(共17张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平 行 线
7.2.3 平行线的性质
第2课时 平行线判定与性质的综合
1. (2024·东城区段考)如图,直线a,b分别与直线c,d相交,∠1=∠2,∠3=
100°,则∠4的度数是 ( )
A. 70° B. 80°
C. 110° D. 100°
2. (2024·西城区段考)如图,点E,B,C,D在同一条直线上,∠A=∠ACF,
∠DCF=50°,则∠ABE的度数是 ( )
A. 50° B. 130°
C. 135° D. 150°
B
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B
3. (2024·海淀区期中)如图,∠B+∠DAB=180°,AC平分∠DAB.如果∠C=
50°,那么∠B= .
4. (2024·海淀区期中)为了方便市民绿色出行和锻炼身体,政府倡导大家使用共享单车.如图所示为一辆共享单车放在水平地面上的示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=55°,∠BAC=52°.当∠MAC等于 °时,AM与BC平行.
80°
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5. (2024·朝阳区期末)把下面的说明过程补充完整,并在括号里填上依据.
如图,AD∥BC,∠D+∠F=180°.
试说明:DC∥EF.
∵ AD∥BC,
∴ ∠D+ = ( ).
∵ ∠D+∠F=180°,
∴ ∠C= (同角的补角相等).
∴ DC∥EF( ).
∠C
180°
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两直线平行,同旁内角互补
∠F
内错角相等,两直线平行
6. (2023·海淀区模拟)如图,直线a∥b,将直角三角尺按如图所示的方式摆放,若∠1=58°,则∠2的度数为 ( )
A. 30° B. 32° C. 42° D. 58°
B
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7. (2024·西城区段考)如图,直线AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ( )
A. 630° B. 720° C. 800° D. 900°
D
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8. 如图,AC∥EG,BD平分∠ABE,EH平分∠BEF交BF于点H,∠EBF=
∠EFB.有下列结论:① BD∥EH;② BF平分∠EBC;③ ∠BHE=90°;
④ ∠BFG-∠BEH=90°.其中,正确的有 ( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
D
解析:∵ AC∥EG,∴ ∠ABE=∠BEF,∠CBF=∠EFB.∵ BD平分∠ABE,
EH平分∠BEF,∴ ∠ABD=∠DBE=∠ABE,∠BEH=∠HEF=∠BEF.∴ ∠DBE=∠BEH.∴ BD∥EH,故①正确.∵ ∠EBF=∠EFB,∠CBF=
∠EFB,∴ ∠EBF=∠CBF.∴ BF平分∠EBC,故②正确.∵ ∠EBF+
∠EFB+∠BEF=2(∠FEH+∠EFH)=180°,∴ ∠FEH+∠EFH=90°.∴ ∠EHF=90°.∴ ∠BHE=90°,故③正确.∵ ∠BFG=180°-∠EFB=
180°-(180°-∠HEF-∠EHF),∴ ∠BFG=90°+∠HEF.∴ ∠BFG-∠HEF=∠BFG-∠BEH=90°,故④正确.综上所述,正确的有①②③④.
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9. (2024·西城区期中)爸爸驾车带小明去山区旅游,如图,汽车经过A,B,C三个拐弯点,拐弯后汽车行驶方向与原来相同,即DA∥CE.若∠A=110°,∠B
=85°,则∠C= .
15°
解析:过点B向左作BF∥AD.又∵ DA∥CE,∴ BF∥CE∥AD.∴ ∠C=
∠FBC,∠A+∠FBA=180°.∵ ∠A=110°,∠ABC=85°,∴ ∠FBA=
180°-∠A=70°,∠C=∠CBF=∠ABC-∠FBA=85°-70°=15°.
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10. (2024·大兴区期中)如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB于点H.CD与AB的位置关系如何 为什么
CD⊥AB ∵ ∠1=∠ACB,∴ DE∥BC.∴ ∠2=∠BCD.
∵ ∠2=∠3,∴ ∠3=∠BCD.∴ HF∥CD.∵ FH⊥AB,
∴ ∠FHB=90°.∴ ∠CDB=∠FHB=90°.∴ CD⊥AB
第10题
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11. (2024·西城区期中)如图,∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1) 请判断AD与EC的位置关系,并说明理由;
(2) 若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=70°,求∠FAB的度数.
(1) AD∥EC 理由:∵ ∠1=∠BDC,∴ AB∥CD.∴ ∠2
=∠ADC.∵ ∠2+∠3=180°,∴ ∠ADC+∠3=180°.∴
AD∥EC.
(2) ∵ DA平分∠BDC,∴ ∠ADC=∠BDC=∠1=×70°
=35°.∴ ∠2=∠ADC=35°.∵ CE⊥AE,∴ ∠AEC=90°.∵ AD∥EC,∴ ∠FAD=∠AEC=90°.∴ ∠FAB=∠FAD-∠2=90°-35°=55°
第11题
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12. (2023·门头沟区期末)如图,直线m,n相交于点A,D,C是直线m上两点,B是直线n上一点,连接BC,过点D作DE∥BC交直线n于点E.F是直线n上一动点,连接FD和FC,设∠EDF=α,∠FCB=β,∠DFC=γ.
(1) 当点F在线段BE上时,
① 依题意补全图;
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① 如图①所示
② 判断a,β,γ的数量关系并加以说明.
② γ=β+α
如图①,过点F作FH∥BC.∵ BC∥DE,∴ FH∥
BC∥DE.∴ ∠BCF=∠CFH,∠EDF=∠DFH.
∴ ∠DFC=∠CFH+∠DFH=∠BCF+∠EDF.
∴ γ=β+α
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(2) 当点F不在线段BE上时,直接写出α,β,γ的数量关系.
(2) 当点F不在线段BE上时,有两种情况.如图②,
当点F在射线EA上时,过点F作FP∥BC.∵ BC∥
DE,∴ FP∥DE∥BC.∴ ∠BCF=∠CFP,∠EDF
=∠DFP.∴ ∠CFP=∠CFD+∠DFP,即∠BCF=
∠CFD+∠EDF.∴ β=γ+α.如图③,当点F在点B上方时,过点F作FQ∥BC.
∵ BC∥DE,∴ FQ∥DE∥BC.∴ ∠EDF=∠DFQ,∠BCF=∠CFQ.∴
∠DFQ=∠DFC+∠CFQ,即∠EDF=∠DFC
+∠BCF.∴ α=γ+β.综上所述,α,β,γ的数量关
系为β=γ+α或α=γ+β
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12(共25张PPT)
第七章 相交线与平行线
第七章总结提升
考点一 相交线与垂线
1. (2024·怀柔区期末)如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD于点O.若∠COB=153°,则∠AOE的度数为 ( )
A. 43°
B. 53°
C. 63°
D. 73°
C
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2. (2024·西城区期中)如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,则BD的长度的值可能是 ,依据是 .
3. (2023·朝阳区段考)如图,AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,连接CE.
(1) 若∠AOC=25°,则∠BOE= .
(2) 若OC=2cm,OE=1.5cm,CE=2.5cm,则点E到直线CD的距离是 cm.
4(答案不唯一)
垂线段最短
65°
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4. (2024·东城区段考)直线AB,CD相交于点O,∠AOC∶∠BOC=2∶1,OA
⊥OE,则∠EOD= .
30°或150°
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5. 如图,直线AB,CD相交于点O,过点O作OE⊥AB,且OF平分∠AOD,
∠BOD=24°.
(1) 求证:∠COF=∠BOF;
(2) 求∠EOF的度数.
(1) ∵ OF平分∠AOD,∴ ∠AOF=∠DOF.又∵ ∠AOC=
∠BOD,∴ ∠AOF+∠AOC=∠DOF+∠BOD,即∠COF=
∠BOF
(2) ∵ ∠AOD=180°-∠BOD=180°-24°=156°,∴ ∠AOF=∠DOF=
156°÷2=78°.又∵ OE⊥AB,∴ ∠AOE=90°.∴ ∠EOF=∠AOE-∠AOF=90°-78°=12°
第5题
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考点二 平行线的性质与判定
6. (2023·西城区段考)如图,下列条件中,不能判定直线l1∥l2的是 ( )
A. ∠1=∠3
B. ∠2=∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠2+∠4=180°
B
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7. (2024·海淀区一模)如图,AB⊥BC,AD∥BE.若∠BAD=28°,则∠CBE的度数为 ( )
A. 66° B. 64° C. 62° D. 60°
8. (2023·大兴区期末)如图,AB∥CD∥EF,则∠1,∠2,∠3之间的数量关系是 .
C
∠1-∠3+∠2=180°
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9. (2023·海淀区期中)如图,点F在AB上,点E在CD上,AE,DF分别交BC于点H,G,∠A=∠D,∠FGB+∠EHG=180°.求证:AB∥CD.
∵ ∠FGB+∠EHG=180°,∠FGB=∠HGD,∴ ∠HGD
+∠EHG=180°.∴ AE∥DF.∴ ∠A+∠AFD=180°.又
∵ ∠A=∠D,∴ ∠D+∠AFD=180°.∴ AB∥CD
第9题
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考点三 命题、定理、证明
10. (2024·大兴区期末)小兰学习了“如果b∥a,c∥a,那么b∥c”后,由此进行联想,提出了下列命题:① 对于任意数a,b,c,如果a>b,b>c,那么a>c;② 对于同一平面内的任意直线a,b,c,如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c;③ 对于同一平面内的任意角α,β,γ,如果α与β互余,β与γ互余,那么α与γ互余;④ 对于任意图形M,N,P(其中图形M,N,P不重合),如果M可以平移到N,N可以平移到P,那么M可以平移到P.其中,真命题是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④
11. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设为
.
B
两条直线垂直于
同一条直线
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考点四 平移
12. (2024·西城区期中)如图,直角三角形ABC的周长为2024,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,则这5个小直角三角形周长的和为 .
13. (2024·朝阳区期中)如图,在一块长方形草坪中间,有一条宽度为1m的弯曲小路,则种草部分(涂色部分)的面积为 m2.
2024
b(a-1)
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14. 如图,CA⊥BE于点A,AD⊥BF于点D,下列说法正确的是 ( )
A. ∠α与∠B是同位角
B. ∠α的邻补角是∠DAC
C. ∠ACF是∠α的余角
D. ∠α与∠ACF互补
D
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15. (2023·西城区期中)如图,图①是AD∥BC的一张纸条,按图①→图②→图③,把这张纸条先沿EF折叠并压平,再沿BF折叠并压平.若图③中∠CFE=18°,则图②中∠AEF的度数为 ( )
A. 114° B. 108° C. 120° D. 126°
A
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解析:根据折叠,得2∠BFE+∠BFC=180°,∠BFE-∠BFC=∠CFE=18°,
∴ ∠BFE=(180°+18°)=66°.∵ AE∥BF,∴ ∠AEF+∠BFE=180°.
∴ ∠AEF=180°-∠BFE=114°.
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16. 有下列命题:① 有且只有一条直线平行于已知直线;② 过直线外一点到这条直线的垂线段就是这点到直线的距离;③ 在同一平面内,互相垂直的两条线段一定相交;④ 若直线l外一点P与直线l上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长为3cm,则点P到直线l的距离为3cm.其中,错误的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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17. (2024·朝阳区段考)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的模型,则所用铁丝的长度l甲,l乙,l丙大小关系是 .
18. 如图,沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角,使∠1=120°,AB⊥BC,则∠2= .
l甲=l乙=l丙
150°
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19. 如图,AB∥EG,CD∥EF,BC∥DE,若∠α=50°,∠β=26°,则∠γ的度数为 .
解析:如图,延长AB交DE于点H.∵ BC∥DE,∠α=50°,∴ ∠BHE=∠α=
50°.∵ CD∥EF,∠β=26°,∴ ∠DEF=∠β=26°.∵ AB∥EG,∴ ∠HEG
=∠BHE=50°.∴ ∠γ=∠DEG-∠DEF=50°-26°=24°.
24°
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20. (2024·朝阳区期中)如图,AD∥BC,∠BAD的平分线交CD于点F,交BC的延长线于点E,∠CFE=∠E.求证:∠B+∠BCD=180°.
请将下面的证明过程补充完整,并在括号里填上依据.
证明:∵ AD∥BC,
∴ =∠E( ).
∵ AE平分∠BAD,
∴ = .
∴ ∠BAE=∠E.
∵ ∠CFE=∠E,
∴ ∠CFE=∠BAE.
∴ ∥ ( ).
∴ ∠B+∠BCD=180°( ).
∠DAE
两直线平行,内错角相等
∠DAE
∠BAE
AB
第20题
CD
同位角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
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21. 如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB于点O.
(1) 若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2) 若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.
(1) ∵ OM⊥AB,∴ ∠AOM=90°.∴ ∠1+∠AOC=90°.
∵ ∠1=∠2,∴ ∠2+∠AOC=90°.∴ ∠NOC=90°.∴
∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°
(2) ∵ OM⊥AB,∴ ∠AOM=∠BOM=90°.∵ ∠BOC=4∠1,∴ ∠BOM=
3∠1,即3∠1=90°.∴ ∠1=30°.∴ ∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=
60°,∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°
第21题
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22. 中华文化博大精深,方块文字智慧灵秀,奥妙无穷.如图①是一个“互”字,如图②是由图①抽象的几何图形,其中AB∥CD,MG∥FN,点E,M,F在同一条直线上,点G,N,H在同一条直线上,且∠EFN=∠G.
(1) EF与GH平行吗 请说明理由.
(1) 平行 理由:∵ MG∥FN,∴ ∠EFN=∠EMG.
∵ ∠EFN=∠G,∴ ∠G=∠EMG.∴ EF∥GH.
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(2) 求证:∠AEF=∠GHD.
(2) 延长EF交CD于点P.∵ AB∥CD,∴ ∠BEF+
∠MPH=180°.∵ EP∥GH,∴ ∠GHP+∠MPH
=180°.∴ ∠BEF=∠GHP.∵ ∠BEF=180°-
∠AEF,∠GHP=180°-∠GHD,∴ ∠AEF=∠GHD
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23. (2024·东城区段考)已知AB∥DE,点C在AB的上方,连接BC,CD.
(1) 如图①,若∠ABC=145°,∠EDC=116°,求∠BCD的度数;
(1) 如图①,过点C作CM∥AB.∴ ∠BCM=∠ABC=145°.
∵ AB∥DE,∴ CM∥DE.∴ ∠DCM=∠EDC=116°.∵ ∠BCM=∠BCD+∠DCM,∴ ∠BCD=∠BCM-∠DCM=
145°-116°=29°
第23题
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(2) 如图②,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,∠ABC和∠F之间的数量关系是 ;
∠ABC-∠F=90°
解析:如图②,过点C作CN∥AB.∴ ∠ABC=∠BCN.∵ AB
∥ED,∴ CN∥EF.∴ ∠F=∠FCN.∵ ∠BCN=∠BCF+
∠FCN,∴ ∠ABC=∠BCF+∠F.∵ CF⊥BC,∴ ∠BCF=
90°.∴ ∠ABC=90°+∠F,即∠ABC-∠F=90°.
第23题
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(3) 如图③,在(2)的条件下,∠CFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值.
(3) 如图③,延长HG交EF于点Q,过点G作GP∥EF.∴
∠BGD=∠CGQ.∵ AB∥DE,∴ ∠ABH=∠EQG.∵ GP
∥EF,∴ ∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF.∴ ∠PGQ=
∠ABH.∴ ∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ.∵
∠FGQ=∠PGQ-∠PGF,∴ ∠FGQ=∠ABH-∠EFG.∵
BH平分∠ABC,FG平分∠CFD,∴ ∠ABH=∠ABC,
∠EFG=∠CFD.∴ ∠FGQ=∠ABC-∠CFD=(∠ABC
-∠CFD).由(2)可得,∠ABC-∠CFD=90°,∴ ∠FGQ=×
90°=45°,即∠BGD-∠CGF=45°
第23题
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23(共14张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
第1课时 定义、命题
1. 下列语句不是定义的为 ( )
A. 能写成分数形式的数为有理数
B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角
C. 邻补角互补
D. 在同一平面内,当直线a,b不相交时,我们说直线a与b互相平行
C
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2. 把“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,正确的是 ( )
A. 如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
B. 如果两个角的补角相等,那么这两个角相等
C. 如果两个角相等,那么这两个角的补角相等
D. 如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等
D
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3. (教材P24习题7.3第1题变式)(2024·西城区期中)下列命题中,真命题为 ( )
A. 相等的角是对顶角
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4. 有下列语句:① 今天上午第几节课是数学课 ② 取线段AB的中点.③ 如果a>b,那么3a>3b.④ 这两条直线平行吗 ⑤ 凡是直角都相等.其中,
是命题(填序号).
B
③⑤
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5. 下列语句哪些是命题 哪些不是命题 为什么
(1) 延长线段AB到点C,使BC=AB.
(2) 我们要支持某新区建设吗
(3) 在直线AB上任取一点C.
(4) 同位角不相等,则两直线不平行.
(1)(2)(3)不是命题,它们不是对一件事情进行判断 (4)是命题,它是对一件事情进行判断
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6. (教材P23练习第3题变式)写出下列命题的题设和结论:
(1) 若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互补;
(2) 同角的余角相等;
(3) 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么这条直线也和另一条直线垂直.
(1) 题设:∠1+∠2=180° 结论:∠1与∠2互补
(2) 题设:两个角是同一个角的余角 结论:这两个角相等
(3) 题设:一条直线和两条平行线中的一条垂直 结论:这条直线也和另一条直线垂直
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7. (2024·西城区期中)给出以下四个命题:① 如果两个角互补,那么这两个角都是锐角;② 如果两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,那么同位角相等;③ 如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直,那么这两个角互补;④ 平面上3条直线,最多可把平面分成7个部分.其中,正确的为 ( )
A. ①②③④ B. ②④
C. ④ D. ①③
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B
8. (2024·东城区二模)当a= ,b= 时,可以说明“若a>b,则a2>b2”是假命题(写出一组a,b的值即可).
9. 已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,有下列命题:① 如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;② 如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③ 如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④ 如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中,属于真命题的是 (填序号).
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-2
①②④
(答案不唯一)
10. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并判断命题的真假.
(1) 一个有理数既不是正数,也不是负数,它一定是0;
(2) 同位角相等;
(3) 绝对值相等的两个数互为相反数.
(1) 如果一个有理数既不是正数,也不是负数,那么它一定是0,这是一个真命题
(2) 如果两个角是同位角,那么这两个角相等,这是一个假命题
(3) 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数互为相反数,这是一个假命题
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11. (2024·朝阳区段考)如图,在下列三组条件中,请你选择其中两组作为题设,剩下的一组作为结论,组成一个真命题并证明.
① AB⊥BC,CD⊥BC;② BE∥CF;③ ∠1=∠2.
题设(已知): .
结论(求证): .
∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
∵ BE∥CF,∴ ∠EBC=∠FCB.∴ ∠ABC-∠EBC
=∠DCB-∠FCB.∴ ∠1=∠2
第11题
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①②
③
(答案不唯一)
12. (1) 如图,∠CDG=∠B,AD⊥BC于点D,点E在AB上,EF⊥BC于点F.试说明:∠1=∠2.
(1) ∵ ∠CDG=∠B,∴ DG∥AB.∴ ∠1=∠DAB.∵ AD⊥
BC,EF⊥BC,∴ ∠BFE=∠BDA=90°.∴ EF∥AD.∴ ∠2
=∠DAB.∴ ∠1=∠2
第12题
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(2) 若把(1)中的“∠CDG=∠B”与结论“∠1=∠2”对调,则所得的命题是真命题吗 请说明理由.
(2) 是真命题 理由:∵ AD⊥BC,EF⊥BC,∴ ∠BFE=
∠BDA=90°.∴ AD∥EF.∴ ∠2=∠DAB.∵ ∠1=∠2,
∴ ∠1=∠DAB.∴ DG∥AB.∴ ∠CDG=∠B.
第12题
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12(共13张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相 交 线
7.1.1 两条直线相交
1. (教材P3练习第1题变式)(2024·西城区期中)如图,∠1和∠2是对顶角的图形共有 ( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
B
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2. (2024·朝阳区一模)如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC=50°,
∠DOE=15°,则∠BOE的度数为 ( )
A. 15° B. 30° C. 35° D. 65°
3. (2024·朝阳区段考)如图,直线a,b相交,∠2+∠3=100°,则∠1= °.
130
C
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4. (2023·海淀区期中)如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1) 图中∠BOD的邻补角为 ,∠AOE的邻补角为 .
(2) 如果∠COD=25°,那么∠BOE= ;如果∠COD=60°,那么∠BOE= .
(3) 试说明∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系.
∠AOD
∠BOE
65°
30°
(3) 因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,所以∠COD
+∠BOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°
第4题
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5. 如图,直线AB,CD相交于点O,且∠AOC=32°,∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠BOE和∠AOF的度数.
由对顶角相等,可知∠DOB=∠AOC=32°.因为∠DOE
=∠DOB,所以∠BOE=2∠DOB=64°.因为∠AOE+
∠BOE=180°,所以∠AOE=180°-∠BOE=116°.因
为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠AOE=58°
第5题
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6. (2023·西城区段考)如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM的度数为 ( )
A. 38°
B. 104°
C. 142°
D. 144°
C
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7. 如图,直线AB,CD相交于点O,∠1+∠2=120°,∠3=125°,则∠2的度数是 ( )
A. 37.5° B. 75° C. 50° D. 65°
D
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8. 如图,直线AB,CD,EF相交于点O.若∠1+∠2+2∠3=210°,则∠3的度数为 .
9. (教材P3练习第3题变式)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=120°,
OE把∠BOD分成两部分,且∠BOE∶∠EOD=1∶2,则∠BOE= .
30°
20°
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10. 如图,直线AB,CD,EF相交于点O.
(1) 若∠EOC+∠DOF=300°,则∠DOE= ;
(2) 若∠EOC+∠COB=248°,则∠AOE= .
11. (2024·朝阳区段考)如图,直线a,b,c两两相交,∠1=60°,∠2=∠4,则∠3= °,∠5= °.
30°
68°
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12. 如图,直线AB,CD相交于点O,OC平分∠AOM,且∠AOM=88°,射线ON在∠BOM的内部.
(1) 求∠AOD的度数;
(2) 若∠BOC=4∠BON,求∠MON的度数.
(1) 因为OC平分∠AOM,且∠AOM=88°,所以∠AOC=
∠COM=∠AOM=44°.所以∠AOD=180°-44°=136°
(2) 因为∠AOD=136°,所以∠BOC=136°.又因为∠BOC
=4∠BON,所以∠BON=34°.因为∠COM=44°,所以
∠MON=∠BOC-∠BON-∠COM=136°-34°-44°=58°
第12题
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13. 如图①,直线AB与CD相交于点E,射线EG在∠AEC内.
(1) 若∠BEC的邻补角是它的余角的3倍,则∠BEC= ;
(2) 在(1)的条件下,若∠CEG比∠AEG小25°,求∠AEG的度数;
(3) 如图②,若射线EF平分∠AED,∠FEG=m(m>90°),则∠AEG-∠CEG=
(用含m的式子表示).
(2) 设∠AEG=x,则∠CEG=x-25°.因为∠AEG+
∠CEG+∠BEC=180°,由(1),知∠BEC=45°,
所以x+x-25°+45°=180°,解得x=80°.所以
∠AEG=80°
45°
2m-180°
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13(共15张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平 行 线
7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
1. (2024·海淀区期末)如图,若m∥n,∠1=105°,则∠2的度数为 ( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 75°
2. (2024·海淀区期中)如图,将直角三角尺ABC的两个顶点A和C分别放在直线a和直线b上,已知直线a∥b.若∠1=35°,则∠2的度数为 ( )
A. 35° B. 55° C. 65° D. 75°
D
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B
3. (2024·西城区期中)如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于点D,∠CDB=
30°,则∠C= °.
4. (2024·西城区模拟)如图,直线l1,l2,l3交于一点,l2⊥l3,l4∥l1.若∠1=50°,则∠2的度数为 °.
5. (2023·海淀区期中)如图,把一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置.若∠EFB=72°,则∠AED'= .
120
140
36°
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6. (2024·西城区三模)如图,AB∥CD,BC∥EF,ED平分∠AEF,若∠C=50°,求∠D的度数.
∵ BC∥EF,∴ ∠EFD=∠C=50°.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=180°-∠EFD=180°-50°=130°.
∵ ED平分∠AEF,∴ ∠AED=∠AEF=65°.
∵ AB∥CD,∴ ∠D=∠AED=65°
第6题
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7. 如图,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作DE∥BC,交AB于点E,则下列结论不一定正确的是 ( )
A. ∠AED=90°
B. ∠BDE=45°
C. ∠ADE=∠C
D. ∠DBC=∠DCB
D
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8. (2024·巴中)如图,直线m∥n,一块含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置.若∠1=40°,则∠2的度数为 ( )
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
A
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9. 如图,AB与CD相交于点O,AC∥OP∥BD.如果∠C=50°,∠B=65°,那么∠AOD= .
10. (2024·海淀区期中)如图,把三角形ABC沿平行于BC的直线DE折叠,使点A落在边BC上的点F处.若∠B=50°,则∠BDF的度数为 .
115°
80°
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11. (2024·西城区期中)如图,AB∥CD,CE∥BF.试说明:∠C+∠B=180°.
设CD交BF于点O.∵ AB∥CD,CE∥BF,∴ ∠COB+
∠B=180°,∠C=∠COB.∴ ∠C+∠B=180°
第11题
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12. 国庆期间,小明家正在装修,他看到家里有一个两组对边分别平行的四边形框架ABCD(如图).装修师傅告诉他这个四边形框架的两组对角分别相等,即∠A=∠C,∠B=∠D.小明百思不得其解.你能告诉他原因吗
由题意,知AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠A+∠D=180°,∠A+
∠B=180°.∴ ∠B=∠D.同理,可得∠A=∠C
第12题
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13. (2023·西城区期中)在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1) 如图①,小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度数.
(1) ∵ AB∥CD,∴ ∠1=∠EGD.∵ ∠2=2∠1,∴ ∠2=
2∠EGD.∵ ∠FGE=60°,∴ ∠EGD=(180°-60°)=
40°.∴ ∠1=40°
第13题
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(2) 如图②,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD上,请探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系.
(2) ∵ AB∥CD,∴ ∠AEG+∠CGE=180°,即∠AEF+
∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°.又∵ ∠FEG+∠EGF
=90°,∴ ∠AEF+∠FGC=90°
第13题
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(3) 如图③,小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°角的顶点E落在AB上.若∠AEG=α,则∠CFG= (用含α的式子表示).
解析:∵ AB∥CD,∴ ∠AEF+∠CFE=180°,即∠AEG
+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°.又∵ ∠GFE=90°,
∠GEF=30°,∠AEG=α,∴ ∠CFG=180°-90°-30°
-α=60°-α.
第13题
60°-α
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13(共13张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.4 平 移
1. 如图②所示的图形是由如图①所示的图形将 ( )
A. 三角形AOB平移BC的长度得到的
B. 三角形COD平移BC的长度得到的
C. 三角形AOD平移AD的长度得到的
D. 三角形BOC平移BA的长度得到的
A
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2. (教材P27探究变式)如图,将三角形ABC平移到三角形DEF的位置.有下列结论:① AB∥DE,AD=CF=BE;② ∠ACB=∠DEF;③ 平移的方向是点C到点E的方向;④ 平移的距离为线段BE的长.其中,正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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3. (2024·朝阳区段考)如图,将三角形ABC沿BC方向平移3cm,得到三角形DEF,点E落在线段BC上.若三角形ABC的周长为22cm,则四边形ABFD的周长为 cm.
28
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4. 如图,将三角形ABE沿着BC方向平移到三角形FCD的位置.若AB=4,AE
=3,BE=2,BC=5,则FC,CD,FD,EF的长分别是多少
∵ 三角形FCD是由三角形ABE沿着BC方向平移得
到的,∴ FC=AB=4,CD=BE=2,FD=AE=3,AF=BC=5.
∴ EF=AF-AE=2
第4题
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5. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,三角形ABC的顶点A,B,C在格点上,将三角形ABC先向下平移4个单位长度,再向右平移3个单位长度得到三角形A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1).
(1) 在网格中画出三角形A1B1C1;
(2) 计算线段AC在变换到线段A1C1的过程中扫过区域的面积.
(1) 三角形A1B1C1如图所示
(2) 线段AC在变换到线段A1C1的过程中扫
过区域的面积为4×2+3×2=14
第5题
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6. (2024·东城区期末)如图,从甲地到乙地有三条路线:① 甲→A→D→乙;② 甲→B→D→乙;③ 甲→B→C→乙.这三条路线相比 ( )
A. ①最短
B. ②最短
C. ③最短
D. 一样长
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12
D
7. 如图,直线a,b,c交于一点,且b⊥c,平移直线a到直线d的位置.若∠1=
25°,则∠2的度数为 .
65°
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12
8. (2024·海淀区期中)如图,在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路,现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路,则改造后小路的长度 ,种草部分的面积 (填“变大”“不变”或“变小”).
9. 如图,AB=4cm,BC=5cm,AC=2cm,将三角形ABC沿BC方向平移acm(0<
a<5),得到三角形DEF,连接AD,则阴影部分的周长为 cm.
变大
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3
4
5
6
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8
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不变
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10. 如图,在长方形ABCD中,AB=10,BC=6,那么长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形EFGH与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24
由题意,知长方形EBCH为重叠部分,∴ S重叠部分=
EB·BC=24.又∵ BC=6,∴ EB=4.∴ AE=AB-BE=
10-4=6.又∵ 点A的对应点是E,∴ 线段AE的长度
就是长方形ABCD平移的距离.∴ 只需沿着AB方
向平移6个单位长度即可
第10题
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11. 如图,将直角三角形ABC沿着BC方向平移BE的长度,得到直角三角形DEF.求阴影部分的面积.
由平移,得DE=AB=8.∴ HE=DE-DH=8-3=5.∴ S阴影部分
=S梯形ABEH===32.5
第11题
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12. 如图,在长方形土地内修筑同样宽的道路(阴影部分),余下部分作为耕地.当道路的宽为2m时,耕地的面积为多少平方米
通过平移,使图形变为规则图形.(20-2)×(32-2)=
540(m2).∴ 耕地的面积为540m2
第12题
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第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
第2课时 定理的证明
1. (教材P24练习第1题变式)(2023·丰台区期末)如图,DM∥AC,EF⊥AB于点F,∠1=∠2.求证:CD⊥AB.
完成如下证明,并在括号里填上依据.
证明:∵ DM∥AC,
∴ ∠1=∠DCA( ).
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠2=∠DCA.
∴ ∥ ( ).
∴ ∠EFB=∠ .
∵ EF⊥AB,
∴ ∠EFB= °.
∴ ∠CDB=90°.
∴ CD⊥AB.
两直线平行,内错角相等
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EF
CD
同位角相等,两直线平行
CDB
90
2. (2023·大兴区期中)如图,分别以点A,B为端点作射线AM,BN,C,D,E三点分别在AM,AB,BN上,过点C的直线与线段DE,AB分别交于点F,H,∠1=
110°,∠2=70°.
(1) 判断CF与BN的位置关系并加以证明;
(2) 若CE∥AB,∠B=50°,求∠3的度数.
(1) CF∥BN ∵ ∠EFH=∠1=110°,∠2=70°,∴ ∠EFH+
∠2=180°.∴ CF∥BN
(2) ∵ CF∥BN,∴ ∠AHC=∠B=50°.∵ CE∥AB,∴ ∠3=
∠AHC=50°
第2题
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3. (2023·西城区期末)如图,点E,F分别在BA,DC的延长线上,直线EF分别交AD,BC于点G,H,∠B=∠D,∠E=∠F.求证:∠EGA+∠CHG=180°.
∵ ∠E=∠F,∴ BE∥DF.∴ ∠D=∠DAE.∵ ∠B=∠D,
∴ ∠B=∠DAE.∴ BC∥AD.∴ ∠DGH+∠CHG=180°.
∵ ∠DGH=∠EGA,∴ ∠EGA+∠CHG=180°
第3题
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4. (教材P25习题7.3第3题变式)完成下面的证明推理过程,并在括号里填上依据.
如图,DE∥BC,DF,BE分别平分∠ADE和∠ABC.求证:∠FDE=∠DEB.
证明:∵ DE∥BC(已知),
∴ ∠ADE= ( ).
∵ DF,BE分别平分∠ADE和∠ABC(已知),
∴ ∠ADF=∠ADE,∠ABE=∠ABC( ).
∴ ∠ADF=∠ABE.
∴ ∥ ( ).
∴ ∠FDE= ( ).
∠ABC
两直线平行,同位角相等
角的平分线的定义
DF
BE
同位角相等,两直线平行
∠DEB
两直线平行,内错角相等
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5. 如图,EF⊥AB,CD⊥AB,垂足分别为E,D,点F在线段BC上,点G在线段AC上,∠EFB=∠GDC.求证:∠AGD=∠ACB.
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∵ EF⊥AB,CD⊥AB,∴ ∠BEF=∠BDC=90°.∴ EF∥
CD.∴ ∠EFB=∠BCD.∵ ∠EFB=∠GDC,∴ ∠GDC=
∠BCD.∴ DG∥BC.∴ ∠AGD=∠ACB
第5题
6. (2023·西城区段考)如图,∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.
(1) 试判断DE与BC的位置关系,并说明理由.
(2) 若DE平分∠ADC,∠BDC=3∠B,求∠EFC的度数.
(1) DE∥BC 理由:∵ ∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+
∠BDC=180°,∴ ∠EFC=∠ADC.∴ AD∥EF.∴ ∠DEF
=∠ADE.又∵ ∠DEF=∠B,∴ ∠B=∠ADE.∴ DE∥BC.
(2) ∵ DE平分∠ADC,∴ ∠ADC=2∠ADE.∵ ∠ADE=∠B,∠BDC=3∠B,
∴ ∠BDC=3∠ADE.∵ ∠BDC+∠ADC=180°,∴ 3∠ADE+2∠ADE=
180°,解得∠ADE=36°.∴ ∠ADC=72°.∴ ∠EFC=∠ADC=72°
第6题
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7. (2023·海淀区期中)线段AB与线段CD互相平行,P是平面内的一点,且点P不在直线AB,CD上,连接PA,PD,射线AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线.
(1) 如图,若点P在线段AD上.
① 依题意补全图;
① 如图①所示
② 判断AM与DN的位置关系,并证明.
② AM∥DN ∵ AM平分∠BAD,DN平分
∠CDA,∴ ∠DAM=∠BAD,∠ADN=∠CDA.
∵ AB∥CD,∴ ∠BAD=∠CDA.∴ ∠DAM=
∠ADN.∴ AM∥DN
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(2) 是否存在点P,使AM⊥DN 若存在,直接写出点P的位置;若不存在,请说明理由.
(2) 存在 如图②,点P在直线AD上,位于AB
与CD两平行线之外
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解析:如图②,当点P在直线AD上,位于AB与CD两平行线之外时,AM⊥DN.
∵ AB∥CD,∴ ∠PAF=∠PDC.∵ ∠PAF+∠PAB=180°,∴ ∠PDC+
∠PAB=180°.∵ AM平分∠BAP,DN平分∠CDA,∴ ∠BAM=∠PAB,
∠CDN=∠PDC.∴ ∠CDN+∠BAM=∠PDC+∠PAB=(∠PDC+
∠PAB)=90°.∵ AB∥CD,∴ ∠AFE=∠CDN.∵ ∠EAF=∠BAM,∴ ∠AFE+∠EAF=∠CDN+∠BAM=90°.∴ ∠AEF=90°.
∴ AM⊥DN.
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7(共16张PPT)
第七章 相交线与平行线
阶段训练(7.1~7.3)
一、 选择题
1. (2024·海淀区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,下列说法错误的是 ( )
A. ∠AOD=∠BOC
B. ∠AOE+∠BOD=90°
C. ∠AOC=∠AOE
D. ∠AOD+∠BOD=180°
C
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2. (2024·西城区期中)如图,AB∥CD,GH⊥AB于点H,∠1=25°,则∠2的度数为 ( )
A. 55° B. 65° C. 75° D. 85°
3. (2024·海淀区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥
CD.若∠BOE=72°,则∠AOF的度数为 ( )
A. 72° B. 60° C. 54° D. 36°
B
C
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4. (2024·东城区段考)有下列说法:① 相等的角是对顶角;② 同位角相等;③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离.其中,真命题的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. (2023·朝阳区段考)如图,AB∥EF,∠C=90°,则α,β,γ的关系为 ( )
A. α+β-γ=90°
B. β=α+γ
C. α+β+γ=180°
D. β+γ-α=90°
A
A
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二、 填空题
6. (2023·大兴区期中)如图,点C在射线BD上,添加一个条件,使AB∥EC,这个条件可以是 .
7. 如图,AB∥CD,∠A=32°,∠B=58°,∠BEF= °,BE与AF的位置关系是 .
答案不唯一,如∠B=∠ECD
90
BE⊥AF
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8. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥CD,垂足为O.若∠AOC=72°,则∠EOF的度数是 .
54°
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9. (2024·东城区期末)如图所示为一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与前支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当∠EOF=90°,∠ODC=
30°时,人躺着最舒服,则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为
°.
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10. 如图,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,边BC上的高AD=4.若点P在边AC
上(不含端点)移动,则BP长的最小值为 .
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11. 如图,AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则∠BCD= .
40°
解析:过点C向右作CF∥AB.∵ AB∥DE,∴ AB∥CF∥DE.∴ ∠BCF=
∠ABC=80°,∠CDE+∠DCF=180°.∵ ∠CDE=140°,∴ ∠DCF=40°.
∴ ∠BCD=∠BCF-∠DCF=40°.
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三、 解答题
12. 如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=80°,射线OE把∠BOD分成两个角,且∠BOE∶∠EOD=3∶5.
(1) 求∠BOE的度数;
(1) ∵ ∠AOC=80°,∠BOD=∠AOC,∴ ∠BOD=80°.
∵ ∠BOE∶∠EOD=3∶5,∴ ∠BOE=×80°=30°
第12题
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(2) 若过点O作OF⊥OE,求∠BOF的度数.
(2) 如图,∵ OF⊥OE,∴ ∠EOF=90°.当OF在∠AOD的内
部时,∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+30°=120°.当OF在
∠BOC的内部(即OF'处)时,∠BOF'=∠EOF'-∠BOE=90°
-30°=60°.综上所述,∠BOF的度数为60°或120°
第12题
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13. 如图,直线AB,CD,EF相交于点O,OG⊥CD,∠BOD=24°.
(1) 求∠AOG的度数.
(2) 如果OC是∠AOE的平分线,那么OG是∠AOF的平分线吗 请说明理由.
(1) ∵ AB,CD相交于点O,∴ ∠AOC=∠BOD=24°.
∵ OG⊥CD,∴ ∠COG=90°,即∠AOC+∠AOG=90°.
∴ ∠AOG=90°-∠AOC=90°-24°=66°
(2) OG是∠AOF的平分线 理由:∵ OC是∠AOE的平分
线,∴ ∠AOC=∠COE.又∵ ∠DOF=∠COE,∴ ∠AOC=
∠DOF.∵ OG⊥CD,∴ ∠COG=∠DOG=90°.∴ ∠COG-∠AOC=∠DOG-∠DOF,即∠AOG=∠FOG.∴ OG是∠AOF的平分线.
第13题
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14. 如图,直线AB∥CD,CD∥EF,且∠B=30°,∠C=125°,求∠CGB的度数.
∵ AB∥CD,CD∥EF,∴ AB∥CD∥EF.∴ ∠BGF=∠B,
∠C+∠CGF=180°.∵ ∠B=30°,∠C=125°,∴ ∠BGF
=30°,∠CGF=55°.∴ ∠CGB=∠CGF-∠BGF=25°
第14题
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15. (2024·海淀区期中)如图①,由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像∑,称为“∑形BAMCD”.
(1) 如图②,在“∑形BAMCD”中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠A+∠C=
°;
解析:如图①,过点M作MN∥AB.∵ AB∥CD,
∴ AB∥MN∥CD.∴ ∠AMN=∠A,∠NMC=
∠C.∴ ∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=
∠AMC=60°.
第15题
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(2) 如图③,连接“∑形BAMCD”中的B,D两点,若∠B+∠D=160°,∠AMC=
α,试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系,并说明理由.
(2) ∠BAM+∠MCD=α+20°
理由:如图②,过点A作AP∥CD交BD于点P,过点M作MN
∥CD,∴ ∠APB=∠D.∵ ∠BAP+∠APB+∠B=180°,
∠B+∠D=160°,∴ ∠BAP=180°-160°=20°.由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD,∵ ∠AMC=α,∴ ∠PAM+∠MCD
=α.∴ ∠BAM+∠MCD=∠BAP+∠PAM+∠MCD=α+20°.
第15题
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第七章 相交线与平行线
7.1 相 交 线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
1. (2024·怀柔区期末)如图,直线a,b被c所截,有下列四个结论:① ∠1和∠3为对顶角;② ∠4和∠8是同位角;③ ∠3和∠7是内错角;④ ∠4和∠7是同旁内角.其中,一定正确的有 ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
A
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2. (教材P7例3变式)(2024·丰台区段考)下列四个图形中,∠1和∠2是内错角的是 ( )
B
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3. 如图,有下列结论:① ∠2与∠6是内错角;② ∠3与∠4是内错角;③ ∠5与∠6是同旁内角;④ ∠1与∠4是同旁内角.其中,正确的是 ( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③④
C
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4. 如图,当直线BC,DC被直线AB所截时,∠1的同位角是 ,同旁内角是 ;当直线AB,AC被直线BC所截时,∠1的同位角是 ;当直线AB,BC被直线CD所截时,∠2的内错角是 .
∠2
∠5
∠3
∠4
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5. 如图,延长AB至点E,下列各组中的两个角分别是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的 它们是什么角
(1) ∠A与∠D;
(2) ∠A与∠CBA;
(3) ∠C与∠CBE.
(1) ∠A与∠D是由直线AE,CD被直线AD所截形成的同旁内角
(2) ∠A与∠CBA是由直线AD,BC被直线AE所截形成的同旁内角
(3) ∠C与∠CBE是由直线CD,AE被直线BC所截形成的内错角
第5题
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6. 如图,下列说法错误的是 ( )
A. ∠1与∠2是对顶角
B. ∠1与∠3是同位角
C. ∠1与∠4是内错角
D. ∠B与∠D是同旁内角
C
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7. 如图,风筝的骨架构成了多种位置关系的角.下列角中,与∠1构成同位角的是 ( )
A. ∠2
B. ∠3
C. ∠4
D. ∠5
A
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8. 如图.
(1) 当直线AC,DG被直线CD所截时,∠2的内错角是 ;
(2) ∠AEF的同位角是 ;
(3) ∠1的同旁内角是 .
∠ACD
∠ACD,∠ACB
∠ACD,∠ACB,∠EFD
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9. 如图.
(1) ∠1和∠2是直线 和直线 被直线 所截形成的 ;
(2) ∠5和∠8是直线 和直线 被直线 所截形成的 ;
(3) ∠2和∠7是直线 和直线 被直线 所截形成的 .
CD
AB
AE
内错角
AB
AE
CD
同位角
AE
CD
AB
内错角
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10. 如图,直线a,b被直线c所截,∠1=40°,∠2=105°.求:
(1) ∠1的同位角的度数;
(2) ∠4的内错角的度数;
(1) 由题图,可知∠1的同位角是∠4.因为∠2与∠4互为
邻补角,所以∠2+∠4=180°.因为∠2=105°,所以∠4=
180°-∠2=75°.所以∠1的同位角的度数为75°
(2) 由题图,可知∠4的内错角是∠5.因为∠5与∠1互为
对顶角,所以∠5=∠1.因为∠1=40°,所以∠5=40°.所
以∠4的内错角的度数为40°
第10题
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(3) ∠3的同旁内角的度数.
(3) 由题图,可知∠3的同旁内角是∠4,由(1),可知∠4=75°,
所以∠3的同旁内角的度数为75°
第10题
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11. 如图,直线DE,BC被直线AB,AC所截.
(1) ∠2与∠B是什么角 若∠1=∠B,则∠2与∠B有何数量关系
(2) ∠3与∠C是什么角 若∠4+∠C=180°,则∠3与∠C有何数量关系
(1) ∠2与∠B是同旁内角 因为∠1+∠2=180°,∠1=∠B,
所以∠2+∠B=180°
(2) ∠3与∠C是同位角 因为∠3+∠4=180°,∠4+∠C=
180°,所以∠3=∠C
第11题
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12. 如图,直线DE截直线AB,AC,构成标有数字记号的8个角.
(1) 写出这8个角中所有的同位角、内错角、同旁内角;
(1) 同位角:∠1与∠8,∠2与∠5,∠3与∠6,∠4与∠7
内错角:∠3与∠8,∠4与∠5
同旁内角:∠3与∠5,∠4与∠8
第12题
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(2) ∠A与∠8,∠A与∠5,∠A与∠6分别是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么关系的角
(2) ∠A与∠8是直线AB,DE被直线AC所截而形成的同
位角 ∠A与∠5是直线AB,DE被直线AC所截而形成的
同旁内角 ∠A与∠6是直线AB,DE被直线AC所截而形
成的内错角
第12题
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第七章 相交线与平行线
小专题(二) 相交线与平行线中的数学思想方法
类型一 方程思想
1. 如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O.若∠EOD=
∠AOC,则∠BOC的度数为 ( )
A. 112.5° B. 135° C. 140° D. 157.5°
2. 如图,OA⊥OB,OC⊥OD,∠BOA∶∠AOD=2∶3,则∠BOD的度数为
.
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135°
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A
3. 如图,∠B=∠BCD,∠BAC=90°,∠B+∠D=180°,∠ACB∶∠ACD=
1∶2,则∠BAD的度数为 .
解析:∵ ∠B=∠BCD,∠B+∠D=180°,∴ ∠D+∠BCD=180°.∴ AD∥
BC.∴ ∠B+∠BAD=180°,∠ACB=∠CAD.∵ ∠ACB∶∠ACD=1∶2,∴ 设∠ACB=∠CAD=x,则∠ACD=2x.∴ ∠B=∠BCD=3x.∴ ∠B+∠BAD=
3x+90°+x=180°.∴ x=22.5°.∴ ∠BAD=90°+22.5°=112.5°.
112.5°
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4. 如图,直线CD,EF交于点O,OA,OB分别平分∠COE和∠DOE,且∠1+
∠2=90°.
(1) 若∠2∶∠3=2∶5,求∠BOF的度数;
(1) ∵ OB平分∠DOE,∴ ∠BOE=∠2.∵ ∠2∶∠3=2∶5,
∴ 设∠2=2α,则∠BOE=2α,∠3=5α.∴ ∠BOF=∠2+∠3=
7α.∵ ∠BOE+∠BOF=2α+7α=9α=180°,∴ α=20°.∴ ∠BOF=7α=140°
第4题
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(2) 试判断AB与CD之间的位置关系,并说明理由.
(2) AB∥CD 理由:∵ OA,OB分别平分∠COE和∠DOE,
∴ ∠COE=2∠AOC,∠DOE=2∠2.∵ ∠COE+∠DOE=
2(∠AOC+∠2)=180°,∴ ∠2+∠AOC=90°.∵ ∠1+∠2
=90°,∴ ∠1=∠AOC.∴ AB∥CD.
第4题
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5. 如图,AD∥BC,BE平分∠ABC交AD于点E,BD平分∠EBC.
(1) 若∠DBC=30°,求∠A的度数.
(1) ∵ BD平分∠EBC,∠DBC=30°,∴ ∠EBC=2∠DBC=
60°.∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABC=2∠EBC=120°.∵ AD
∥BC,∴ ∠A+∠ABC=180°.∴ ∠A=60°
第5题
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(2) 若点F在线段AE上,且7∠DBC-2∠ABF=180°,则图中是否存在与∠DFB相等的角 若存在,请写出这个角并证明;若不存在,请说明理由.
(2) 存在 ∠DBF=∠DFB 设∠DBC=x.∵ BD平分
∠EBC,∴ ∠EBC=2∠DBC=2x.∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠ABC=2∠EBC=4x.∵ 7∠DBC-2∠ABF=180°,
∴ 7x-2∠ABF=180°.∴ ∠ABF=x-90°.∴ ∠CBF=∠ABC-∠ABF=x
+90°,∠DBF=∠ABC-∠ABF-∠DBC=90°-x.∵ AD∥BC,∴ ∠DFB+
∠CBF=180°.∴ ∠DFB=90°-x.∴ ∠DBF=∠DFB
第5题
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类型二 转化思想
6. 如图,AB∥CD,∠E=90°,∠1=55°,则∠B的度数为 .
7. 如图,AB∥CD,∠ABE=40°.若CF平分∠ECD,且满足CF∥BE,则∠ECD的度数为 .
8. (2024·朝阳区期中)如图,街心公园里有一块草坪,长21m,宽16m,草坪中间修有1m宽的小路,将草坪分成两块,则种草(涂色部分)的面积是 m2.
35°
80°
300
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9. 如图,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D.求证:BE⊥DE.
过点E向左作EF∥AB.∵ AB∥CD,∴ EF∥CD.∴ ∠DEF
=∠D.又∵ ∠D=∠2,∴ ∠DEF=∠2.同理,可得∠BEF=∠1.
又∵ ∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,∴ ∠1+∠2=∠BEF
+∠DEF=∠BED=90°.∴ BE⊥DE
第9题
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类型三 分类讨论思想
10. (2024·西城区期中)在学习相交线与平行线一章时,磊磊学习了垂直的定义,并仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是60°,就称两条直线互为完美交线,交点叫完美点.已知直线AB,CD互为完美交线,O为它们的完美点,OE⊥AB,则∠EOC的度数为 .
30°或150°
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11. (2024·海淀区段考)已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,探索这两个角的数量关系.
(1) 如图①,AB∥EF,BC∥DE,∠1与∠2的数量关系是 ;
(2) 如图②,AB∥EF,BC∥DE,∠1与∠2的数量关系是 ;
(3) 由(1)(2),我们可以得到一个结论:
;
∠1=∠2
∠1+∠2=180°
如果一个角的两边与另一个角的两
边分别平行,那么这两个角相等或互补
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(4) 若两个角的两边分别平行,且一个角比另一个角的2倍少30°,则这两个角分别是多少度
(4) 设一个角的度数为x,则另一个角的度数为
2x-30°.当x=2x-30°时,解得x=30°;当x+2x-
30°=180°时,解得x=70°,180°-70°=110°.
综上所述,这两个角分别是30°,30°或70°,
110°
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类型四 类比思想
12. 我们已经学习了同旁内角的定义.类似地,现规定:如图①,具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫作同旁外角.
(1) 请在图①中再找出一对同旁外角,分别用∠3,∠4在图①中标记出来;
(1) 如图①,∠3与∠4互为同旁外角
第12题
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(2) 如图②,直线a∥b,当∠1=125°时,求∠2的度数;
(2) 如图②.∵ 直线a∥b,∴ ∠3+∠4=180°.又∵ ∠1=∠3,
∠2=∠4,∴ ∠1+∠2=180°.∵ ∠1=125°,∴ ∠2=180°-
∠1=55°
第12题
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(3) 如图③,当∠1+∠2=180°时,试说明直线a∥b,并用文字叙述由此你能得出的结论.
(3) 如图③.∵ ∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,∴ ∠2=∠3.
∴ a∥b 结论:同旁外角互补,两直线平行
第12题
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12(共18张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相 交 线
7.1.2 两条直线垂直
1. (教材P9习题7.1第8题变式)已知直线AB,CB,l在同一平面内.若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是 ( )
C
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2. 有下列条件:① 两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角;
② 两条直线相交所构成的四个角相等;③ 两条直线相交所构成的四个角中有一组相邻的角相等;④ 两条直线相交所构成的四个角中有一组对顶角的和为180°.其中,能判定两条直线互相垂直的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. (2024·北京)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的度数为 ( )
A. 29° B. 32°
C. 45° D. 58°
D
B
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4. (2024·海淀区期中)下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是 ( )
A
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5. (2024·朝阳区期末)如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.在线段AC,AB,BC,CD中,长度最短的是 ( )
A. 线段AB
B. 线段AC
C. 线段BC
D. 线段CD
D
第5题
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6. 如图①②③,分别过点P画∠AOB的两边OA,OB的垂线.
如图①②③所示
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7. (2024·西城区期中)如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥OF,且OA平分∠COE,若∠DOE=50°,求∠BOF的度数.
因为∠DOE=50°,所以∠COE=180°-∠DOE=130°.
因为OA平分∠COE,所以∠AOC=∠COE=65°.所以∠BOD=∠AOC=65°.因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°.
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-50°=40°.所以
∠BOF=∠BOD-∠DOF=65°-40°=25°
第7题
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8. (2023·东城区期中)如图,O为直线AB上一点,OE平分∠BOC,OD⊥OE于点O.若∠BOC=80°,则∠AOD的度数是 ( )
A. 70°
B. 50°
C. 40°
D. 35°
B
第8题
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9. (2024·西城区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,OF平分∠BOC.若∠DOE=3∠EOF+5°,则∠AOD的度数是 ( )
A. 71°
B. 72°
C. 73°
D. 74°
D
第9题
解析:设∠BOF=x.因为OF平分∠BOC,所以∠AOD=∠BOC=2x.因为EO
⊥AB,所以∠EOA=∠EOB=90°.所以∠EOF=90°-x,∠DOE=2x+90°.因为∠DOE=3∠EOF+5°,所以2x+90°=3(90°-x)+5°,解得x=37°.所以∠AOD=2x=74°.
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10. (2023·丰台区期中)在同一平面内,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC=30°,OE⊥CD,则∠BOE的度数为 .
60°或120°
解析:如图①,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°.因为OE⊥CD,所以∠DOE=90°.所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-30°=60°.如图②,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°.因为OE⊥CD,所以∠DOE
=90°.所以∠BOE=∠DOE+∠BOD=90°+30°=120°.综上所述,
∠BOE的度数为60°或120°.
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11. 如图,直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB.如果∠FEC-∠CEA=22°,那么∠BEC的度数为 .
12. 如图,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,点D在线段AB上运动,则线段CD长的最小值是 .
146°
4.8
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13. (2023·海淀区段考)如图,直线AB,CD相交于点O,CD⊥OF,OE平分∠BOD.
(1) 若∠AOC=70°,求∠EOF的度数;
(1) 因为CD⊥OF,所以∠DOF=90°.因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOD.因为∠BOD=∠AOC=70°,所以
∠DOE=35°.所以∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°
第13题
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(2) 若∠EOF=α,请写出∠AOC的度数(用含α的式子表示).
(2) 因为OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOE.因为
∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-α,所以∠BOD=2∠DOE
=180°-2α.所以∠AOC=∠BOD=180°-2α
第13题
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14. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD.
(1) 若∠AOC=50°,则∠FOD= ;
(2) 若∠AOC=α,则∠EOD= (用含α的式子表示);
(3) 探究OE与OF之间的位置关系,并说明理由.
(3) OE⊥OF 理由:因为OE平分∠AOD,OF平分∠BOD,
所以∠EOD=∠AOD,∠FOD=∠BOD.因为∠AOD+
∠BOD=180°,所以∠EOF=∠EOD+∠FOD=(∠AOD
+∠BOD)=×180°=90°.所以OE⊥OF.
25°
90°-α
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15. 如图①,直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB.
(1) 若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数;
(1) 因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.因为OC平分∠AOM,
所以∠AOC=∠AOM=45°.因为∠AOC+∠AOD=180°,
所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°
第15题
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(2) 如图②,若∠BOC=4∠NOB,且OM平分∠NOC,求∠MON的度数.
(2) 因为∠BOC=4∠NOB,所以设∠NOB=x,则∠BOC=4x.
所以∠NOC=∠BOC-∠NOB=3x.因为OM平分∠NOC,
所以∠COM=∠MON=∠NOC=x.因为OM⊥AB,所以
∠BOM=90°.因为∠BOM=∠MON+∠NOB,所以x+x=
90°.所以x=36°.所以∠MON=x=54°
第15题
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15(共15张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平 行 线
7.2.1 平行线的概念
1. 下列图形中,AB∥CD的是 ( )
B
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2. 两条射线平行是指 ( )
A. 两条射线一定都是水平的
B. 两条射线都在同一直线上且方向相同
C. 两条射线方向相反
D. 两条射线所在的直线平行
D
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3. (教材P11思考变式)在同一平面内,经过直线外一点画直线,下列说法错误的是 ( )
A. 可以画无数条直线与这条直线相交
B. 可以画无数条直线与这条直线平行
C. 能且只能画一条直线与这条直线平行
D. 能且只能画一条直线与这条直线垂直
B
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4. 如图,在4×6的网格中,点A,B,C,D,E,F都在格点上,连接C,D,E,F中任意两点得到的所有线段中,与线段AB平行的是线段 .
DF
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5. (教材P12练习变式)如图.
(1) 过BC上的一点P画AB的平行线,交AC于点T;
(2) 过点C画MN∥AB;
(3) 直线PT,MN具有何种位置关系
(1) 如图所示
(2) 如图所示
(3) PT∥MN
第5题
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6. 在同一平面内,一条直线与另外两条平行直线的位置关系是 ( )
A. 一定与两条平行直线相交
B. 与两条平行直线中的一条平行,而与另一条相交
C. 一定与两条平行直线平行
D. 与两条平行直线都平行或都相交
D
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7. 已知∠AOB,P是平面内任意一点,过点P画一条直线与OA平行,则这样的直线 ( )
A. 有且只有一条 B. 有两条
C. 不存在 D. 有一条或不存在
8. 有下列语句:① 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行;② 过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③ 过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,则一定有c∥b;④ 若直线a∥b,b∥c,则c∥a.其中,正确的有( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
D
D
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9. 如图所示为一个风车,当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时,叶子CD与地面MN (填“平行”或“不平行”),理由是
.
10. 如图,将一张长方形硬纸片ABCD对折后打开,折痕为EF,把长方形ABEF平放在桌面上.另一个长方形CDFE无论怎样改变位置,总有CD∥
AB,理由是
.
不平行
过直线外一点
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相
有且只有一条直线与这条直线平行
平行
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11. 如图,直线AB,CD是一条河的两岸,并且AB∥CD,E为直线AB,CD外一点,现想过点E作岸CD的平行线,只需过点E作岸AB的平行线即可,请画出图形,并说明理由.
如图所示 理由:如果两条直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线也互相平行.
第11题
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12. 如图,AD∥BC,点E在线段AB上,且AE=BE.
(1) 过点E作EF∥BC,交DC于点F.
(2) AD与EF平行吗 为什么
(3) 通过测量,试判断等式DF=CF与EF=(AD+BC)是否成立.
(1) 如图所示
(2) 平行 如果两条直线都与第三条直线
平行,那么这两条直线也互相平行
(3) 两个等式都成立
第12题
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13. (1) 画∠AOB=60°,在∠AOB内部有一点P,过点P画EF∥OA,交OB于点E(点E,F在点P的两侧),过点P画GH∥OB,交OA于点G(点G,H在点P的两侧).
(2) 测量∠HPF和∠EPH的度数.
(1) 如图所示
(2) ∠HPF=60°,∠EPH=120°
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(3) ∠HPF与∠AOB,∠EPH与∠AOB有什么数量关系
(4) 如果(3)中你猜想的结论是正确的,请用你的猜想解决下面的问题:
已知∠α的两边与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的2倍少30°.求∠α与∠β的度数.
(3) ∠HPF=∠AOB,∠EPH+∠AOB=180°
(4) 当∠α=∠β时,2∠β-30°=∠β,解得∠β=30°.所以∠α=30°.当∠α+
∠β=180°时,2∠β-30°+∠β=180°,解得∠β=70°.所以∠α=110°.所以∠α与∠β的度数为30°,30°或110°,70°
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13(共21张PPT)
第七章 相交线与平行线
小专题(一) 平行线中的“拐点”问题
类型一 含一个拐点的平行线问题
1. 如图,某江段的水流方向经过B,C,D三点拐弯后与原方向相同.若∠ABC
=125°,∠BCD=75°,则∠CDE的度数为 ( )
A. 20° B. 25° C. 35° D. 50°
2. 如图,若∠1=40°,∠2=140°,直线a∥b,则∠3= .
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A
80°
11
3. 如图,直线AB∥CD.若∠E=90°,∠C=40°,则∠1= .
4. 如图,AB∥CD.若∠A=72°,∠C=58°,则∠E= .
130°
14°
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5. 科学实验表明,平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和反射出来的光线与平面镜所夹的角相等.如图①,一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射,此时有∠ABP=∠CBE,∠DEB=∠FEQ.如图②,一束光线m射到平面镜AP上,被平面镜AP反射到平面镜AQ上,又被平面镜AQ反射,且平面镜AQ反射出来的光线n平行于光线m.
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(1) 若∠1=50°,求∠2的度数;
(1) 如图,∵ ∠1=50°,∴ ∠4=∠1=50°.∴ ∠6=180°-∠1-∠4=180°-50°-50°=80°.∵ m∥n,∴ ∠2+∠6=180°.∴ ∠2=100°
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(2) 求∠3的度数.
(2) 如图,过点A作AB∥m.∵ m∥n,∴ AB∥n,∠2+∠6=180°.根据题意,得∠4=∠1,∠5=∠7,∴ ∠1+∠4+∠5+∠7=(180°-∠6)+(180°-∠2)=
360°-(∠2+∠6)=360°-180°=180°.∴ ∠1+∠7=90°.∵ AB∥m,AB∥
n,∴ ∠1=∠PAB,∠7=∠BAQ.∴ ∠3=∠PAB+∠BAQ=∠1+∠7=90°
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6. (2024·西城区期中)如图,AB∥CD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE.
(1) 猜想∠BED,∠B,∠D之间的数量关系,并证明.
(1) ∠B+∠BED+∠D=360°
如图①,过点E作EG∥AB.∴ ∠B+∠BEG=180°.
∵ AB∥CD,EG∥AB,∴ EG∥CD.∴ ∠DEG+∠D
=180°.∴ ∠B+∠BEG+∠DEG+∠D=180°+180°,
即∠B+∠BED+∠D=360°
第6题
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(2) 分别作∠ABE,∠CDE的平分线BF,DF交于点F.
① 依题意补全图;
① 如图②所示
第6题
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② 用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系.
② 由(1),得∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,∵ ∠ABE,
∠CDE的平分线BF,DF交于点F,∴ ∠ABE=2∠FBE,
∠CDE=2∠FDE.∴ 2∠FBE+∠BED+2∠FDE=360°,
即∠FBE+∠BED+∠FDE=180°.∵ ∠BFD+∠FBE+
∠BED+∠FDE=360°,∴ ∠BFD=180°-∠BED
第6题
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类型二 含多个拐点的平行线问题
7. 如图,直线m∥n,AB⊥BC,∠1=35°,∠2=62°,则∠BCD的度数为( )
A. 97° B. 117° C. 125° D. 152°
B
第7题
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解析:如图,过点B作BE∥m,过点C作CF∥n.∵ m∥n,∴ m∥BE∥CF∥n.
∴ ∠ABE=∠1=35°,∠BCF=∠EBC,∠DCF=∠2=62°.又∵ AB⊥BC,
∴ ∠ABC=90°.∴ ∠EBC=90°-35°=55°.∴ ∠BCF=∠EBC=55°.∴ ∠BCD=∠BCF+∠DCF=55°+62°=117°.
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8. 如图,直线AE∥DF,若∠ABC=120°,∠DCB=95°,则∠1+∠2= .
9. 如图,AB∥CD,则∠A,∠C,∠E,∠F满足的等量关系是
.
35°
∠A+∠E=180°
+∠C+∠F
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10. 学行线的判定与性质后,某兴趣小组提出如下问题:
已知AB∥CD.
(1) 如图①,若∠C=3∠B,求∠B的度数.
(1) ∵ AB∥CD,∴ ∠B+∠C=180°.∵ ∠C=3∠B,
∴ ∠B+3∠B=180°.∴ ∠B=45°
第10题
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(2) 如图②,当点E,F在两平行线之间,且位于点B,C所在直线的异侧时,求证:∠B+∠E=∠C+∠F.
(2) 过点E向右作EM∥AB,过点F向左作FN∥AB.
∵ AB∥CD,∴ AB∥CD∥EM∥FN.∴ ∠B+∠BEF
+∠FEM=180°,∠EFN+∠EFC+∠C=180°,∠EFN
=∠FEM.∴ ∠B+∠BEF=∠C+∠EFC
第10题
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(3) 在(2)的条件下,如图③,∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP.若∠E=88°,
∠C=130°,求∠BPF的度数.
(3) 由(2),知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C,∴ ∠ABE-∠CFE=
∠C-∠E=130°-88°=42°.∵ ∠ABE=3∠EBP,∠CFE=
3∠EFP,∴ ∠EBP-∠EFP=14°.设BP交EF于点O.∵ ∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°,∠BOE
=∠POF,∠E=88°,∴ ∠EBO+88°=∠P+∠EFP.∴ ∠P
=88°+∠EBO-∠EFP=88°+14°=102°
第10题
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11. (2024·海淀区期中)如图,AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,点G在AB,CD之间,连接GE,GF.
(1) 当∠BEG=40°,EP平分∠BEG,FP平分∠DFG时:
① 如图①,若EG⊥FG,则∠P的度数为 ;
第11题
45°
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解析:如图①,过点G作GN∥AB,过点P作PM∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥
CD∥GN∥PM.∴ ∠BEG=∠EGN,∠NGF=∠GFD.∴ ∠EGF=∠EGN+
∠NGF=∠BEG+∠GFD.同理可得∠EPF=∠BEP+∠PFD.∵ EG⊥FG,
∴ ∠EGF=90°.∵ EP平分∠BEG,FP平分∠DFG,∴ ∠BEP=∠BEG,
∠PFD=∠GFD.∴ ∠EPF=(∠BEG+∠GFD)=∠EGF=45°.
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② 如图②,在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+
2∠P的度数.
② 如图②,过点Q作QR∥CD.∵ ∠BEG=40°,EG平分
∠BEQ,FD平分∠GFQ,∴ ∠GEQ=∠BEG=∠QEB=
40°,∠GFD=∠QFD.设∠GFD=∠QFD=α.∵ QR∥CD,
AB∥CD,∴ QR∥CD∥AB.∴ ∠EQR=180°-∠QEB=
180°-2∠QEG=100°.∵ CD∥QR,∴ ∠DFQ+∠FQR=
180°.∴ α+∠FQR=180°.∴ α+∠FQE+∠EQR=180°.
∴ α+∠FQE=80°.∴ ∠FQE=80°-α.由①可知∠G=
2∠P=∠BEG+∠GFD=40°+α,∴ ∠FQE+2∠P=80°-
α+40°+α=120°
第11题
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(2) 如图③,在AB的上方有一点O,若FO平分∠GFC,点H在GE的延长线上,
EH平分∠OEA.当∠EOF+∠EGF=100°时,请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系.
(2) ∠OEA+2∠OFC=160°
第11题
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解析:∵ FO平分∠GFC,EH平分∠OEA,∴ ∠OFC=∠OFG,∠OEH=
∠HEA.设∠OFC=∠OFG=β,∠OEH=∠HEA=γ.如图③,过点O作OT∥
AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥OT∥CD.∴ ∠TOF=∠OFC=β,∠TOE=∠OEA=
2γ.∴ ∠EOF=∠TOF-∠TOE=β-2γ.∵ ∠HEA=∠BEG=γ,∠GFD=180°-2β,由(1)可知∠EGF=∠BEG+∠GFD=γ+180°-2β,又∵ ∠EOF+∠EGF=
100°,∴ β-2γ+γ+180°-2β=100°.∴ γ+β=80°.∴ ∠OEA
+∠OFC=80°.∴ ∠OEA+2∠OFC=160°.
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11(共15张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平 行 线
7.2.2 平行线的判定
1. (2023·朝阳区期中)如图,下列条件不能判定直线a∥b的是 ( )
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. ∠1+∠4=180°
D. ∠2+∠4=180°
C
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2. (2023·东城区期末)如图,下列条件中能判定DE∥AC的是 ( )
A. ∠EDC=∠EFC
B. ∠AFE=∠ACD
C. ∠3=∠4
D. ∠1=∠2
C
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3. (教材P14练习第1题变式)如图.
(1) 若∠A=∠3,则 ∥ .理由是 .
(2) 若∠2=∠E,则 ∥ .理由是 .
(3) 若∠A+∠ABE=180°,则 ∥ .理由是
.
(4) 若∠2= ,则AD∥BE.
(5) 若∠DBC+ =180°,则BD∥CE.
AD
BE
同位角相等,两直线平行
BD
CE
内错角相等,两直线平行
AD
BE
同旁内角互补,
两直线平行
∠D
∠BCE
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4. 如图,∠EFD=53°,∠EHG=37°,GH⊥AB于点H,图中可以判断哪两条直线平行 为什么
AB∥CD ∵ GH⊥AB,∴ ∠BHG=90°.∵ ∠EHG=
37°,∴ ∠EHB=∠BHG-∠EHG=53°.∵ ∠EFD=53°,
∴ ∠EFD=∠EHB.∴ AB∥CD
第4题
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5. (2023·西城区开学)如图,有下列四个条件:① ∠1=∠2;② ∠3=∠4;
③ ∠B=∠5;④ ∠B+∠BAD=180°.其中,能判定AB∥CD的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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6. 如图,下列条件中,不能判定AB∥CD的是 ( )
A. ∠AOC=∠DCO
B. ∠BOD=∠CDO
C. ∠AOD+∠CDO=180°
D. ∠BOC+∠AOC=180°
D
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7. 如图.
(1) 如果∠1= ,那么DE∥AC.理由是 .
(2) 如果∠1= ,那么EF∥BC.理由是 .
(3) 如果∠FED+∠EFC=180°,那么 ∥ .理由是
.
(4) 如果∠2+∠AED=180°,那么 ∥ .理由是
.
∠C
同位角相等,两直线平行
∠FED
内错角相等,两直线平行
DE
CF
同旁内
角互补,两直线平行
AE
DF
同旁内角
互补,两直线平行
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8. 如图,观察图形,若要使AD∥BC,则需添加的条件可以是(1)
;(2) ;(3) ;
(4) .
∠ADF=
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∠BCD
∠ADB=∠CBD
∠DAC=∠ACB
∠ADC+∠BCD=180°
(答案不唯一)
9. 如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC上一点,且∠1+∠2=90°.试说明DE∥BC.
∵ CD⊥AB(已知),
∴ ∠1+ =90°( ).
∵ ∠1+∠2=90°(已知),
∴ =∠2( ).
∴ DE∥BC( ).
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∠CDE
垂直的定义
∠CDE
同角的余角相等
内错角相等,两直线平行
10. 如图,∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°,那么直线l1与l2平行吗 为什么
直线l1与l2平行 ∵ ∠2=55°,∴ ∠4=55°.∵ ∠3+∠4
+∠5=180°,∴ ∠5=180°-∠3-∠4=180°-85°-55°=
40°.∵ ∠1=40°,∴ ∠1=∠5.∴ l1∥l2
第10题
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11. (教材P20习题7.2第12题变式)如图,点A在射线BG上,∠1+∠3=180°,
∠1=∠2,∠EAB=∠BCD,直线EF与CD平行吗 为什么
EF∥CD ∵ ∠1+∠3=180°,∴ BG∥EF.∵ ∠1=∠2,
∴ AE∥BC.∴ ∠EAB+∠2=180°.∵ ∠EAB=∠BCD,
∴ ∠BCD+∠2=180°.∴ BG∥CD.∴ EF∥CD
第11题
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12. 如图,MF⊥NF于点F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,∠1=140°,∠2=
50°.试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
AB∥CD 理由:过点F向左作射线FH,使∠EFH=
∠2=50°.∴ AB∥FH.∵ MF⊥NF,∴ ∠MFG=90°.
∴ ∠HFG=90°-∠EFH=40°.又∵ ∠1=140°,
∴ ∠1+∠HFG=180°.∴ FH∥CD.∴ AB∥CD.
第12题
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