数
小专题(四) 实数中常见的易错题
易错点一 平方根中的漏解问题
1. 的平方根是 ( )
A. - B. C. ± D. ±
2. 若(x+1)2=9,则x= .
3. 求下面各式中x的值:
(1) (2x-3)2-8=0; (2) (2x-1)2=121.
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C
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2或-4
(1) x=-或x=
(2) x=6或x=-5
易错点二 对平方根、算术平方根的定义理解不准确导致错误
4. 计算的结果是 ( )
A. - B. C. - D.
5. 有下列说法:① 81的平方根是9;② ±25的平方根是±5;③ =±7;
④ 0.01是0.1的平方根;⑤ 32的平方根是3;⑥ 的算术平方根是±.其中,正确的有 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
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6. 若=,则a的值为 .
7. 的平方根是 .
8. 计算:= .
9. 已知a+2与2a-5都是m的平方根,则m的值是 .
±
±
9或81
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易错点三 忽视被开方数的意义导致错误
10. 已知实数x,y满足++y=5,则的值为 .
11. 当x取什么实数时,无意义
当x≠1时,无意义
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易错点四 对无理数的概念理解不准确导致错误
12. (2023·西城区段考)有下列实数:,1.,,,,π,1.010010001…(每相邻两个1之间0的个数逐次加1).其中,无理数有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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12(共8张PPT)
第八章 实 数
小专题(三) 比较实数大小的常用方法
类型一 数轴法
1. 请将图中数轴上的各点与下列实数对应起来,并把它们按从小到大的顺序排列,用“<”连接.
0.3,-,,3.14,-π,0,.
1
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3
4
5
6
原理:数轴上的数从左往右逐渐增大.
A:-π B:- C:0 D:0.3 E: F:3.14 G:
-π<-<0<0.3<<3.14<
类型二 平方法
2. 有下列四个数:3,-,2,.其中,最大的是 ( )
A. 3 B. 2 C. - D.
3. 比较大小:3 ; (填“>”或“<”).
D
原理:实数a>0,b>0,若a2>b2,则a>b.
>
>
1
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3
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4. 比较大小:
(1) 与8; (2) -与-3;
(3) 与1.42; (4) -1与3.
(1) ∵ ()2=75,82=64,75>64,∴ >8
(2) ∵ (-)2=11,(-3)2=9,11>9,∴ -<-3
(3) ∵ ()2=2,1.422=2.0164,2<2.0164,∴ <1.42
(4) ∵ ()2=12,42=16,12<16,∴ <4.∴ -1<3
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类型三 作差法
5. 比较大小:
(1) 1-与1-; (2) 与;
原理:先求两个数的差,然后比较差与0的大小,即设a,b为任意两个实数,当a-b>0时,a>b;当a-b<0时,a(1) ∵ 1--(1-)=->0,∴ 1->1-
(2) -=.∵ <2,∴ <0.∴ <
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(3) 与-3; (4) -1与1.5.
(3) -(-3)=2-=.∵ 4>,∴ >0.∴ -(-3)>0.∴ >-3
(4) -1-1.5=.∵ <5,∴ <0.∴ -1<1.5
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类型四 放缩法
6. 比较实数2,,的大小,正确的是 ( )
A. <2< B. 2<<
C. <<2 D. 2<<
原理:把要比较的两个数适当地放大或缩小,使复杂的问题简单化,进而达到比较两个实数的大小的目的.由>m,m>可得>.
解析:∵ 2=<,∴ 2<.∵ <=2,∴ <2.∴ <2<.
A
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6(共13张PPT)
第八章 实 数
8.3 实数及其简单运算
第2课时 实数的运算
1. (2024·海淀区期中)-的相反数是 ( )
A. - B. C. - D.
2. (2024·海淀区期中)-的绝对值是 ( )
A. B. - C. 2 D. -2
3. 若取1.442,则计算-3-98的结果是 ( )
A. -100 B. -144.2 C. 144.2 D. -0.01442
B
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A
B
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4. (2024·海淀区段考)如图,实数-3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M,N,P,Q,这四个数中绝对值最大的数对应的点是 ( )
A. M B. N C. P D. Q
5. -2的相反数是 .
6. (教材P56例2变式)计算:
(1) (+)-= ;
(2) 2-3= .
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D
2-
-
7. 求下列各式的值:
(1) -+; (2) ++;
(3) (-1)2025++|3-|-; (4) |1-|+|-|+|-2|+|2-|.
(1)
(2) -3
(3) -1
(4) -1
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8. (教材P56练习第1题变式)求下列各数的相反数和绝对值:
(1) -; (2) -4;
(3) ; (4) 2.2-.
(1) -的相反数是,绝对值是
(2) -4的相反数是4-,绝对值是4-
(3) 的相反数是,绝对值是
(4) 2.2-的相反数是-2.2,绝对值是-2.2
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9. 下列说法正确的是 ( )
A. 两个无理数的和一定是无理数
B. 无理数的相反数是无理数
C. 两个无理数的积一定是无理数
D. 无理数与有理数的乘积是无理数
10. 已知数轴上表示,π的点分别为A,B,A是BC的中点,则点C表示的数是 ( )
A. -π B. π- C. 2-π D. π-2
B
C
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11. 若实数a,b满足a+b=6,我们就说a与b是关于6的“如意数”,则与3-是关于6的“如意数”的是 ( )
A. 3+ B. 3-
C. 9- D. 9+
12. 计算:
(1) 4+2= ;
(2) -|-|= .
13. 已知a是小于3+的整数,且|2-a|=a-2,则a的所有可能值是 .
A
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0
2,3,4,5
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14. 定义一种运算:对于任意实数a,b,都有a※b=(a-1)2+b2,那么(1+)※
= .
15. 如图,一只蚂蚁从点A处沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点B处,点A表示的数为-.设点B表示的数为m,则|m-1|的值是 .
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-1
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16. 求下面各式的值:
(1) (2024·大兴区期中)|-1|+--(-2);
(2) 3(-)+2(+).
(1) 4+3
(2) 5-
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17. 实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,其中,c为8的立方根,求+|b-a|+-|2b|的值.
∵ c为8的立方根,∴ c=2.由题图,易得a<0,b-a<0,
b-c<0,2b<0,∴ 原式=|a|+|b-a|+|b-c|-|2b|=-a+a-b+
c-b+2b=c=2
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18. 先阅读材料,然后解答问题:
设a,b都是有理数,且满足a+b=3-2,求ba的值.
解:由题意,得(a-3)+(b+2)=0.∵ a,b都是有理数,∴ a-3,b+2也是有理数.
∵ 是无理数,∴ b+2=0,a-3=0.∴ b=-2,a=3.∴ ba=(-2)3=-8.
问题:设x,y都是有理数,且满足x2-2y+y=10+3,求x+y的值.
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由题意,得(x2-2y-10)+(y-3)=0.∵ x,y都是有理数,∴ x2-2y-10,y-3也是有理数.∵ 是无理数,∴ y-3=0,x2-2y-10=0.∴ y=3,x=±4.∴ x+y=7或-1
